|
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% (find-LATEX "2021-2-C2-somas-1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-somas-1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-somas-1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-somas-1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-somas-1.tex"))
% (defun oo () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-somas-1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-somas-1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-somas-1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-somas-1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-somas-1.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-somas-1.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-somas-1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-somas-1" "2" "c2m212somas1" "c2so")
% «.videos-antigos» (to "videos-antigos")
%
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.links-para-videos» (to "links-para-videos")
%
% «.area-trapezio» (to "area-trapezio")
% «.jeito-esperto» (to "jeito-esperto")
% «.particoes» (to "particoes")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
%
% «.trapezios» (to "trapezios")
% «.trap-e-rect» (to "trap-e-rect")
% «.exercicio-9» (to "exercicio-9")
% «.exercicio-11» (to "exercicio-11")
% «.exercicio-12» (to "exercicio-12")
% «.metodos-nomes» (to "metodos-nomes")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «videos-antigos» (to ".videos-antigos")
% (c2m211somas1a "videos")
% (c2m202somas1a "video")
%
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m212somas1" "2021-2-C2-somas-1" "{naoexiste}")
% (code-eevvideo "c2m212somas1" "2021-2-C2-somas-1")
% (code-eevvideo-local "c2m212somas1" "2021-2-C2-somas-1")
% (find-c2m212somas1video "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212somas1p 1 "title")
% (c2m212somas1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aula 4: integrais como somas de retângulos (1)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links-para-videos» (to ".links-para-videos")
{\bf Links pra vídeos antigos}
\ssk
Vamos usar estes vídeos antigos aqui:
% (c2m202somas1a "video")
%
este de 2020.2,
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2020.2-C2-somas-1.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=bbZfQmtFCSw}
}
\msk
% (c2m211somas1a "videos")
%
e este de 2021.1, sobre o exercício 9:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C2-somas-1.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=Ht5iLKGlysM}
}
\msk
% (c2m211somas1da "video-1")
Este sobre não tou entendendo nada
também vai ser bem importante:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C2-somas-1-dicas.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=pCD1p9FZYdI}
}
\newpage
% «fig-hernandez-1» (to ".fig-hernandez-1")
% (c2sop 4 "fig-hernandez-1")
% (c2soa "fig-hernandez-1")
{\bf Algumas figuras}
Dê uma olhada nas notas de aula da Cristiane Hernández, linkadas
na página do curso... ela usa várias figuras como essa aqui:
% (find-c2crishernandezpage (+ 10 2) "")
% (find-latexgimp-links "2020-1-C2/area-hernandez-1")
\includegraphics[width=8cm]{2020-1-C2/area-hernandez-1.png}
\newpage
% «area-trapezio» (to ".area-trapezio")
% «shoelace» (to ".shoelace")
% (c2m212somas1p 5 "shoelace")
% (c2m212somas1a "shoelace")
{\bf Algumas áreas fáceis de calcular}
Por enquanto a gente sabe calcular a área de algumas figuras simples:
retângulos, triângulos, trapézios, e figuras formadas por vários
retângulos, triângulos e trapézios.
% (find-es "mathologer" "shoelace")
\msk
Algumas pessoas viram no Ensino Médio um método de calcular
a área de qualquer polígono. Vamos rever isto agora.
Assista os primeiros 10 minutos deste vídeo do Mathologer:
% http://www.youtube.com/watch?v=0KjG8Pg6LGk
\url{http://www.youtube.com/watch?v=0KjG8Pg6LGk}
\msk
Algumas idéias dele vão ser muito importantes pra gente depois.
Por exemplo, que áreas podem ser calculadas de vários jeitos,
e que alguns pedaços devem ser contados ``negativamente''.
\msk
Na verdade nós vamos usar principalmente retângulos e
trapézios...
% Nós em geral vamos usar métodos mais fáceis do que o desse
% vídeo
\newpage
% «areas-de-trapezios» (to ".areas-de-trapezios")
% (c2sop 5 "areas-de-trapezios")
% (c2soa "areas-de-trapezios")
{\bf Áreas de trapézios}
O truque pra calcular a área de um trapézio é transformá-lo
num retângulo com a mesma área que ele por cortar-e-colar. Veja:
$
% (find-latexscan-links "C2" "20210205_trapezios_1")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210205_trapezios_1.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=3.5cm]{2020-2-C2/20210205_trapezios_1.pdf}
}
%
\quad
% (find-latexscan-links "C2" "20210205_trapezios_3")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210205_trapezios_3.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=4cm]{2020-2-C2/20210205_trapezios_3.pdf}
}
$
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m211somas1p 6 "exercicio-1")
% (c2m211somas1a "exercicio-1")
% (c2m202somas1p 4 "exercicio-1")
% (c2m202somas1 "exercicio-1")
{\bf Nossa função preferida}
Seja $f(x) = 4 - (x-2)^2$.
Isto é uma parábola com a concavidade pra baixo.
Verifique que:
$f(0)=4-4=0$,
$f(1)=4-1=3$,
$f(2)=4-0=4$,
$f(3)=4-1=3$,
$f(4)=4-4=0$.
\msk
Além disso $f'(x) = -2(x-2)$, $f'(1)=2$, $f'(3)=-2$, e
a reta tangente à curva $y=f(x)$ em $x=1$ tem coef.\ angular 2, e
a reta tangente à curva $y=f(x)$ em $x=3$ tem coef.\ angular -2.
\msk
{\bf Exercício 1:} use estas informações para traçar o gráfico de $f(x)$
entre $x=0$ e $x=4$.
\newpage
% «jeito-esperto» (to ".jeito-esperto")
% (c2m212somas1p 7 "jeito-esperto")
% (c2m212somas1a "jeito-esperto")
% (c2m202somas1p 5 "jeito-esperto")
% (c2m202somas1 "jeito-esperto")
% (c2m202somas1a "video")
% (c2m202somas1a "video" "jeito esperto")
{\bf Dois jeitos de visualizar $(x,f(x))$}
Jeito burro:
Em $x=2.5$ temos
$f(2.5) = 4 - (2.5-2)^2 = 4 - 0.5^2 = 4-0.25 = 3.75$.
Encontre o ponto $y=3.75$ no eixo $y$.
Desenhe o ponto $(2.5,3.75)$.
\msk
Jeito esperto/rápido:
Encontre no eixo $x$ o ponto $x=2.5$.
Suba esse ponto pra curva $y=f(x)$ --
você encontrou o ponto $(2.5,f(2.5))$!
\bsk
O ``jeito esperto'' está explicado neste vídeo aqui:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://www.youtube.com/watch?v=bbZfQmtFCSw\#t=4m00s}
}
\ssk
Ele vai ser \standout{MUITO} importante!!!!!!!!!
\newpage
% «exercicios-2-e-3» (to ".exercicios-2-e-3")
% (c2sop 8 "exercicios-2-e-3")
% (c2soa "exercicios-2-e-3")
% (c2m202somas1p 6 "exercicios-2-e-3")
% (c2m202somas1 "exercicios-2-e-3")
{\bf Mais exercícios}
{\bf Exercício 2.} Desenhe o gráfico da nossa função preferida
(obs: sempre no intervalo entre $x=0$ e $x=4$!)
e desenhe sobre ele o retângulo ``cuja área é $f(0.5)·(1.5-0.5)$''.
Truque: isto é altura $·$ base, e a base vai de $x=0.5$ a $x=1.5$.
\msk
{\bf Exercício 3.} Desenhe em outro gráfico
a nossa função preferida e sobre ela os retângulos da soma abaixo:
$f(0.5)·(1.5-0.5) + f(1.5)·(2-1.5) + f(2)·(3-2) + f(3.5)(3.5-3)$
\newpage
% «particoes» (to ".particoes")
% (c2m212somas1p 9 "particoes")
% (c2m212somas1a "particoes")
{\bf Partições}
\ColorRed{Informalmente} uma partição de um intervalo $[a,b]$ é um
modo de
decompor $[a,b]$ em intervalos menores consecutivos. Por exemplo,
%
$$[2,7] = [2,3.5]∪[3.5,4]∪[4,6]∪[6,7]$$
A definição ``certa'' é mais complicada... vamos vê-la daqui a pouco.
Caso geral:
%
$$[a,b] = [a_1,b_1]∪[a_2,b_2]∪\ldots∪[a_N,b_N],$$
onde:
$N$ é o número de intervalos,
$a=a_1$, $b=b_N$, (``extremidades'')
$a_i<b_i$ para todo $i$ em que isto faz sentido ($i=1,\ldots,N$)
$b_i=a_{i+1}$ para todo $i$ e.q.i.f.s.; neste caso, $i=1,\ldots,N-1$
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m212somas1p 10 "exercicio-4")
% (c2m212somas1a "exercicio-4")
% (c2sop 10 "exercicio-4")
% (c2soa "exercicio-4")
% (c2m202somas1p 8 "exercicio-4")
% (c2m202somas1 "exercicio-4")
{\bf Partições (2)}
Um jeito prático de definir uma partição é usando uma tabela.
Por exemplo, esta tabela
%
$$\begin{array}{ccc}
i & a_i & b_i \\\hline
1 & 2 & 3.5 \\
2 & 3.5 & 4 \\
3 & 4 & 6 \\
4 & 6 & 7 \\
\end{array}
$$
corresponde à partição de $[2,7]$ do slide anterior.
{\bf Exercício 4.} Converta esta ``partição''
%
$$[4,12] = [4,5]∪[5,6]∪[6,9]∪[9,10]∪[10,12]$$
numa tabela. Neste caso quem são $a$, $b$ e $N$?
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m212somas1p 11 "exercicio-5")
% (c2m212somas1a "exercicio-5")
% (c2m202somas1p 9 "exercicio-5")
% (c2m202somas1 "exercicio-5")
{\bf Partições (3)}
A definição \ColorRed{certa} de partição é a seguinte.
Digamos que $P$ seja um subconjunto não-vazio e finito de $\R$,
e que o menor elemento de $P$ seja $a$ e o maior seja $b$.
Então $P$ é uma \ColorRed{partição} do intervalo $[a,b]$.
\msk
Exemplo: a partição $P=\{2,3.5,4,6,7\}$ corresponde a:
%
$$[2,7] = [2,3.5]∪[3.5,4]∪[4,6]∪[6,7]$$
Pra fazer a tradução ponha os elementos de $P$ em ordem e chame-os de
$b_0,\ldots,b_N$; defina cada $a_i$ como sendo $b_{i-1}$ -- por
exemplo, $a_1 = b_0$ -- e encontre $a$, $b$, e $N$.
\msk
{\bf Exercício 5.} Converta a partição $P=\{2.5,3,4,6,10\}$ para o
formato tabela e para o formato $[a,b] = [a_1,b_1]∪\ldots∪[a_N,b_N].$
% «ponto-decimal» (to ".ponto-decimal")
% Ah, obs, repara que eu vou usar a convencao internacional e vou
% sempre escrever "1.5" ao inves de "1,5" - e recomendo que voces usem
% ela tambem pra gente poder usar a virgula pra outras coisas. Por
% exemplo, na pagina 9 temos P = {2, 3.5, 4, 6, 7}, e se a gente
% escrever "3,5" ao inves de "3.5" vamos ter que usar ";"s como
% separadores entres os numeros...
\newpage
% «partition-sum» (to ".partition-sum")
% (c2m211somas1p 12 "partition-sum")
% (c2m211somas1a "partition-sum")
{\bf Partições definem muitas coisas implicitamente}
Quando dizemos algo como ``Seja $P$ a partição $\{2.5,4,6\}$'' estamos
criando um contexto no qual há uma partição ``default'' definida... e
neste contexto vamos ter valores definidos para $N$, $a$, $b$, e para
cada $a_i$ e $b_i$. Por exemplo...
\msk
Seja $P$ a partição $\{2.5,4,6\}$. Então
%
$$\begin{array}{rcl}
\sum_{i=1}^N f(b_i)·(b_i-a_i)
&=& \sum_{i=1}^2 f(b_i)·(b_i-a_i) \\
&=& f(b_1)·(b_1-a_1) + f(b_2)·(b_2-a_2) \\
&=& f(4)·(4-2.5) + f(6)·(6-4) \\
\end{array}
$$
\newpage
% «subst» (to ".subst")
% (c2m202somas1p 11 "subst")
% (c2m202somas1 "subst")
Note que a expressão $\sum_{i=a}^b \mathsf{expr}$ quer dizer ``some
várias cópias da expressão $\mathsf{expr}$, a primeira com $i$
substituido por $a$, a segunda com $i$ substituido por $a+1$, etc etc,
até a cópia com $i$ substituido por $b$''...
Se você tiver dificuldade pra interpretar alguma expressão com
somatórios você pode calculá-la beeem passo a passo usando a operação
`$[:=]$' da aula passada. Por exemplo:
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{rcl}
\sum_{i=4}^7 f(b_i)·(b_i-a_i)
&=& (f(b_i)·(b_i-a_i))[i:=4] \\
&+& (f(b_i)·(b_i-a_i))[i:=5] \\
&+& (f(b_i)·(b_i-a_i))[i:=6] \\
&+& (f(b_i)·(b_i-a_i))[i:=7] \\[5pt]
&=& f(b_4)·(b_4-a_4) \\
&+& f(b_5)·(b_5-a_5) \\
&+& f(b_6)·(b_6-a_6) \\
&+& f(b_7)·(b_7-a_7) \\[5pt]
&=& \ldots \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m202somas1p 12 "exercicio-6")
% (c2m202somas1 "exercicio-6")
{\bf Alguns exercícios de visualizar somas de retângulos...}
\ssk
{\bf Exercício 6.} Seja $f$ a nossa função preferida e seja $P$ a
partição $\{0.5,1,2,2.5\}$. Represente num gráfico só a curva $y=f(x)$
e os retângulos da soma $\sum_{i=1}^N f(b_i)·(b_i-a_i)$.
\msk
{\bf Exercício 7.} Seja $f$ a nossa função preferida e seja $P$ a
mesma partição que no exercício anterior. Represente num gráfico só --
separado do gráfico do exercício anterior!!! -- a curva $y=f(x)$ e os
retângulos da soma $\sum_{i=1}^N f(a_i)·(b_i-a_i)$.
\msk
{\bf Exercício 8.} Usando a mesma função $f$ e a mesma partição $P$
dos exercícios anteriores, represente num outro gráfico a curva
$y=f(x)$ e os retângulos da soma $\sum_{i=1}^N
f(\frac{a_i+b_i}{2})·(b_i-a_i)$. Repare que $\frac{a_i+b_i}{2}$ é o
ponto médio do intervalo $[a_i,b_i]$, e é fácil encontrar pontos
médios no olhômetro.
\newpage
% «exercicio-9» (to ".exercicio-9")
% (c2m212somas1p 15 "exercicio-9")
% (c2m212somas1a "exercicio-9")
% (c2m211somas1p 15 "exercicio-9")
% (c2m211somas1a "exercicio-9")
% (c2m202somas1p 13 "exercicio-9")
% (c2m202somas1 "exercicio-9")
{\bf Agora comparando com a Wikipedia}
\msk
{\bf Exercício 9.} Dê uma olhada na página
\ssk
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann}
\ssk
da Wikipedia. Vamos tentar entender alguns pedaços dela.
Seja $P$ a ``partição do intervalo $[0,3]$ em 6 subintervalos
iguais''. Tem um ponto em que a página da Wikipedia diz: ``os pontos
da partição serão...'' -- entenda as definições dela, descubra quem é
$Δx$ neste caso, e escreva quais são os pontos desta partição na
linguagem da página da Wikipedia e na linguagem que eu usei nos slides.
Expanda a fórmula da página da Wikipedia para a ``soma média'' neste
caso. Expanda também a nossa fórmula $\sum_{i=1}^N
f(\frac{a_i+b_i}{2})·(b_i-a_i)$ e compare as duas expansões.
\msk
(Vamos ver o que são ``ínfimos'' e ``supremos'' na aula que vem)
\newpage
% «exercicio-9-dicas» (to ".exercicio-9-dicas")
% (c2m211somas1p 16 "exercicio-9-dicas")
% (c2m211somas1a "exercicio-9-dicas")
{\bf Dicas pro exercício 9}
Eu pus um vídeo com várias dicas pro exercício 9 aqui:
\ssk
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C2-somas-1.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=Ht5iLKGlysM}
\msk
Uma dica extra... no Ensino Médio às vezes convencem a gente de que
uma fração como $\frac64$ \ColorRed{\underline{\underline{tem}}} que
ser simplificada pra $\frac32$, mas se a gente tem que listar uma
sequência de números começando em 0 em que cada número novo é o
anterior mais $\frac14$ eu acho bem melhor escrever essa sequência
como $\frac04, \frac14, \frac24, \frac34, \frac44, \frac54, \frac64$
do que como $0, \frac14, \frac12, \frac34, 1, \frac54, \frac32$...
\newpage
{\bf Dicas pro exercício 9 (2)}
Além disso no exercício 9 você vai ter alguns somatórios de expressões
como $f(\frac{a_i+b_i}{2})·(b_i-a_i)$ em que todos os `$(b_i-a_i)$'s
dão o mesmo valor. Você {\sl pode} reescrever todos esses
`$(b_i-a_i)$'s como números, mas se você parar as suas expansões e
simplificações um passo antes e mantiver eles como $(0.5 - 0)$, $(1 -
0.5)$, etc, aí vai ser fácil interpretar cada
$f(\frac{a_i+b_i}{2})·(b_i-a_i)$ como um retângulo.
\bsk
Sobre o ``jeito esperto'', leia isto aqui:
\ssk
{\scriptsize
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/2021-jun-18-pergunta_sobre_jeito_esperto.pdf}
}
\newpage
% «trapezios» (to ".trapezios")
% (c2m212somas1p 18 "trapezios")
% (c2m212somas1a "trapezios")
% (c2m211somas1p 18 "trapezios")
% (c2m211somas1a "trapezios")
{\bf Trapézios}
Tem dois modos diferentes da gente
interpretar geometricamente $\frac{f(a)+f(b)}{2} (b-a)$:
\msk
1) como um retângulo de altura $\frac{f(a)+f(b)}{2}$, ou
2) como um trapézio com vértices
%
$$(a,0), (b,0), (b,f(b)), (a,f(a))$$.
{\bf Exercício 10.} Sejam $f$ a nossa função preferida e $P$ a
partição $\{0,1,2\}$. Desenhe num gráfico só a curva $y=f(x)$ e os
trapézios da soma:
%
$$\sum_{i=1}^N \frac{f(a_i)+f(b_i)}{2} (b_i-a_i)$$
(Veja as figuras da ``Regra Trapezoidal'' na página da Wikipedia)
\newpage
% «trap-e-rect» (to ".trap-e-rect")
% (c2m212somas1p 19 "trap-e-rect")
% (c2m212somas1a "trap-e-rect")
\unitlength=10pt
\def\mypicture#1#2#3#4{{
\sa{x0}{#1}
\sa{y0}{#2}
\sa{x1}{#3}
\sa{y1}{#4}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(6,4)
\pictgrid%
\ColorOrange{
\polygon*(\ga{x0},0)(\ga{x0},\ga{y0})(\ga{x1},\ga{y1})(\ga{x1},0)
}
\polygon(\ga{x0},0)(\ga{x0},\ga{y0})(\ga{x1},\ga{y1})(\ga{x1},0)
\pictaxes%
\end{picture}%
}}}}
...ou seja, estas duas igualdades estão certas:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \left( \frac{2+3}{2} \right)(5-4)
&=& \mypicture{4}{2}{5}{3} \\
[20pt]
\D \left( \frac{2+3}{2} \right)(5-4)
&=& \mypicture{4}{2.5}{5}{2.5} \\
\end{array}
$$
A primeira mostra a representação geométrica do
$\left( \frac{2+3}{2} \right)(5-4)$
como um trapézio, e a segunda mostra a representação
geométrica do $\left( \frac{2+3}{2} \right)(5-4)$ como um retângulo de
altura $\frac{2+3}{2} = 2.5$.
\newpage
% «exercicio-11» (to ".exercicio-11")
% (c2m212somas1p 20 "exercicio-11")
% (c2m212somas1a "exercicio-11")
% (c2m211prp 35 "retangulos-degenerados")
% (c2m211pra "retangulos-degenerados")
{\bf Exercício 11.}
Para cada uma das expressões abaixo faça as duas
representações gráficas dela: a que interpreta a expressão
como uma soma de trapézios e que interpreta ela como uma
soma de retângulos.
\def\r#1{(\frac{#1}{2})}
\msk
a) $\r{2+1}(2-1) + \r{2+4}(5-2)$
\ssk
b) $\r{0+1}(1-0) + \r{1+2}(2-1) + \r{2+3}(3-2) + \r{3+5}(5-3)$
\ssk
c) $\r{1+1}(2-1) + \r{1-0}(3-2) + \r{0-1}(4-3) + \r{-1-1}(5-4)$
\ssk
d) $\r{1+1}(2-1) + \r{1-1}(4-2) + \r{-1-1}(5-4)$
\ssk
e) $\r{-1+3}(5-1)$
\ssk
f) $\r{1-2}(4-1)$
\newpage
% «exercicio-12» (to ".exercicio-12")
% (c2m212somas1p 21 "exercicio-12")
% (c2m212somas1a "exercicio-12")
{\bf Exercício 12.}
\msk
% (find-latexscan-links "C2" "20211111_somas_1_ex_12")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-2-C2/20211111_somas_1_ex_12.pdf")
\centerline{$\includegraphics[height=4cm]{2021-2-C2/20211111_somas_1_ex_12.pdf}$}
Faça duas cópias à mão do desenho acima -- o gráfico da função $f$
com indicações de quais são os pontos $x_0, \ldots, x_4$ do eixo $x$.
Você vai fazer cada item do exercício sobre uma das cópias.
As cópias não precisam ser muito precisas.
\newpage
{\bf Exercício 12 (cont.)}
\msk
\def\F#1{f(x_#1)}
\def\G#1#2{\r{f(x_#1)+f(x_#2)}}
\def\H#1#2{f(x_#2)-f(x_#1)}
\def\T#1#2{\G#1#2(\H#1#2)}
a) Represente graficamente sobre a primeira cópia:
\ssk
$ \F1(x_1-x_0)
+ \F2(x_2-x_1)
+ \F3(x_3-x_2)
+ \F4(x_4-x_3)
$
\bsk
b) Represente graficamente sobre a segunda cópia
a interpretação da expressão abaixo como trapézios
\ColorRed{e} a interpretação dela como retângulos:
\msk
$\begin{array}{c}\T01 \\ + \; \T12 \\ \; + \T23 \\ \; + \T34\end{array}$
\newpage
% «metodos-nomes» (to ".metodos-nomes")
% (c2m212somas1p 23 "metodos-nomes")
% (c2m212somas1a "metodos-nomes")
% (c2m212somas2p 27 "metodos-nomes")
% (c2m212somas2a "metodos-nomes")
{\bf Métodos de integração: nomes}
\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\def\mname#1{\text{[#1]}}
%
$$\scalebox{0.95}{$
\begin{array}{ccl}
\mname{L} &=& \sumiN {f(a_i)} \\[2pt]
\mname{R} &=& \sumiN {f(b_i)} \\[2pt]
\mname{Trap} &=& \sumiN {\frac{f(a_i) + f(b_i)}{2}} \\[2pt]
\mname{M} &=& \sumiN {f(\frac{a_i+b_i}{2})} \\[2pt]
\mname{min} &=& \sumiN {\min(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{max} &=& \sumiN {\max(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{inf} &=& \sumiN {\inf(F([a_i,b_i]))} \\[2pt]
\mname{sup} &=& \sumiN {\sup(F([a_i,b_i]))} \\
\end{array}
$}
$$
Cada uma dessas fórmulas é um ``método de integração''.
Todos esses ``métodos'' aparecem na página da Wikipedia,
mas com outros nomes e usando partições em que todos os
intervalos têm o mesmo comprimento.
\newpage
{\bf Exercício 13.}
Seja $f$ a nossa função preferida, e
seja $P$ a partição $P=\{1,4\}$.
\msk
a) Represente num gráfico só $f$ e $\mname{L}$.
b) Represente num gráfico só $f$ e $\mname{R}$.
c) Represente num gráfico só $f$ e $\mname{Trap}$ (dos dois jeitos).
d) Represente num gráfico só $f$ e $\mname{M}$.
e) Represente num gráfico só $f$ e $\mname{min}$.
f) Represente num gráfico só $f$ e $\mname{max}$.
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
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% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 90" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20211111_somas_1_ex_12
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-somas-1 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-somas-1 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2so"
% ee-tla: "c2m212somas1"
% End: