|
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% (find-LATEX "2025-1-C2-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-VS.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-VS.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-VS.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-VS.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-VS"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-VS.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
% (code-eec-LATEX "2025-1-C2-VS")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-VS.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf
% file:///tmp/2025-1-C2-VS.pdf
% file:///tmp/pen/2025-1-C2-VS.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-VS" "2" "c2m251vs" "c2vs")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.por-com-1» (to "por-com-1")
% «.por-com-2» (to "por-com-2")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
\def\veja#1{\text{Veja \Ca{#1}}}
\def\porcom#1#2{\text{Por \ga{#1} com $#2$}}
\sa {[S]}{\CFname{S}{}}
\sa {[RPot]}{\CFname{RPot}{}}
\sa{[RProd]}{\CFname{RProd}{}}
\sa {[RC]}{\CFname{RC}{}}
\sa {[RMC]}{\CFname{RMC}{}}
\sa{[RSoma]}{\CFname{RSoma}{}}
\sa {[TFC2]}{\CFname{TFC2}{}}
\sa{[TFC2?]}{\CFname{TFC2?}{}}
\sa{[TFC2L]}{\CFname{TFC2L}{}}
\def\P#1{\left( #1 \right)}
% «defs-mvdefs» (to ".defs-mvdefs")
%\input 2024-1-C2-mv-defs.tex % (find-LATEX "2024-1-C2-mv-defs.tex")
\input 2025-1-C2-mv-defs.tex % (find-LATEX "2025-1-C2-mv-defs.tex")
% «defs-edovs» (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")
% «defs-edoexs» (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")
\def\eqa{\overset{\scriptscriptstyle(a)}{=}}
\def\eqb{\overset{\scriptscriptstyle(b)}{=}}
\sa{gab 3a}{
\begin{array}[t]{ll}
\multicolumn{2}{l}{ \D \intx{\frac{4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3}{x}} } \\
=& \intx{4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3 ·\frac{1}{x}} \\
\eqa& \intu{4 \cos(u) (\sen(u))^3} \\
=& \intu{4 (\sen(u))^3 \cos(u)} \\
\eqb& \intv{4 v^3} \\
=& v^4 \\
=& (\sen u)^4 \\
=& (\sen(\log x))^4 \\
\end{array}
\hspace*{-0.1cm}
\begin{array}[t]{c}
\\[15pt]
\subst{u \;=\; \log x \\
\frac{du}{dx} \;=\; \frac1x \\
du \;=\; \frac1x dx \\
} \\
\\[-7pt]
\subst{v \;=\; \sen u \\
\frac{dv}{du} \;=\; \cos u \\
dv \;=\; \cos u \, du \\
} \\
\\
\vspace*{1.5cm}
\end{array}
}
\sa{[S3a]}{\CFname{S3a}{}}
\sa{[S4a]}{\CFname{S4a}{}}
\sa{[S3b]}{\CFname{S3b}{}}
\sa{[S4b]}{\CFname{S4b}{}}
\sa{[S2b]}{\CFname{S2b}{}}
\sa{S3a}{\bsm{g(x):=\log x \\ g'(x):=\frac1x \\ f'(u):=4\cos(x)(\sen(u))^3}}
\sa{S4a}{\bsm{g(x):=\log x \\ g'(x):=\frac1x \\ f'(u):=4\cos(x)(\sen(u))^3 \\ f(u):=(\sen u)^4}}
\sa{S2b}{\bsm{x:=u \\ u:=v}}
\sa{S3b}{\bsm{g(x):=sen(x) \\ g'(x):=cos(x) \\ f'(u):=4u^3}}
\sa{S4b}{\bsm{g(x):=sen(x) \\ g'(x):=cos(x) \\ f'(u):=4u^3 \\ f(u):=u^4}}
\sa {MVI1 _s_ S3a}{
\begin{array}{rcl}
\intx {4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3·\frac1x}
&=& \intu {4 \cos(u) (\sen(u))^3} \\
\end{array}
}
\sa {MVD4 _s_ S3a}{
\begin{array}{rcl}
\Intx {a} {b} {4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3·\frac1x}
&=& \Difx {a} {b} {f(\log x)} \\
&=& f(\log b) - f(\log a) \\
&=& \Difu {\log a} {\log b} {f(u)} \\
&=& \Intu {\log a} {\log b} {4 \cos(u) (\sen(u))^3} \\
\end{array}
}
\sa {MVD4 _s_ S4a}{
\begin{array}{rcl}
\Intx {a} {b} {4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3·\frac1x}
&=& \Difx {a} {b} {(\sen(\log x))^4} \\
&=& (\sen(\log b))^4 - (\sen(\log a))^4 \\
&=& \Difu {\log a} {\log b} {(\sen(u))^4} \\
&=& \Intu {\log a} {\log b} {4 \cos(u) (\sen(u))^3} \\
\end{array}
}
\sa {MVI1 _s_ S3b}{
\begin{array}{rcl}
\intx {4 (\sen(x))^3 \cos(x)}
&=& \intu {4 u^3} \\
\end{array}
}
\sa {MVI1 _s_ S3b _s_ S2b}{
\begin{array}{rcl}
\intu {4 (\sen(u))^3 \cos(u)}
&=& \intv {4 v^3} \\
\end{array}
}
\sa {MVD4 _s_ S3b _s_ S2b}{
\begin{array}{rcl}
\Intu {a} {b} {4 (\sen(u))^3 \cos(u)}
&=& \Difu {a} {b} {f(\sen(u))} \\
&=& f(\sen(b)) - f(\sen(a)) \\
&=& \Difv {\sen(a)} {\sen(b)} {f(v)} \\
&=& \Intv {\sen(a)} {\sen(b)} {4 v^3} \\
\end{array}
}
\sa {MVD4 _s_ S4b _s_ S2b}{
\begin{array}{rcl}
\Intu {a} {b} {4 (\sen(u))^3 \cos(u)}
&=& \Difu {a} {b} {(\sen(u))^4} \\
&=& (\sen(b))^4 - (\sen(a))^4 \\
&=& \Difv {\sen(a)} {\sen(b)} {v^4} \\
&=& \Intv {\sen(a)} {\sen(b)} {4 v^3} \\
\end{array}
}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m251vsp 1 "title")
% (c2m251vsa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}
\bsk
Prova suplementar (VS)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m251vsp 2 "links")
% (c2m251vsa "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c2m251p2p 3 "questao-1")
% (c2m251p2a "questao-1")
% 2jT272: (c2m242p2p 3 "questao-1")
% (c2m242p2a "questao-1")
% (c2m241p2p 3 "questao-1")
% (c2m241p2a "questao-1")
% (find-angg "MAXIMA/2024-2-C2-EDOVS.mac")
{\bf Questão 1}
\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
\vspace*{-0.4cm}
\T(Total: 6.0 pts)
Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O $\ga{[F3]}$ abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
\ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
\end{array}
$$
\vspace*{-5cm}
}\anothercol{
Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
\D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{-2(x+2)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
\end{array}
$$
a) \B (0.5 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.
\ssk
b) \B (0.5 pts) Encontre as duas soluções gerais explícitas da EDO
$(*)$ -- a solução ``positiva'' e a ``negativa'' -- e dê nomes para
elas.
\ssk
c) \B (0.5 pts) Teste a sua solução ``negativa''.
\ssk
d) \B (0.5 pts) Sejam $P_1=(2,4)$, $P_2=(-2,2)$, $P_3=(-2,0)$ e
$P_4=(-1,1)$. Para cada desses pontos encontre uma solução particular
explícita que passa por ele e dê um nome pra ela.
\ssk
e) \B (0.5 pts) Faça os gráficos das soluções que você encontrou no
item (d). Dica: as funções que você deve ter encontrado passam por
vários pontos com coordenadas inteiras; comece desenhando esses
pontos.
\bsk
\standout{Muito importante:} leia a página do ``Lembre que...''!
% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")
}}
\newpage
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
{\bf Questão 1, continuação}
\msk
No curso nós vimos um monte de partículas em português, como ``seja'',
que podem parecer óbvias à primeira vista, mas quando a gente vê a
tradução delas pro Maxima a gente consegue reconhecer que elas são
operações diferentes, com significados precisos, e que não são nada
óbvias -- tipo: se você explicar elas pra uma criança fazendo cara de
``é óbvio, sua burra!'' a criança vai berrar de desespero.
\ssk
Nós também vimos vários personagens. Imagina que o Alex e o Bob têm
que mostrar pro leitor sem nenhuma paciência que um certo ponto não
está no gráfico de uma determinada função, e o Alex escreve só
``$6 \neq \sqrt{2+3}$''. O leitor sem paciência vai achar isso
péssimo, porque não dá pra entender rápido nem qual é o ponto, nem
qual é a função, nem quais foram as operações que o Alex usou, nem
quais foram os passos. {\sl Mas o Bob escreveu uma solução que o
leitor sem paciência achou claríssima -- o leitor sem paciência
conseguiu entender todos os passos dela num instante}.
\ssk
No próximo item ``encontrar os resultados certos'' vai valer 1.0 e
``usar as partículas em português corretamente'' vai valer 2.5.
Improvise se precisar -- se você não souber o modo curto de escrever
alguma coisa escreva como der, e se você não souber detalhar algum
passo faça ele sem detalhes mesmo. O ideal seria você fazer algo com o
Padrão Bob de Qualidade, mas faça o que der e tente não empacar --
lembre que o tempo é limitado!
\ssk
f) \B (3.5 pts) No item (d) você tinha 4 pontos e 4 funções -- ou 4
equações. Quais destes pontos obedecem quais destas equações? Ou, em
outras palavras, quais destes pontos estão nos gráficos de quais
destas funções?
\ssk
}\anothercol{
% «questao-3» (to ".questao-3")
% (c2m251p1p 2 "questao-3")
% (c2m251p1a "questao-3")
% (c2m251dip 12 "chutar-e-testar")
% (c2m251dia "chutar-e-testar")
{\bf Questão 2}
\T(Total: 5.0 pts)
\msk
Seja:
%
$$F(x) \;=\; \intx{\frac{4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3}{x}}.$$
% ⌠ 3
% ⎮ 4 cos(log(x)) sin (log(x))
% (%o9) ⎮ ────────────────────────── dx
% ⎮ x
% ⌡
a) \B (0.5 pts) Integre $F(x)$ pelo ``método rápido'' dos anexos --
use duas mudanças de variável, cada uma com uma caixinha de anotações,
e siga exatamente o modelo -- alinhe os sinais de `$=$', etc.
\ssk
{\sl Chame a igualdade da primeira mudança de variável de `$\eqa$' e a
da segunda mudança de variável de `$\eqb$'.}
\msk
b) \B (2.0 pts) Imagine que alguém te diz ``eu não acredito no método
rápido, você pode me mostrar justificativas pras igualdades `$\eqa$' e
`$\eqb$' usando casos particulares da \ga{[MVI1]}?''
\ssk
{\sl Traduza as suas justificativas do item (a) pra justificativas que
satifaçam a pessoa do item (b).}
\msk
c) \B (2.5 pts) Imagine que alguém te diz ``eu não acredito na
\ga{[MVI1]}, você pode me mostrar justificativas pras igualdades
`$\eqa$' e `$\eqb$' usando casos particulares da \ga{[MVD4]}?''
\ssk
{\sl Traduza as suas justificativas do item (b) pra justificativas que
satifaçam a pessoa do item (c).}
}}
\newpage
% (c2m251p2p 5 "lembre-que-mangas")
% (c2m251p2a "lembre-que-mangas")
% «lembre-que-mangas» (to ".lembre-que-mangas")
% (c2m251p2p 5 "lembre-que-mangas")
% (c2m251p2a "lembre-que-mangas")
{\bf Anexo 1: lembre que... mangas}
%M (%i1) edo : 'diff(y,x) = -x/y;
%M (%o1) {\frac{d}{d\,x}}\,y=-\left({\frac{x}{y}}\right)
%M (%i2) imp : ode2(edo,y,x);
%M (%o2) -\left({\frac{y^2}{2}}\right)={\frac{x^2}{2}}+\mathrm{\%c}
%M (%i3) exps : solve(imp,y);
%M (%o3) \left[ y=-\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} , y=\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} \right]
%M (%i4) exps : subst(%c=-C3/2, %);
%M (%o4) \left[ y=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} , y=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} \right]
%M (%i5) define(f1(x), rhs(exps[1]));
%M (%o5) \mathrm{f1}\left(x\right):=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i6) define(f2(x), rhs(exps[2]));
%M (%o6) \mathrm{f2}\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i7) define(f3(x), subst(C3=25, f2(x)));
%M (%o7) \mathrm{f3}\left(x\right):=\sqrt{25-x^2}
%M (%i8) 3=f3(4);
%M (%o8) 3=3
%M (%i9) is(3=f3(4));
%M (%o9) \mathbf{true}
%L maximahead:sa("manga", "")
\pu
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
{}
Lembre que:
\begin{itemize}
\item nós estamos usando o termo ``mangas'' pra palavras ou símbolos
que podem ter vários significados diferentes,
\item o `$=$' é uma manga,
\item NO MEU CRITÉRIO DE CORREÇÃO distinguir os vários tipos de `$=$'
vale boa parte dos pontos de cada questão,
\item a gente geralmente usa partículas em português pra distinguir os
vários tipos de `$=$'s,
\item as partículas que nós usamos mais vezes no curso são ``então'',
``lembre que'', ``sabemos que'' -- sendo que estas às vezes são
omitidas -- e ``seja'', ``queremos que'', ``vamos supor que'',
``vamos testar se'',
\item nós usamos testes e chutar-e-testar bastante no curso, mas nos
livros eles aparecem pouquíssimo -- os livros costumam mostrar só o
que dá certo,
\item no curso eu muitas vezes usava `$\smile$' e `$\frown$' pra
indicar ``deu certo'' e ``deu errado''.
\item uma das minhas desculpas pra usar o Maxima no curso é que quando
a gente traduz as contas de C2 pra Maxima os `$=$'s com significados
diferentes têm traduções totalmente diferentes.
\end{itemize}
}\anothercol{
Um exemplo em Maxima:
\bsk
\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {10cm}
$\scalebox{0.65}{\ga{manga}}$
}}
\newpage
% (c2m251introp 37 "contexto")
% (c2m251introa "contexto")
{\bf Anexo 2: contexto}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Quase todas as expressões matemáticas que usamos em C2
\ColorRed{dependem do contexto}. Por exemplo, a interpretação
\ColorRed{default} pra esta expressão aqui:
%
$$f(x) = x-9 = 2$$
é:
%
$$\begin{tabular}{l}
\ColorRed{Para toda} função $f:\R→\R$ \\
e para todo $x∈\R$ temos: \\
$f(x) = x-9 = 2$
\end{tabular}
$$
Se você só escreve ``$f(x) = x-9 = 2$'' e mostra isso pro ``colega
que seja seu amigo'' ele vai levar meia hora tentando adivinhar
qual foi o contexto que você estava pensando mas não escreveu...
...e se ele descobrir em menos de, digamos, 50 tentativas, ele
vai dizer ``ok, jóia, tá certo!''.
}\anothercol{
O ``colega que seja menos seu amigo'' vai fazer menos tentativas,
e os personagens ``o monitor'' e ``o professor'' da Dica 7 vão
checar se o que você escreveu vai ser entendido corretamente por
qualquer pessoa que saiba as convenções de como escrever
matemática.
\msk
Lembre que \ColorRed{quase todo mundo} pára de ler um texto matemático
quando vê uma besteira muito grande escrita nele. Imagine
que um ``colega que seja menos seu amigo'' te mostra a
solução dele pra um problema e te pergunta se está certa.
A solução dele começa com:
%
$$\text{Sabemos que $2=3$. Então...}$$
O que você faria?
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
Dica: releia isto aqui:
\Ca{Slogans27:07} até 32:45
}}
\newpage
% 2fT126: (c2m222p2p 5 "questao-1-gab")
% (c2m222p2a "questao-1-gab")
{\bf Anexo 3: um gabarito de 2022.2}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
A substituição é:
%
$$\ga{[S]} \;=\;
\bmat{
G(x) := x^4 + 5 \\
H(y) := y^2 + 3 \\
g(x) := 4x^3 \\
h(y) := 2y \\
H^{-1}(x) := \sqrt{x-3} \\
}
$$
a) Seja:
%
$$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3}{2y} \qquad (*)$$
b)
%
$\begin{array}[t]{lrcl}
\text{Seja:} & H^{-1}(x) &=& \sqrt{x-3}. \\
\text{Temos:} & H^{-1}(H(y)) &=& \sqrt{H(y)-3} \\
& &=& \sqrt{(y^2+3)-3} \\
& &=& y. \\
\end{array}
$
\msk
c) $\begin{array}[t]{lrcl}
& y &=& H^{-1}(G(x)+C_3) \\
&&=& \sqrt{(G(x)+C_3)-3} \\
&&=& \sqrt{((x^4+5)+C_3)-3} \\
&&=& \sqrt{x^4+2+C_3} \\
\text{Seja:} &
f(x) &=& \sqrt{x^4+2+C_3}. \\
\end{array}
$
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
d) $\begin{array}[t]{l}
\text{Será que $f(x)$ obedece $(*)$?} \\
\text{Temos }
f'(x) = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}},
\text{ e com isso:}
\\
\\[-5pt]
\left(
f'(x) = \frac{4x^3}{2f(x)}
\right)
\bmat{
f(x) = \sqrt{x^4+2+C_3} \\
f'(x) = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}} \\
}
\\
= \;\;
\left(
\frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}}
= \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+2+C_3}}
\right)
\qquad \smile \\
\end{array}
$
\bsk
e) $\begin{array}[t]{lrcl}
\text{Se} & f(x_1) &=& y_1, \\
\text{i.e.,} & f(1) &=& 2, \\
\text{então} & f(1) &=& \sqrt{1^4+2+C_3} \\
&&=& \sqrt{3+C_3} \\
& 2 &=& \sqrt{3+C_3} \\
& 2^2 &=& \sqrt{3+C_3}^2 \\
& 4 &=& 3+C_3 \\
& C_3 &=& 1 \\
& f(x) &=& \sqrt{x^4+2+C_3} \\
& &=& \sqrt{x^4+3} \\
\text{Seja:} & f_1(x) &=& \sqrt{x^4+3}. \\
\end{array}
$
\bsk
f) $\begin{array}[t]{lrcl}
\text{Será que} & f_1(x_1) &=& y_1, \\
\text{i.e.,} & f_1(1) &=& 2? \\
& \sqrt{1^4+3} &=& \sqrt{4} \\
&&=& 2 \qquad \smile \\
\end{array}
$
}}
\newpage
% ____ _
% | _ \ ___ _ __ ___ ___ _ __ ___ / |
% | |_) / _ \| '__| / __/ _ \| '_ ` _ \ | |
% | __/ (_) | | | (_| (_) | | | | | | | |
% |_| \___/|_| \___\___/|_| |_| |_| |_|
%
% «por-com-1» (to ".por-com-1")
% (c2m251vsp 5 "por-com-1")
% (c2m251vsa "por-com-1")
% 2jT77: (c2m242justp 5 "por-com-1")
% (c2m242justa "por-com-1")
% (c2m232justp 5 "por-com-1")
% (c2m232justa "por-com-1")
\def\steq{\standout{$=$}}
\def\st#1{\standout{$#1$}}
\def\St#1{\standout{$\mathstrut#1$}}
{\bf Anexo 4: O que quer dizer ``Por $\ldots$ com $\ldots$''?}
\scalebox{0.48}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$$\begin{array}{rcll}
F(x) &=& (6x^3)(7x^4) \\
F'(x) &=& ((6x^3)(7x^4))' \\
&=& \st{\ddx((6x^3)(7x^4))} \\
&\steq& \st{(6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3)} & \porcom{[RProd]}
{\st{f(x)}=\st{6x^3}, \st{g(x)}=\st{7x^4}} \\
&=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6\ddx x^3 & \porcom{[RMC]}{c=6, f(x)=x^3} \\
&=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6·3 x^2 & \porcom{[RPot]}{n=3} \\
&=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)(18x^2) \\
&=& (6x^3)·7\ddx x^4 + (7x^4)(18x^2) & \porcom{[RMC]}{c=7, f(x)=x^4} \\
&=& (6x^3)·7·4x^3 + (7x^4)(18x^2) & \porcom{[RPot]}{n=4} \\
&=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
&=& (6x^3)(28x^3) + 126x^6 \\
&=& 168x^6 + 126x^6 \\
&=& 294x^6 \\
\end{array}
$$
Compare: nós definimos $\ga{[RProd]}$ como esta igualdade,
%
$$\ga{[RProd]} \;\;=\;\; \P{\ddx(f(x)g(x)) = f(x) \ddx g(x) + g(x) \ddx f(x)}$$
e se substituirmos $f(x)$ por $6x^3$ e $g(x)$ por $7x^4$ na igualdade
$\ga{[RProd]}$ nós obtemos isto aqui,
%
$$\begin{array}{lcll}
\ga{[RProd]} &=& \P{\D \ddx(f(x)g(x)) = f(x) \ddx g(x) + g(x) \ddx f(x)} \\
\ga{[RProd]} \bmat{\st{f(x)} := \st{6x^3} \\
\st{g(x)} := \st{7x^4} \\
}
&=& \P{\st{\D \ddx((6x^3)(7x^4))}
\;\st{=}\;
\st{(6x^3) \ddx (7x^4) + (7x^4) \ddx (6x^3)}} \\
\end{array}
$$
que é exatamente a igualdade que eu marquei lá em cima...
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ ____
% | _ \ ___ _ __ ___ ___ _ __ ___ |___ \
% | |_) / _ \| '__| / __/ _ \| '_ ` _ \ __) |
% | __/ (_) | | | (_| (_) | | | | | | / __/
% |_| \___/|_| \___\___/|_| |_| |_| |_____|
%
% «por-com-2» (to ".por-com-2")
% (c2m232justp 6 "por-com-2")
% (c2m232justa "por-com-2")
{\bf Anexo 5: o que quer dizer ``Por $\ldots$ com $\ldots$''? (2)}
\scalebox{0.48}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$$\begin{array}{rcll}
F(x) &=& (6x^3)(7x^4) \\
F'(x) &=& ((6x^3)(7x^4))' \\
&=& \ddx((6x^3)(7x^4)) \\
&=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3) & \porcom{[RProd]}
{f(x)=6x^3, g(x)=7x^4} \\
&=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6\ddx x^3 & \porcom{[RMC]}{c=6, f(x)=x^3} \\
&=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6·3 x^2 & \porcom{[RPot]}{n=3} \\
&=& (6x^3)\st{\ddx(7x^4)} + (7x^4)(18x^2) \\
&\steq& (6x^3)·\st{7\ddx x^4} + (7x^4)(18x^2) & \porcom{[RMC]}{\st{c}=\st{7},\st{f(x)}=\st{x^4}} \\
&=& (6x^3)·7·4x^3 + (7x^4)(18x^2) & \porcom{[RPot]}{n=4} \\
&=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
&=& (6x^3)(28x^3) + 126x^6 \\
&=& 168x^6 + 126x^6 \\
&=& 294x^6 \\
\end{array}
$$
Lembre que a ``regra da multiplicação por constante'' é esta igualdade
aqui,
%
$$\ga{[RMC]} \;\;=\;\; \P{\ddx(cf(x)) = c\ddx f(x)}$$
e se substituirmos $c$ por 7 e $f(x)$ por $x^4$ nela nós obtemos isto
aqui,
%
$$\begin{array}{lcll}
\ga{[RMC]} &=& \P{\D \ddx(cf(x)) = c\ddx f(x)} \\
\ga{[RMC]} \bmat{\st{c} := \st{7} \\
\st{f(x)} := \st{x^4} \\
}
&=& \P{\st{\D\ddx(7x^4)}
\;\st{=}\;
\st{\D 7 \ddx x^4}} \\
\end{array}
$$
O `$\steq$' logo acima desta frase justifica a parte que muda no
`$\steq$' lá de cima!
}\anothercol{
}}
\newpage
% (c2m251dicasp1p 4 "mais-sobre-o-modo-rapido")
% (c2m251dicasp1a "mais-sobre-o-modo-rapido")
% (c2m251dicasp1p 4 "mais-sobre-o-modo-rapido")
% (c2m251dicasp1a "mais-sobre-o-modo-rapido")
% 2hT191: (c2m232p1p 6 "questao-2-gab")
% (c2m232p1a "questao-2-gab")
% 2gT46: (c2m231mvp 6 "caixinhas")
% (c2m231mva "caixinhas")
{\bf Anexo 6: método rápido, \ga{[MVI1]}, \ga{[MVD4]}}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Lembre que o ``método rápido'' tem essa cara aqui:
%
$$\begin{array}[t]{ll}
\\
\multicolumn{2}{l}{ \D \intx{\frac{(\ln x)^3 \cos((\ln x)^4)}{x}} } \\
=& \intx{(\ln x)^3 \cos((\ln x)^4)\frac{1}{x}} \\
=& \intu{u^3 \cos(u^4)} \\
=& \intu{\cos(u^4)u^3} \\
=& \intv{\cos v·\frac14} \\
=& \frac14 \intv{\cos v} \\
=& \frac14 \sen v \\
=& \frac14 \sen(u^4) \\
=& \frac14 \sen((\ln x)^4) \\
\end{array}
\hspace*{-0.1cm}
\begin{array}[t]{c}
\\
\subst{u \;=\; \ln x \\
\frac{du}{dx} \;=\; \frac1x \\
du \;=\; \frac1x dx \\
} \\
\\[-5pt]
\subst{v \;=\; u^4 \\
\frac{dv}{du} \;=\; 4u^3 \\
dv \;=\; 4u^3 du \\
\frac14 dv \;=\; u^3 du \\
} \\
\\
\vspace*{1.5cm}
\end{array}
$$
e em cada caixinha de anotações a) a primeira linha diz a relação
entre a variável antiga e a variável nova, b) todas as outras linhas
da caixinha são consequências dessa primeira, e c) dentro da caixinha
a gente permite gambiarras com diferenciais.
}\def\colwidth{10cm}\anothercol{
\aligneqswide
\mvdefaults
E lembre que:
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[MVI1]} &=& \ga{(MVI1)} \\
\ga{[MVD4]} &=& \ga{(MVD4)} \\
\end{array}
$$
}}
\newpage
% «como-justificar-uma-MV» (to ".como-justificar-uma-MV")
% 2kT110: (c2m251dip 17 "como-justificar-uma-MV")
% (c2m251dia "como-justificar-uma-MV")
{\bf Anexo 7: como justificar uma MV de cabeça}
\def\dudx{\frac{du}{dx}}
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{#2}}
\def\sfrac#1#2{{\textstyle\frac{#1}{#2}}}
\sa{anot1}{\bmat{u=x^3 \\ \dudx=\ddx u=\ddx x^3 = 3x^2 }}
\sa{anot2}{\bmat{u=x^3 \\ \dudx=3x^2 }}
\sa{intx 2}{\int { \cos(\und{x^3}{ u }) · \sfrac13 · \und{\und{3x^2}{\dudx}\,dx}{du}}}
\sa{intu 2}{\intu{ \cos( u ) · \sfrac13}}
\sa{intx 3}{\intx{\und{\cos(\und{x^3}{g(x)}) · \sfrac13}{f'(g(x))} · \und{3x^2}{g'(x)} }}
\sa{intu 3}{\intu{\und{\cos( u ) · \sfrac13}{f'(u)}}}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
{}
Por exemplo...
$$\begin{array}{rclc}
\D \intt{t^2 \cos(t^3)} &=& \Rq \\
\D \intx{x^2 \cos(x^3)} &=& \Rq & \ga{anot1} \\ \\[-11pt]
\D \ga{intx 2} &=& \D \ga{intu 2} & \ga{anot2} \\ \\[-11pt]
\D \ga{intx 3} &=& \D \ga{intu 3} \\
\end{array}
$$
\mvdefaults
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{#2}}
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{\textstyle #2}}
\sa{[MVI1] sp}{\phantom{mmmmmm} \ga{[MVI1]} \phantom{mmmmmm}}
\sa {mvi1 1}{\intx{f'(g(x))g'(x)} = \intu{f'(u)}}
\sa {mvi1 2}{\intx{\cos(x^3)·\sfrac13·3x^2} = \intu{\cos(u)·\sfrac13}}
\sa {s1}{\bmat{g(x):=x^3 \\ g'(x):=3x^2 \\ f'(u):=\cos(u)·\sfrac13}}
\sa {s2}{\bmat{x:=t \\ u:=w}}
\sa {s1 b}{\bmat{g(x):=x^3 \\ g'(x):=3x^2 \\ f'(u):=\sfrac13\cos(u)}}
\sa {mvi1 3}{\intt{\cos(t^3)·\sfrac13·3t^2} = \intw{\cos(w)·\sfrac13}}
$$\begin{array}{rclc}
\und{\und{\und{\ga{[MVI1] sp}}
{\ga{mvi1 1}}
\ga{s1}
}{\ga{mvi1 2}}
\ga{s2}
}{\ga{mvi1 3}}
\\
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rclc}
\D \intt{t^2 \cos(t^3)}
&=& \D \intw{\sfrac13 \, \cos(w)}
& \;\; \text{Por $\ga{[MVI1]} \ga{s1 b} \ga{s2}$} \\
\end{array}
$$
}\def\colwidth{9cm}\anothercol{
{\bf Dicas:}
Repare que no exemplo à esquerda o problema original era este,
%
$$ \D \intt{t^2 \cos(t^3)} = \Rq $$
e eu resolvi ele nesta ordem: 1) eu mudei a variável dele pra $x$ pra
ficar com algo mais parecido com a $\ga{[MVI1]}$, 2) eu escolhi a
mudança de variável certa, que era $u=x^3$, 3) eu calculei o $\dudx$,
4) eu rearrumei o problema original pro $\dudx$ ficar colado no $dx$,
5) eu fiz a mudança de variável pelo método rápido, 6) eu reescrevi as
anotações do método rápido pra obter $g(x)$, $g'(x)$ e $f'(u)$, 7) eu
transformei essas $g(x)$, $g'(x)$ e $f'(u)$ numa substituição, 8) eu
calculei os resultados parciais dessa substituição e da
$\bsm{x:=t \\ u:=w}$, 9) eu reescrevi a substituição que eu tinha
obtido e testado pra fingir que eu primeiro tinha resolvido o problema
original de cabeça e depois eu escrevi a justificativa porque alguém
me perguntou como eu tinha chegado naquele resultado.
}}
\newpage
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C2-VS")
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2vs"
% ee-tla: "c2m251vs"
% End: