|
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% (find-LATEX "2022-2-C3-plano-tangente.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-2-C3-plano-tangente.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-2-C3-plano-tangente.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-plano-tangente.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-plano-tangente.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-2-C3-plano-tangente"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-2-C3-plano-tangente.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-2-C3-plano-tangente")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-2-C3-plano-tangente.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf
% file:///tmp/2022-2-C3-plano-tangente.pdf
% file:///tmp/pen/2022-2-C3-plano-tangente.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-2-C3-plano-tangente" "3" "c3m222pt" "c3pt")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.diagramas-de-chaves» (to "diagramas-de-chaves")
% «.primeiros-pltans» (to "primeiros-pltans")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.curvas-de-nivel» (to "curvas-de-nivel")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.sela-5x5-maxima» (to "sela-5x5-maxima")
% «.sela-5x5» (to "sela-5x5")
% «.retas-normais» (to "retas-normais")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.derivada-direcional» (to "derivada-direcional")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m222pt" "2022-2-C3-plano-tangente")
% (code-eevvideo "c3m222pt" "2022-2-C3-plano-tangente")
% (code-eevlinksvideo "c3m222pt" "2022-2-C3-plano-tangente")
% (find-c3m222ptvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m222ptp 1 "title")
% (c3m222pta "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2022.2}
\bsk
Aulas 13 e 14: Plano tangente,
reta normal e derivada direcional.
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m222ptp 2 "links")
% (c3m222pta "links")
{\bf Links}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "Tangent Planes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "11.4 Unit Tangent and Normal Vectors")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "plano tangente")
% (find-LATEX "2020-1-C3-tudo.tex" "parts")
% (find-LATEX "2020-2-C3-tudo.tex" "parts")
% (find-LATEX "2021-1-C3-tudo.tex" "parts")
% (find-LATEX "2021-2-C3-tudo.tex" "parts")
% (c3m211dpp 11 "3D-fig")
% (c3m211dpa "3D-fig")
% (c3m212mt2p 7 "figura-homogeneas")
% (c3m212mt2a "figura-homogeneas")
% (c3m201sups1p 5 "sombrero")
% (c3m201sups1a "sombrero")
% (find-es "maxima" "gradef")
% (find-es "maxima" "op-and-args")
(Depois)
% No início do curso nós vimos que em funções feitas de segmentos a reta
% tangente...
%
% Revisão de inclinações como triângulos
%
% Introdução a derivadas parciais
%
% Derivadas parciais de funções definidas por casos
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c3m222ptp 3 "introducao")
% (c3m222pta "introducao")
{\bf Introdução}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11.5cm}\firstcol{
Na aula passada nós vimos que num plano com esta equação
%
$$z \;\;=\;\; F(x,y) \;\;=\;\; a + bx + cy
$$
%
dá pra encontrar os coeficientes da equação desse plano só olhando pro
diagrama de numerozinhos, fazendo isto aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
a &=& F(0,0) \\
b &=& F(x+1,y) - F(x,y) \\
c &=& F(x,y+1) - F(x,y) \\
\end{array}
$$
A interpretação geométrica de $b = F(x+1,y) - F(x,y)$ é a seguinte.
Digamos que a gente escolheu um ponto $(x,y)$ de $\R^2$. A gente vai
considerar que esse é o nosso ``ponto original'', e a gente desloca
ele uma unidade pra direita. O melhor modo de entender deslocamentos é
pensando em termos de ``antes'' e ``depois''; ``antes'' nós estávamos
em $(x,y)$ e ``depois'' nós andamos pra $(x+1,y)$. A gente geralmente
vai usar o subscrito `$·_0$' pra indicar ``antes'' e o subscrito
`$·_1$' pra indicar ``depois''; então $(x_0,y_0) = (x,y)$ e
$(x_1,y_1)=(x+1,y)$, e $(Δx,Δy)=(1,0)$. Além disso temos
%
$$\begin{array}{rclcl}
z &=& F(x,y) \\
z_0 &=& F(x_0,y_0) &=& F(x,y) \\
z_1 &=& F(x_1,y_1) &=& F(x+1,y), \\
\end{array}
$$
%
e então:
%
$$b \;\;=\;\; F(x+1,y) - F(x,y) \;\;=\;\; z_1 - z_0 \;\;=\;\; Δz
$$
}\anothercol{
Também dá pra interpretar o $c$ de uma forma parecida, só que no
caso do $c$ o deslocamento é diferente:
$(x_1,y_1) - (x_0,y_0) = (0,1)$.
Se a gente souber usar direito esses truques notacionais a gente vai
conseguir formalizar mais ou menos facilmente idéias como essa aqui:
%
\begin{quote}
Num plano $z=F(x,y)=a+bx+cy$ o valor de $b$ é o $Δz$ quando
$(Δx,Δy)=(1,0)$.
\end{quote}
Pra formalizar o que essa frase quer dizer a gente vai precisar de um
monte de regras que dizem como certas abreviações devem funcionar. Eu
chamo essas regras, e a notação com elas, de ``notação de físicos'', e
eu chamo a notação que não permite essas abreviações de ``notação de
matemáticos''. Nós vimos que o Bortolossi fala sobre as abreviações da
``notação de físicos'' que ele vai evitar nas páginas 171 a 173 do
capítulo 5 dele:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "a notação D_1 f")
% (find-bortolossi5page (+ -162 171) "a notação D_1 f é a mais clara")
% (find-bortolossi5page (+ -162 172) "omitir os pontos onde as parciais são calculadas")
% (find-bortolossi5page (+ -162 173) "podem causar confusão")
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-5.pdf#page=9
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-5.pdf\#page=9}
}
\ssk
A ``notação de físicos'' que a gente vai usar é praticamente a do
``Calculus Made Easy'' do Silvanus P.~Thompson, mas ele 1) usa muito
pouco a convenção de que `$·_0$' e `$·_1$' indicam ``antes'' e
``depois'', 2) ele geralmente não distingue `$d$' e `$Δ$', 3) ele
muitas vezes escreve `$=$' em lugares em que seria mais correto usar
`$≈$'...
}}
\newpage
% «diagramas-de-chaves» (to ".diagramas-de-chaves")
% (c3m222ptp 4 "diagramas-de-chaves")
% (c3m222pta "diagramas-de-chaves")
{\bf Diagramas de chaves}
Nós às vezes vamos usar diagramas com chaves
parecidos com o do PDF sobre tipos --
\ssk
{\footnotesize
% (c3m222typesp 2 "C")
% (c3m222typesa "C")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-tipos.pdf#page=2
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-tipos.pdf#page=2}
% (c3m222typesp 5 "exercicio-1")
% (c3m222typesa "exercicio-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-tipos.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-tipos.pdf#page=5}
}
\ssk
pra indicar traduções passo a passo
ou contas passo a passo. Por exemplo:
%
$$\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\und{
\und{F(\und{\und{x}{x_0}+\und{1}{Δx}}{x_1},
\und{\und{y}{y_0}}{y_1})
}{z_1}
- \und{F(\und{x}{x_0},\und{y}{y_0})}{z_0}
}{Δz}
$$
\newpage
% «primeiros-pltans» (to ".primeiros-pltans")
% (c3m222ptp 5 "primeiros-pltans")
% (c3m222pta "primeiros-pltans")
{\bf Primeiros planos tangentes}
\scalebox{0.47}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Considere a seguinte construção:
%
$$\begin{array}{rcl}
z &=& F(x,y) \\
S &=& \setofxyzst{z=F(x,y)} \\
(x_0,y_0) &∈& \R^2 \\
f(Δx) &=& F(x_0+Δx,y_0) \\
g(Δy) &=& F(x_0,y_0+Δy) \\
\vv &=& \VEC{1,0,f'(0)} \\
\ww &=& \VEC{0,1,g'(0)} \\
r &=& \setofst{(x_0,y_0,z_0)+t\vv}{t∈\R} \\
s &=& \setofst{(x_0,y_0,z_0)+u\ww}{u∈\R} \\
π &=& \setofst{(x_0,y_0,z_0)+t\vv+u\ww}{t,u∈\R} \\
\end{array}
$$
Ela corresponde à figura da página 739 do capítulo 12
do APEX Calculus. Dê uma olhada:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "12.7" "Tangent Planes")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 739) "12.7 Tangent Lines, Normal Lines, and Tangent Planes")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf#page=62
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf\#page=62}
}
\msk
As retas $r$ e $s$ são retas tangentes à superfície $S$ no ponto
$(x_0,y_0)$ e o plano $π$ é o plano que contém as retas $r$ e $s$. A
definição no APEX Calculus usa derivadas parciais, a que eu pus acima
não.
\msk
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m222ptp 5 "exercicio-1")
% (c3m222pta "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
a) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
F(x,y) &=& 3 + 2x + 1y \\
A &=& \setofxyst{x,y∈\{0,1,2,3,4\}} \\
(x_0,y_0) &=& (2,0) \\
\end{array}
$$
Visualize todos os objetos da construção à esquerda e desenhe alguns
deles usando numerozinhos. Mais precisamente...
}\anothercol{
...mais precisamente: 1) pra visualizar a superfície $S$ você vai
desenhar um numerozinho para cada ponto do conjunto $A$; 2) pra
entender as funções $f$ e $g$ você vai fazer uma tabela com os valores
de $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$ e $f(2)$ e depois uma tabela
parecida para a função $g$; 3) pra visualizar as retas $r$ e $s$ você
vai desenhar como numerozinhos os pontos de $r$ e $s$ que estão sobre
o conjunto $A$; e 4) pra visualizar $π$ você vai usar o que você já
sabe sobre planos pra desenhar o diagrama de numerozinhos que contém
os pontos que você desenhos no passo 3.
\msk
b) Faça a mesma coisa, mas agora mudando o ponto $(x_0,y_0)$ para
$(3,0)$.
\msk
c) Faça a mesma coisa, mas agora mudando o ponto $(x_0,y_0)$ para
$(3,2)$.
\bsk
c) Faça a mesma coisa, mas agora para:
%
$$\begin{array}{rcl}
F(x,y) &=& x^2+y^2 \\
A &=& \setofxyst{x,y∈\{0,1,2,3,4\}} \\
(x_0,y_0) &=& (2,0) \\
\end{array}
$$
Nos itens a, b e c a superfície $S$ era um plano. Agora ela passou a
ser um parabolóide, e tudo vai passar a ser bem mais complicado.
\msk
d) Faça a mesma coisa que no item c, mas agora mudando o ponto
$(x_0,y_0)$ para $(3,0)$.
\msk
e) Faça a mesma coisa que nos dois últimos itens, mas agora mudando o
ponto $(x_0,y_0)$ para $(3,2)$.
}}
\newpage
% «curvas-de-nivel» (to ".curvas-de-nivel")
% (c3m222ptp 6 "curvas-de-nivel")
% (c3m222pta "curvas-de-nivel")
{\bf Curvas de nível}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Dê uma olhada em como o Bortolossi define curvas de nível --- ele
faz isso nas páginas 97 e 98 do capítulo 3 ---
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "3.3. Curvas de nível")
% (find-bortolossi3page (+ -78 97) "3.3. Curvas de nível")
% (find-bortolossi3page (+ -78 98) "O desenho da curva de nível deve ser feito no plano")
\ssk
{\scriptsize
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-3.pdf#page=19
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-3.pdf\#page=19}
}
e dê uma olhada nas figuras de curvas de nível (``level curves'') das
páginas 684 a 687 do APEX Calculus:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "Level curves")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 684) "Level curves")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf#page=7
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf\#page=7}
}
\bsk
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m222ptp 6 "exercicio-2")
% (c3m222pta "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
F(x,y) &=& y-2 \\
G(x,y) &=& (x-2)+(y-2) \\
H(x,y) &=& F(x,y)·G(x,y) \\
\end{array}
$$
a) Faça os diagramas de numerozinhos de $F(x,y)$, $G(x,y)$ e $H(x,y)$.
Desenhe numerozinhos nos pontos com $x,y∈\{0,1,2,3,4\}$.
\msk
b) Faça uma cópia beeeem grande do seu diagrama pra $H(x,y)$ e tente
desenhar sobre ela as curvas de nível de $H(x,y)$ em $z=-1$, $z=0$,
$\ldots$, $z=8$. Discuta com os seus colegas e tente descobrir que
técnicas você pode usar pra desenhar aproximações razoáveis pra essas
curvas na mão e no olhômetro.
}\anothercol{
Nas próximas aulas nós vamos aprender truques com derivadas que vão
nos permitir desenhar aproximações bem boas pra essas curvas de nível
fazendo poucas contas. Se você conseguir visualizar bem o truque do
plano tangente do próximo exercício você vai conseguir entender bem
esses truques com derivadas.
\msk
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c3m222ptp 6 "exercicio-3")
% (c3m222pta "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Use a construção do exercício 1 pra fazer o diagrama de numerozinhos
do plano tangente à superfície $H(x,y)$ em $(x_0,y_0)=3$. Chame esse
plano tangente de $π$. Descubra qual é a interseção desse plano $π$
com o plano $z=z_0=H(x_0,y_0)$. Essa interseção vai ser uma reta;
vamos chamá-la de $r'$. {\sl O vetor diretor dessa reta vai ser
tangente à curva de nível} --- faça todas as figuras e depois tente
entender isto.
}}
\newpage
% «sela-5x5-maxima» (to ".sela-5x5-maxima")
% (c3m222ptp 7 "sela-5x5-maxima")
% (c3m222pta "sela-5x5-maxima")
% (find-anggfile "MAXIMA/matrixify.mac")
% (find-esgrep "grep --color=auto -nH --null -e plot3d maxima.e")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T load ("~/MAXIMA/matrixify.mac");
%T [Dx,Dy] : [x-x0,y-y0];
%T [x0,y0] : [2,2];
%T F : Dy;
%T G : Dx+Dy;
%T H : F*G;
%T matrixify (0,0, 4,4, H);
%T plot3d (H, [x, 0, 4], [y, 0, 4]);
% «sela-5x5» (to ".sela-5x5")
% (c3m222ptp 7 "sela-5x5")
% (c3m222pta "sela-5x5")
% (c3m221vsbp 2 "questao-1")
% (c3m221vsba "questao-1")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(4,4))
%L sela_5x5 = Numerozinhos.from(0, 0,
%L [[ 0 2 4 6 8
%L -1 0 1 2 3
%L 0 0 0 0 0
%L 3 2 1 0 -1
%L 8 6 4 2 0 ]])
%L sela_5x5:topictu("25pt"):sa("sela 5x5"):output()
\pu
\def\SELA{\ga{sela 5x5} \;\;\;\;\;\;}
\hspace{-0.5cm}
$\scalebox{0.85}{$
\begin{array}{ccc}
\SELA & \SELA & \SELA \\ \\[5pt]
\SELA & \SELA & \SELA \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «retas-normais» (to ".retas-normais")
% (c3m222ptp 8 "retas-normais")
% (c3m222pta "retas-normais")
{\bf Retas normais}
Na página 741 do capítulo 12 ---
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "741" "Normal lines")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 741) "Normal lines")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf#page=64
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf\#page=64}
}
\ssk
o APEX Calculus define a ``reta normal'' ao plano tangente e mostra
que ela pode ser calculada por uma fórmula bem curta. Nós vamos usar
essa fórmula algumas vezes nas próximas aulas, mas agora é melhor a
gente rever como o ``produto vetorial'', ou ``produto cruzado'', é
``um pedaço da conta do determinante''.
\bsk
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m222ptp 8 "exercicio-4")
% (c3m222pta "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Faça os exercícios das páginas 47, 48 e 49 daqui:
% (mpgp 47 "determinantes-em-R3")
% (mpga "determinantes-em-R3")
% (mpgp 49 "cross-prod")
% (mpga "cross-prod")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker" "produto vetorial")
\ssk
{\footnotesize
% (mpgp 47)
% http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=47
\url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=47}
}
\newpage
% «derivada-direcional» (to ".derivada-direcional")
% (c3m222ptp 9 "derivada-direcional")
% (c3m222pta "derivada-direcional")
% (c3m211qp 25 "derivada-direcional")
% (c3m211qa "derivada-direcional")
% (c3m221nfp 30 "derivada-direcional")
% (c3m221nfa "derivada-direcional")
{\bf A derivada direcional}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
O Bortolossi define derivada direcional na p.296 (cap.8)
e o APEX Calculus na página 729 (cap.12)... links:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "Derivada direcional")
% (find-bortolossi8page (+ -290 296) "Definição 8.1. (Derivada direcional)")
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-8.pdf#page=6
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-8.pdf\#page=6}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "Directional Derivatives")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 729) "12.6 Directional Derivatives")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf#page=52
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf\#page=52}
}
\bsk
{\bf Exercício 5.}
O Bortolossi usa esta notação:
%
$$\frac{∂f}{∂𝐛v}(𝐛p) =
\lim_{t→0} \frac{ f(𝐛p + t·𝐛v) - f(𝐛p) }{t}
$$
a) Descubra como traduzir ela -- passo a passo! -- pra
``notação de físicos'', com $𝐛p=(x_0,y_0)$ e $𝐛v=\VEC{α,β}$.
\msk
b) Faça os exercícios 17, 18 e 19 daqui:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m221nfp 30 "derivada-direcional")
% (c3m221nfa "derivada-direcional")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf#page=30
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf\#page=30}
}
}\anothercol{
}}
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2022.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2022-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2022.2-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2022-2-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C3-plano-tangente veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C3-plano-tangente pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3pt"
% ee-tla: "c3m222pt"
% End: