% (find-LATEX "2025-1-C2-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-VS.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-VS.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-VS.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-VS.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-VS"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-VS.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-1-C2-VS")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-VS.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf
%               file:///tmp/2025-1-C2-VS.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-1-C2-VS.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-VS.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-VS" "2" "c2m251vs" "c2vs")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.por-com-1»		(to "por-com-1")
% «.por-com-2»		(to "por-com-2")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

\def\veja#1{\text{Veja \Ca{#1}}}
\def\porcom#1#2{\text{Por \ga{#1} com $#2$}}

\sa    {[S]}{\CFname{S}{}}
\sa {[RPot]}{\CFname{RPot}{}}
\sa{[RProd]}{\CFname{RProd}{}}
\sa   {[RC]}{\CFname{RC}{}}
\sa  {[RMC]}{\CFname{RMC}{}}
\sa{[RSoma]}{\CFname{RSoma}{}}
\sa {[TFC2]}{\CFname{TFC2}{}}
\sa{[TFC2?]}{\CFname{TFC2?}{}}
\sa{[TFC2L]}{\CFname{TFC2L}{}}
\def\P#1{\left( #1 \right)}

% «defs-mvdefs»  (to ".defs-mvdefs")
%\input 2024-1-C2-mv-defs.tex          % (find-LATEX "2024-1-C2-mv-defs.tex")
\input 2025-1-C2-mv-defs.tex          % (find-LATEX "2025-1-C2-mv-defs.tex")

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")

% «defs-edoexs»  (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")

\def\eqa{\overset{\scriptscriptstyle(a)}{=}}
\def\eqb{\overset{\scriptscriptstyle(b)}{=}}

\sa{gab 3a}{
  \begin{array}[t]{ll}
  \multicolumn{2}{l}{ \D \intx{\frac{4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3}{x}} } \\
     =& \intx{4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3 ·\frac{1}{x}} \\
  \eqa& \intu{4 \cos(u) (\sen(u))^3} \\
     =& \intu{4 (\sen(u))^3 \cos(u)} \\
  \eqb& \intv{4 v^3} \\
     =& v^4 \\
     =& (\sen u)^4 \\
     =& (\sen(\log x))^4 \\
  \end{array}
  \hspace*{-0.1cm}
  \begin{array}[t]{c}
    \\[15pt]
    \subst{u \;=\; \log x \\
           \frac{du}{dx} \;=\; \frac1x \\
           du \;=\; \frac1x dx \\
          } \\
    \\[-7pt]
    \subst{v \;=\; \sen u \\
           \frac{dv}{du} \;=\; \cos u \\
           dv \;=\; \cos u \, du \\
          } \\
    \\
    \vspace*{1.5cm}
  \end{array}
}

\sa{[S3a]}{\CFname{S3a}{}}
\sa{[S4a]}{\CFname{S4a}{}}
\sa{[S3b]}{\CFname{S3b}{}}
\sa{[S4b]}{\CFname{S4b}{}}
\sa{[S2b]}{\CFname{S2b}{}}

\sa{S3a}{\bsm{g(x):=\log x \\ g'(x):=\frac1x \\ f'(u):=4\cos(x)(\sen(u))^3}}
\sa{S4a}{\bsm{g(x):=\log x \\ g'(x):=\frac1x \\ f'(u):=4\cos(x)(\sen(u))^3 \\ f(u):=(\sen u)^4}}
\sa{S2b}{\bsm{x:=u \\ u:=v}}
\sa{S3b}{\bsm{g(x):=sen(x) \\ g'(x):=cos(x) \\ f'(u):=4u^3}}
\sa{S4b}{\bsm{g(x):=sen(x) \\ g'(x):=cos(x) \\ f'(u):=4u^3 \\ f(u):=u^4}}

\sa {MVI1 _s_ S3a}{
  \begin{array}{rcl}
    \intx {4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3·\frac1x}
    &=& \intu {4 \cos(u) (\sen(u))^3}  \\
  \end{array}
  }
\sa {MVD4 _s_ S3a}{
  \begin{array}{rcl}
    \Intx {a} {b} {4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3·\frac1x}
    &=& \Difx {a} {b} {f(\log x)}               \\
    &=& f(\log b) - f(\log a)                   \\
    &=& \Difu {\log a} {\log b}  {f(u)}         \\
    &=& \Intu {\log a} {\log b} {4 \cos(u) (\sen(u))^3}  \\
  \end{array}
  }
\sa {MVD4 _s_ S4a}{
  \begin{array}{rcl}
    \Intx {a} {b} {4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3·\frac1x}
    &=& \Difx {a} {b} {(\sen(\log x))^4}       \\
    &=& (\sen(\log b))^4 - (\sen(\log a))^4     \\
    &=& \Difu {\log a} {\log b}  {(\sen(u))^4}  \\
    &=& \Intu {\log a} {\log b} {4 \cos(u) (\sen(u))^3}  \\
  \end{array}
  }

\sa {MVI1 _s_ S3b}{
  \begin{array}{rcl}
    \intx {4 (\sen(x))^3 \cos(x)}
    &=& \intu {4 u^3}  \\
  \end{array}
  }
\sa {MVI1 _s_ S3b _s_ S2b}{
  \begin{array}{rcl}
    \intu {4 (\sen(u))^3 \cos(u)}
    &=& \intv {4 v^3}  \\
  \end{array}
  }
\sa {MVD4 _s_ S3b _s_ S2b}{
  \begin{array}{rcl}
    \Intu {a} {b} {4 (\sen(u))^3 \cos(u)}
    &=& \Difu {a} {b} {f(\sen(u))}         \\
    &=& f(\sen(b)) - f(\sen(a))            \\
    &=& \Difv {\sen(a)} {\sen(b)}  {f(v)}   \\
    &=& \Intv {\sen(a)} {\sen(b)} {4 v^3}  \\
  \end{array}
  }
\sa {MVD4 _s_ S4b _s_ S2b}{
  \begin{array}{rcl}
    \Intu {a} {b} {4 (\sen(u))^3 \cos(u)}
    &=& \Difu {a} {b} {(\sen(u))^4}       \\
    &=& (\sen(b))^4 - (\sen(a))^4     \\
    &=& \Difv {\sen(a)} {\sen(b)}  {v^4}  \\
    &=& \Intv {\sen(a)} {\sen(b)} {4 v^3}  \\
  \end{array}
  }


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m251vsp 1 "title")
% (c2m251vsa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}

\bsk

Prova suplementar (VS)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m251vsp 2 "links")
% (c2m251vsa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}

\newpage

% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c2m251p2p 3 "questao-1")
% (c2m251p2a   "questao-1")
% 2jT272: (c2m242p2p 3 "questao-1")
%         (c2m242p2a   "questao-1")
%         (c2m241p2p 3 "questao-1")
%         (c2m241p2a   "questao-1")
% (find-angg "MAXIMA/2024-2-C2-EDOVS.mac")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{-0.4cm}

\T(Total: 6.0 pts)

Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O $\ga{[F3]}$ abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
  \ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
  \end{array}
$$

\vspace*{-5cm}

}\anothercol{


Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{-2(x+2)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
  \end{array}
$$

a) \B (0.5 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.

\ssk

b) \B (0.5 pts) Encontre as duas soluções gerais explícitas da EDO
$(*)$ -- a solução ``positiva'' e a ``negativa'' -- e dê nomes para
elas.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Teste a sua solução ``negativa''.

\ssk

d) \B (0.5 pts) Sejam $P_1=(2,4)$, $P_2=(-2,2)$, $P_3=(-2,0)$ e
$P_4=(-1,1)$. Para cada desses pontos encontre uma solução particular
explícita que passa por ele e dê um nome pra ela.

\ssk

e) \B (0.5 pts) Faça os gráficos das soluções que você encontrou no
item (d). Dica: as funções que você deve ter encontrado passam por
vários pontos com coordenadas inteiras; comece desenhando esses
pontos.

\bsk

\standout{Muito importante:} leia a página do ``Lembre que...''!

% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")

}}

\newpage


\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

{\bf Questão 1, continuação}

\msk

No curso nós vimos um monte de partículas em português, como ``seja'',
que podem parecer óbvias à primeira vista, mas quando a gente vê a
tradução delas pro Maxima a gente consegue reconhecer que elas são
operações diferentes, com significados precisos, e que não são nada
óbvias -- tipo: se você explicar elas pra uma criança fazendo cara de
``é óbvio, sua burra!'' a criança vai berrar de desespero.

\ssk

Nós também vimos vários personagens. Imagina que o Alex e o Bob têm
que mostrar pro leitor sem nenhuma paciência que um certo ponto não
está no gráfico de uma determinada função, e o Alex escreve só
``$6 \neq \sqrt{2+3}$''. O leitor sem paciência vai achar isso
péssimo, porque não dá pra entender rápido nem qual é o ponto, nem
qual é a função, nem quais foram as operações que o Alex usou, nem
quais foram os passos. {\sl Mas o Bob escreveu uma solução que o
  leitor sem paciência achou claríssima -- o leitor sem paciência
  conseguiu entender todos os passos dela num instante}.

\ssk

No próximo item ``encontrar os resultados certos'' vai valer 1.0 e
``usar as partículas em português corretamente'' vai valer 2.5.
Improvise se precisar -- se você não souber o modo curto de escrever
alguma coisa escreva como der, e se você não souber detalhar algum
passo faça ele sem detalhes mesmo. O ideal seria você fazer algo com o
Padrão Bob de Qualidade, mas faça o que der e tente não empacar --
lembre que o tempo é limitado!

\ssk

f) \B (3.5 pts) No item (d) você tinha 4 pontos e 4 funções -- ou 4
equações. Quais destes pontos obedecem quais destas equações? Ou, em
outras palavras, quais destes pontos estão nos gráficos de quais
destas funções?

\ssk




}\anothercol{

% «questao-3»  (to ".questao-3")
% (c2m251p1p 2 "questao-3")
% (c2m251p1a   "questao-3")
% (c2m251dip 12 "chutar-e-testar")
% (c2m251dia    "chutar-e-testar")

{\bf Questão 2}

\T(Total: 5.0 pts)

\msk

Seja:
%
$$F(x) \;=\; \intx{\frac{4 \cos(\log x) (\sen(\log x))^3}{x}}.$$

%                         ⌠                  3
%                         ⎮ 4 cos(log(x)) sin (log(x))
% (%o9)                   ⎮ ────────────────────────── dx
%                         ⎮             x
%                         ⌡

a) \B (0.5 pts) Integre $F(x)$ pelo ``método rápido'' dos anexos --
use duas mudanças de variável, cada uma com uma caixinha de anotações,
e siga exatamente o modelo -- alinhe os sinais de `$=$', etc.

\ssk

{\sl Chame a igualdade da primeira mudança de variável de `$\eqa$' e a
  da segunda mudança de variável de `$\eqb$'.}

\msk

b) \B (2.0 pts) Imagine que alguém te diz ``eu não acredito no método
rápido, você pode me mostrar justificativas pras igualdades `$\eqa$' e
`$\eqb$' usando casos particulares da \ga{[MVI1]}?''

\ssk

{\sl Traduza as suas justificativas do item (a) pra justificativas que
satifaçam a pessoa do item (b).}

\msk

c) \B (2.5 pts) Imagine que alguém te diz ``eu não acredito na
\ga{[MVI1]}, você pode me mostrar justificativas pras igualdades
`$\eqa$' e `$\eqb$' usando casos particulares da \ga{[MVD4]}?''

\ssk

{\sl Traduza as suas justificativas do item (b) pra justificativas que
  satifaçam a pessoa do item (c).}

}}


\newpage

% (c2m251p2p 5 "lembre-que-mangas")
% (c2m251p2a   "lembre-que-mangas")

% «lembre-que-mangas»  (to ".lembre-que-mangas")
% (c2m251p2p 5 "lembre-que-mangas")
% (c2m251p2a   "lembre-que-mangas")

{\bf Anexo 1: lembre que... mangas}

%M (%i1) edo  : 'diff(y,x) = -x/y;
%M (%o1) {\frac{d}{d\,x}}\,y=-\left({\frac{x}{y}}\right)
%M (%i2) imp  : ode2(edo,y,x);
%M (%o2) -\left({\frac{y^2}{2}}\right)={\frac{x^2}{2}}+\mathrm{\%c}
%M (%i3) exps : solve(imp,y);
%M (%o3) \left[ y=-\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} , y=\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} \right] 
%M (%i4) exps : subst(%c=-C3/2, %);
%M (%o4) \left[ y=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} , y=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} \right] 
%M (%i5) define(f1(x), rhs(exps[1]));
%M (%o5) \mathrm{f1}\left(x\right):=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i6) define(f2(x), rhs(exps[2]));
%M (%o6) \mathrm{f2}\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i7) define(f3(x), subst(C3=25, f2(x)));
%M (%o7) \mathrm{f3}\left(x\right):=\sqrt{25-x^2}
%M (%i8)    3=f3(4);
%M (%o8) 3=3
%M (%i9) is(3=f3(4));
%M (%o9) \mathbf{true}
%L maximahead:sa("manga", "")
\pu

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

{}

Lembre que:

\begin{itemize}

\item nós estamos usando o termo ``mangas'' pra palavras ou símbolos
  que podem ter vários significados diferentes,

\item o `$=$' é uma manga,

\item NO MEU CRITÉRIO DE CORREÇÃO distinguir os vários tipos de `$=$'
  vale boa parte dos pontos de cada questão,

\item a gente geralmente usa partículas em português pra distinguir os
  vários tipos de `$=$'s,

\item as partículas que nós usamos mais vezes no curso são ``então'',
  ``lembre que'', ``sabemos que'' -- sendo que estas às vezes são
  omitidas -- e ``seja'', ``queremos que'', ``vamos supor que'',
  ``vamos testar se'',

\item nós usamos testes e chutar-e-testar bastante no curso, mas nos
  livros eles aparecem pouquíssimo -- os livros costumam mostrar só o
  que dá certo,

\item no curso eu muitas vezes usava `$\smile$' e `$\frown$' pra
  indicar ``deu certo'' e ``deu errado''.

\item uma das minhas desculpas pra usar o Maxima no curso é que quando
  a gente traduz as contas de C2 pra Maxima os `$=$'s com significados
  diferentes têm traduções totalmente diferentes.

\end{itemize}

}\anothercol{

Um exemplo em Maxima:

\bsk

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {10cm}
$\scalebox{0.65}{\ga{manga}}$

}}

\newpage

% (c2m251introp 37 "contexto")
% (c2m251introa    "contexto")

{\bf Anexo 2: contexto}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

    Quase todas as expressões matemáticas que usamos em C2
    \ColorRed{dependem do contexto}. Por exemplo, a interpretação
    \ColorRed{default} pra esta expressão aqui:
    % 
    $$f(x) = x-9 = 2$$

    é:
    % 
    $$\begin{tabular}{l}
        \ColorRed{Para toda} função $f:\R→\R$ \\
        e para todo $x∈\R$ temos: \\
        $f(x) = x-9 = 2$
      \end{tabular}
    $$

    Se você só escreve ``$f(x) = x-9 = 2$'' e mostra isso pro ``colega
    que seja seu amigo'' ele vai levar meia hora tentando adivinhar
    qual foi o contexto que você estava pensando mas não escreveu...
      
    ...e se ele descobrir em menos de, digamos, 50 tentativas, ele
    vai dizer ``ok, jóia, tá certo!''.

}\anothercol{

    O ``colega que seja menos seu amigo'' vai fazer menos tentativas,
    e os personagens ``o monitor'' e ``o professor'' da Dica 7 vão
    checar se o que você escreveu vai ser entendido corretamente por
    qualquer pessoa que saiba as convenções de como escrever
    matemática.

    \msk

    Lembre que \ColorRed{quase todo mundo} pára de ler um texto matemático
    quando vê uma besteira muito grande escrita nele. Imagine
    que um ``colega que seja menos seu amigo'' te mostra a
    solução dele pra um problema e te pergunta se está certa.
    A solução dele começa com:
    %
    $$\text{Sabemos que $2=3$. Então...}$$

    O que você faria?

    \bsk
    \bsk
    \bsk
    \bsk
    \bsk

    Dica: releia isto aqui:

    \Ca{Slogans27:07} até 32:45

}}

\newpage

% 2fT126: (c2m222p2p 5 "questao-1-gab")
%         (c2m222p2a   "questao-1-gab")

{\bf Anexo 3: um gabarito de 2022.2}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

A substituição é:
%
$$\ga{[S]} \;=\;
  \bmat{
    G(x) := x^4 + 5 \\
    H(y) := y^2 + 3 \\
    g(x) := 4x^3 \\
    h(y) := 2y \\
    H^{-1}(x) := \sqrt{x-3} \\
  }
$$

a) Seja:
%
$$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3}{2y} \qquad (*)$$

b)
%
 $\begin{array}[t]{lrcl}
  \text{Seja:}  & H^{-1}(x) &=& \sqrt{x-3}. \\
  \text{Temos:} & H^{-1}(H(y)) &=& \sqrt{H(y)-3} \\
                &              &=& \sqrt{(y^2+3)-3} \\
                &              &=& y. \\
  \end{array}
 $

\msk

c) $\begin{array}[t]{lrcl}
       & y &=& H^{-1}(G(x)+C_3) \\
          &&=& \sqrt{(G(x)+C_3)-3} \\
          &&=& \sqrt{((x^4+5)+C_3)-3} \\
          &&=& \sqrt{x^4+2+C_3} \\
    \text{Seja:} &
      f(x) &=& \sqrt{x^4+2+C_3}. \\
    \end{array}
   $


}\anothercol{

\vspace*{0cm}

d) $\begin{array}[t]{l}
    \text{Será que $f(x)$ obedece $(*)$?} \\
    \text{Temos }
    f'(x) = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}},
    \text{ e com isso:}
    \\
    \\[-5pt]
    \left(
      f'(x) = \frac{4x^3}{2f(x)}
    \right)
    \bmat{
      f(x) = \sqrt{x^4+2+C_3} \\
      f'(x) = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}} \\
    }
    \\
    = \;\;
    \left(
      \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}}
      = \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+2+C_3}}
    \right)
    \qquad \smile \\
    \end{array}
   $

\bsk

e) $\begin{array}[t]{lrcl}
    \text{Se}    & f(x_1) &=& y_1, \\
    \text{i.e.,} & f(1)   &=& 2,   \\
    \text{então} & f(1)   &=& \sqrt{1^4+2+C_3} \\
                         &&=& \sqrt{3+C_3} \\
                 & 2      &=& \sqrt{3+C_3} \\
                 & 2^2    &=& \sqrt{3+C_3}^2 \\
                 & 4      &=&       3+C_3    \\
                 & C_3    &=& 1 \\
                 & f(x)   &=& \sqrt{x^4+2+C_3} \\
                 &        &=& \sqrt{x^4+3} \\
    \text{Seja:} & f_1(x) &=& \sqrt{x^4+3}. \\
    \end{array}
   $

\bsk

f) $\begin{array}[t]{lrcl}
    \text{Será que} & f_1(x_1) &=& y_1, \\
    \text{i.e.,}    & f_1(1)   &=& 2?   \\
                & \sqrt{1^4+3} &=& \sqrt{4} \\
                              &&=& 2 \qquad \smile \\
    \end{array}
   $


}}


\newpage

%  ____                                    _ 
% |  _ \ ___  _ __    ___ ___  _ __ ___   / |
% | |_) / _ \| '__|  / __/ _ \| '_ ` _ \  | |
% |  __/ (_) | |    | (_| (_) | | | | | | | |
% |_|   \___/|_|     \___\___/|_| |_| |_| |_|
%                                            
% «por-com-1»  (to ".por-com-1")
% (c2m251vsp 5 "por-com-1")
% (c2m251vsa   "por-com-1")
% 2jT77: (c2m242justp 5 "por-com-1")
%        (c2m242justa   "por-com-1")
% (c2m232justp 5 "por-com-1")
% (c2m232justa   "por-com-1")

\def\steq{\standout{$=$}}
\def\st#1{\standout{$#1$}}
\def\St#1{\standout{$\mathstrut#1$}}

{\bf Anexo 4: O que quer dizer ``Por $\ldots$ com $\ldots$''?}

\scalebox{0.48}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$$\begin{array}{rcll}
  F(x)  &=& (6x^3)(7x^4) \\
  F'(x) &=& ((6x^3)(7x^4))' \\
        &=& \st{\ddx((6x^3)(7x^4))} \\
    &\steq& \st{(6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3)} & \porcom{[RProd]}
                                                    {\st{f(x)}=\st{6x^3}, \st{g(x)}=\st{7x^4}} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6\ddx x^3 & \porcom{[RMC]}{c=6, f(x)=x^3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6·3 x^2   & \porcom{[RPot]}{n=3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)(18x^2)    \\
        &=& (6x^3)·7\ddx x^4 + (7x^4)(18x^2)    & \porcom{[RMC]}{c=7, f(x)=x^4}  \\
        &=& (6x^3)·7·4x^3 + (7x^4)(18x^2)       & \porcom{[RPot]}{n=4} \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + 126x^6 \\
        &=& 168x^6 + 126x^6 \\
        &=& 294x^6 \\
  \end{array}
$$

Compare: nós definimos $\ga{[RProd]}$ como esta igualdade,
%
$$\ga{[RProd]} \;\;=\;\; \P{\ddx(f(x)g(x)) = f(x) \ddx g(x) + g(x) \ddx f(x)}$$

e se substituirmos $f(x)$ por $6x^3$ e $g(x)$ por $7x^4$ na igualdade
$\ga{[RProd]}$ nós obtemos isto aqui,
%
$$\begin{array}{lcll}
  \ga{[RProd]}         &=& \P{\D \ddx(f(x)g(x)) = f(x) \ddx g(x) + g(x) \ddx f(x)} \\
  \ga{[RProd]} \bmat{\st{f(x)} := \st{6x^3} \\
                     \st{g(x)} := \st{7x^4} \\
                    }
                       &=& \P{\st{\D \ddx((6x^3)(7x^4))}
                              \;\st{=}\;
                              \st{(6x^3) \ddx (7x^4) + (7x^4) \ddx (6x^3)}} \\
  \end{array}
$$

que é exatamente a igualdade que eu marquei lá em cima...

}\anothercol{
}}



\newpage

%  ____                                    ____  
% |  _ \ ___  _ __    ___ ___  _ __ ___   |___ \ 
% | |_) / _ \| '__|  / __/ _ \| '_ ` _ \    __) |
% |  __/ (_) | |    | (_| (_) | | | | | |  / __/ 
% |_|   \___/|_|     \___\___/|_| |_| |_| |_____|
%                                                
% «por-com-2»  (to ".por-com-2")
% (c2m232justp 6 "por-com-2")
% (c2m232justa   "por-com-2")

{\bf Anexo 5: o que quer dizer ``Por $\ldots$ com $\ldots$''? (2)}


\scalebox{0.48}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$$\begin{array}{rcll}
  F(x)  &=& (6x^3)(7x^4) \\
  F'(x) &=& ((6x^3)(7x^4))' \\
        &=& \ddx((6x^3)(7x^4)) \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3) & \porcom{[RProd]}
                                                    {f(x)=6x^3, g(x)=7x^4} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6\ddx x^3 & \porcom{[RMC]}{c=6, f(x)=x^3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6·3 x^2   & \porcom{[RPot]}{n=3} \\
        &=& (6x^3)\st{\ddx(7x^4)} + (7x^4)(18x^2) \\
    &\steq& (6x^3)·\st{7\ddx x^4} + (7x^4)(18x^2) & \porcom{[RMC]}{\st{c}=\st{7},\st{f(x)}=\st{x^4}} \\
        &=& (6x^3)·7·4x^3 + (7x^4)(18x^2)       & \porcom{[RPot]}{n=4} \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + 126x^6 \\
        &=& 168x^6 + 126x^6 \\
        &=& 294x^6 \\
  \end{array}
$$

Lembre que a ``regra da multiplicação por constante'' é esta igualdade
aqui,
%
$$\ga{[RMC]} \;\;=\;\; \P{\ddx(cf(x)) = c\ddx f(x)}$$

e se substituirmos $c$ por 7 e $f(x)$ por $x^4$ nela nós obtemos isto
aqui,
%
$$\begin{array}{lcll}
  \ga{[RMC]}                 &=& \P{\D \ddx(cf(x)) = c\ddx f(x)} \\
  \ga{[RMC]} \bmat{\st{c} := \st{7} \\
                   \st{f(x)} := \st{x^4} \\
                    }
                       &=& \P{\st{\D\ddx(7x^4)}
                              \;\st{=}\;
                              \st{\D 7 \ddx x^4}} \\
  \end{array}
$$

O `$\steq$' logo acima desta frase justifica a parte que muda no
`$\steq$' lá de cima!

}\anothercol{
}}


\newpage

% (c2m251dicasp1p 4 "mais-sobre-o-modo-rapido")
% (c2m251dicasp1a   "mais-sobre-o-modo-rapido")

% (c2m251dicasp1p 4 "mais-sobre-o-modo-rapido")
% (c2m251dicasp1a   "mais-sobre-o-modo-rapido")
% 2hT191: (c2m232p1p 6 "questao-2-gab")
%         (c2m232p1a   "questao-2-gab")
% 2gT46: (c2m231mvp 6 "caixinhas")
%        (c2m231mva   "caixinhas")

{\bf Anexo 6: método rápido, \ga{[MVI1]}, \ga{[MVD4]}}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Lembre que o ``método rápido'' tem essa cara aqui:
%
$$\begin{array}[t]{ll}
  \\
  \multicolumn{2}{l}{ \D \intx{\frac{(\ln x)^3 \cos((\ln x)^4)}{x}} } \\
  =& \intx{(\ln x)^3 \cos((\ln x)^4)\frac{1}{x}} \\
  =& \intu{u^3 \cos(u^4)} \\
  =& \intu{\cos(u^4)u^3} \\
  =& \intv{\cos v·\frac14} \\
  =& \frac14 \intv{\cos v} \\
  =& \frac14 \sen v \\
  =& \frac14 \sen(u^4) \\
  =& \frac14 \sen((\ln x)^4) \\
  \end{array}
  \hspace*{-0.1cm}
  \begin{array}[t]{c}
    \\
    \subst{u \;=\; \ln x \\
           \frac{du}{dx} \;=\; \frac1x \\
           du \;=\; \frac1x dx \\
          } \\
    \\[-5pt]
    \subst{v \;=\; u^4 \\
           \frac{dv}{du} \;=\; 4u^3 \\
           dv \;=\; 4u^3 du \\
           \frac14 dv \;=\; u^3 du \\
          } \\
    \\
    \vspace*{1.5cm}
  \end{array}
$$

e em cada caixinha de anotações a) a primeira linha diz a relação
entre a variável antiga e a variável nova, b) todas as outras linhas
da caixinha são consequências dessa primeira, e c) dentro da caixinha
a gente permite gambiarras com diferenciais.


}\def\colwidth{10cm}\anothercol{

\aligneqswide
\mvdefaults

E lembre que:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[MVI1]} &=& \ga{(MVI1)} \\
  \ga{[MVD4]} &=& \ga{(MVD4)} \\
  \end{array}
$$



}}



\newpage


% «como-justificar-uma-MV»  (to ".como-justificar-uma-MV")
% 2kT110: (c2m251dip 17 "como-justificar-uma-MV")
%         (c2m251dia    "como-justificar-uma-MV")

{\bf Anexo 7: como justificar uma MV de cabeça}

\def\dudx{\frac{du}{dx}}
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{#2}}
\def\sfrac#1#2{{\textstyle\frac{#1}{#2}}}
\sa{anot1}{\bmat{u=x^3 \\ \dudx=\ddx u=\ddx x^3 = 3x^2 }}
\sa{anot2}{\bmat{u=x^3 \\ \dudx=3x^2 }}
\sa{intx 2}{\int {     \cos(\und{x^3}{ u  }) · \sfrac13 · \und{\und{3x^2}{\dudx}\,dx}{du}}}
\sa{intu 2}{\intu{     \cos(           u   ) · \sfrac13}}
\sa{intx 3}{\intx{\und{\cos(\und{x^3}{g(x)}) · \sfrac13}{f'(g(x))} · \und{3x^2}{g'(x)} }}
\sa{intu 3}{\intu{\und{\cos(           u   ) · \sfrac13}{f'(u)}}}

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

{}

Por exemplo...

$$\begin{array}{rclc}
  \D \intt{t^2 \cos(t^3)} &=& \Rq \\
  \D \intx{x^2 \cos(x^3)} &=& \Rq & \ga{anot1}         \\ \\[-11pt]
  \D \ga{intx 2}         &=& \D \ga{intu 2} & \ga{anot2} \\ \\[-11pt]
  \D \ga{intx 3}         &=& \D \ga{intu 3}  \\
  \end{array}
$$

\mvdefaults
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{#2}}
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{\textstyle #2}}

\sa{[MVI1] sp}{\phantom{mmmmmm} \ga{[MVI1]} \phantom{mmmmmm}}
\sa   {mvi1 1}{\intx{f'(g(x))g'(x)} = \intu{f'(u)}}
\sa   {mvi1 2}{\intx{\cos(x^3)·\sfrac13·3x^2} = \intu{\cos(u)·\sfrac13}}
\sa       {s1}{\bmat{g(x):=x^3 \\ g'(x):=3x^2 \\ f'(u):=\cos(u)·\sfrac13}}
\sa       {s2}{\bmat{x:=t \\ u:=w}}
\sa     {s1 b}{\bmat{g(x):=x^3 \\ g'(x):=3x^2 \\ f'(u):=\sfrac13\cos(u)}}
\sa   {mvi1 3}{\intt{\cos(t^3)·\sfrac13·3t^2} = \intw{\cos(w)·\sfrac13}}


$$\begin{array}{rclc}
   \und{\und{\und{\ga{[MVI1] sp}}
            {\ga{mvi1 1}}
             \ga{s1}
            }{\ga{mvi1 2}}
        \ga{s2}
       }{\ga{mvi1 3}}
    \\
 \end{array}
$$

$$\begin{array}{rclc}
  \D \intt{t^2 \cos(t^3)}
     &=& \D \intw{\sfrac13 \, \cos(w)}
     & \;\; \text{Por $\ga{[MVI1]} \ga{s1 b} \ga{s2}$} \\
  \end{array}
$$


}\def\colwidth{9cm}\anothercol{

{\bf Dicas:}

Repare que no exemplo à esquerda o problema original era este,
%
$$ \D \intt{t^2 \cos(t^3)} = \Rq $$

e eu resolvi ele nesta ordem: 1) eu mudei a variável dele pra $x$ pra
ficar com algo mais parecido com a $\ga{[MVI1]}$, 2) eu escolhi a
mudança de variável certa, que era $u=x^3$, 3) eu calculei o $\dudx$,
4) eu rearrumei o problema original pro $\dudx$ ficar colado no $dx$,
5) eu fiz a mudança de variável pelo método rápido, 6) eu reescrevi as
anotações do método rápido pra obter $g(x)$, $g'(x)$ e $f'(u)$, 7) eu
transformei essas $g(x)$, $g'(x)$ e $f'(u)$ numa substituição, 8) eu
calculei os resultados parciais dessa substituição e da
$\bsm{x:=t \\ u:=w}$, 9) eu reescrevi a substituição que eu tinha
obtido e testado pra fingir que eu primeiro tinha resolvido o problema
original de cabeça e depois eu escrevi a justificativa porque alguém
me perguntou como eu tinha chegado naquele resultado.

}}


\newpage



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C2-VS")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2vs"
% ee-tla: "c2m251vs"
% End:
