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% (find-LATEX "2021-1-C2-propriedades-da-integral.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-1-C2-propriedades-da-integral.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-1-C2-propriedades-da-integral.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-propriedades-da-integral.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-propriedades-da-integral.tex"))
% (defun l () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-critical-points.lua"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-1-C2-propriedades-da-integral"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-1-C2-propriedades-da-integral")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf
% file:///tmp/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf
% file:///tmp/pen/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-propriedades-da-integral.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-1-C2-propriedades-da-integral" "2" "c2m211pr" "c2pr")
% «.video-1» (to "video-1")
% «.video-2» (to "video-2")
% «.video-3» (to "video-3")
% «video-1» (to ".video-1")
% (c2m211pra "video-1")
% (find-ssr-links "c2m211pr" "2021-1-C2-propriedades-da-integral" "ORfsWiwelV8")
% (code-eevvideo "c2m211pr" "2021-1-C2-propriedades-da-integral" "ORfsWiwelV8")
% (code-eevlinksvideo "c2m211pr" "2021-1-C2-propriedades-da-integral" "ORfsWiwelV8")
% (find-c2m211prvideo "0:00")
% (find-c2m211prvideo "0:00" "4/agosto")
% (find-c2m211prvideo "10:40" "aditividade no domínio")
% (find-c2m211prvideo "12:01" "integrais de funções constantes")
% (find-c2m211prvideo "14:14" "integrando funções escada")
% «video-2» (to ".video-2")
% (c2m211pra "video-2")
% (find-ssr-links "c2m211prs" "2021-1-C2-propriedades-da-integral-2" "MmlQTtH5jFo")
% (code-eevvideo "c2m211prs" "2021-1-C2-propriedades-da-integral-2" "MmlQTtH5jFo")
% (code-eevlinksvideo "c2m211prs" "2021-1-C2-propriedades-da-integral-2" "MmlQTtH5jFo")
% (find-c2m211prsvideo "0:00")
% (find-c2m211prsvideo "0:00" "11/agosto")
% (find-c2m211prsvideo "3:59" "F e G têm gráficos deslocados")
% «video-3» (to ".video-3")
% (c2m211pra "video-3")
% (find-ssr-links "c2m211prex9" "2021-1-C2-propriedades-da-integral-3" "J97x7MNpr90")
% (code-eevvideo "c2m211prex9" "2021-1-C2-propriedades-da-integral-3" "J97x7MNpr90")
% (code-eevlinksvideo "c2m211prex9" "2021-1-C2-propriedades-da-integral-3" "J97x7MNpr90")
% (find-c2m211prex9video "0:00")
% (find-c2m211prex9video "0:00" "12/agosto")
% (find-c2m211prex9video "0:25" "TFC1")
% (find-c2m211prex9video "0:45" "resolvendo uma EDO")
% (find-c2m211prex9video "1:10" "no MT1 eu dava essa função f(x)")
% (find-c2m211prex9video "2:00" "F(2)=0")
% (find-c2m211prex9video "3:34" "F'(x)=f(x)")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.introducao-2» (to "introducao-2")
% «.introducao-3» (to "introducao-3")
% «.introducao-4» (to "introducao-4")
% «.parabola-complicada» (to "parabola-complicada")
% «.largura-particao» (to "largura-particao")
% «.particoes-cvmf» (to "particoes-cvmf")
% «.particoes-cvmf-2» (to "particoes-cvmf-2")
% «.seq-parts-n-imp» (to "seq-parts-n-imp")
% «.seq-parts-n-imp-2» (to "seq-parts-n-imp-2")
% «.seq-parts-n-imp-3» (to "seq-parts-n-imp-3")
% «.figuras-teorema-horrivel» (to "figuras-teorema-horrivel")
% «.dirichlet-incl» (to "dirichlet-incl")
% «.pierluigi» (to "pierluigi")
% «.aditividade-d» (to "aditividade-d")
% «.integrais-de-fs-constantes» (to "integrais-de-fs-constantes")
% «.mudando-finitos-pontos» (to "mudando-finitos-pontos")
% «.integrando-escadas» (to "integrando-escadas")
% «.mudando-limites» (to "mudando-limites")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.mt1-semestre-passado» (to "mt1-semestre-passado")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.retangulos-degenerados» (to "retangulos-degenerados")
% «.retangulos-degenerados-2» (to "retangulos-degenerados-2")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.dicas-plotar» (to "dicas-plotar")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.exercicio-5-cont» (to "exercicio-5-cont")
% «.exercicio-6» (to "exercicio-6")
% «.exercicio-6-cont» (to "exercicio-6-cont")
% «.exercicio-7» (to "exercicio-7")
% «.exercicio-8» (to "exercicio-8")
% «.TFC1-escadas» (to "TFC1-escadas")
% «.TFC1-escadas-metodo» (to "TFC1-escadas-metodo")
% «.exercicio-9» (to "exercicio-9")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\D {\displaystyle}
\def\Intover #1#2{\overline {∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intunder #1#2{\underline{∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intoverunder#1#2{\Intover{#1}{#2} - \Intunder{#1}{#2}}
\def\Intxover #1#2#3{\overline {∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intxunder #1#2#3{\underline{∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intoverunder #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1} #2\,dx}
\def\Intxoverunder#1#2#3{\overline{\underline{∫}}_{x=#1}^{x=#2} #3\,dx}
\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\def\mname#1{\text{[#1]}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (c2m211somas2p 37 "exercicio-16-defs")
% (c2m211somas2a "exercicio-16-defs")
% (find-LATEX "2021-1-C2-critical-points.lua" "Approxer-tests")
%L dofile "2021-1-C2-critical-points.lua"
%L appr = Approxer {
%L f = f_do_slide_8,
%L allcps = {3,8},
%L a = 2,
%L b = 10,
%L N = 4,
%L method = "supin",
%L what = "ac",
%L }
\pu
\long\def\ColorUpperA#1{{\color{red!20!white}#1}}
\long\def\ColorUpperB#1{{\color{Gold1!20!white}#1}}
\long\def\ColorUpperC#1{{\color{Green1!20!white}#1}}
\long\def\ColorUpperD#1{{\color{Blue1!20!white}#1}}
\long\def\ColorLowerA#1{{\color{red!80!white}#1}}
\long\def\ColorLowerB#1{{\color{Gold1!80!white}#1}}
\long\def\ColorLowerC#1{{\color{Green1!80!white}#1}}
\long\def\ColorLowerD#1{{\color{Blue1!80!white}#1}}
\long\def\ColorRealInt#1{{\color{Purple0!90!white}#1}}
\def\fwithapprs#1{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(11,7)
\pictgrid%
#1%
\pictpiecewise{(0,3)--(3,6)--(8,1)--(11,4)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}}
%L pol = function (x,y,dx,dy)
%L local x0, y0, x1, y1 = x,y,x+dx,y+dy
%L return pformat("\\polygon*(%s,%s)(%s,%s)(%s,%s)(%s,%s)",
%L x0,y0, x0,y1, x1,y1, x1,y0)
%L end
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m211prp 1 "title")
% (c2m211pra "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.1}
\bsk
Aula 15: Propriedades da integral
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c2m211prp 2 "introducao")
% (c2m211pra "introducao")
{\bf Introdução}
No último PDF vocês aprenderam a visualizar coisas como:
%
\unitlength=7pt
%
$$\begin{array}{l}
\Intoverunder{[2,10]_{2^1}}{f(x)} \\[10pt]
= \Intoverunder{\{2,6,10\}}{f(x)} \\[10pt]
= \Intover {\{2,6,10\}}{f(x)} \\
- \; \Intunder{\{2,6,10\}}{f(x)} \\[10pt]
= (\sup(F([2,6])) - \inf(F([2,6]))(6 - 2) \\
+ \; (\sup(F([6,10])) - \inf(F([6,10]))(10 - 6) \\[10pt]
= \fwithapprs{{%
\color{Orange1}%
\expr{pol(2,3, 4,3)}%
\expr{pol(6,1, 4,2)}%
}}
\end{array}
$$
\newpage
% «introducao-2» (to ".introducao-2")
% (c2m211prp 3 "introducao-2")
% (c2m211pra "introducao-2")
{\bf Introdução (2)}
\def\Iou#1{\Intoverunder {[a,b]_{2^{#1}}} {f(x)}}
...e vocês aprenderam a visualizar isto aqui,
para várias `$f(x)$'s diferentes:
%
$$\lim_{k→∞} \left( \Iou{k} \right)$$
e viram que existem funções não integráveis,
como a função de Dirichlet, e viram argumentos
olhométricos que devem ter convencido vocês de que
isto aqui é verdade:
\begin{quotation}
{\bf Corolário 11.} Seja $f: [a, b] → \R$ contínua
com a possível exceção de um número finito
de pontos e limitada. Então, $f$ é integrável.
\end{quotation}
\newpage
% «introducao-3» (to ".introducao-3")
% (c2m211prp 4 "introducao-3")
% (c2m211pra "introducao-3")
{\bf Introdução (3)}
\ssk
Esse ``Corolário 11'' é da página 9 das notas
do Pierluigi Beneveri. Dê uma olhada:
\ssk
{\footnotesize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "beneveri")
% (find-pierluigipage 9 "Corolário 11")
% (find-pierluigitext 9 "Corolário 11")
\url{https://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT121-15.pdf#page=9}
}
\bsk
A abordagem dele é bem diferente da nossa ---
quase todos os exercícios dele são da forma
``demonstre a afirmação tal''... mas eu vou
pedir pra vocês consultarem as notas dele
de vez em quando, e vou tentar complementar
as notas dele mostrando como visualizar certas
coisas que ele afirma.
\newpage
% «introducao-4» (to ".introducao-4")
% (c2m211prp 5 "introducao-4")
% (c2m211pra "introducao-4")
{\bf Introdução (4)}
\ssk
\def\Iou#1{\Intoverunder {[a,b]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\Iou#1{\Intoverunder {[0,8]_{2^{#1}}} {f(x)}}
Dá pra gente se convencer de que o Corolário 11 é verdade
olhando um exemplo ``que seja suficientemente não-trivial''...
Tente visualizar $\lim_{k→∞} \Iou{k}$ para a função abaixo.
Você vai ver que em torno dos pontos de descontinuidade
os retângulos continuam com a mesma altura mas se tornam
cada vez mais finos, e fora desses lugares os retângulos
se tornam cada vez mais baixos.
% «parabola-complicada» (to ".parabola-complicada")
% (c2m211prp 5 "parabola-complicada")
% (c2m211pra "parabola-complicada")
% (c2m211somas2p 43 "claramente-integravel-p")
% (c2m211somas2a "claramente-integravel-p")
% (find-LATEX "2021-1-C2-critical-points.lua" "f_parabola_preferida")
% (find-LATEX "2021-1-C2-critical-points.lua" "Piecewisify-tests")
%
%L f_parabola_complicada = function (x)
%L if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L if x < 5 then return 5 - x end
%L if x < 6 then return 7 - x end
%L if x < 7 then return 3 end
%L if x == 7 then return 4 end
%L return 0.5
%L end
%L f_funcao_complicada = f_parabola_complicada
%L
%L pwi = Piecewisify.new(f_funcao_complicada, seq(0, 4, 0.25), 5, 6, 7)
\pu
\def\fwithapprs#1{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(8,5)
\pictgrid%
#1%
\pictaxes%
\expr{pwi:pw(0, 8)}
\end{picture}%
}}}
\unitlength=16pt
$$f(x) =
\fwithapprs{%
%\ColorOrange{%
%\expr{pwi:pol(0, 8, "*")}
%}
}
$$
\newpage
\unitlength=25pt
\def\Iou#1{\Intoverunder {[a,b]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\Iou#1{\Intoverunder {[0,8]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\FIG#1{%
\fwithapprs{%
\ColorOrange{%
\expr{pwi:rects(Partition.new(0, 8):splitn(2^#1), "sup", "inf")}
}}}
\def\FFIG#1{\Iou{#1} \;\; = \;\; \FIG{#1}}
$$\FFIG2$$
\newpage
$$\FFIG3$$
\newpage
$$\FFIG4$$
\newpage
$$\FFIG5$$
\newpage
$$\FFIG6$$
\newpage
$$\FFIG7$$
\newpage
% «largura-particao» (to ".largura-particao")
% (c2m211prp 12 "largura-particao")
% (c2m211pra "largura-particao")
{\bf A largura de uma partição}
\ssk
Def: a \ColorRed{largura} de uma partição $P$ é
a ``largura de seu \ColorRed{maior} subintervalo''.
A notação para a largura de uma partição $P$ é $||P||$.
Exemplo: $||\{2, 2.5, 3, 7, 7.5\}|| = 4$.
Formalmente:
%
$$||P|| = \sup(\setofst {b_i-a_i} {i∈\{1,\ldots,N\}})$$
No exemplo:
%
$$\begin{array}{rcl}
||\{2, 2.5, 3, 7, 7.5\}|| &=& \sup(\{0.5, 0.5, 4, 0.5\}) \\
&=& \sup(\{0.5, 4 \}) \\
&=& 4. \\
\end{array}
$$
\newpage
% «particoes-cvmf» (to ".particoes-cvmf")
% (c2m211prp 13 "particoes-cvmf")
% (c2m211pra "particoes-cvmf")
{\bf Partições cada vez mais finas}
\ssk
Def: $(P_1, P_2, P_3, \ldots)$ é uma sequência de partições
\ColorRed{cada vez mais finas} do intervalo $[a,b]$ se:
\ssk
1) Cada $P_i$ é uma partição de $[a,b]$, e
2) $\lim_{i→∞} ||P_i|| = 0$.
\msk
Vamos usar esta notação (estranha!):
%
$$(P_1, P_2, P_3, \ldots) \dashrightarrow [a,b]$$
pra indicar que $(P_1, P_2, P_3, \ldots)$ é uma sequência
de partições cada vez mais finas do intervalo $[a,b]$.
\msk
Lembre que cada $P_i$ é um conjunto finito,
mas $[a,b]$ é um conjunto infinito.
\newpage
% «particoes-cvmf-2» (to ".particoes-cvmf-2")
% (c2m211prp 14 "particoes-cvmf-2")
% (c2m211pra "particoes-cvmf-2")
{\bf Partições cada vez mais finas (2)}
\ssk
Exemplo óbvio:
%
$$\begin{array}{rcl}
([a,b]_{2^1},
[a,b]_{2^2},
[a,b]_{2^3},
\ldots) &\dashrightarrow& [a,b]
\end{array}
$$
Um exemplo menos óbvio:
%
$$\begin{array}{rcl}
([a,b]_1,
[a,b]_2,
[a,b]_3,
\ldots) &\dashrightarrow& [a,b], \\
([0,6]_1,
[0,6]_2,
[0,6]_3,
\ldots) &\dashrightarrow& [0,6], \\
(\{0,6\},
\{0,3,6\},
\{0,2,4,6\},
\ldots) &\dashrightarrow& [0,6], \\
\end{array}
$$
Note que o subintervalo $[2,4]$ da partição $[0,6]_3 = \{0,2,4,6\}$ contém
uma parte do subintervalo $[0,3]$ da partição $[0,6]_2 = \{0,3,6\}$ e
uma parte do subintervalo $[3,6]$ da partição $[0,6]_2 = \{0,3,6\}$...
\newpage
% «seq-parts-n-imp» (to ".seq-parts-n-imp")
% (c2m211prp 12 "seq-parts-n-imp")
% (c2m211pra "seq-parts-n-imp")
{\bf A sequência de partições não importa}
\ssk
Lembra que nós definimos ``$f$ é integrável em $[a,b]$'' usando
esta sequência de partições cada vez mais finas de $[a,b]$:
%
$$([a,b]_{2^1},
[a,b]_{2^2},
[a,b]_{2^3},
\ldots) \dashrightarrow [a,b]
$$
Lembrando a definição:
$f$ é integrável em $[a,b]$ se e só se:
%
$$\lim_{k→∞} \mname{sup}_{[a,b]_{2^k}} =
\lim_{k→∞} \mname{inf}_{[a,b]_{2^k}}
$$
Vamos fazer uma versão mais flexível dessa definição...
$f$ é \ColorRed{$(P_1, P_2, P_3, \ldots)$-integrável} em $[a,b]$ se e só se:
%
$$\lim_{k→∞} \mname{sup}_{P_k} =
\lim_{k→∞} \mname{inf}_{P_k}
$$
\newpage
% «seq-parts-n-imp-2» (to ".seq-parts-n-imp-2")
% (c2m211prp 16 "seq-parts-n-imp-2")
% (c2m211pra "seq-parts-n-imp-2")
{\bf A sequência de partições não importa (2)}
{\bf Teorema (horrível).}
Sejam
%
$$\begin{array}{rcl}
(P_1, P_2, P_3, \ldots) &\dashrightarrow& [a,b], \\
(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots) &\dashrightarrow& [a,b]
\end{array}
$$
duas sequências de partições cada vez mais finas
do intervalo $[a,b]$. Então
``$(P_1, P_2, P_3, \ldots)$-integrabilidade''
e ``$(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots)$-integrabilidade'' são equivalentes, no
seguinte sentido:
\msk
Pegue \ColorRed{qualquer} função $f:[a,b]→\R$.
Então $f$ é $(P_1, P_2, P_3, \ldots)$-integrável em $[a,b]$
se e só se $f$ é $(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots)$-integrável em $[a,b]$, e:
%
$$\begin{array}{rcl}
\lim_{k→∞} \mname{sup}_{P_k} &=& \lim_{k→∞} \mname{sup}_{Q_k} \\
\lim_{k→∞} \mname{inf}_{P_k} &=& \lim_{k→∞} \mname{inf}_{Q_k} \\
\end{array}
$$
\newpage
% «seq-parts-n-imp-3» (to ".seq-parts-n-imp-3")
% (c2m211prp 17 "seq-parts-n-imp-3")
% (c2m211pra "seq-parts-n-imp-3")
{\bf A sequência de partições não importa (3)}
A demonstração do Teorema Horrível é bem trabalhosa, e é
bem difícil visualizar o que certos passos dela querem dizer...
\msk
Alguns textos, como o livro dos dois Martins/Martins, as notas
de aula da Cristiane Hernández, e a página da Wikipedia sobre
Somas de Riemann usam o Teorema Horrível implicitamente,
sem nem contarem quanta sujeira eles estão escondendo
debaixo do tapete.
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "hernandez")
% (find-hernandezpage (+ 10 4) "sobre todas as possíveis partições")
% (find-hernandeztext (+ 10 4) "sobre todas as possíveis partições")
%
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "martins-martins")
% (find-martinscdipage (+ 10 203) "6.5 Integral Definida")
% (find-martinscditext (+ 10 203) "6.5 Integral Definida")
%
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann
\msk
Quando nós usamos a sequência
$([a,b]_{2^1},
[a,b]_{2^2},
[a,b]_{2^3},
\ldots) \dashrightarrow [a,b]$
as nossas aproximação pelos métodos do sup e do inf melhoram
a cada passo, mas se usamos outras sequências, como
$([a,b]_1,
[a,b]_2,
[a,b]_3,
\ldots) \dashrightarrow [a,b]$
os resultados podem oscilar bastante antes de convergir...
\newpage
% «figuras-teorema-horrivel» (to ".figuras-teorema-horrivel")
% (c2m211prp 18 "figuras-teorema-horrivel")
% (c2m211pra "figuras-teorema-horrivel")
\unitlength=25pt
\def\Iou#1{\Intoverunder {[a,b]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\Iou#1{\Intoverunder {[0,8]_ {#1} } {f(x)}}
\def\FIG#1{%
\fwithapprs{%
\ColorOrange{%
\expr{pwi:rects(Partition.new(0, 8):splitn( #1), "sup", "inf")}
}}}
\def\FFIG#1{\Iou{#1} \;\; = \;\; \FIG{#1}}
$$\FFIG4$$
\newpage
$$\FFIG5$$
\newpage
$$\FFIG6$$
\newpage
$$\FFIG7$$
\newpage
$$\FFIG8$$
\newpage
$$\FFIG9$$
\newpage
% «dirichlet-incl» (to ".dirichlet-incl")
% (c2m211prp 24 "dirichlet-incl")
% (c2m211pra "dirichlet-incl")
{\bf Relembrando funções não integráveis...}
\ssk
Sejam $g(x) = \begin{cases}
x & \text{quando $x∈\Q$}, \\
x + 1 & \text{quando $x∈\R∖\Q$} \\
\end{cases}$
e $d_k = \D \Intoverunder{[0,1]_{2^k}}{g(x)}$.
\msk
%L dirichlet_incl_Q = SetL.new()
%L dirichlet_incl = function (x)
%L if dirichlet_incl_Q:has(x) then return x end
%L return x+1
%L end
%L for _,x in ipairs(seq(0, 1, 1/64)) do
%L dirichlet_incl_Q:add(x)
%L end
%L pwid = Piecewisify.new(dirichlet_incl, seq(0, 1, 1/64))
\pu
%
\def\gwithapprs#1{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(1,2)
\pictgrid%
#1%
\pictpiecewise{(0,0)--(1,1) (0,1)--(1,2)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}}
\def\dirichletincldk#1{%
\expr{pwid:rects(Partition.new(0, 1):splitn(2^#1), "sup", "inf")}}
\def\gwithapprsdk#1{\gwithapprs{\ColorOrange{\dirichletincldk{#1}}}}
Então a sequência $(d_0, d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, \ldots)$
pode ser representada \ColorRed{graficamente} como:
%
$$\unitlength=25pt
\left(
\gwithapprsdk{0},
\gwithapprsdk{1},
\gwithapprsdk{2},
\gwithapprsdk{3},
\gwithapprsdk{4},
\gwithapprsdk{5},
\ldots
\right)
$$
e se interpretarmos cada $d_k$ como um número
temos $\lim_{k→∞} d_k = 1$.
\newpage
% «pierluigi» (to ".pierluigi")
% (c2m211prp 25 "pierluigi")
% (c2m211pra "pierluigi")
{\bf Introdução às propriedade da integral do Pierluigi}
\ssk
A partir de agora eu vou tentar convencer vocês
de que algumas propriedades da integral são verdade,
mas ao invés de demonstrá-las eu vou mostrar o que elas
``querem dizer'' graficamente e geometricamente, usando
exemplos. Eu vou tentar \ColorRed{complementar} as explicações
das páginas 6 até 8 das notas do Pierluigi Beneveri,
\ssk
{\footnotesize
% https://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT121-15.pdf#page=6
\url{https://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT121-15.pdf#page=6}
}
\ssk
...mas tente ler as notas dele, e considere que as explicações
``de verdade'' estão lá, e não aqui.
\newpage
% «aditividade-d» (to ".aditividade-d")
% (c2m211prp 26 "aditividade-d")
% (c2m211pra "aditividade-d")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "beneveri")
% (find-pierluigipage 7 "Proposição 8 (Propriedade 4: aditividade a respeito do domínio")
% (find-pierluigitext 7 "Proposição 8 (Propriedade 4: aditividade a respeito do domínio")
{\bf Aditividade no domínio}
Leia a ``Proposição 8'' do Pierluigi --- que ele chama de
``Propriedade 4: aditividade a respeito do domínio''.
Exemplo:
\unitlength=8pt
$$\Intx{0}{4}{f(x)} +
\Intx{4}{7}{f(x)} =
\Intx{0}{7}{f(x)}
$$
%
$$
\fwithapprs{%
\ColorOrange{%
\expr{pwi:pol(0, 4, "*")}
}}
+
\fwithapprs{%
\ColorOrange{%
\expr{pwi:pol(4, 7, "*")}
}}
=
\fwithapprs{%
\ColorOrange{%
\expr{pwi:pol(0, 7, "*")}
}}
$$
\newpage
% «integrais-de-fs-constantes» (to ".integrais-de-fs-constantes")
% (c2m211prp 27 "integrais-de-fs-constantes")
% (c2m211pra "integrais-de-fs-constantes")
% (find-pierluigipage 5 "Exercício 18. Seja f (x) = c constante")
% (find-pierluigitext 5 "Exercício 18. Seja f (x) = c constante")
{\bf Integrais de funções constantes (e áreas negativas)}
Leia o ``Exercício 18'' do Pierluigi,
que diz que $\Intx{a}{b}{c} = c(b-a)$.
Isto vale também para $c$ negativo...
\msk
Leia a ``Definição 9'' do Pierluigi na página 8 da notas dele.
Ele usa um truque parecido com o que usamos aqui,
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2.pdf#page=22}
}
\ssk
em que \ColorRed{redefinimos} (temporariamente!) os termos ``acima''
e ``abaixo'' pra adequá-los a conceitos matemáticos que
queríamos ter como pronunciar em português...
Então:
%
%L pwic = Piecewisify.new(function () return -3 end)
\pu
%
$$\unitlength=7.5pt
%
\Area \left(
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-4)(5,1)
\pictgrid%
\ColorOrange{\expr{pwic:pol(2, 4, "*")}}%
\pictpiecewise{(-1,-3)--(5,-3)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
\right)
=
\Intx{2}{4}{-3}
=
(-3)(4-2)
=
-6
$$
% (find-pierluigipage 8 "Definição 9" "ideia intuitiva de área")
% (find-pierluigitext 8 "Definição 9" "ideia intuitiva de área")
% (c2m211somas2p 22 "sups-e-infs-em-portugues")
% (c2m211somas2a "sups-e-infs-em-portugues")
\newpage
% «mudando-finitos-pontos» (to ".mudando-finitos-pontos")
% (c2m211prp 28 "mudando-finitos-pontos")
% (c2m211pra "mudando-finitos-pontos")
{\bf Mudando um número finito de pontos}
Exemplo: digamos que $f(x)$ seja a nossa parábola preferida,
e $g(x)$ seja esta ``parabola com anteninhas'':
%
$$g(x) =
\begin{cases}
f(x) & \text{quando $x≠1$ e $x≠3$}, \\
4 & \text{quando $x=1$ ou $x=3$}. \\
\end{cases}
$$
Então:
%
%L f_parabola_com_antenas = function (x)
%L if x == 1 then return 4 end
%L if x == 3 then return 4 end
%L return f_parabola_preferida(x)
%L end
%L f_funcao_complicada = f_parabola_complicada
%L
%L pwip = Piecewisify.new(f_parabola_preferida, seq(0, 4, 0.25))
%L pwipa = Piecewisify.new(f_parabola_com_antenas, seq(0, 4, 0.25), 1, 2, 3)
\pu
%
$$\unitlength=15pt
%
\Area \left(
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(4,4)
\pictgrid%
\ColorOrange{\expr{pwip:pol(0, 4, "*")}}%
\expr{pwip:pw(0, 4)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
\right)
%
=
%
\Area \left(
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(4,4)
\pictgrid%
\ColorOrange{\expr{pwipa:pol(0, 4, "*")}}%
\expr{pwipa:pw(0, 4)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
\right)
$$
\newpage
% «integrando-escadas» (to ".integrando-escadas")
% (c2m211prp 29 "integrando-escadas")
% (c2m211pra "integrando-escadas")
{\bf Integrando funções escada}
%L f_funcao_complicada = function (x)
%L if x <= 2 then return 0 end
%L if x <= 4 then return 2 end
%L if x <= 6 then return 4 end
%L if x <= 8 then return 6 end
%L if x <= 10 then return 4 end
%L if x <= 12 then return 2 end
%L return 0
%L end
%L
%L pwi = Piecewisify.new(f_funcao_complicada, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14)
\pu
\def\fwithapprs#1{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(14,7)
\pictgrid%
#1%
\pictaxes%
\expr{pwi:pw(0, 14)}
\end{picture}%
}}}
\def\fwithapprsc#1{\fwithapprs{\ColorOrange{#1}}}
\unitlength=6.5pt
Digamos que $f(x)$ seja esta função aqui:
$$f(x) =
\fwithapprsc{%\expr{pwi:pol(0, 14, "*")}
}
$$
Então:
%
$$\Intx{3}{7}{f(x)} =
\fwithapprsc{\expr{pwi:pol(3, 7, "*")}}
= \pmat{2·(4-3) \\
+ \; 4·(6-4) \\
+ \; 6·(7-6) },
$$
$$\Intx{5}{11}{f(x)} =
\fwithapprsc{\expr{pwi:pol(5, 11, "*")}}
= \pmat{4·(6-5) \\
+ \; 6·(8-6) \\
+ \; 4·(10-8) \\
+ \; 2·(11-10) },
$$
\newpage
% «mudando-limites» (to ".mudando-limites")
% (c2m211prp 30 "mudando-limites")
% (c2m211pra "mudando-limites")
{\bf Mudando os limites de integração }
Em $\Intx{3}{7}{f(x)}$ o intervalo de integração ia de $x=3$ até $x=7$,
e pra expressar $\Intx{3}{7}{f(x)}$ como uma soma de retângulos nós
precisamos de:
um retângulo com $y=2$ indo de $x=3$ até $x=4$,
um retângulo com $y=4$ indo de $x=4$ até $x=6$,
um retângulo com $y=6$ indo de $x=6$ até $x=7$...
\msk
e pra expressar $\Intx{5}{11}{f(x)}$ como uma soma de retângulos nós
precisamos de:
um retângulo com $y=4$ indo de $x=5$ até $x=6$,
um retângulo com $y=6$ indo de $x=6$ até $x=8$,
um retângulo com $y=4$ indo de $x=8$ até $x=10$,
um retângulo com $y=2$ indo de $x=10$ até $x=11$...
\msk
{\bf O número de intervalos e retângulos é diferente!!!!!!}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m211prp 31 "exercicio-1")
% (c2m211pra "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
Seja $f(x)$ a função definida dois slides atrás.
Em cada um dos itens abaixo represente graficamente a
integral --- lembre que integrais são áreas!!! --- e expresse
ela como uma soma, como o que fizemos dois slides atrás.
\msk
{\bf MUITO, MUITO, MUITO IMPORTANTE:}
{\bf O NÚMERO DE INTERVALOS PODE MUDAR}
{\bf DE UM ITEM PRO OUTRO!!!}
\msk
a) $\Intx{3}{5}{f(x)}$
\ssk
b) $\Intx{3}{6.5}{f(x)}$
\ssk
c) $\Intx{3}{9}{f(x)}$
\ssk
d) $\Intx{4.5}{9}{f(x)}$
\ssk
e) $\Intx{7.5}{9}{f(x)}$
\newpage
% «mt1-semestre-passado» (to ".mt1-semestre-passado")
% (c2m211prp 32 "mt1-semestre-passado")
% (c2m211pra "mt1-semestre-passado")
{\bf O mini-teste 1 do semestre passado}
\ssk
Dê uma olhada nele:
{\footnotesize
% (c2m202mt1p 4 "miniteste-funcao")
% (c2m202mt1a "miniteste-funcao")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-MT1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-MT1.pdf#page=4}
}
\ssk
Nos próximos exercícios nós vamos resolver uns problemas
bem parecidos com as questões desse mini-teste, mas
vamos fazer eles bem passo a passo.
\newpage
{\bf Exercício 2.}
Sejam:
%
$$f(x) =
\unitlength=12pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-3)(9,3)
\pictgrid%
\pictaxes%
\pictpiecewise{(0,0)--(1,0)o
(1,1)c--(2,1)o
(2,2)c--(3,2)o
(3,1)c--(4,1)o
(4,0)c--(5,0)o
(5,-1)c--(6,-1)o
(6,-2)c--(7,-2)o
(7,-1)c--(8,-1)o
(8,0)c--(9,0)
}%
\celllower=2.5pt%
\def\cellfont{\scriptsize}%
\put(1,-0.5){\cell{1}}%
\put(2,-0.5){\cell{2}}%
\put(3,-0.5){\cell{3}}%
\put(4,-0.5){\cell{4}}%
\put(5,-0.5){\cell{5}}%
\put(6,-0.5){\cell{6}}%
\put(7,-0.5){\cell{7}}%
\put(8,-0.5){\cell{8}}%
\end{picture}%
}}
$$
e $F(b) = \Intx{0}{b}{f(x)}$.
\msk
a) Tente visualizar $F(2.5)$ e $F(3)$ de cabeça, sem desenhar nada.
b) Tente visualizar $F(3) - F(2.5)$ de cabeça, sem desenhar nada.
c) A diferença $F(3) - F(2.5)$ é um retângulo. Diga a largura da base
dele, a altura dele, e a área dele. Faça tudo de cabeça.
d) Visualize $F(3.5) - F(2.5)$ de cabeça e veja que não é um retângulo.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m211prp 34 "exercicio-3")
% (c2m211pra "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Sejam:
%
$$f(x) =
\unitlength=12pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-3)(9,3)
\pictgrid%
\pictaxes%
\pictpiecewise{(0,0)--(1,0)o
(1,1)c--(2,1)o
(2,2)c--(3,2)o
(3,1)c--(4,1)o
(4,0)c--(5,0)o
(5,-1)c--(6,-1)o
(6,-2)c--(7,-2)o
(7,-1)c--(8,-1)o
(8,0)c--(9,0)
}%
\celllower=2.5pt%
\def\cellfont{\scriptsize}%
\put(1,-0.5){\cell{1}}%
\put(2,-0.5){\cell{2}}%
\put(3,-0.5){\cell{3}}%
\put(4,-0.5){\cell{4}}%
\put(5,-0.5){\cell{5}}%
\put(6,-0.5){\cell{6}}%
\put(7,-0.5){\cell{7}}%
\put(8,-0.5){\cell{8}}%
\end{picture}%
}}
$$
e $F(b) = \Intx{0}{b}{f(x)}$.
\msk
Calcule as áreas das figuras abaixo de cabeça quando elas forem
retângulos. Quando a figura não for um retângulo basta dizer
``não é um retângulo''.
\ssk
\begin{tabular}{l}
a) $F(2.6)-F(2.5)$ \\
b) $F(3.9)-F(3.8)$ \\
c) $F(4.0)-F(3.9)$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{l}
d) $F(4.1)-F(4.0)$ \\
e) $F(5.3)-F(5.2)$ \\
f) $F(6.1)-F(5.9)$ \\
\end{tabular}
\newpage
% «retangulos-degenerados» (to ".retangulos-degenerados")
% (c2m211prp 35 "retangulos-degenerados")
% (c2m211pra "retangulos-degenerados")
{\bf Retângulos degenerados}
\ssk
Várias pessoas ficaram em dúvida sobre se os retângulos com
altura 0 do exercício 3 deveriam ser considerados retângulos
ou não... eu tinha certeza que sim, mas aí a gente foi olhar
a definição de retângulo na Wikipedia e a gente descobriu
que segundo a definição usual de retângulo eles \ColorRed{não são}
considerados retângulos... $\frown$
\msk
...mas eles são \ColorRed{retângulos degenerados}. Links:
\ssk
{\scriptsize
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Degenera%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Degenera%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)}
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%A2ngulo
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%A2ngulo}
% https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangle
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangle}
}
\newpage
% «retangulos-degenerados-2» (to ".retangulos-degenerados-2")
% (c2m211prp 36 "retangulos-degenerados-2")
% (c2m211pra "retangulos-degenerados-2")
{\bf Retângulos degenerados (2)}
\ssk
Trechos principais:
\begin{quotation}
Em matemática, um caso degenerado é um caso li\-mite no qual uma
classe de objeto altera sua natureza para aproximar-se muito a um
objeto de outra classe, normal\-mente, mais simples.
\msk
(...)
\msk
Um segmento é uma forma degenerada de um retângulo se este tem um dos
lados de comprimento zero.
\end{quotation}
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m211prp 37 "exercicio-4")
% (c2m211pra "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Sejam:
%
$$f(x) =
\unitlength=10pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-3)(9,3)
\pictgrid%
\pictaxes%
\pictpiecewise{(0,0)--(1,0)o
(1,1)c--(2,1)o
(2,2)c--(3,2)o
(3,1)c--(4,1)o
(4,0)c--(5,0)o
(5,-1)c--(6,-1)o
(6,-2)c--(7,-2)o
(7,-1)c--(8,-1)o
(8,0)c--(9,0)
}%
\celllower=2.5pt%
\def\cellfont{\scriptsize}%
\put(1,-0.5){\cell{1}}%
\put(2,-0.5){\cell{2}}%
\put(3,-0.5){\cell{3}}%
\put(4,-0.5){\cell{4}}%
\put(5,-0.5){\cell{5}}%
\put(6,-0.5){\cell{6}}%
\put(7,-0.5){\cell{7}}%
\put(8,-0.5){\cell{8}}%
\end{picture}%
}}
$$
e $F(b) = \Intx{0}{b}{f(x)}$.
\ssk
Agora você vai fazer um gráfico da função $F(b)$. O \ColorRed{primeiro passo}
é plotar nesse gráfico os pontos $(b,F(b))$ com $b∈\{0, 0.5, 1,
\ldots, 9\}$.
\ColorRed{Faça isso direto no gráfico, fazendo todas as contas de cabeça.}
O truque é que $(0,F(0)) = (0,0)$ e é fácil encontrar cada ponto
novo a partir do anterior... por exemplo, $F(3.5)-F(3)=0.5$,
então pra passar de $(3,F(3))$ pra $(3.5,F(3.5))$ você anda 0.5
pra direita e 0.5 pra cima.
\newpage
% «dicas-plotar» (to ".dicas-plotar")
% (c2m211prp 38 "dicas-plotar")
% (c2m211pra "dicas-plotar")
{\bf Dicas sobre como plotar os pontos do exercício 4}
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m211prp 39 "exercicio-5")
% (c2m211pra "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
A gente ainda não tem o gráfico da função $F(b)$, só alguns
pontos dele... qual é o jeito certo de ligar esses pontos?
Vamos começar desenhando mais pontos desse gráfico.
No exercício 4 você desenhou uma série de pontos do gráfico
de $F(b)$: os pontos correspondentes a $b∈\{0, 0.5, 1, 1.5, \ldots, 9\}$.
A distância horizontal entre cada ponto desses e o seguinte
era 0.5; agora nós vamos acrescentar mais pontos a esse
gráfico, até a gente ter todos os pontos correspondentes
a $b∈\{0, 0.1, 0.2, \ldots, 9\}$, com espaçamento horizontal 0.1
entre cada ponto e o seguinte...
\newpage
% «exercicio-5-cont» (to ".exercicio-5-cont")
% (c2m211prp 40 "exercicio-5-cont")
% (c2m211pra "exercicio-5-cont")
{\bf Exercício 5 (cont.)}
...descubra como fazer isso. É possível que nos primeiros
pontos você vá ter que fazer algumas contas --- faça todas
de cabeça!!! --- mas assim que você descobrir os padrões
você vai ser capaz de desenhar todos os pontos muito rápido.
\msk
{\bf IMPORTANTE:} faça esse gráfico com mais pontos
como se você estivesse fazendo ele pra um ``leitor
que seja muito amigo seu'' que não vai contar quantos
pontos você desenhou entre, por exemplo, $x=3$ e $x=4$.
Se você desenhar só 7 pontos ali ao invés de 9 (ou ao
invés de 10, ou de 11... depende do jeito de contar)
esse seu amigo não vai notar. Lembre destes truques:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211somas2p 48)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2.pdf#page=48
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2.pdf#page=48}
% (c2m211somas24p 34)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=34
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=34}
}
% (c2m211somas2p 48 "dirichlet-3")
% (c2m211somas2a "dirichlet-3")
% (c2m211somas24p 34 "que-finja-ter-infinitas")
% (c2m211somas24a "que-finja-ter-infinitas")
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m211prp 41 "exercicio-6")
% (c2m211pra "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
Agora vamos fazer algo mais chique.
Em Cálculo 1 você deve ter visto muitos argumentos
que começavam com ``considere que $ε$ é um número real
muito pequeno''. Esses argumentos eram sempre meio
informais, e eles às vezes até usavam passos como
``então $ε^2$ é desprezível''... e depois eles eram formalizados
usando limites.
\msk
Ainda usando a $f(x)$ e a $F(x)$ dos slides anteriores,
calcule o resultado das expressões abaixo considerando
que $ε$ é um real positivo muito pequeno. Quase todos
os seus resultados vão dar expressões contendo $ε$.
% (c2m211somas2p 44 "funcoes-escada")
% (c2m211somas2a "funcoes-escada")
\msk
a) $F(1.5+ε)$, $F(1.5+ε) - F(1.5)$, $\frac{F(1.5+ε) - F(1.5)}{ε}$
b) $F(2.5+ε)$, $F(2.5+ε) - F(2.5)$, $\frac{F(2.5+ε) - F(2.5)}{ε}$
\newpage
% «exercicio-6-cont» (to ".exercicio-6-cont")
% (c2m211prp 42 "exercicio-6-cont")
% (c2m211pra "exercicio-6-cont")
{\bf Exercício 6 (cont.)}
\msk
c) $F(3.5+ε)$, $F(3.5+ε) - F(3.5)$, $\frac{F(3.5+ε) - F(3.5)}{ε}$
d) $F(3.2+ε)$, $F(3.2+ε) - F(3.2)$, $\frac{F(3.2+ε) - F(3.2)}{ε}$
e) $F(3.9+ε)$, $F(3.9+ε) - F(3.9)$, $\frac{F(3.9+ε) - F(3.9)}{ε}$
\bsk
E agora lembre da definição de derivada.
Para cada $b_0$ no domínio da $F$ temos:
%
$$F'(b_0) = \lim_{ε→0} \frac{F(b_0+ε) - F(b_0)}{ε}$$
Use isto pra calcular:
\begin{tabular}{l}
f) $F'(1.5)$, \\
g) $F'(2.5)$, \\
h) $F'(3.5)$, \\
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}{l}
i) $F'(3.2)$, \\
j) $F'(3.9)$, \\
k) $F'(4.5)$, \\
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}{l}
l) $F'(5.2)$, \\
m) $F'(6.3)$, \\
n) $F'(2.0)$. \\
\end{tabular}
\newpage
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c2m211prp 43 "exercicio-7")
% (c2m211pra "exercicio-7")
{\bf Exercício 7.}
(Vai ser sobre derivadas pela esquerda...)
\newpage
% «exercicio-8» (to ".exercicio-8")
% (c2m211prp 44 "exercicio-8")
% (c2m211pra "exercicio-8")
{\bf Exercício 8.}
(Vai ser sobre a continuidade da $F$...)
\newpage
% «TFC1-escadas» (to ".TFC1-escadas")
% (c2m211prp 45 "TFC1-escadas")
% (c2m211pra "TFC1-escadas")
{\bf O TFC1 (para funções escada)}
\ssk
Nos exercícios 6, 7 e 8 você descobriu --- num caso particular,
mas dá pra provar que isso vale sempre --- que quando $f$ é
uma função escada e
%
$$\begin{array}{rcl}
F(b) &=& \D \Intx{a}{b}{f(x)} \,, \quad \text{ou:} \\[10pt]
F(x) &=& \D \Intt{a}{x}{f(t)} \\
\end{array}
$$
então:
1) $F(a) = 0$,
2) a função $F$ é contínua,
3) $F'(x) = f(x)$ em todo $x$ onde a derivada $f'(x)$ existe...
\msk
Ou seja, dá pra encontrar a função $F$ \ColorRed{resolvendo uma EDO}.
\newpage
% «TFC1-escadas-metodo» (to ".TFC1-escadas-metodo")
% (c2m211prp 46 "TFC1-escadas-metodo")
% (c2m211pra "TFC1-escadas-metodo")
{\bf O TFC1 para funções escada: um método}
\ssk
Quando a função $f$ é uma função escada simples --- como as
que estamos vendo nos exercícios, ou como as do MT1 do
semestre passado --- a gente consegue encontrar a função
$F(x) = \Intt{a}{x}{f(t)}$ desenhando ela no gráfico...
\msk
O método é o seguinte. Vou mostrar ele pra função $G$ do MT1,
mas chamando ela de $F$. As figuras estão no próximo slide.
Repare que na função $G$ do MT1 tínhamos $a=2$...
\newpage
\unitlength=10pt
$$
f(x) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-4)(10,4)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(0,1)--(1,1)o
(1,2)c--(2,2)o
(2,3)c--(3,3)o
(3,-3)c--(4,-3)o
(4,-2)c--(5,-2)o
(5,-1)c--(6,-1)o
(6,0)c--(7,0)o
(7,1)c--(8,1)o
(8,2)c--(9,2)o
(9,3)c--(10,3)o
}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
\qquad
\begin{array}{rcl}
\end{array}
$$
$$
F(x)
\;\; = \;\;
\D \Intt{2}{x}{f(t)}
\;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-4)(10,4)
\pictgrid%
\pictpiecewise{ (0,-3)--(1,-2)--(2,0)--(3,3)--%
(4,0)--(5,-2)--(6,-3)--(7,-3)--(8,-2)--(9,0)--(10,3)
}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$$
\newpage
{\bf O TFC1 para funções escada: um método (2)}
\ssk
Sabemos que $F(2)=0$.
Então o gráfico da $F$ passa pelo ponto $(2,F(2)) = (2,0)$.
Para todo $x∈(2,3)$ temos $f(x)=3$,
então para todo $x∈(2,3)$ temos $F'(x)=3$,
e então entre $x=2$ e $x=3$ o gráfico da $F$ é um
segmento de reta com coeficiente angular 3.
Esse segmento termina no ponto $(3,3)$.
\msk
O gráfico da $F$ passa pelo ponto $(3,3)$.
Entre $x=3$ e $x=4$ o gráfico da $F$ é um
segmento de reta com coeficiente angular -3.
Esse segmento termina no ponto $(4,0)$.
\msk
Entre $x=4$ e $x=5$ o gráfico da $F$ é um
segmento de reta com coeficiente angular -2...
\newpage
% «exercicio-9» (to ".exercicio-9")
% (c2m211prp 46 "exercicio-9")
% (c2m211pra "exercicio-9")
{\bf Exercício 9.}
\ssk
Faça as questões a e b do MT1 do semestre passado.
\ssk
Tem link pro MT1 do semestre passado no slide 32,
e as dicas pra este exercício estão neste vídeo:
\ssk
{\scriptsize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C2-propriedades-da-integral-3.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=J97x7MNpr90 YT}
}
\bsk
\bsk
Obs: a gente ainda não viu como interpretar integrais
``com os limites de integração na ordem errada'', como:
%
$$\Intx{0}{-2}{f(x)}$$
% (c2m202mt1a "title")
% (c2m202mt1a "title" "Mini-teste 1")
% (c2m202mt1p 5 "miniteste-questoes")
% (c2m202mt1a "miniteste-questoes")
Vamos ver em breve! Prepare-se!
\newpage
% \newpage
%
% area
%
% soma horizontal
%
% soma vertical
%
% multiplicacao por constante h
%
% multiplicacao por constante v
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "beneveri")
\newpage
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.1-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-1-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.1-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-1-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C2-propriedades-da-integral veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C2-propriedades-da-integral pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2pr"
% ee-tla: "c2m211pr"
% End: