|
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% (find-LATEX "2022-2-C2-somas-de-riemann.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-2-C2-somas-de-riemann.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-2-C2-somas-de-riemann.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C2-somas-de-riemann.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C2-somas-de-riemann.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-2-C2-somas-de-riemann"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-2-C2-somas-de-riemann")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% file:///tmp/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% file:///tmp/pen/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-2-C2-somas-de-riemann" "2" "c2m222sr" "c2sr")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.somas-de-riemann-0» (to "somas-de-riemann-0")
% «.atirei» (to "atirei")
% «.somas-de-retangulos» (to "somas-de-retangulos")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.somatorios» (to "somatorios")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.jeito-esperto» (to "jeito-esperto")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.mountains» (to "mountains")
% «.soma-superior-e» (to "soma-superior-e")
% «.set-comprehensions» (to "set-comprehensions")
% «.lua-and-haskell» (to "lua-and-haskell")
% «.imagens-de-finitos» (to "imagens-de-finitos")
% «.imagens-de-conjuntos» (to "imagens-de-conjuntos")
% «.imagens-de-intervalos» (to "imagens-de-intervalos")
% «.exercicio-7» (to "exercicio-7")
% «.acima-e-abaixo» (to "acima-e-abaixo")
% «.para-todo-e-existe» (to "para-todo-e-existe")
% «.visualizando-fas-e-exs» (to "visualizando-fas-e-exs")
% «.visualizando-fas-e-exs-2» (to "visualizando-fas-e-exs-2")
% «.instrucoes-des-defs» (to "instrucoes-des-defs")
% «.instrucoes-des-1» (to "instrucoes-des-1")
% «.instrucoes-des-2» (to "instrucoes-des-2")
% «.exercicio-8» (to "exercicio-8")
% «.exercicio-8-figs» (to "exercicio-8-figs")
% «.exercicio-9» (to "exercicio-9")
% «.na-semana-academica» (to "na-semana-academica")
% «.quantificadores» (to "quantificadores")
% «.elemento-neutro» (to "elemento-neutro")
% «.vis-props» (to "vis-props")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m222sr" "2022-2-C2-somas-de-riemann")
% (code-eevvideo "c2m222sr" "2022-2-C2-somas-de-riemann")
% (code-eevlinksvideo "c2m222sr" "2022-2-C2-somas-de-riemann")
% (find-c2m222srvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}
% https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
\def\Rext{\overline{\R}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m222srp 1 "title")
% (c2m222sra "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2022.2}
\bsk
Aula 13, 14 e 16: Somas de Riemann,
imagens de conjuntos, e infs e sups
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m222srp 2 "links")
% (c2m222sra "links")
% (c2m221tfc1a "title")
% (c2m221tfc1a "title" "Aula 23: o TFC1")
% (c2m221isa "title")
% (c2m221isa "title" "Aula 15: infs e sups")
% (find-THfile "2022-apresentacao-sobre-C2.blogme" "tudos.txt")
% (c2m221tudop 1 "title")
% (c2m221tudoa "title")
% (c2m212tudop 1 "title")
% (c2m212tudoa "title")
% (find-pdf-text "~/LATEX/2022-1-C2-tudo.pdf")
% (find-pdf-text "~/LATEX/2021-2-C2-tudo.pdf")
% (find-pdf-text "~/LATEX/2021-1-C2-tudo.pdf")
% (find-pdf-text "~/LATEX/2020-2-C2-tudo.pdf")
\newpage
% «somas-de-riemann-0» (to ".somas-de-riemann-0")
% (c2m222srp 2 "somas-de-riemann-0")
% (c2m222sra "somas-de-riemann-0")
{\bf Introdução: Somas de Riemann}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Somas de Riemann podem ser definidas de vários jeitos diferentes. A
figura abaixo tem dois desses jeitos: os retângulos mais escuros dela
são a ``\ColorRed{melhor aproximação por retângulos por baixo}'' para
$\Intx{-1}{1}{f(x)}$; repare que todos esses retângulos mais escuros
estão ``apoiados no eixo $x$''...
% (find-c2crishernandezpage (+ 10 2) "")
% (find-latexgimp-links "2020-1-C2/area-hernandez-1")
\includegraphics[width=8cm]{2020-1-C2/area-hernandez-1.png}
Nós vamos considerar que os retângulos mais claros da figura também
estão apoiados no eixo $x$, só que eles estão atrás dos mais escuros,
então a gente só vê uma parte deles.
\msk
Esses retângulos mais claros -- que, deixa eu repetir, estão todos
apoiados no eixo $x$ -- são a ``\ColorRed{melhor aproximação por
retângulos por cima}'' para $\Intx{-1}{1}{f(x)}$.
}\anothercol{
Dá pra fazer uma figura como essas na mão e no olhômetro assim: 1) a
gente começa desenhando uma curva $y=f(x)$; 2) depois a gente desenha
a parede esquerda da região $\Intx{a}{b}{f(x)}$, que é um segmento
vertical em $x=a$, e a parede direita, que é um segmento em $x=b$; 3)
depois a gente divide o intervalo de integração, $[a,b]$, em um certo
número de subintervalos -- a Cristiane Hernández usou o intervalo
$[-1,1]$ e dividiu ele em 7 subintervalos iguais; 4) pra cada um
desses subintervalos a gente desenha o retângulo mais alto cuja base é
aquele intervalo e que está todo sob a curva $y=f(x)$; 5) pra cada um
desses subintervalos a gente desenha o retângulo mais baixo cuja base
é aquele intervalo e que está todo acima da curva $y=f(x)$; 6) aí a
gente colore tudo do jeito certo, usando uma cor pra ``melhor
aproximação por retângulos por baixo'' -- os retângulos do passo 4 --
e outra cor pra ``melhor aproximação por retângulos por cim'' -- os
retângulos do passo 5.
\msk
Eu peguei a figura à esquerda das notas da Cristiane Hernández. Link:
{\scriptsize
% (c2sop 4 "fig-hernandez-1")
% (c2soa "fig-hernandez-1")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "hernandez")
% (find-hernandezpage (+ 10 2) "As Figuras de 2 a 5")
% (find-hernandeztext (+ 10 2) "As Figuras de 2 a 5")
% http://angg.twu.net/2015.1-C2/CALCULOIIA_EAD_Versao_Final_correcao_aulas_25_a_30.pdf#page=12
\url{http://angg.twu.net/2015.1-C2/CALCULOIIA_EAD_Versao_Final_correcao_aulas_25_a_30.pdf\#page=12}
}
}}
\newpage
% _ _ _ _
% / \ | |_(_)_ __ ___(_)
% / _ \| __| | '__/ _ \ |
% / ___ \ |_| | | | __/ |
% /_/ \_\__|_|_| \___|_|
%
% «atirei» (to ".atirei")
% (c2m222srp 3 "atirei")
% (c2m222sra "atirei")
% (c2m212mt2p 6 "atirei-o-pau-no-gato")
% (c2m212mt2a "atirei-o-pau-no-gato")
{\bf Atirei o Pau no Gato: seja como o Bob}
\scalebox{0.77}{\def\colwidth{7.2cm}\firstcol{
Imagina que você está fazendo aula de flauta doce junto com o Alex e o
Bob, e na prova vocês vão ter que tocar Atirei o Pau no Gato.
O Alex demora um tempão pra encontrar cada nota, e ele leva meia hora
pra tocar a música toda.
O Bob toca a música toda certinha em menos de 30 segundos.
Quando saem as notas o Alex tirou uma nota baixa e o Bob tirou 10.
Aí o Alex vai chorar pontos e diz ``{\sl pôxa, profe, eu me esforcei
muito!}''
\bsk
Quando o Bob tocou Atirei o Pau no Gato ele fez a música {\sl parecer
fácil}. O esforço dele {\sl ficou invisível}.
\msk
\standout{Seja como o Bob.}
%\bsk
%\bsk
}\anothercol{
O que a gente vai fazer neste PDF vai parecer com o Atirei o Pau no
Gato, só que com somatórios e retângulos e trapézios ao invés de
notas. Você vai aprender a visualizar e a desenhar figuras com dezenas
de retângulos e trapézios {\sl em poucos segundos} -- e você quer
chegar no ponto em que fazer esses desenhos passa a ser bem fácil.
}}
\newpage
% «somas-de-retangulos» (to ".somas-de-retangulos")
% (c2m222srp 4 "somas-de-retangulos")
% (c2m222sra "somas-de-retangulos")
{\bf Somas de retângulos}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
No ``item 5'' da aula sobre o Mathologermóvel -- links:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m222mmp 5 "item-5")
% (c2m222mma "item-5")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-mathologermovel.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-mathologermovel.pdf\#page=5}
% (c2m221tfc1p 7 "exercicio-1")
% (c2m221tfc1a "exercicio-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf#page=7
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf\#page=7}
}
\ssk
você aprendeu a calcular áreas de figuras ``feitas de retângulos'', e
como essas áreas representavam {\sl distâncias} você sabia que algumas
áreas iriam ``contar negativamente''...
Agora a gente vai fazer o contrário do que a gente fez naquela aula.
Ao invés da gente transformar uma figura feita de retângulos -- cuja
área a gente quer calcular -- numa expressão como esta aqui,
%
$$2(2-1.5)+3(4-2)$$
%
a gente vai transformar expressões como essa acima numa figura feita
de retângulos. A convenção vai ser essa aqui. Por exemplo, em
%
$$3(4-2)
$$
%
o 3 vai ser a altura do retângulo e $(4-2)$ vai ser a base dele. Mais
precisamente, o ``3'' diz que o teto desse retângulo vai estar em
$y=3$, e o ``$(4-2)$'' diz que a base dele vai de $x=2$ até $x=4$, e
como nós agora só estamos interessados em retângulos apoiados no eixo
$x$ o chão dele vai ter $y=0$. Ou seja, os vértices dele vão ser:
%
$$\begin{array}{cc}
(2,3), & (4,3), \\
(2,0), & (4,0). \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
Lembre que matemáticos e físicos pensam de jeitos muito diferentes.
Por exemplo, é comum livros de Física dizerem coisas tipo ``áreas
negativas não existem, então temos que fazer o ajuste tal'', ou ``a
massa não pode ser negativa, então blá'', e é comum livros de
Matemática dizerem coisas tipo ``vamos supor que existe um número $i$
tal que $i^2=-1$. Então esse número $i$ vai ter que ter as
propriedades tais e tais...''
Lembre também que na aula de 29/setembro eu fiz uma figura sobre
generalizar e depois disso obter outros casos particulares da fórmula
geral... dá pra acessar essa figura aqui:
\ssk
{\footnotesize
% (find-angg ".emacs" "c2q222" "set29:")
% (find-c2q222page 24 "set29: substituição trigonométrica (2)")
% http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf#page=24
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf\#page=24}
}
Aqui nós vamos pensar ``como matemáticos'', e pra gente isso aqui
%
$$y·(x_d-x_e)$$
%
``vai ser'' um retângulo apoiado no eixo $x$, com altura $y$ e base
indo de $x_e$ (``extremidade esquerda'') até $x_d$ (``extremidade
direita'')... a representação gráfica dele vai ser a que eu descrevi
acima, e a área dele vai ser o resultado numérico de $y·(x_d-x_e)$ --
que pode dar um número negativo!...
}}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m222srp 5 "exercicio-1")
% (c2m222sra "exercicio-1")
{\bf Exercício 1}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
a) Verifique que $3(4-2)$ e $3(2-4)$ são dois retângulos que têm a
mesma interpretação geométrica, mas um tem área positiva e o outro tem
área negativa.
\msk
Depois leia as páginas 35 e 36 daqui,
\ssk
{\scriptsize
% (c2m211prp 35 "retangulos-degenerados")
% (c2m211pra "retangulos-degenerados")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf#page=35
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf\#page=35}
}
\ssk
e os dois links da página 35 pra Wikipedia em português, e represente
graficamente cada um dos retângulos abaixo:
\msk
b) $(-3)(2-4)$
c) $(-3)(4-2)$
d) $0(4-2)$
e) $0(2-2)$
f) $3(2-2)$
\msk
Pra nós todos eles são ``retângulos''. Na definição da Wikipedia quais
deles são ``retângulos degenerados''?
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ _ _
% / ___| ___ _ __ ___ __ _| |_ ___ _ __(_) ___ ___
% \___ \ / _ \| '_ ` _ \ / _` | __/ _ \| '__| |/ _ \/ __|
% ___) | (_) | | | | | | (_| | || (_) | | | | (_) \__ \
% |____/ \___/|_| |_| |_|\__,_|\__\___/|_| |_|\___/|___/
%
% «somatorios» (to ".somatorios")
% (c2m222srp 6 "somatorios")
% (c2m222sra "somatorios")
{\bf Somatórios}
Dá pra expandir somatórios tanto em um passo só
como em dois passos, como aqui:
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\[5pt]
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& (10^k) [k:=2] \\
&+& (10^k) [k:=3] \\
&+& (10^k) [k:=4] \\
&+& (10^k) [k:=5] \\[2.5pt]
&=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\
\end{array}
$}
$$
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m222srp 6 "exercicio-2")
% (c2m222sra "exercicio-2")
{\bf Exercício 2}
Veja esta página aqui para os detalhes,
%\ssk
{\footnotesize
% (c2m212introp 13 "somatorios")
% (c2m212introa "somatorios")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=13
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=13}
}
%\ssk
e faça todos os itens do Exercício 3 dela.
\newpage
% _ _ _ _
% | | ___(_) |_ ___ ___ ___ _ __ ___ _ __| |_ ___
% _ | |/ _ \ | __/ _ \ / _ \/ __| '_ \ / _ \ '__| __/ _ \
% | |_| | __/ | || (_) | | __/\__ \ |_) | __/ | | || (_) |
% \___/ \___|_|\__\___/ \___||___/ .__/ \___|_| \__\___/
% |_|
% «jeito-esperto» (to ".jeito-esperto")
% (c2m222srp 7 "jeito-esperto")
% (c2m222sra "jeito-esperto")
{\bf O jeito esperto}
\ssk
Leia as páginas 6 e 7 daqui:
{\footnotesize
% (c2m211somas1p 6 "exercicio-1")
% (c2m211somas1a "exercicio-1")
% (c2m212somas1p 7 "jeito-esperto")
% (c2m212somas1a "jeito-esperto")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf#page=7
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf#page=7}
}
\bsk
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m222srp 7 "exercicio-3")
% (c2m222sra "exercicio-3")
{\bf Exercício 3}
\ssk
a) Faça o exercício 1 da página 6 desse PDF --
o que pede pra você desenhar uma parábola.
\ssk
b) Desenhe sobre essa parábola o retângulo $f(0.5)(1-0.5)$.
Aqui você \standout{TEM} que usar o ``jeito esperto''.
\bsk
Se você não aprender a usar o jeito esperto:
$•$ você vai demorar muito,
$•$ seu retângulo não vai ter um vértice sobre a parábola,
$•$ e você nunca vai virar o Bob.
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m222srp 8 "exercicio-4")
% (c2m222sra "exercicio-4")
% (c2m221somas3p 4 "exercicio-1")
% (c2m221somas3a "exercicio-1")
{\bf Exercício 4.}
\def\sumo{\sum_{i=1}^{8}}
\def\sumoo#1{\sumo #1 (x_i - x_{i-1})}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Seja $f(x)$ a função da próxima página.
Você vai receber (pelo menos) uma cópia dessa página.
Faça cada item abaixo em um dos 12 gráficos da $f(x)$.
\msk
Represente graficamente cada um dos somatórios abaixo.
Se você tiver dificuldade com algum desses somatórios
comece expandindo ele em dois passos, como na página 7.
\msk
a) $\sumoo{f(x_i)}$
\ssk
b) $\sumoo{f(x_{i-1})}$
\ssk
c) $\sumoo{\max(f(x_{i-1}), f(x_i))}$
\ssk
d) $\sumoo{\min(f(x_{i-1}), f(x_i))}$
\ssk
e) $\sumoo{f(\frac{x_{i-1} + x_i}{2})}$
\ssk
f) $\sumoo{\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% __ __ _ _
% | \/ | ___ _ _ _ __ | |_ __ _(_)_ __ ___
% | |\/| |/ _ \| | | | '_ \| __/ _` | | '_ \/ __|
% | | | | (_) | |_| | | | | || (_| | | | | \__ \
% |_| |_|\___/ \__,_|_| |_|\__\__,_|_|_| |_|___/
%
% «mountains» (to ".mountains")
% (c2m222srp 9 "mountains")
% (c2m222sra "mountains")
% (c2m221somas3p 3 "mountains")
% (c2m221somas3a "mountains")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "Xtoxytoy-test2")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(23,9))
%L spec = "(0,1)--(5,6)--(7,4)--(11,8)--(15,4)--(17,6)--(23,0)"
%L xs = { 1,3, 6, 9, 11, 13, 16,19, 21 }
%L labely = -1
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L xtos = Xtoxytoy.from(pws:fun(), xs)
%L vlines = xtos:topict("v")
%L curve = pws:topict()
%L labels = PictList {}
%L for i,x in ipairs(xs) do
%L labels:addputstrat(v(x,labely), "\\cell{x_"..(i-1).."}")
%L end
%L p = PictList { vlines, curve:prethickness("2pt"), labels }
%L p:pgat("pA", "mountain"):output()
\pu
\unitlength=8pt
\vspace*{-0.25cm}
\hspace*{-0.5cm}
$\scalebox{0.55}{$
\begin{array}{ccccc}
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\end{array}
$}
$
\newpage
% _
% _ __ ___ (_)_ __ ___ _ __ ___ __ ___ __
% | '_ ` _ \| | '_ \ / _ \ | '_ ` _ \ / _` \ \/ /
% | | | | | | | | | | | __/ | | | | | | (_| |> <
% |_| |_| |_|_|_| |_|____ \___| |_| |_| |_|\__,_/_/\_\____
% |_____| |_____|
%
% «soma-superior-e» (to ".soma-superior-e")
% (c2m222srp 10 "soma-superior-e")
% (c2m222sra "soma-superior-e")
{\bf Soma superior e soma inferior}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Nas páginas 217 e 218 o Miranda define as notações
%
$$\min_{x∈I} f(x)
\qquad
\text{e}
\qquad
\max_{x∈I} f(x)
$$
usando o truque do ``vire-se'': ele mostra uma figura e o
leitor tem que se virar pra entender o que essas notações
querem dizer... veja:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "soma superior")
% (find-dmirandacalcpage 217 "soma superior e inferior")
% (find-dmirandacalcpage 218 "min_")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=218
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=218}
}
\msk
{\bf Exercício 5.}
a) Entenda o que essas notações do Miranda querem dizer
e verifique que nas figuras da página 9 temos:
%
$$\begin{array}{ccccc}
&& \D \max(f(x_1),f(x_2))
&\lneqq& \D \max_{x∈[x_1,x_2]}f(x) \\
\D \min_{x∈[x_2,x_3]}f(x)
&\lneqq& \min(f(x_2),f(x_3)) \\
\end{array}
$$
e depois represente nos gráficos da página 9:
\ssk
b) $\sumoo{(\max_{x∈[x_{i-1},x_i]} f(x))}$
\ssk
c) $\sumoo{(\min_{x∈[x_{i-1},x_i]} f(x))}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «set-comprehensions» (to ".set-comprehensions")
% (c2m222srp 11 "set-comprehensions")
% (c2m222sra "set-comprehensions")
{\bf ``Set comprehensions''}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Lembre que:
%
$$\begin{array}{rcl}
\setofst{ a∈\{1,2,3,4\} }{ a≥3 } &=& \{3,4\}, \\
\setofst{ 10a }{ a∈\{1,2,3,4\} } &=& \{10,20,30,40\}... \\
\end{array}
$$
Se você não lembrar tente ler as páginas 8 a 12 daqui,
\ssk
{\scriptsize
% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga "comprehension")
% http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=8
\url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf\#page=8}
}
\ssk
que tem explicações e exercícios, mas as explicações estão escritas
numa ordem estranha... $\frown$
\msk
Resumindo muitíssimo: existem dois tipos diferentes de notações da
forma ``$\setofst{\ldots}{\ldots}$'', e um bom modo de entender como
elas funcionam é anotar quais pedaços delas são ``geradores'', quais
são ``filtros'', e quais são ``resultado''; os ``geradores''
funcionam como o `for' de uma linguagem de programação, os filtros
funcionam como um `if' -- ou, mais precisamente, como um ``if not ...
then break'' -- e o ``resultado'' funciona como um `print'.
\bsk
{\bf Exercício 6.}
Entenda a expressão abaixo e calcule o resultado dela:
%
\def\undt#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
\def\uger #1{\undt{#1}{gerador}}
\def\ufilt#1{\undt{#1}{filtro}}
\def\ures #1{\undt{#1}{resultado}}
%
$$\setofst{\ures{(x,y)}}{
\uger{y∈\{0,1,2,3\}},
\uger{x∈\{0,\ldots,y\}},
\ufilt{x+y≤5}
}
$$
e compare-a com estes programinhas em Lua e Haskell:
\ssk
{\scriptsize
% (xz "~/2022.2-C2/set_comprehensions_in_lua_and_haskell.png")
% (find-fline "~/2022.2-C2/set_comprehensions_in_lua_and_haskell.png")
% http://angg.twu.net/2022.2-C2/set_comprehensions_in_lua_and_haskell.png
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2/set_comprehensions_in_lua_and_haskell.png}
}
}\anothercol{
}}
% «lua-and-haskell» (to ".lua-and-haskell")
% (c2m222srp 8 "lua-and-haskell")
% (c2m222sra "lua-and-haskell")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ?")
%
%T * (eepitch-lua51)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-lua51)
%T for y=2,0,-1 do print(y) end
%T
%T for y=2,0,-1 do
%T for x=0,2 do
%T printf("(%d,%d) ", x, y)
%T end
%T print()
%T end
%T
%T for y=2,0,-1 do
%T for x=0,y do
%T printf("(%d,%d) ", x, y)
%T end
%T print()
%T end
%T
%T for y=3,0,-1 do
%T for x=0,y do
%T if not (x+y <= 4) then break end
%T printf("(%d,%d) ", x, y)
%T end
%T print()
%T end
%T
%T * (eepitch-ghci)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-ghci)
%T [(x,y) | y <- [3,2..0], x <- [0..y]]
%T [(x,y) | y <- [3,2..0], x <- [0..y], x+y <= 4]
\newpage
% https://www.mathsisfun.com/sets/set-builder-notation.html
% https://en.wikipedia.org/wiki/Set-builder_notation
% (find-es "ead" "thanos-tsouanas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "intervalo aberto")
% (find-leitholdptpage (+ 17 6) "intervalo aberto")
\newpage
% «imagens-de-finitos» (to ".imagens-de-finitos")
% (c2m222srp 12 "imagens-de-finitos")
% (c2m222sra "imagens-de-finitos")
{\bf Imagens de conjuntos finitos}
Veja as páginas 5 e 6 daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m221somas3p 5 "imagens-figuras")
% (c2m221somas3a "imagens-figuras")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-somas-3.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-somas-3.pdf\#page=5}
}
\bsk
\bsk
% (find-c2q222page 30 "out06: somas de Riemann (2): dois abusos de linguagem")
Dois abusos de linguagem
(que eu expliquei no quadro):
%
$$\begin{array}{rcll}
f(\{7,8,9\}) &=& \setofst{f(x)}{x∈\{7,8,9\}} \\
\max(a,b,c,d,e) &=& \max(a,\max(b,\max(c,\max(d,e)))) \\
%
\\[-5pt]
%
f(\{7,8,9\}) &=& \{f(7),f(8),f(9)\}, \\
\max(a,b,c,d,e) &=& \max(a,\max(b,c,d,e)) \\
&=& \max(a,\max(b,\max(c,d,e))) \\
&=& \max(a,\max(b,\max(c,\max(d,e)))) \\
\end{array}
$$
\newpage
% «imagens-de-intervalos» (to ".imagens-de-intervalos")
% (c2m222srp 13 "imagens-de-intervalos")
% (c2m222sra "imagens-de-intervalos")
{\bf Imagens de intervalos}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11.2cm}\firstcol{
Veja as páginas 5 e 7 daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m221somas3p 5 "imagens-figuras")
% (c2m221somas3a "imagens-figuras")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-somas-3.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-somas-3.pdf\#page=5}
}
\msk
Digamos que na sua turma de Cálculo 2 tem dois Alexes diferentes, um
Bob, um Carlos e um Daniel, e todo mundo tá tentando resolver um
exercício que é o seguinte: ``seja $f$ a função da página 5 do link
acima. Calcule $f([1,3])$''.
Todo mundo reconhece que o intervalo $[1,3]$ é um conjunto com
infinitos pontos, e cada pessoa tenta resolver esse exercício de um
jeito diferente.
\msk
O Alex 1 decide começar listando todos os pontos do intervalo $[1,3]$.
Ele vai primeiro obter uma lista de pontos que ele vai escrever nesse
formato aqui,
%
$$\{x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots\}
$$
e depois ele vai simplificar esse conjunto daqui,
%
$$\{f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4),\ldots\}
$$
transformando ele numa lista de números, pondo os números dessa lista
em ordem e deletando as repetições... \ColorRed{só que como o conjunto
$\{x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots\}$ é infinito ele nunca consegue terminar
o primeiro passo.}
\msk
O Alex 2 decide que ele vai pegar uma sequência de conjuntos finitos
cada vez maiores, e ``cada vez mais parecidos'' com o conjunto
$[1,3]$. Ele escolhe essa sequência aqui...
}\anothercol{
%
$$\begin{array}{rcl}
A_1 &=& \{1,3\}, \\
A_2 &=& \{1,2,3\}, \\
A_3 &=& \{1,1.5,2,2.5,3\}, \\
A_4 &=& \{1,1.25,1.5,1.75,2,2.25,2.5,2.75,3\}, \ldots \\
\end{array}
$$
Ele calcula $f(A_1)$, $f(A_2)$, $f(A_3)$, $f(A_4)$ pelo gráfico usando
o ``jeito esperto'' -- como nas figuras da página 5 do link -- e ele
deduz, \ColorRed{por um argumento informal e olhométrico}, que
$f([1,3])$ \ColorRed{deve ser} o intervalo $[3,4]$.
\msk
O Bob faz algo parecido como o Alex 2, mas ele encontra um modo de
``levantar'' todo o intervalo $[1,3]$ pro gráfico da função $y=f(x)$
de uma vez só, e de depois ``projetar'' pro eixo $y$ esse ``intervalo
levantado''. Ele obtém uma figura bem parecida com a última figura da
página 5 do link, e ele descobre -- \ColorRed{também meio no
olhômetro} -- que $f([1,3]) = [3,4]$.
\msk
O Carlos vê que \ColorRed{é óbvio que}
$f([1,3]) = [f(1),f(3)] = \{3,3\} = \{3\}$, e \ColorRed{portanto} a
imagem do intervalo $[1,3]$ pela função $f$ é um conjunto com um ponto
só. $\frown$
\msk
O Daniel resolve que tudo isso é informal demais pra ele, e que ele
precisa aprender um modo 100\% preciso e formal de calcular $f([1,3])$
sem o gráfico. Ele descobre que vai ter que estudar uma coisa chamada
``Análise Matemática'', baixa o ``{\sl Elementary Analysis: The Theory
of Calculus}'' do Kenneth Ross, começa a estudar por ele e aprende
coisa incríveis -- \ColorRed{mas ele leva um ano nisso}.
\msk
\standout{Seja como o Bob!}
}}
\newpage
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c2m222srp 14 "exercicio-7")
% (c2m222sra "exercicio-7")
% (c2m221somas3p 7 "exercicio-2")
% (c2m221somas3a "exercicio-2")
{\bf Exercício 7.}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{6.5cm}\firstcol{
Seja $f(x)$ esta função:
\msk
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(8,4))
%L spec = "(0,2)--(2,4)--(6,0)--(8,2)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("2pt") }
%L p:pgat("pgatc", "falsoseno"):output()
\pu
%
$f(x) = \falsoseno$
\msk
Calcule estas imagens de intervalos:
\msk
\begin{tabular}[t]{l}
a) $f([0,1])$ \\
b) $f([1,2])$ \\
c) $f([0,2])$ \\
d) $f([2,3])$ \\
e) $f([1,3])$ \\
f) $f([0,3])$ \\
g) $f([0,4])$ \\
h) $f([4,8])$ \\
i) $f([0,8])$ \\
j) $f([1,7])$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}[t]{l}
a') $f((0,1))$ \\
b') $f((1,2))$ \\
c') $f((0,2))$ \\
d') $f((2,3))$ \\
e') $f((1,3))$ \\
f') $f((0,3))$ \\
g') $f((0,4))$ \\
h') $f((4,8))$ \\
i') $f((0,8))$ \\
j') $f((1,7))$ \\
\end{tabular}
}\anothercol{
Dicas:
\ssk
Faça os itens (a) até (j) primeiro. Os itens (a') até (j') são bem
mais difíceis, e em alguns deles os resultados vão ser conjuntos
fechados ou ``semi-abertos''.
\ssk
O Leithold define intervalos semi-abertos na página 6 (no capítulo 1).
\ssk
Daqui a pouco nós vamos ver um modo de testar as respostas dos itens
desse exercício, e um modo de resolver ele por chutar e testar... mas
aguente um pouquinho!
}}
\newpage
% «acima-e-abaixo» (to ".acima-e-abaixo")
% (c2m222srp 15 "acima-e-abaixo")
% (c2m222sra "acima-e-abaixo")
{\bf Retângulos acima e abaixo}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Lembre que eu contei que em cursos tradicionais de Cálculo 2 --
aqueles em que as pessoas passam centenas de horas fazendo contas à
mão, e mais outras centenas de horas estudando por aqueles livros que
fingem que certas coisas dificílimas são óbvias -- as pessoas acabam
aprendendo algumas coisas super úteis que não aparecem listadas
explicitamente no programa do curso...
\msk
Uma dessas coisas é aprender a entender definições que {\sl
aparentemente} envolvem um número infinito de contas. Se a gente for
como o Bob a gente consegue visualizar o que essas definições ``querem
dizer''.
\msk
As definições formais de ``retângulo acima (ou abaixo) da curva'' e
``melhor retângulo acima (ou abaixo) da curva'' são assim -- elas
aparentemente precisam de infinitas contas.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «para-todo-e-existe» (to ".para-todo-e-existe")
% (c2m222srp 16 "para-todo-e-existe")
% (c2m222sra "para-todo-e-existe")
% (c2m212somas2p 14 "para-todo-e-existe")
% (c2m212somas2a "para-todo-e-existe")
{\bf ``Para todo'' ($∀$) e ``existe'' ($∃$)}
\msk
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
(∀a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∧ \\&&
(a^2<10)[a:=3] \;∧ \\&&
(a^2<10)[a:=5] \\
&=& (2^2<10) ∧
(3^2<10) ∧
(5^2<10) \\
&=& (4<10) ∧
(9<10) ∧
(25<10) \\
&=& \V ∧ \V ∧ \F \\
&=& \F \\[5pt]
(∃a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∨ \\&&
(a^2<10)[a:=3] \;∨ \\&&
(a^2<10)[a:=5] \\
&=& (2^2<10) ∨
(3^2<10) ∨
(5^2<10) \\
&=& (4<10) ∨
(9<10) ∨
(25<10) \\
&=& \V ∨ \V ∨ \F \\
&=& \V \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «visualizando-fas-e-exs» (to ".visualizando-fas-e-exs")
% (c2m222srp 17 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m222sra "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m212somas2p 15 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m212somas2a "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substp 24 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substa "visualizando-fas-e-exs")
{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s}
Repare...
\msk
{
\def\V {\mathbf{V}}
\def\F {\mathbf{F}}
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\F {\mbc{\mathbf{F}}}
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mm}x<4) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmm}x=6) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4∨ x=6) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
$}
$
}
\msk
...que dá pra {\sl visualizar} o que a expressão
$(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4∨x=6)$
``quer dizer'' visualizando os `$\V$'s e `$\F$'s
de expressões mais simples, e combinando
esses ``mapas'' de `$\V$'s e `$\F$'s.
\newpage
% «visualizando-fas-e-exs-2» (to ".visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m222srp 18 "visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m222sra "visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m212somas2p 16 "visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m212somas2a "visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m211substp 20 "visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m211substa "visualizando-fas-e-exs-2")
{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s (2)}
Às vezes vai valer a pena \ColorRed{definir proposições}
como nomes mais curtos, como $F(x) = (2≤x)$,
$G(x) = (x≤4)$, $H(x) = (x=6)$... Aí:
\msk
{
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\F {\mbc{\mathbf{F}}}
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x)) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
$}
$
}
\msk
É isso que a gente vai fazer pra analisar expressões
como $(∀x∈A.▁▁▁)$ e $(∃x∈A.▁▁▁)$ e descobrir quais
são verdadeiras e quais não --- \ColorRed{mesmo quando o conjunto
$A$ é um conjunto infinito}, como $\N$, $\R$ ou $[2,10]$.
\newpage
% «visualizando-fas-e-exs-3» (to ".visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m222srp 19 "visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m222sra "visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m212somas2p 17 "visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m212somas2a "visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m211substp 26 "visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m211substa "visualizando-fas-e-exs-3")
{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s (3)}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Às vezes vamos ter que fazer figuras com muitos `$\V$'s e `$\F$'s,
e vai ser mais fácil visualizar onde estão os `$\V$'s e `$\F$'s
delas se usarmos sinais mais fáceis de distinguir...
\msk
Vou usar essa convenção aqui:
O $\V$ é uma bolinha preta, ou sólida: $•$
O $\F$ é uma bolinha branca, ou oca: $∘$
\msk
{
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\V {\mbc{•}}
\def\F {\mbc{∘}}
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x)) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
$}
$
}
\bsk
Você \ColorRed{pode} fazer as suas próprias definições ---
como o meu ``$•:=\V$ e $∘:=\F$'' acima --- mas elas
\standout{têm} que ficar claras o suficiente... releia a dica 7:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212introp 3 "dica-7")
% (c2m212introa "dica-7")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=3
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf\#page=3}
}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «instrucoes-des-defs» (to ".instrucoes-des-defs")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(7,5))
%L spec = "(0,2)--(2,4)--(5,1)--(7,3)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("2pt") }
%L p:pgat("pgatc", "falsoseno"):output()
\pu
%
\sa{Color A}{\ColorRed}
\sa{Color B}{\ColorOrange}
\sa{Color C}{\ColorGreen}
\def\COLOR#1#2{\ga{Color #1}{#2}}
\def\undem#1#2{\underbrace{#1}_{\text{em }#2}}
\def\undemc#1#2#3{\underbrace{#2}_{\COLOR{#1}{\text{em }#3}}}
%
\def\fx #1{f(\undemc{A}{\mathstrut #1}{(#1,0)})}
\def\Fx #1{ \undemc{A}{\mathstrut #1}{(#1,0)} }
\def\fxy#1#2{\undemc{B}{\fx{#1}<#2}{(#1,f(#1))}}
\def\fafxy#1{\undemc{C}{∀x∈\{1,2,3\}. \fxy{x}{#1}}{(0,#1)}}
\def\LAND{\;\;∧\;\;}
\newpage
% «instrucoes-des-1» (to ".instrucoes-des-1")
% (c2m222srp 20 "instrucoes-des-1")
% (c2m222sra "instrucoes-des-1")
{\bf Instruções de desenho (explícitas)}
\msk
Sejam $f(x) = \falsoseno$ ,
\msk
e $P(y) \;=\; \fafxy{y} .$
\bsk
As anotações sob as chaves são ``instruções de desenho''
que o Bob vai usar pra calcular cada $P(y)$ de cabeça,
e pra visualizar o que $P(y)$ ``quer dizer''...
\ssk
Na próxima página eu fiz as figuras pra $P(4)$.
% (c2m221isp 5 "exercicio-1")
% (c2m221isa "exercicio-1")
\newpage
% «instrucoes-des-2» (to ".instrucoes-des-2")
% (c2m222srp 21 "instrucoes-des-2")
% (c2m222sra "instrucoes-des-2")
% (c2m221isp 2 "uma-figura")
% (c2m221isa "uma-figura")
%
%L fromep = PwSpec.fromep
%L thick = function (th) return "\\linethickness{"..th.."}" end
%L
%L p = PictList {
%L thick("1pt"),
%L fromep(" (0,2)--(2,4)--(5,1)--(7,3) "),
%L thick("2pt"),
%L fromep(" (1,0)c (2,0)c (3,0)c "):color("red"),
%L fromep(" (1,3)c (2,4)o (3,3)c "):color("orange"),
%L fromep(" (0,4)o "):Color("Green"),
%L }
%L p = (p
%L :setbounds(v(0,0), v(7,5))
%L :pgat("gat")
%L :pgat("p")
%L :preunitlength("10pt")
%L :sa("instrucoes des")
%L )
%L p:output()
\pu
\def\Fxy#1#2#3#4{\undemc{B}{\mathstrut #1<#2}{(#3,#4)}}
\def\Bxy#1#2#3{\undemc{B}{\mathstrut\COLOR{B}{#1}}{(#2,#3)}}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
$\begin{array}[t]{rcl}
P(4) &=& \fafxy{4} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ (\fxy{1}{4}) \LAND (\fxy{2}{4}) \LAND (\fxy{3}{4})}
{(0,4)} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ (\Fxy 3413) \LAND (\Fxy 4424) \LAND (\Fxy 3433)}
{(0,4)} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ (\Bxy{•}{1}{3}) \LAND (\Bxy{∘}{2}{4}) \LAND (\Bxy{•}{3}{3})}
{(0,4)} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ \mathstrut{\COLOR{C}{∘}} }{(0,4)} \\
\end{array}
$
}\anothercol{
\vspace*{5cm}
\def\closeddot{\circle*{0.3}}
\def\opendot {\circle*{0.3}\color{white}\circle*{0.2}}
\def\closeddot{\circle*{0.5}}
\def\opendot {\circle*{0.5}\color{white}\circle*{0.3}}
$\ga{instrucoes des}$
}}
\newpage
% «exercicio-8» (to ".exercicio-8")
% (c2m222srp 19 "exercicio-8")
% (c2m222sra "exercicio-8")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(6,4))
%L spec = "(0,1)--(2,3)--(4,1)--(6,3)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("0.5pt") }
%L p:pgat("pgatc"):sa("instrthin"):output()
\pu
{\bf Exercício 8.}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Sejam:
$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \ga{instrthin} \;, \\
\\[-7pt]
P(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)<y \;, \\
Q(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)≤y \;, \\
R(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)≥y \;, \\
S(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)>y \;, \\
\\[-7pt]
P'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)<y \;, \\
Q'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)≤y \;, \\
R'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)≥y \;, \\
S'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)>y \;. \\
\end{array}
$
\bsk
Para cada uma das expressões à direita visualize-a, represente-a
graficamente numa das cópias do gráfico da $f(x)$ da próxima página, e
dê o resultado dela.
Note que aqui eu não estou dando instruções de desenho {\sl
explícitas} -- você vai ter que escolher como você vai fazer pra
visualizar cada expressão.
}\anothercol{
a) $P(3.5), P(3.0), \ldots, P(0.5)$
b) $Q(3.5), Q(3.0), \ldots, Q(0.5)$
c) $R(3.5), R(3.0), \ldots, R(0.5)$
d) $S(3.5), S(3.0), \ldots, S(0.5)$
\msk
e) $P'(3.5), P'(3.0), \ldots, P'(0.5)$
f) $Q'(3.5), Q'(3.0), \ldots, Q'(0.5)$
g) $R'(3.5), R'(3.0), \ldots, R'(0.5)$
h) $S'(3.5), S'(3.0), \ldots, S'(0.5)$
\bsk
Nos itens (e) até (f) os seus desenhos vão ter infinitas bolinhas...
aliás, você vai ter que fazer desenhos que {\sl finjam} que têm
infinitas bolinhas, e nos quais o leitor consiga entender o que você
quis representar... dica: leia a seção ``Mais sobre bolinhas'' nas
páginas 29 até 36 daqui:
\msk
{\scriptsize
% (c2m212somas2p 53 "dirichlet-3")
% (c2m212somas2a "dirichlet-3")
% (c2m211somas24p 29 "mais-sobre-bolinhas")
% (c2m211somas24a "mais-sobre-bolinhas")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=29
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf\#page=29}
}
}}
\newpage
% «exercicio-8-figs» (to ".exercicio-8-figs")
% (c2m222srp 23 "exercicio-8-figs")
% (c2m222sra "exercicio-8-figs")
\def\IT{\ga{instrthin}}
\def\ITS{\IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT }
$\scalebox{0.6}{$
\begin{matrix}
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\end{matrix}
$}
$
\newpage
% «exercicio-9» (to ".exercicio-9")
% (c2m222srp 24 "exercicio-9")
% (c2m222sra "exercicio-9")
{\bf Exercício 9.}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
A seção ``Mais sobre bolinhas'' daqui:
\ssk
{\scriptsize
% (c2m212somas2p 53 "dirichlet-3")
% (c2m212somas2a "dirichlet-3")
% (c2m211somas24p 29 "mais-sobre-bolinhas")
% (c2m211somas24a "mais-sobre-bolinhas")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=29
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf\#page=29}
}
\ssk
tem dicas sobre como visualizar subconjuntos
``definidos por proposições'', como este aqui:
%
$$\setofst{x∈A}{P(a)}$$
A gente primeiro marca cada ponto de $A$ com uma
bolinha ou preta ou branca, e depois a gente pega
o conjunto das bolinhas pretas e interpreta ele
como um outro conjunto -- o resultado.
\msk
Use isto pra visualizar cada um dos conjuntos
à direita e pra encontrar uma descrição mais simples
para cada um deles. Geralmente essas ``descrições
mais simples'' vão ser em notação de intervalos.
\msk
As funções $P, \ldots, S, P', \ldots, S'$ são as do exercício 8.
O símbolo $\Rext$ denota a ``reta real estendida'':
%
$$\begin{array}{rcl}
\Rext &=& \R ∪ \{-∞,+∞\} \\
&=& (-∞,+∞) ∪ \{-∞,+∞\} \\
&=& [-∞,+∞] \\
\end{array}
$$
Para mais detalhes, veja:
{\scriptsize
% https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line}
}
}\anothercol{
a) $\setofst{y∈[0,3]}{P(y)}$
b) $\setofst{y∈[0,3]}{Q(y)}$
c) $\setofst{y∈[0,3]}{R(y)}$
d) $\setofst{y∈[0,3]}{S(y)}$
\msk
a') $\setofst{y∈[0,3]}{P'(y)}$
b') $\setofst{y∈[0,3]}{Q'(y)}$
c') $\setofst{y∈[0,3]}{R'(y)}$
d') $\setofst{y∈[0,3]}{S'(y)}$
\msk
e) $\setofst{y∈\R}{P(y)}$
f) $\setofst{y∈\R}{Q(y)}$
g) $\setofst{y∈\R}{R(y)}$
h) $\setofst{y∈\R}{S(y)}$
\msk
i) $\setofst{y∈\Rext}{P(y)}$
j) $\setofst{y∈\Rext}{Q(y)}$
k) $\setofst{y∈\Rext}{R(y)}$
l) $\setofst{y∈\Rext}{S(y)}$
}}
\newpage
% «na-semana-academica» (to ".na-semana-academica")
% (c2m222srp 25 "na-semana-academica")
% (c2m222sra "na-semana-academica")
{\bf Na Semana Acadêmica...}
Durante a Semana Acadêmica tente entender as definições
de ``sup'' e ``inf'' das páginas 2 até 15 daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m221isp 2 "uma-figura")
% (c2m221isa "uma-figura")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf}
}
\ssk
...e se você tiver curiosidade dê uma olhada aqui:
\ssk
{\footnotesize
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Supremo_e_%C3%ADnfimo
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Supremo_e_\%C3\%ADnfimo}
}
\ssk
As definições da Wikipedia são muito mais abstratas.
\bsk
Muitas das construções que nós vamos ver em Cálculo 3
vão ser definidas usando sequências grandes de definições,
exatamente como no PDF sobre infs e sups do link acima...
Por exemplo:
\ssk
{\footnotesize
% (c3m222ptp 5 "primeiros-pltans")
% (c3m222pta "primeiros-pltans")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf\#page=5}
}
\ssk
\newpage
% «imagens-de-conjuntos» (to ".imagens-de-conjuntos")
% (c2m222srp 12 "imagens-de-conjuntos")
% (c2m222sra "imagens-de-conjuntos")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "hernandez")
% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a "descontinuidades")
% (c2m221somas3a "title")
% (c2m221somas3a "title" "Aula 11: somas de retângulos")
% (c2m221somas3p 2 "links")
% (c2m221somas3a "links")
% (c2m212somas1p 1 "title")
% (c2m212somas1a "title")
% (c2m212somas2p 1 "title")
% (c2m212somas2a "title")
% (c2m212somas2p 13 "definindo-proposicoes")
% (c2m212somas2a "definindo-proposicoes")
\newpage
% «quantificadores» (to ".quantificadores")
% (c2m222srp 14 "quantificadores")
% (c2m222sra "quantificadores")
% (find-c2q222page 28 "out06: somas de Riemann (2)")
% (find-c2q222page 29 "out06: somas de Riemann (2), p.2")
% (find-c2q222page 30 "out06: somas de Riemann (2), p.3")
{\bf Quantificadores}
Veja as páginas 14 até 17 daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212somas2p 14 "para-todo-e-existe")
% (c2m212somas2a "para-todo-e-existe")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-2.pdf#page=14
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-2.pdf#page=14}
}
\ssk
% (c2m211substp 23 "para-todo-e-existe")
% (c2m211substa "para-todo-e-existe")
\newpage
% «elemento-neutro» (to ".elemento-neutro")
{\bf O truque do elemento neutro}
Como $2^0=1$, e o 1 é o elemento neutro da multiplicação,
isso aqui funciona:
\def\r#1{\ColorRed{\;#1\;}}
$$\begin{array}{rcl}
2^1·2^4 &=& (2)·(2·2·2·2) \\
2^2·2^3 &=& (2·2)·(2·2·2) \\
2^3·2^2 &=& (2·2·2)·(2·2) \\
2^4·2^1 &=& (2·2·2·2)·(2) \\
2^5·2^0 &=& (2·2·2·2·2)·(2^0) \\
&=& (2·2·2·2·2)·1 \\
&=& (2·2·2·2·2) \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf O truque do elemento neutro pra quantificadores}
$$\scalebox{0.6}{$
\begin{array}{rcl}
(∀x∈\{20\}.P(x))\r∧(∀x∈\{42,99,200\}.P(x)) &=& (P(20))\r∧(P(42)∧P(99)∧P(200)) \\
(∀x∈\{20,42\}.P(x))\r∧(∀x∈\{99,200\}.P(x)) &=& (P(20)∧P(42))\r∧(P(99)∧P(200)) \\
(∀x∈\{20,42,99\}.P(x))\r∧(∀x∈\{200\}.P(x)) &=& (P(20)∧P(42)∧P(99))\r∧(P(200)) \\
(∀x∈\{20,42,99,200\}.P(x))\r∧(∀x∈∅ .P(x)) &=& (P(20)∧P(42)∧P(99)∧P(200))\r∧(∀x∈∅.P(x)) \\
&=& (P(20)∧P(42)∧P(99)∧P(200))\r∧\True \\
&=& (P(20)∧P(42)∧P(99)∧P(200)) \\
\\
(∃x∈\{20\}.P(x))\r∨(∃x∈\{42,99,200\}.P(x)) &=& (P(20))\r∨(P(42)∨P(99)∨P(200)) \\
(∃x∈\{20,42\}.P(x))\r∨(∃x∈\{99,200\}.P(x)) &=& (P(20)∨P(42))\r∨(P(99)∨P(200)) \\
(∃x∈\{20,42,99\}.P(x))\r∨(∃x∈\{200\}.P(x)) &=& (P(20)∨P(42)∨P(99))\r∨(P(200)) \\
(∃x∈\{20,42,99,200\}.P(x))\r∨(∃x∈∅.P(x)) &=& (P(20)∨P(42)∨P(99)∨P(200))\r∨(∃x∈∅.P(x)) \\
&=& (P(20)∨P(42)∨P(99)∨P(200))\r∨\False \\
&=& (P(20)∨P(42)∨P(99)∨P(200)) \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «vis-props» (to ".vis-props")
% (c2m222srp 17 "vis-props")
% (c2m222sra "vis-props")
{\bf Visualizando proposições}
Como visualizar
``O retângulo $3(4-2)$ está abaixo do gráfico da $f$''?
\ssk
% $∀x∈[x_e,x_d].y≤f(x)$
Isto pode ser formalizado como:
$∀x∈[2,4].3≤f(x)$
\ssk
Veja a páginas 5 a 8 daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m221isp 5 "exercicio-1")
% (c2m221isa "exercicio-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf#page=5}
}
\ssk
\newpage
% O Miranda define três tipos de somas de Riemann --
%
% (Entenda a definição do Miranda; desenhe)
%
% extremo esquerdo, direito e médio correspondem a algum desses itens?
%
% % (find-dmirandacalcpage 208 "extremo esquerdo")
%
%
% Trapézios
% (c2m212somas1p 18 "trapezios")
% (c2m212somas1a "trapezios")
% (find-dmirandacalcpage 217 "7.3. Funções contínuas são integráveis")
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2022.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2022-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2022.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2022-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C2-somas-de-riemann veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C2-somas-de-riemann pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2sr"
% ee-tla: "c2m222sr"
% End: