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% (find-LATEX "2022-1-C3-VSB.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-1-C3-VSB.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-1-C3-VSB.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C3-VSB.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-1-C3-VSB.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C3-VSB.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C3-VSB.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-1-C3-VSB"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-1-C3-VSB.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-1-C3-VSB")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C3-VSB.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C3-VSB.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C3-VSB.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-1-C3-VSB.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-1-C3-VSB.pdf
% file:///tmp/2022-1-C3-VSB.pdf
% file:///tmp/pen/2022-1-C3-VSB.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-VSB.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-1-C3-VSB" "3" "c3m221vsb" "c3vs")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.title» (to "title")
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-2» (to "questao-2")
% «.questao-1-gab» (to "questao-1-gab")
% «.questao-2-gab» (to "questao-2-gab")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m221vsb" "2022-1-C3-VSB")
% (code-eevvideo "c3m221vsb" "2022-1-C3-VSB")
% (code-eevlinksvideo "c3m221vsb" "2022-1-C3-VSB")
% (find-c3m221vsbvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
% (c3m202p1p 6 "questao-2")
% (c3m202p1a "questao-2")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m221vsbp 1 "title")
% (c3m221vsba "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2022.1}
\bsk
VS extra - 31/ago/2022
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c3m221vsbp 2 "questao-1")
% (c3m221vsba "questao-1")
% (c3m221vsp 2 "questao-1")
% (c3m221vsa "questao-1")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(9,10))
%L barranco_VSB = Numerozinhos.from(0, 0,
%L [[ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
%L 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
%L 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5
%L 6 6 6 6 6 6 5 4 4 4
%L 6 6 6 6 6 5 4 3 3 3
%L 6 6 6 6 5 4 3 2 2 2
%L 6 6 6 5 4 3 2 1 1 1
%L 6 6 6 4 3 2 1 0 0 0
%L 6 6 6 4 2 1 0 0 0 0
%L 6 6 6 4 2 0 0 0 0 0
%L 6 6 6 4 2 0 0 0 0 0 ]])
%L barranco_VSB_spec = [[ (2,0)--(2,4)--(5,1)--(5,0)
%L (2,4)--(7,9)--(9,9)
%L (5,1)--(7,3)--(9,3) (7,3)--(7,9) ]]
%L barranco_VSB:topictu("16pt" ):sa("barranco VSB") :output()
%L barranco_VSB:topictu("16pt", barranco_VSB_spec):sa("barranco VSB gab"):output()
%L
%L -- = p:pgat("pN"):preunitlength("11pt"):bshow("")
% (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Numerozinhos-test1")
\pu
{\bf Questão 1}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\vspace*{-0.4cm}
\T(Total: 7.0 pts)
O diagrama de numerozinhos da próxima folha corresponde a uma
superfície $z=F(x,y)$ que tem 5 faces. Também é possível interpretá-lo
como uma superfície com 7 ou mais faces, mas vamos considerar que a
superfície com só 5 faces é que é a correta.
\msk
a) \B (2.0 pts) Mostre como dividir o plano em 5 polígonos que são as
projeções destas faces.
% Use uma das cópias do diagrama de numerozinhos para a sua resposta.
\msk
b) \B (1.0 pts) Chame estas faces de face NW (``noroeste''), S
(``sul''), C (``centro''), E (``leste''), e SE (``sudeste''), e chame
as equações dos planos delas de $F_{NW}(x,y)$, $F_S(x,y)$,
$F_{C}(x,y)$, $F_E(x,y)$, e $F_{SE}(x,y)$. Dê as equações destes
planos.
\msk
c) \B (1.0 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
%P_{NW} &=& \setofxyzst{z = F_{NW}(x,y)}, \\
P_S &=& \setofxyzst{z = F_S(x,y)}, \\
P_C &=& \setofxyzst{z = F_C(x,y)}, \\
%P_E &=& \setofxyzst{z = F_E(x,y)}, \\
%P_{SE} &=& \setofxyzst{z = F_{SE}(x,y)}, \\
r &=& P_S ∩ P_C. \\
\end{array}
$$
Dê uma parametrização para a reta $r$.
}\anothercol{
d) \B (2.0 pts) Seja
%
$$A \;=\; \{0,1,\ldots,9\} × \{0,1,\ldots,10\};$$
note que os numerozinhos do diagrama de numerozinhos estão todos
sobre pontos de $A$. Para cada ponto $(x,y)∈A$ represente
graficamente $(x,y)+\frac12 \vec∇F(x,y)$.
\ssk
Obs: quando $\vec∇F(x,y)=0$ desenhe uma bolinha preta sobre o ponto
$(x,y)$, e quando $\vec∇F(x,y)$ não existir não desenhe nada.
\msk
e) \B (1.0 pts) Sejam
%
$$\begin{array}{rcl}
Q(t) &=& (1,0) + t\VEC{1,1}, \\
(x(t),y(t)) &=& Q(t), \\
h(t) &=& F(x(t),y(t)). \\ &
\end{array}
$$
Faça o gráfico da função $h(t)$. Considere que o domínio dela é o
intervalo $[0,8]$.
}}
% (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Numerozinhos-test1")
\unitlength=15pt
\def\grd{\scalebox{0.6}{$\ga{barranco VSB}$}}
$\begin{array}{ccccc}
\grd && \grd && \grd \\ \\
\grd && \grd && \grd \\
\end{array}
$
\newpage
% «questao-2» (to ".questao-2")
% (c3m221vsbp 4 "questao-2")
% (c3m221vsba "questao-2")
{\bf Questão 2}
\T(Total: 3.0 pts)
\msk
Seja $H(x,y) = \sqrt{x+ay}$.
Dê a aproximação de Taylor de ordem 2
para $H(x,y)$ em torno do ponto $(1,1)$.
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T H : sqrt(x + a*y);
%T Hx : diff(H, x);
%T Hy : diff(H, y);
%T Hxx : diff(Hx, x);
%T Hxy : diff(Hx, y);
%T Hyy : diff(Hy, y);
%T H1s : [H, Hx, Hy];
%T H2s : [Hxx, Hxy, Hyy];
%T subst([x=1,y=1], H1s);
%T subst([x=1,y=1], H2s);
%T rat(Hyy);
% (c3m221p2p 5 "questao-3-gab")
% (c3m221p2a "questao-3-gab")
\newpage
% «questao-1-gab» (to ".questao-1-gab")
% (c3m221vsbp 5 "questao-1-gab")
% (c3m221vsba "questao-1-gab")
%L spec = [[ (0,6)--(1,6)--(2.5,3)--(6,3)--(8,5) ]]
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L p = pws:topict():setbounds(v(0,0), v(8,6)):pgat("pgatc")
%L p:sa("gab 1e"):output()
\pu
{\bf Questão 1: gabarito}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\bsk
a)
$\scalebox{0.7}{$
\ga{barranco VSB gab}
$}
$
\bsk
b) $\begin{array}{rcl}
F_{NW}(x,y) &=& 6 \\
F_{S}(x,y) &=& 10-2x \\
F_{C}(x,y) &=& y-x+4 \\
F_{E}(x,y) &=& y-3 \\
F_{SE}(x,y) &=& 0 \\
\end{array}
$
\bsk
c) $\begin{array}{rcl}
P_S &=& \setofxyzst{z = 10-2x}, \\
P_C &=& \setofxyzst{z = y-x+4}, \\
r &=& \setofxyzst{z = 10-2x = y-x+4}, \\
&=& \setofxyzst{z = 10-2x, \; y=6-x}, \\
&=& \setofst{(x,6-x,10-2x)}{x∈\R}
\end{array}
$
}\anothercol{
\def\gra{\vec∇(x,y)}
d) No interior da região...
$NW$: temos $\gra = \VEC{0,0}$,
$S$: temos $\gra = \VEC{-2,0}$,
$C$: temos $\gra = \VEC{-1,-1}$,
$E$: temos $\gra = \VEC{0,1}$,
$SE$: temos $\gra = \VEC{0,0}$.
Nas fronteiras entre as regiões o gradiente não existe.
Vou fazer o desenho depois.
\bsk
e) $h(t) \;=\; \ga{gab 1e}$
}}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T myeq : 10-2*x = y-x+4;
%T solve(myeq, y);
%T xyz(x) := [x, 6-x, 10-2*x];
%T xyz(0);
%T xyz(6);
\newpage
% «questao-2-gab» (to ".questao-2-gab")
% (c3m221vsbp 6 "questao-2-gab")
% (c3m221vsba "questao-2-gab")
{\bf Questão 2: gabarito}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Sejam $S=\sqrt{x+ay}$ e $S_0=\sqrt{1+a}$.
Então:
%
$$\begin{array}{rcl}
H(x,y) &=& S \\
H_x(x,y) &=& 1/(2S) \\
H_y(x,y) &=& a/(2S) \\
H_{xx}(x,y) &=& -1/(4S^3) \\
H_{xy}(x,y) &=& -a/(4S^3) \\
H_{yy}(x,y) &=& -a^2/(4S^3) \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rcl}
H(1,1) &=& S_0 \\
H_x(1,1) &=& 1/(2S_0) \\
H_y(1,1) &=& a/(2S_0) \\
H_{xx}(1,1) &=& -1/(4S_0^3) \\
H_{xy}(1,1) &=& -a/(4S_0^3) \\
H_{yy}(1,1) &=& -a^2/(4S_0^3) \\
\end{array}
$$
%
$$\begin{array}{rcl}
H(1+Δx,1+Δy) &=& H(1,1) \\
&+& H_x(1,1)Δx + H_y(1,1)Δy \\
&+& H_{xx}(1,1)\frac{Δx^2}{2}
+ H_{xy}(1,1)ΔxΔy
+ H_{yy}(1,1)\frac{Δy^2}{2} \\
&=& S_0 \\
&+& \frac{1}{2S_0}Δx + \frac{a}{2S_0}ΔxΔy \\
&+& \frac{-1}{4S_0^3} \frac{Δx^2}{2}
+ \frac{-a}{4S_0^3} ΔxΔy
+ \frac{-a^2}{4S_0^3} \frac{Δy^2}{2} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T H : sqrt(x+a*y);
%T H_x : diff(H, x);
%T H_xx : diff(H_x, x);
%T H_xy : diff(H_x, y);
%T H_y : diff(H, y);
%T H_yy : diff(H_y, y);
%T display(H, H_x, H_y, H_xx, H_xy, H_yy);
%T [H0, H_x0, H_y0, H_xx0, H_xy0, H_yy0] :
%T subst([x=1,y=1], [H, H_x, H_y, H_xx, H_xy, H_yy]);
\newpage
{\bf Critérios de correção}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Erros crassos exatamente iguais ao de colegas podem fazer a pessoa
perder mais pontos.
\msk
{\bf Questão 1}
\ssk
Item 1a:
Já fizemos exercícios deste tipo muitas vezes, então aqui a correção é
bem rigorosa. Se alguma das regiões da pessoa tem quatro pontos
não-coplanares ela leva zero neste item.
\msk
Item 1b:
Aqui as funções $F_{NW}$ e $F_{SE}$ são triviais e não contam pontos.
Se a pessoa obtiver três planos diferentes para $F_S$, $F_C$ e $F_E$
fazendo contas claras e legíveis pequenos erros de conta podem ser
perdoados.
\msk
Item 1c:
Aqui a reta correta é a reta
$r \;=\; \setofst{(x, 6-x, 10-2x)}{x∈\R}.$
\ssk
Se a pessoa obteve a projeção desta reta no plano $(x,y)$, que é
$r \;=\; \setofst{(x, 6-x, 10-2x)}{x∈\R}.$
então ela ganha só 0.6 pontos.
Repostas com retas dadas por equações ao invés de retas parametrizadas
são aceitas sem desconto de pontos.
}\anothercol{
Item 1d:
Nós fizemos exercícios deste tipo muitas vezes em sala --- tanto a
parte de calcular gradientes de regiões planas de diagramas de
numerozinhos quanto a parte de representar graficamente somas de
pontos e vetores seguindo esta convenção:
{\footnotesize
% (c3m212tudop 8)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-tudo.pdf#page=8
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-tudo.pdf\#page=8}
}
\ssk
então aqui a correção pode ser bem rigorosa. Eu esperava que os alunos
mostrassem que sabiam que nas regiões NW e SE os gradientes são zero,
que na região S ele aponta pra esquerda, que na região C ele aponta
pra noroeste que e na região E ele aponta pra cima; erros nisso são
considerados erros graves e descontam muitos pontos. Os erros que
descontam poucos pontos são: 1) não reconhecer que nos pontos de
fronteira entre os planos o gradiente não está definido e 2) não
reconhecer que na região S o módulo do gradiente é o dobro do módulo
na região E.
}}
\newpage
{\bf Critérios de correção (cont.)}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
Item 1e:
Se a pessoa conseguiu desenhar a reta $Q(t)$ ela ganha 0.1 pontos.
Se além disso ela conseguiu fazer um gráfico da função $h(t)$ em que o
valor de $h(t)$ está correto em todos os valores de $t$ inteiros ela
ganha mais 0.5 pontos.
Se além disso a pessoa conseguiu ver que a inclinação da função $h(t)$
muda quando $t=2.5$ ela ganha os 0.4 que faltam.
\bsk
\bsk
{\bf Questão 2}
Aqui erros de conta no cálculo das derivadas parciais podem ser
perdoados. O mais importante é que a pessoa ponha o resultado final
numa destas formas:
%
$$\def\uu{\_\_}
\begin{array}{rcl}
G(1+Δx,1+Δy) &≈& \uu \\
&+& \uu Δx + \uu Δy \\
&+& \uu Δx^2 + \uu ΔxΔy + \uu Δy^2 \\
\\
\text{ou:} \\
G(x,y) &≈& \uu \\
&+& \uu (x-1) + \uu (y-1) \\
&+& \uu (x-1)^2 + \uu (x-1)(y-1) + \uu (y-1)^2 \\
\end{array}
$$
e manipule os coeficientes de forma coerente.
}\anothercol{
}}
\msk
\newpage
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3vsb"
% ee-tla: "c3m221vsb"
% End: