% (find-LATEX "2024-2-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C2-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C2-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-2-C2-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C2-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C2-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2024-2-C2-P2")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-2-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C2-P2.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C2-P2.pdf
%               file:///tmp/2024-2-C2-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-2-C2-P2.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C2-P2" "2" "c2m242p2" "c2p2")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.gab-1»	(to "gab-1")
% «.gab-2»	(to "gab-2")
% «.gab-345»	(to "gab-345")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L dofile "Tracinhos1.lua"           -- (find-angg "LUA/Tracinhos1.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")

% «defs-edoexs»  (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")

% (c2m232edolsp 3 "defs-bodies")
% (c2m232edolsa   "defs-bodies")

\sa  {(**)}{\ensuremath{({*}{*})}}
\sa {(***)}{\ensuremath{({*}{*}{*})}}
\sa{(****)}{\ensuremath{({*}{*}{*}{*})}}
\def\mac{\mathsf{mac}}

\sa  {*1}{\ensuremath{(*_1)}}
\sa  {*2}{\ensuremath{(*_2)}}
\sa  {*3}{\ensuremath{(*_3)}}
\sa  {*4}{\ensuremath{(*_4)}}
\sa  {*5}{\ensuremath{(*_5)}}
\sa  {*6}{\ensuremath{(*_6)}}
\sa  {*7}{\ensuremath{(*_7)}}

\def\P#1{\left( #1 \right)}
\sa{[EL3]}{\CFname{EL}{_3}}
\sa{(EL3)}{
  \P{\begin{array}{rcl}
     f'+fg & = & h \\
        G' & = & g \\
         f & = & e^{-G}(\intx{e^Gh} + C) \\
     \end{array}
    }}

\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m242p2p 1 "title")
% (c2m242p2a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.2}

\bsk

P2 (segunda prova)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m242p2p 2 "links")
% (c2m242p2a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

Gabarito em Maxima:

% (find-es "maxima" "2024-1-C2-P2")
{\footnotesize
\par \url{http://anggtwu.net/e/maxima.e.html\#2024-2-C2-P2}
\par \texttt{(find-es "maxima" "2024-2-C2-P2")}
\par
}

% (c2evp)
% (c2elp)
% (c2elsp)
% (c2eep)
% (c2vop)

}\anothercol{
}}

\newpage


% «questao-1»  (to ".questao-1")
% 2jT219: (c2m242p2p 3 "questao-1")
%         (c2m242p2a   "questao-1")
%         (c2m241p2p 3 "questao-1")
%         (c2m241p2a   "questao-1")
% (find-angg "MAXIMA/2024-2-C2-EDOVS.mac")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{-0.4cm}

\T(Total: 3.0 pts)

Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O \ga{[EF3]} abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
  \ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
  \end{array}
$$

\vspace*{-5cm}

}\anothercol{


Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \frac{dy}{dx} &=& \D   \frac{-8x}{2y} & \qquad\ga{*1} \\
 %\D \frac{dy}{dx} &=& \D - \frac{2(x-1)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
 %\D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{1}{-2(y-1)} & \ga{*2} \\
  \end{array}
$$

a) \B (1.0 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.

\ssk

b) \B (0.5 pts) Encontre as duas soluções gerais da EDO $(*)$ -- a
solução ``positiva'' e a ``negativa'' -- e dê nomes para elas.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Teste a sua solução ``negativa''.

\ssk

d) \B (0.5 pts) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
$(-2,3)$.

\ssk

e) \B (0.5 pts) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
$(2,-3)$.



\bsk

\standout{Muito importante:} em todas as questões desta prova eu vou
corrigir as respostas de vocês como se eu fosse o ``colega menos seu
amigo e sem paciência pra adivinhar nada'' da Dica 7 e do slide sobre
contextos... por exemplo, se você escrever só ``$a=42$'' eu vou
interpretar isso como ``aqui essa pessoa tá dizendo que é óbvio que
`$a=42$' é sempre verdade -- e isso é falso!!!'', e aí babau. Ou seja,
a parte em português das questões de vocês vai ser MUUUUITO
importante!

% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")

}}


\newpage

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

% «questao-2»  (to ".questao-2")
% (c2m241p2p 4 "questao-2")
% (c2m241p2a   "questao-2")
% (c2m232p2p 3 "questao-2")
% (c2m232p2a   "questao-2")

{\bf Questão 2}

\T(Total: 3.0 pts)

\msk

Sejam \ga{*2} e \ga{*3} as EDOs abaixo:
%
$$\begin{array}{rcll}
  y'' - 3y' -  28y &=& 0 & \qquad \ga{*2} \\
  y'' + 4y' + 104y &=& 0 & \qquad \ga{*3} \\
  \end{array}
$$

a) \B (0.5 pts) Encontre as soluções básicas e a solução geral da EDO
\ga{*2}. Dê um nome para cada uma delas.

\ssk

b) \B (1.0 pts) Encontre uma solução $g(x)$ da EDO \ga{*2} que
obedeça isto aqui: $g(0)=2$, $g'(0)=3$.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Encontre as solução básicas complexas e as soluções
básicas reais da EDO \ga{*3}.

\ssk

d) \B (1.0 pts) Teste se $f=e^{2x}\cos(3x)$ é solução da EDO \ga{*3}.
{\sl Defina funções intermediárias pras suas contas ficarem menores}.



% \msk
% d) \B (0.5 pts) Teste a solução que você encontrou no item anterior.


\bsk
\bsk

% «questao-3»  (to ".questao-3")
% (c2m241p2p 4 "questao-3")
% (c2m241p2a   "questao-3")
% (c2m232p2p 3 "questao-3")
% (c2m232p2a   "questao-3")

{\bf Questão 3}

\T(Total: 1.0 pts)

\msk

Seja \ga{*4} esta EDO:
%
$$y' - \frac{2y}{x} = 3x$$

a) \B (0.3 pts) Encontre a solução geral dela.

b) \B (0.7 pts) Teste a sua solução.

Lembre que você pode usar este método:
%
$$\ga{[EL3]} \;=\; \ga{(EL3)}$$



\msk



}\anothercol{

% «questao-4»  (to ".questao-4")
% (c2m241p2p 4 "questao-4")
% (c2m241p2a   "questao-4")
% (c2m241edosexatasp 5 "uma-questao-de-prova")
% (c2m241edosexatasa   "uma-questao-de-prova")


{\bf Questão 4}

\T(Total: 2.0 pts)

\msk

4) Sejam $\ga{*5}$, $\ga{*6}$ e $\ga{*7}$ estas EDOs:
%
$$\begin{array}{rl}
    20xy^3\,dx + 30x^2y^2\,dy = 0 & \ga{*5} \\
  20x^2y^3\,dx + 30x^3y^2\,dy = 0 & \ga{*6} \\
  (8xy^2+14x)\,dx + (8x^2y+5)\,dy = 0 & \ga{*7} \\
  \end{array}
$$

a) \B(0.1 pts) Mostre que a $\ga{*5}$ é exata.

b) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*6}$ não é exata.

c) \B(0.4 pts) Encontre a solução geral de $\ga{*5}$.

d) \B(0.4 pts) Teste a sua solução geral da $\ga{*5}$.

e) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*7}$ é exata.

f) \B(0.9 pts) Encontre a solução geral {\sl implícita} da $\ga{*7}$.
Aqui você não precisa encontrar a solução geral explícita -- as contas
pra encontrar a solução geral explícita são grandes demais.

\ssk

Lembre que você pode usar este método:
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
  \ga{[E5]} &=& \ga{(E5)} \\
  \end{array}
$$


\bsk

% «questao-5»  (to ".questao-5")
% (c2m241p2p 4 "questao-5")
% (c2m241p2a   "questao-5")

{\bf Questão 5}

\T(Total: 1.0 pts)

\msk

Digamos que
%
$$(a_0,a_1,a_2,\ldots) \;=\; \left( \frac{2^2}{4!}, \frac{7^2}{5!}, \frac{12^2}{6!}, \ldots \right).$$

Dê uma fórmula pro termo geral desse sequência -- ou seja, pro $a_n$.


% Seja
% %
% $$\begin{array}{rcl}
%   f(x) &=& 4-2x. \\
%   \end{array}
% $$
% 
% Rode o gráfico de $f$ entre $y=0$ e $y=2$ em torno do eixo $y$, e
% chame a figura que você obteve de $C$. Chame de $S$ o sólido de
% revolução que é o fecho convexo de $C$ -- vou explicar isso no quadro.
% 
% \msk
% 
% a) \B (0.5 pts) Represente graficamente $C$ e $S$.
% 
% \ssk
% 
% b) \B (0.5 pts) Calcule o volume de $S$.
 
}}



\newpage

% «gab-1»  (to ".gab-1")
% (c2m242p2p 5 "gab-1")
% (c2m242p2a   "gab-1")

%M (%i1) /* (1a): 1.0 */
%M [xmin,ymin, xmax,ymax] : [-3,-3, 3,3]$
%M (%i2) tracinhos : directionfield(h(y),g(x), lc(red))$
%M (%i3) myqdrawp(xyrange(), tracinhos);
%M (%o3) \myvcenter{\includegraphics[height=4cm]{2024-2-C2/P2-Q1_001.pdf}}
%M (%i4) /* (1b): 0.5 */
%M e1     : M[1][1] = M[1][3];
%M (%o4) {\frac{d}{d\,x}}\,y=-\left({\frac{4\,x}{y}}\right)
%M (%i5) sols   : ode2(e1,y,x);
%M (%o5) -\left({\frac{y^2}{8}}\right)={\frac{x^2}{2}}+\mathrm{\%c}
%M (%i6) solss  : solve(sols,y);
%M (%o6) \left[ y=-\left(2\,\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}}\right) , y=2\,\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} \right] 
%M (%i7) define(fp(x),   M[6][3]);
%M (%o7) \mathrm{fp}\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}
%M (%i8) define(fn(x), - M[6][3]);
%M (%o8) \mathrm{fn}\left(x\right):=-\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}
%L maximahead:sa("Q1 ab", "")
\pu

%M (%i9) /* (1c): 0.5 */
%M e2     : subst(y=fn(x), e1);
%M (%o9) {\frac{d}{d\,x}}\,\left(-\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}\right)={\frac{4\,x}{\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}}}
%M (%i10) e3     : ev(e2,diff);
%M (%o10) {\frac{4\,x}{\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}}}={\frac{4\,x}{\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}}}
%M (%i11) /* (1d): 0.5 */
%M e4 : y=fp(x);
%M (%o11) y=\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}
%M (%i12) e5 : subst([x=-2,y=3], e4);
%M (%o12) 3=\sqrt{\mathrm{C3}-16}
%M (%i13) e6 : solve(e5, C3);
%M (%o13) \left[ \mathrm{C3}=25 \right] 
%M (%i14) subst(e6, e4);
%M (%o14) y=\sqrt{25-4\,x^2}
%L maximahead:sa("Q1 cd", "")
\pu

%M (%i15) /* (1e): 0.5 */
%M e7 : y=fn(x);
%M (%o15) y=-\sqrt{\mathrm{C3}-4\,x^2}
%M (%i16) e8 : subst([x=2,y=-3], e7);
%M (%o16) -3=-\sqrt{\mathrm{C3}-16}
%M (%i17) e9 : solve(e8, C3);
%M (%o17) \left[ \mathrm{C3}=25 \right] 
%M (%i18) subst(e6, e7);
%M (%o18) y=-\sqrt{25-4\,x^2}
%L maximahead:sa("Q1 e", "")
\pu


{\bf Questão 1: gabarito em Maxima}

\scalebox{0.38}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {12cm}
\ga{Q1 ab}

}\def\colwidth{9cm}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {9cm}
\ga{Q1 cd}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {9cm}
\ga{Q1 e}

}}


\newpage

% «gab-2»  (to ".gab-2")
% (c2m242p2p 6 "gab-2")
% (c2m242p2a   "gab-2")

%M (%i1) /* (2a): 0.5 pts */
%M star2 : 'diff(y,x,2) - 3*'diff(y,x) - 28*y = 0;
%M (%o1) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,y-3\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)-28\,y=0
%M (%i2) factor(D^2 - 3*D - 28);
%M (%o2) \left(D-7\right)\,\left(D+4\right)
%M (%i3) e1 : ode2(star2, y, x);
%M (%o3) y=\mathrm{\%k1}\,e^{7\,x}+\mathrm{\%k2}\,e^ {- 4\,x }
%M (%i4) /* (2b): 1.0 pts */
%M gg  : rhs(e1);
%M (%o4) \mathrm{\%k1}\,e^{7\,x}+\mathrm{\%k2}\,e^ {- 4\,x }
%M (%i5)           subst([%k1=0, %k2=1], e1);
%M (%o5) y=e^ {- 4\,x }
%M (%i6)           subst([%k1=1, %k2=0], e1);
%M (%o6) y=e^{7\,x}
%M (%i7) f1  : rhs(subst([%k1=0, %k2=1], e1));
%M (%o7) e^ {- 4\,x }
%M (%i8) f2  : rhs(subst([%k1=1, %k2=0], e1));
%M (%o8) e^{7\,x}
%M (%i9) e2  : at(gg,         x=0) = 2;
%M (%o9) \mathrm{\%k2}+\mathrm{\%k1}=2
%M (%i10) e3  : at(diff(gg,x), x=0) = 3;
%M (%o10) 7\,\mathrm{\%k1}-4\,\mathrm{\%k2}=3
%M (%i11) sol : solve([e2,e3],[%k1,%k2]);
%M (%o11) \left[ \left[ \mathrm{\%k1}=1 , \mathrm{\%k2}=1 \right]  \right] 
%M (%i12) g   : subst(sol, gg);
%M (%o12) e^{7\,x}+e^ {- 4\,x }
%L maximahead:sa("Q2 ab", "")
\pu

%M (%i13) /* (2c): 0.5 pts */
%M star3 : 'diff(y,x,2) + 4*'diff(y,x) + 104*y = 0;
%M (%o13) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,y+4\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)+104\,y=0
%M (%i14) e1 : ode2(star3, y, x);
%M (%o14) y=e^ {- 2\,x }\,\left(\mathrm{\%k1}\,\sin \left(10\,x\right)+\mathrm{\%k2}\,\cos \left(10\,x\right)\right)
%M (%i15) gg : rhs(e1);
%M (%o15) e^ {- 2\,x }\,\left(\mathrm{\%k1}\,\sin \left(10\,x\right)+\mathrm{\%k2}\,\cos \left(10\,x\right)\right)
%M (%i16) fr1 : rhs(subst([%k1=0, %k2=1], e1));
%M (%o16) e^ {- 2\,x }\,\cos \left(10\,x\right)
%M (%i17) fr2 : rhs(subst([%k1=1, %k2=0], e1));
%M (%o17) e^ {- 2\,x }\,\sin \left(10\,x\right)
%M (%i18) fc1 : exp((-2+10*%i)*x);
%M (%o18) e^{\left(10\,i-2\right)\,x}
%M (%i19) fc2 : exp((-2-10*%i)*x);
%M (%o19) e^{\left(-\left(10\,i\right)-2\right)\,x}
%M (%i20) ec1 : subst([y=fc1], star3);
%M (%o20) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,e^{\left(10\,i-2\right)\,x}+4\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,e^{\left(10\,i-2\right)\,x}\right)+104\,e^{\left(10\,i-2\right)\,x}=0
%M (%i21) ec2 : subst([y=fc2], star3);
%M (%o21) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,e^{\left(-\left(10\,i\right)-2\right)\,x}+4\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,e^{\left(-\left(10\,i\right)-2\right)\,x}\right)+104\,e^{\left(-\left(10\,i\right)-2\right)\,x}=0
%M (%i22) expand(ev(ec1, diff));
%M (%o22) 0=0
%M (%i23) expand(ev(ec2, diff));
%M (%o23) 0=0
%L maximahead:sa("Q2 bc", "")
\pu

%M (%i24) /* (2d): 1.0 */
%M kill(g,s,c)$
%M (%i25) gradef(g,x, 2*g)$
%M (%i26) gradef(s,x, 3*c)$
%M (%i27) gradef(c,x,-3*s)$
%M (%i28) [diff(g*c,x,2), diff(g*c,x), y];
%M (%o28) \left[ -\left(12\,g\,s\right)-5\,c\,g , 2\,c\,g-3\,g\,s , y \right] 
%M (%i29) star3 : 'diff(y,x,2) + 4*'diff(y,x) + 104*y = 0;
%M (%o29) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,y+4\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)+104\,y=0
%M (%i30) e1 : subst([y=g*c], star3);
%M (%o30) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,\left(c\,g\right)+4\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,\left(c\,g\right)\right)+104\,c\,g=0
%M (%i31) ev(e1, diff);
%M (%o31) 4\,\left(2\,c\,g-3\,g\,s\right)-12\,g\,s+99\,c\,g=0
%M (%i32) expand(ev(e1, diff));
%M (%o32) 107\,c\,g-24\,g\,s=0
%L maximahead:sa("Q2 d", "")
\pu

{\bf Questão 2: gabarito em Maxima}

\scalebox{0.27}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {13cm}
\ga{Q2 ab}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {13cm}
\ga{Q2 bc}


}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {13cm}
\ga{Q2 d}

}}

\newpage

% «gab-345»  (to ".gab-345")
% (c2m242p2p 7 "gab-345")
% (c2m242p2a   "gab-345")

%M (%i1) /* (3a): 0.3 */
%M e1  : 'diff(y,x) - 2*y/x = 3*x;
%M (%o1) {\frac{d}{d\,x}}\,y-{\frac{2\,y}{x}}=3\,x
%M (%i2) sol : ode2(e1,y,x);
%M (%o2) y=x^2\,\left(3\,\log x+\mathrm{\%c}\right)
%M (%i3) /* (3b): 0.7 */
%M e2  : subst(sol, e1);
%M (%o3) {\frac{d}{d\,x}}\,\left(x^2\,\left(3\,\log x+\mathrm{\%c}\right)\right)-2\,x\,\left(3\,\log x+\mathrm{\%c}\right)=3\,x
%M (%i4) ev(e2, diff);
%M (%o4) 3\,x=3\,x
%L maximahead:sa("Q3", "")
\pu

%M (%i1) load("~/MAXIMA/2024-2-C2-E5.mac")$
%M (%i2) [star5_x, star5_y] : [20*  x*y^3, 30*x^2*y^2];
%M (%o2) \left[ 20\,x\,y^3 , 30\,x^2\,y^2 \right] 
%M (%i3) [star6_x, star6_y] : [20*x*2*y^3, 30*x^2*y^2];
%M (%o3) \left[ 40\,x\,y^3 , 30\,x^2\,y^2 \right] 
%M (%i4) [star7_x, star7_y] : [8*x*y^2,     8*x^2*y+5];
%M (%o4) \left[ 8\,x\,y^2 , 8\,x^2\,y+5 \right] 
%M (%i5) /* (4a): 0.1 pts */
%M [diff(star5_x,y), diff(star5_y,x)];
%M (%o5) \left[ 60\,x\,y^2 , 60\,x\,y^2 \right] 
%L maximahead:sa("Q4 a", "")
\pu

%M (%i6) /* (4b): 0.1 pts */
%M [diff(star6_x,y), diff(star6_y,x)];
%M (%o6) \left[ 120\,x\,y^2 , 60\,x\,y^2 \right] 
%M (%i7) /* (4c): 0.4 pts */
%M caixinhas_2            (star5_x,star5_y);
%M (%o7) \left[ \begin{pmatrix}0&20&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&30&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i8) caixinhas_3(10*x^2*y^3, star5_x, star5_y);
%M (%o8) \left[ \begin{pmatrix}0&0&10&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&20&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&30&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i9) caixinhas_1(10*x^2*y^3);
%M (%o9) \left[ \begin{pmatrix}0&0&10&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&20&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&30&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i10) e1 : star5_x + star5_y * 'diff(y,x) = 0;
%M (%o10) 30\,x^2\,y^2\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)+20\,x\,y^3=0
%M (%i11) e2 : 10*x^2*y^3 = C;
%M (%o11) 10\,x^2\,y^3=C
%M (%i12)      solve(e2, y);
%M (%o12) \left[ y={\frac{\left(\sqrt{3}\,i-1\right)\,C^{{\frac{1}{3}}}}{2\,10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}} , y=-\left({\frac{\left(\sqrt{3}\,i+1\right)\,C^{{\frac{1}{3}}}}{2\,10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}}\right) , y={\frac{C^{{\frac{1}{3}}}}{10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}} \right] 
%M (%i13) e3 : solve(e2, y)[3];
%M (%o13) y={\frac{C^{{\frac{1}{3}}}}{10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}}
%L maximahead:sa("Q4 b", "")
\pu

%M (%i14) 
%M /* (4d): 0.4 pts */
%M e4 : subst(e3, e1);
%M (%o14) 3\,10^{{\frac{1}{3}}}\,C^{{\frac{2}{3}}}\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,\left({\frac{C^{{\frac{1}{3}}}}{10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}}\right)\right)\,x^{{\frac{2}{3}}}+{\frac{2\,C}{x}}=0
%M (%i15) ev(e4, diff);
%M (%o15) 0=0
%M (%i16) 
%M /* (4e): 0.1 pts */
%M [diff(star7_x,y), diff(star7_y,x)];
%M (%o16) \left[ 16\,x\,y , 16\,x\,y \right] 
%M (%i17) 
%M /* (4f): 0.9 pts */
%M caixinhas_2                 (star7_x, star7_y);
%M (%o17) \left[ \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&8&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&8&0\cr 5&0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i18) caixinhas_3(4*x^2*y^2 + 5*y, star7_x, star7_y);
%M (%o18) \left[ \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&4&0\cr 5&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&8&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&8&0\cr 5&0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i19) sol : 4*x^2*y^2 + 5*y = 0;
%M (%o19) 4\,x^2\,y^2+5\,y=0
%L maximahead:sa("Q4", "")
\pu

%M (%i1) /* (5): 1.0 pts */
%M [a0, a1, a2] : [2^2/4!, 7^2/5!, 12^2/6!];
%M (%o1) \left[ {\frac{1}{6}} , {\frac{49}{120}} , {\frac{1}{5}} \right] 
%M (%i2) a(n) := (5*n+2)^2/(n+4)!;
%M (%o2) a\left(n\right):={\frac{\left(5\,n+2\right)^2}{\left(n+4\right)!}}
%M (%i3) [a(0), a(1), a(2)];
%M (%o3) \left[ {\frac{1}{6}} , {\frac{49}{120}} , {\frac{1}{5}} \right] 
%L maximahead:sa("Q5", "")
\pu

{\bf Questão 3, 4 e 5: gabarito em Maxima}

\scalebox{0.32}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {12cm}
\ga{Q3}

\vspace*{1cm}
\def\hboxthreewidth {12cm}
\ga{Q4 a}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q4 b}


}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q5}

}}









% (c2m232edovsp 6 "defs-e-exemplos")
% (c2m232edovsa   "defs-e-exemplos")


%\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
%
%$$\ga{reset}
%  \begin{array}{rcl}
%  \ga{[M]}   &=& \ga{(M)}   \\ \\[-5pt]
%  \ga{[F3]}  &=& \ga{(F3)}  \\ \\[-5pt]
%  \ga{[EL3]} &=& \ga{(EL3)} \\ \\[-5pt]
%  \end{array}
%$$
%
%}\anothercol{
%}}

\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-P2")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2p2"
% ee-tla: "c2m242p2"
% End: