|
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% (find-LATEX "2024-2-C2-somas-de-riemann.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C2-somas-de-riemann.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C2-somas-de-riemann.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-somas-de-riemann.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-somas-de-riemann.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C2-somas-de-riemann"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
% (code-eec-LATEX "2024-2-C2-somas-de-riemann")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% file:///tmp/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% file:///tmp/pen/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C2-somas-de-riemann" "2" "c2m242sr" "c2sr")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.links-stewart» (to "links-stewart")
% «.links-miranda» (to "links-miranda")
% «.links-leithold» (to "links-leithold")
% «.links-ross» (to "links-ross")
% «.links-quadros» (to "links-quadros")
% «.descontinuidades» (to "descontinuidades")
% «.descontinuidades-2» (to "descontinuidades-2")
% «.descontinuidades-4» (to "descontinuidades-4")
% «.descontinuidades-8» (to "descontinuidades-8")
% «.descontinuidades-16» (to "descontinuidades-16")
% «.descontinuidades-32» (to "descontinuidades-32")
% «.descontinuidades-64» (to "descontinuidades-64")
% «.descontinuidades-128» (to "descontinuidades-128")
% «.montanhas» (to "montanhas")
% «.montanhas-figs» (to "montanhas-figs")
% «.miranda-sup-inf» (to "miranda-sup-inf")
% «.particoes» (to "particoes")
% «.def-particao» (to "def-particao")
% «.particoes-exercs» (to "particoes-exercs")
% «.dica-simplificacao» (to "dica-simplificacao")
% «.aviso» (to "aviso")
% «.aviso-2» (to "aviso-2")
% «.um-jogo» (to "um-jogo")
% «.um-jogo-2» (to "um-jogo-2")
% «.imagens-figuras» (to "imagens-figuras")
% «.imagens-de-intervalos» (to "imagens-de-intervalos")
% «.imagens-exercicio» (to "imagens-exercicio")
% «.imagens-exercicio-grid» (to "imagens-exercicio-grid")
% «.def-inf-e-sup» (to "def-inf-e-sup")
% «.descontinua» (to "descontinua")
% «.fig-with-inftys» (to "fig-with-inftys")
% «.para-todo-e-existe» (to "para-todo-e-existe")
% «.visualizando-fas-e-exs» (to "visualizando-fas-e-exs")
% «.acima-e-abaixo» (to "acima-e-abaixo")
% «.instrucoes-des-defs» (to "instrucoes-des-defs")
% «.instrucoes-des-1» (to "instrucoes-des-1")
% «.instrucoes-des-2» (to "instrucoes-des-2")
% «.instrucoes-des-ex» (to "instrucoes-des-ex")
% «.instrucoes-des-grid» (to "instrucoes-des-grid")
% «.instrucoes-des-ex-2» (to "instrucoes-des-ex-2")
% «.algumas-somas» (to "algumas-somas")
% «.def-integral» (to "def-integral")
% «.into-e-intu» (to "into-e-intu")
% «.maxima-intervals» (to "maxima-intervals")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
\def\Rext{\overline{\R}}
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}
\def\into{\overline ∫}
\def\intu{\underline∫}
\def\intou{\overline{\underline∫}}
\def\INTx#1#2#3#4{#1_{x=#2}^{x=#3} #4 \, dx}
\def\INTP #1#2#3{#1_{#2} #3 \, dx}
\def\mname#1{\ensuremath{[\text{#1}]}}
\def\minf{\mname{inf}}
\def\msup{\mname{sup}}
\def\sse {\text{sse}}
\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\sa{into_P f(x) dx}{\INTP{\into} {P}{f(x)}}
\sa{intu_P f(x) dx}{\INTP{\intu} {P}{f(x)}}
\sa{intou_P f(x) dx}{\INTP{\intou}{P}{f(x)}}
\sa{into_Q f(x) dx}{\INTP{\into} {Q}{f(x)}}
\sa{intu_Q f(x) dx}{\INTP{\intu} {Q}{f(x)}}
\sa{intou_Q f(x) dx}{\INTP{\intou}{Q}{f(x)}}
\sa{into_ab2k f(x) dx}{\INTP{\into} {[a,b]_{2^k}}{f(x)}}
\sa{intu_ab2k f(x) dx}{\INTP{\intu} {[a,b]_{2^k}}{f(x)}}
\sa{intou_ab2k f(x) dx}{\INTP{\intou}{[a,b]_{2^k}}{f(x)}}
\sa{into_xab f(x) dx}{\INTx{\into} {a}{b}{f(x)}}
\sa{intu_xab f(x) dx}{\INTx{\intu} {a}{b}{f(x)}}
\sa{intou_xab f(x) dx}{\INTx{\intou}{a}{b}{f(x)}}
\sa{int_xab f(x) dx}{\INTx{\int} {a}{b}{f(x)}}
% (find-LATEX "2022-1-C2-infs-e-sups.tex" "defs")
\def\Intover #1#2{\overline {∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intunder #1#2{\underline{∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intoverunder#1#2{\Intover{#1}{#2} - \Intunder{#1}{#2}}
\def\Intxover #1#2#3{\overline {∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intxunder #1#2#3{\underline{∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intoverunder #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1} #2\,dx}
\def\Intxoverunder#1#2#3{\overline{\underline{∫}}_{x=#1}^{x=#2} #3\,dx}
\def\IntPoverunder #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1} #2\,dx}
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m242srp 1 "title")
% (c2m242sra "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.2}
\bsk
Aulas ?? até ??: Somas de Riemann
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m242srp 2 "links")
% (c2m242sra "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a "descontinuidades")
\par Umas figuras (minhas) que mostram como
\par definir a integral como dois limites:
\par \Ca{2eT95} A integral como limite
% \par \Ca{2fT91} Algumas definições: partição, inf e sup, integral
\ssk
% 2iT19: (c2m241introp 18 "atirei")
% (c2m241introa "atirei")
% 2iT20: (c2m241introp 19 "imagens-de-intervalos")
% (c2m241introa "imagens-de-intervalos")
\par Alguns slides da introdução ao curso:
\par \Ca{2iT19} Atirei o Pau no Gato
\par \Ca{2iT20} Imagens de intervalos
\msk
% «links-stewart» (to ".links-stewart")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "329" "somas superiores")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "331" "pontos amostrais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "331" "notação de somatório")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "337" "pontos amostrais arbitrários")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "337" "Definição de integral definida")
% \par Stewart:
\par \Ca{StewPtCap5p8} (p.329) somas superiores e inferiores
\par \Ca{StewPtCap5p10} (p.331) pontos amostrais
\par \Ca{StewPtCap5p10} (p.331) notação de somatório
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) definição da integral definida
\ssk
% «links-miranda» (to ".links-miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "207" "7. Integração definida")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "212" "7.2. Integral definida")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "213" "marcas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "217" "soma superior e inferior")
% \par Miranda:
\par \Ca{Miranda207} 7.1 Áreas e somas de Riemann
\par \Ca{Miranda212} 7.2 Integral definida
\par \Ca{Miranda213} marcas; $C=\{x^*_i\}$
\par \Ca{Miranda217} 7.3. Definição 3: soma superior e inferior
\ssk
% «links-leithold» (to ".links-leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "313" "5.4.1. Definição: somatória")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "324" "5.5. A integral definida")
% \par Leithold:
\par \Ca{Leit5p35} (p.313) Definição 5.4.1: $\sum$
\par \Ca{Leit5p35} (p.318) Figura 3
\par \Ca{Leit5p36} (p.319) Figura 4
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) 5.5. A integral definida
\ssk
% «links-ross» (to ".links-ross")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "ross")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "ross" "269" "32 The Riemann Integral")
% 2iT20: (c2m241introp 19 "imagens-de-intervalos")
% (c2m241introa "imagens-de-intervalos")
\par Livro de Análise do Ross:
\par \Ca{RossAp16} (p.269) The Riemann Integral
\par \Ca{2hT12} Imagens de intervalos: o Daniel leva um ano
}\anothercol{
% «links-quadros» (to ".links-quadros")
Quadros:
% 2jQ65: (find-angg ".emacs" "c2q242" "25/11: somas de Riemann")
% 2iQ51: (find-angg ".emacs" "c2q241" "jul01: somas de Riemann")
% 2hQ39: (find-angg ".emacs" "c2q232" "sep25: Somas de Riemann, somatórios")
% 2gQ32: (find-angg ".emacs" "c2q231" "may23: A definição da integral")
\par \Ca{2jQ65} 2024.2, 25/nov/2024
\par \Ca{2iQ51} 2024.1, 01/jul/2024
\par \Ca{2hQ39} 2023.2, 25/set/2023
\par \Ca{2gQ32} 2023.2, 23/mai/2023
}\anothercol{
}}
\newpage
% «descontinuidades» (to ".descontinuidades")
% (c2m241srp 3 "descontinuidades")
% (c2m241sra "descontinuidades")
% (c2m232srp 3 "descontinuidades")
% (c2m232sra "descontinuidades")
% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a "descontinuidades")
{\bf Spoiler: descontinuidades}
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "PwFunction-tests")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "PwFunction-tests" "f_parabola_complicada")
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(8,5))
%L f_parabola_preferida = function (x)
%L return 4 - (x-2)^2
%L end
%L f_parabola_complicada = function (x)
%L if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L if x < 5 then return 5 - x end
%L if x < 6 then return 7 - x end
%L if x < 7 then return 3 end
%L if x == 7 then return 4 end
%L return 0.5
%L end
%L pwf = PwFunction.from(f_parabola_complicada, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L pwf:pw(0, 8):pgat("pgatc"):sa("Parabola complicada"):output()
%L
%L f_parabola_complicada_2 = function (x)
%L if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L if x < 5 then return 5 - x end
%L if x < 6 then return 7 - x end
%L if x < 7 then return 3 end
%L if x == 7 then return 5 end
%L return 0.5
%L end
%L pwf = PwFunction.from(f_parabola_complicada_2, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L pwf:pw(0, 8):pgat("pgatc"):sa("Parabola complicada 2"):output()
%L
\pu
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b]→\R$ é uma função qualquer.
Vamos definir o conjunto dos pontos de descontinuidade da $f$,
ou, pra abreviar, o ``conjunto das descontinuidades da $f$'', assim:
%
$$\mathsf{desc}(f) \;\; = \;\;
\setofst{x∈[a,b]}{f \text{ é descontinua em $x$}}
$$
A expressão ``$f$ tem um número finito de pontos de descontinuidade'',
que eu vou abreviar pra ``$f$ tem finitas descontinuidades'' apesar
disso soar bem estranho em português, vai querer dizer:
%
$$\mathsf{desc}(f) \text{\;\;é um conjunto finito}$$
O conjunto vazio é finito, então toda $f$ contínua ``tem finitas
descontinuidades''. Essa função aqui tem finitas descontinuidades:
%
$$\unitlength=7.5pt
\ga{Parabola complicada}
$$
A função de Dirichlet, que nós vimos aqui,
% (c2m211somas2p 46 "dirichlet")
% (c2m211somas2a "dirichlet")
\par \Ca{2dT104} (2021.2) A função de Dirichlet
\par tem infinitas descontinuidades.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «descontinuidades-2» (to ".descontinuidades-2")
% (c2m241srp 4 "descontinuidades-2")
% (c2m241sra "descontinuidades-2")
% (c2m241srp 4 "descontinuidades-2")
% (c2m241sra "descontinuidades-2")
% (c2m232srp 4 "descontinuidades-2")
% (c2m232sra "descontinuidades-2")
% (c2m221tfc1p 35 "descontinuidades-2")
% (c2m221tfc1a "descontinuidades-2")
% No semestre passado esta figura foi um exercício:
% (c2m211somas2p 45 "exercicio-18")
% (c2m211somas2a "exercicio-18")
{\bf Spoiler: descontinuidades (2)}
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(8,5))
%L rie = Riemann.fromf(f_parabola_complicada, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L rie2 = Riemann.fromf(f_parabola_complicada_2, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L rie :setab(0, 7.5)
%L rie2:setab(0, 7.5)
%L parabola_complicada_inf_sup_def = function (n, name)
%L local p = Pict {
%L -- rie:areainfsup(n):Color("Orange"),
%L -- rie:areasup(n):Color("Orange"),
%L -- rie:areasup(n):color("orange!50!yellow"),
%L rie:areasup(n):color("orange!75!white"),
%L rie:areainf(n):Color("Red"),
%L rie.pwf:pw(0, 8)
%L }
%L p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L end
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def = function (n, name)
%L local p = Pict {
%L -- rie2:areainfsup(n):Color("Orange"),
%L -- rie2:areasup(n):Color("Orange"),
%L -- rie2:areasup(n):color("orange!50!yellow"),
%L rie2:areasup(n):color("orange!75!white"),
%L rie2:areainf(n):Color("Red"),
%L rie2.pwf:pw(0, 8)
%L }
%L p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L end
%L parabola_complicada_inf_sup_def( 4, "Parabola complicada diff 4")
%L parabola_complicada_inf_sup_def( 8, "Parabola complicada diff 8")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(16, "Parabola complicada diff 16")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(32, "Parabola complicada diff 32")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(64, "Parabola complicada diff 64")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(128, "Parabola complicada diff 128")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def( 4, "Parabola complicada 2 diff 4")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def( 8, "Parabola complicada 2 diff 8")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(16, "Parabola complicada 2 diff 16")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(32, "Parabola complicada 2 diff 32")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(64, "Parabola complicada 2 diff 64")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(128, "Parabola complicada 2 diff 128")
\pu
\unitlength=10pt
Sejam
%
$$f(x) \;=\; \ga{Parabola complicada}
\quad
\text{e}
\quad
g(x) \;=\; \ga{Parabola complicada 2}
\; .
$$
As figuras dos próximos slides mostram
%
$$\IntPoverunder{[0,7.5]_{2^k}}{f(x)}
\quad
\text{e}
\quad
\IntPoverunder{[0,7.5]_{2^k}}{g(x)}
$$
para vários valores de $k$. Use-as pra entender porque
``na integral as descontinuidades não importam'' ---
se só tivermos um número finito de descontinuidades.
\unitlength=10pt
\def\paracompn#1{\newpage $$\scalebox{3}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}$$}
\unitlength=20pt
\def\paracompn#1{\newpage $$\scalebox{1.5}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}$$}
\def\paracompn#1{\newpage
\vspace*{0.4cm}
$$\scalebox{0.85}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}
\qquad
\scalebox{0.85}{$\ga{Parabola complicada 2 diff #1}$}
$$
}
\newpage
% «descontinuidades-4» (to ".descontinuidades-4")
% (c2m241srp 5 "descontinuidades-4")
% (c2m241sra "descontinuidades-4")
% (c2m232srp 5 "descontinuidades-4")
% (c2m232sra "descontinuidades-4")
\paracompn{4}
\newpage
% «descontinuidades-8» (to ".descontinuidades-8")
% (c2m241srp 6 "descontinuidades-8")
% (c2m241sra "descontinuidades-8")
% (c2m232srp 6 "descontinuidades-8")
% (c2m232sra "descontinuidades-8")
\paracompn{8}
\newpage
% «descontinuidades-16» (to ".descontinuidades-16")
% (c2m241srp 7 "descontinuidades-16")
% (c2m241sra "descontinuidades-16")
% (c2m232srp 7 "descontinuidades-16")
% (c2m232sra "descontinuidades-16")
\paracompn{16}
\newpage
% «descontinuidades-32» (to ".descontinuidades-32")
% (c2m241srp 8 "descontinuidades-32")
% (c2m241sra "descontinuidades-32")
% (c2m232srp 8 "descontinuidades-32")
% (c2m232sra "descontinuidades-32")
\paracompn{32}
\newpage
% «descontinuidades-64» (to ".descontinuidades-64")
% (c2m241srp 9 "descontinuidades-64")
% (c2m241sra "descontinuidades-64")
% (c2m232srp 9 "descontinuidades-64")
% (c2m232sra "descontinuidades-64")
\paracompn{64}
\newpage
% «descontinuidades-128» (to ".descontinuidades-128")
% (c2m241srp 10 "descontinuidades-128")
% (c2m241sra "descontinuidades-128")
% (c2m232srp 10 "descontinuidades-128")
% (c2m232sra "descontinuidades-128")
\paracompn{128}
\newpage
% «montanhas» (to ".montanhas")
% (c2m241srp 11 "montanhas")
% (c2m241sra "montanhas")
% (c2m232srp 11 "montanhas")
% (c2m232sra "montanhas")
% (c2m231srp 3 "montanhas")
% (c2m231sra "montanhas")
% (c2m222srp 8 "exercicio-4")
% (c2m222sra "exercicio-4")
% (c2m221somas3p 4 "exercicio-1")
% (c2m221somas3a "exercicio-1")
{\bf Montanhas}
\def\sumo{\sum_{i=1}^{8}}
\def\sumoo#1{\sumo #1 (x_i - x_{i-1})}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Seja $f(x)$ a função da próxima página -- ``as montanhas''.
Você vai receber (pelo menos) uma cópia dessa página.
Faça cada item abaixo em um dos 12 gráficos da $f(x)$.
\msk
Represente graficamente cada um dos somatórios abaixo.
Se você tiver dificuldade com algum desses somatórios
faça ele em vários passos, como nestes slides:
% (c2m222srp 6 "somatorios")
% (c2m222sra "somatorios")
% (c2m231srp 7 "particoes")
% (c2m231sra "particoes")
\par \Ca{2fT65} Somatórios
\par \Ca{2gT85} Partições, informalmente
\msk
a) $\sumoo{f(x_i)}$
\ssk
b) $\sumoo{f(x_{i-1})}$
\ssk
c) $\sumoo{\max(f(x_{i-1}), f(x_i))}$
\ssk
d) $\sumoo{\min(f(x_{i-1}), f(x_i))}$
\ssk
e) $\sumoo{f(\frac{x_{i-1} + x_i}{2})}$
\ssk
f) $\sumoo{\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% __ __ _ _
% | \/ | ___ _ _ _ __ | |_ __ _(_)_ __ ___
% | |\/| |/ _ \| | | | '_ \| __/ _` | | '_ \/ __|
% | | | | (_) | |_| | | | | || (_| | | | | \__ \
% |_| |_|\___/ \__,_|_| |_|\__\__,_|_|_| |_|___/
%
% «montanhas-figs» (to ".montanhas-figs")
% (c2m241srp 12 "montanhas-figs")
% (c2m241sra "montanhas-figs")
% (c2m232srp 12 "montanhas-figs")
% (c2m232sra "montanhas-figs")
% (c2m231srp 4 "montanhas-figs")
% (c2m231sra "montanhas-figs")
% (c2m222srp 9 "mountains")
% (c2m222sra "mountains")
% (c2m221somas3p 3 "mountains")
% (c2m221somas3a "mountains")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "Xtoxytoy-test2")
%
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(23,9))
%L spec = "(0,1)--(5,6)--(7,4)--(11,8)--(15,4)--(17,6)--(23,0)"
%L xs = { 1,3, 6, 9, 11, 13, 16,19, 21 }
%L labely = -1
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L xtos = Xtoxytoy.from(pws:fun(), xs)
%L vlines = xtos:topict("v")
%L curve = pws:topict()
%L labels = Pict {}
%L for i,x in ipairs(xs) do
%L labels:putstrat(v(x,labely), "\\cell{x_"..(i-1).."}")
%L end
%L p = Pict { vlines, curve:prethickness("2pt"), labels }
%L p:pgat("pA", {def="mountain"}):output()
\pu
\unitlength=8pt
\vspace*{-0.25cm}
\hspace*{-0.5cm}
$\scalebox{0.55}{$
\begin{array}{ccccc}
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
\end{array}
$}
$
\newpage
% _
% _ __ ___ (_)_ __ ___ _ __ ___ __ ___ __
% | '_ ` _ \| | '_ \ / _ \ | '_ ` _ \ / _` \ \/ /
% | | | | | | | | | | | __/ | | | | | | (_| |> <
% |_| |_| |_|_|_| |_|____ \___| |_| |_| |_|\__,_/_/\_\____
% |_____| |_____|
%
% «miranda-sup-inf» (to ".miranda-sup-inf")
% (c2m241srp 13 "miranda-sup-inf")
% (c2m241sra "miranda-sup-inf")
% (c2m232srp 13 "miranda-sup-inf")
% (c2m232sra "miranda-sup-inf")
% (c2m231srp 5 "montanhas-min-e-max")
% (c2m231sra "montanhas-min-e-max")
% (c2m222srp 10 "soma-superior-e")
% (c2m222sra "soma-superior-e")
{\bf Miranda: somas inferiores e superiores}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Nas páginas 217 e 218 o Miranda define as notações $I(f,P)$ e
$S(f,P)$, e lá no meio dessas definições ele define
%
$$\min_{x∈I} f(x)
\qquad
\text{e}
\qquad
\max_{x∈I} f(x)
$$
usando o truque do ``vire-se'': ele mostra uma figura e o leitor tem
que se virar pra entender o que essas notações querem dizer... veja:
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "soma superior")
% (find-dmirandacalcpage 217 "soma superior e inferior")
% (find-dmirandacalcpage 218 "min_")
\Ca{Miranda217} (Definição 3)
\bsk
{\bf Mais itens pra fazer na figura das montanhas}
a) Entenda o que essas notações do Miranda querem dizer
e verifique que na figura das montanhas temos:
%
$$\def\lneqq{<}
%
\begin{array}{ccccc}
&& \D \max(f(x_1),f(x_2))
&\lneqq& \D \max_{x∈[x_1,x_2]}f(x) \\
\D \min_{x∈[x_2,x_3]}f(x)
&\lneqq& \min(f(x_2),f(x_3)) \\
\end{array}
$$
e depois represente nas montanhas:
\ssk
b) $\sumoo{(\max_{x∈[x_{i-1},x_i]} f(x))}$
\ssk
c) $\sumoo{(\min_{x∈[x_{i-1},x_i]} f(x))}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «particoes» (to ".particoes")
% (c2m241srp 14 "particoes")
% (c2m241sra "particoes")
% (c2m232srp 14 "particoes")
% (c2m232sra "particoes")
% (c2m232srp 7 "particoes")
% (c2m232sra "particoes")
% (c2m231srp 7 "particoes")
% (c2m231sra "particoes")
% (c2m212somas1p 9 "particoes")
% (c2m212somas1a "particoes")
{\bf Partições, informalmente}
\scalebox{0.44}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{
Informalmente uma partição de um intervalo $[a,b]$ é um modo de
decompor $[a,b]$ em intervalos menores consecutivos. Por exemplo,
%
$$[2,7] = [2,3.5]∪[3.5,4]∪[4,6]∪[6,7]$$
A definição ``certa'' é mais complicada... vamos vê-la daqui a pouco.
O caso geral da igualdade acima é:
%
$$[a,b] = [a_1,b_1]∪[a_2,b_2]∪\ldots∪[a_N,b_N],$$
onde:
$N$ é o número de intervalos,
$a=a_1$, $b=b_N$, (``extremidades'')
$a_i<b_i$ para todo $i$ em que isto faz sentido ($i=1,\ldots,N$)
$b_i=a_{i+1}$ para todo $i$ e.q.i.f.s.; neste caso, $i=1,\ldots,N-1$
\bsk
Um jeito prático de definir uma partição é usando uma tabela.
Por exemplo, esta tabela
%
$$\begin{array}{cccc}
i & a_i & b_i & I_i \\\hline
1 & 2 & 3.5 & [2, 3.5] \\
2 & 3.5 & 4 & [3.5, 4] \\
3 & 4 & 6 & [4, 6] \\
4 & 6 & 7 & [6, 7] \\
\end{array}
$$
corresponde à partição de $[2,7]$ do início deste slide.
\bsk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "212" "7.2. Integral definida")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17 324" "5.5. A integral definida")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 331" "pontos amostrais")
Compare com:
\par \Ca{Miranda212} 7.2 Integral definida
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) 5.5 A integral definida
\par \Ca{StewPtCap5p8} (p.329) somas superiores e inferiores
\par \Ca{StewPtCap5p10} (p.331) pontos amostrais
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) definição da integral definida
}\anothercol{
Uma definição um pouco melhor de partição é a seguinte.
Digamos que $P$ seja um subconjunto não-vazio e finito de $\R$,
e que o menor elemento de $P$ seja $a$ e o maior seja $b$.
\ColorRed{Então $P$ é uma partição do intervalo $[a,b]$.}
\msk
Exemplo: a partição $P=\{2,3.5,4,6,7\}$ corresponde a:
%
$$[2,7] = [2,3.5]∪[3.5,4]∪[4,6]∪[6,7]$$
Pra fazer a tradução da ``versão conjunto'' pra ``versão tabela''
ponha os elementos de $P$ em ordem e chame-os de $b_0,\ldots,b_N$;
defina cada $a_i$ como sendo $b_{i-1}$ -- por exemplo, $a_1 = b_0$ --
e encontre $a$, $b$, e $N$. Depois que você tem a ``versão tabela'' é
bem fácil obter a ``versão união de intervalos''.
\bsk
Quando dizemos algo como ``Seja $P$ a partição $\{2.5,4,6\}$'' estamos
criando um contexto no qual há uma partição ``default'' definida... e
neste contexto vamos ter valores definidos para $N$, $a$, $b$, e para
cada $a_i$ e $b_i$. Por exemplo...
\msk
Seja $P$ a partição $\{2.5,4,6\}$. Então
%
$$\begin{array}{rcl}
\sum_{i=1}^N f(b_i)·(b_i-a_i)
&=& \sum_{i=1}^2 f(b_i)·(b_i-a_i) \\
&=& f(b_1)·(b_1-a_1) \\
&+& f(b_2)·(b_2-a_2) \\
&=& f(4)·(4-2.5) \\
&+& f(6)·(6-4) \\
\end{array}
$$
}}
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m212somas1p 10 "exercicio-4")
% (c2m212somas1a "exercicio-4")
% (c2sop 10 "exercicio-4")
% (c2soa "exercicio-4")
% (c2m202somas1p 8 "exercicio-4")
% (c2m202somas1 "exercicio-4")
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m212somas1p 11 "exercicio-5")
% (c2m212somas1a "exercicio-5")
% (c2m202somas1p 9 "exercicio-5")
% (c2m202somas1 "exercicio-5")
% «ponto-decimal» (to ".ponto-decimal")
% Ah, obs, repara que eu vou usar a convencao internacional e vou
% sempre escrever "1.5" ao inves de "1,5" - e recomendo que voces usem
% ela tambem pra gente poder usar a virgula pra outras coisas. Por
% exemplo, na pagina 9 temos P = {2, 3.5, 4, 6, 7}, e se a gente
% escrever "3,5" ao inves de "3.5" vamos ter que usar ";"s como
% separadores entres os numeros...
% «partition-sum» (to ".partition-sum")
% (c2m211somas1p 12 "partition-sum")
% (c2m211somas1a "partition-sum")
% «subst» (to ".subst")
% (c2m202somas1p 11 "subst")
% (c2m202somas1 "subst")
\newpage
% ____ __ _ _
% | _ \ ___ / _| _ __ __ _ _ __| |_(_) ___ __ _ ___
% | | | |/ _ \ |_ | '_ \ / _` | '__| __| |/ __/ _` |/ _ \
% | |_| | __/ _| | |_) | (_| | | | |_| | (_| (_| | (_) |
% |____/ \___|_| | .__/ \__,_|_| \__|_|\___\__,_|\___/
% |_|
%
% «def-particao» (to ".def-particao")
% (c2m241srp 15 "def-particao")
% (c2m241sra "def-particao")
% (c2m232srp 15 "def-particao")
% (c2m232sra "def-particao")
% (c2m231srp 7 "def-particao")
% (c2m231sra "def-particao")
% (c2m222tfcsp 3 "def-particao")
% (c2m222tfcsa "def-particao")
{\bf A definição de partição}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
Se $P$ é um subconjunto \ColorRed{finito} e \ColorRed{não-vazio} de $\R$,
então podemos interpretar $P$ como uma partição...
Por exemplo, se $P=\{200,20,42,99,63,33,20,20\}$
então $P=\{20,33,42,63,99,200\}$, e aí vamos interpretar
esse conjunto de 6 pontos -- ordenados em ordem crescente --
como uma partição do intervalo $I = [a,b] = [20,200]$ em
5 subintervalos (``$N=5$''), assim:
$$\begin{array}{ccccccl}
20 & 33 & 42 & 63 & 99 & 200 \\
x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\
a_1 & b_1 & & & & & I_1=[a_1,b_1] \\
& a_2 & b_2 & & & & I_2=[a_2,b_2] \\
& & a_3 & b_3 & & & I_3=[a_3,b_3] \\
& & & a_4 & b_4 & & I_4=[a_4,b_4] \\
& & & & a_5 & b_5 & I_5=[a_5,b_5] \\
a & & & & & b & I = [a,b] = [x_0,x_N]\\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «particoes-exercs» (to ".particoes-exercs")
% (c2m241srp 16 "particoes-exercs")
% (c2m241sra "particoes-exercs")
% (c2m232srp 16 "particoes-exercs")
% (c2m232sra "particoes-exercs")
% (c2m231srp 11 "particoes-exercs")
% (c2m231sra "particoes-exercs")
% (c2m212somas1p 9 "particoes")
% (c2m212somas1a "particoes")
{\bf Exercícios sobre partições}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
a) Converta esta ``partição''
%
$$[4,12] = [4,5]∪[5,6]∪[6,9]∪[9,10]∪[10,12]$$
para uma tabela. Neste caso quem são $a$, $b$ e $N$?
\bsk
b) Seja $P=\{2.5,3,4,6,10\}$.
Converta $P$ para o ``formato tabela'' e para o
``formato união de subintervalos'', que é este aqui:
%
$$[a,b] = [a_1,b_1]∪\ldots∪[a_N,b_N].$$
\msk
c) Seja $P=\{4,2,1,1.5\}$.
Interprete $P$ como uma partição. Diga quem são o $N$,
o $a$ e o $b$ dela e monte a tabela dos subintervalos dela.
\msk
d) Seja $P=[2,4]_6$.
Diga quem são os pontos da partição $P$.
\msk
e) Seja $P=[2,5]_{2^3}$.
Diga quem são os pontos da partição $P$.
% \bsk
% \standout
}\anothercol{
% «dica-simplificacao» (to ".dica-simplificacao")
% (c2m241srp 16 "dica-simplificacao")
% (c2m241sra "dica-simplificacao")
% (c2m232srp 16 "dica-simplificacao")
% (c2m232sra "dica-simplificacao")
% (c2m231srp 12 "dica-simplificacao")
% (c2m231sra "dica-simplificacao")
% (c2m211somas1p 16 "exercicio-9-dicas")
% (c2m211somas1a "exercicio-9-dicas")
{\bf Uma dica sobre simplificação}
No Ensino Médio às vezes convencem a gente de que uma fração como
$\frac64$
%
% \ColorRed{\underline{\underline{tem}}}
\standout{tem}
%
que ser simplificada pra $\frac32$, mas se a gente tem que listar uma
sequência de números começando em 0 em que cada número novo é o
anterior mais $\frac14$ eu acho bem melhor escrever essa sequência
como
%
$$\frac04, \frac14, \frac24, \frac34, \frac44, \frac54, \frac64, \ldots$$
%
do que como:
%
$$0, \frac14, \frac12, \frac34, 1, \frac54, \frac32, \ldots$$
\bsk
Lembre destes trechos da Dica 7: \Ca{2gT4}
\ssk
% (c2m231introp 3 "releia-a-dica-7")
% (c2m231introa "releia-a-dica-7")
``Uma solução bem escrita é fácil de ler e fácil de verificar'', e
``Se as outras pessoas acharem que ler a sua solução é um sofrimento,
isso é mau sinal; se as outras pessoas acharem que a sua solução está
claríssima e que elas devem estudar com você, isso é bom sinal''.
}}
\newpage
% «aviso» (to ".aviso")
% (c2m241srp 17 "aviso")
% (c2m241sra "aviso")
% (c2m232srp 17 "aviso")
% (c2m232sra "aviso")
% (c2m231srp 6 "aviso")
% (c2m231sra "aviso")
{\bf Aviso}
\scalebox{0.72}{\def\colwidth{7.5cm}\firstcol{
As próximas páginas têm definições precisas de:
partição, inf e sup, $\minf$ e $\msup$, integral definida,
e um monte de definições intermediárias que a
gente vai precisar pra entender as definições
mais importantes...
\msk
{\sl O objetivo desta parte do curso é fazer vocês aprenderem um monte
de \standout{técnicas} pra entenderem definições complicadas
``visualizando o que elas querem dizer''. Estas técnicas vão ser uma
das partes do curso que vão ser mais úteis pras matérias seguintes.
% mas esses assuntos vão valer bem poucos pontos na prova.
}
\msk
Aparentemente cada um dos exercícios deste PDF tem um monte de
``dicas'' de como fazê-lo. A gente normalmente imagina que essas dicas
sejam só sugestões de um modo de chegar até o resultado final, mas
aqui não é bem assim...
}\anothercol{
% (c2m231introp 21 "aulas-expositivas")
% (c2m231introa "aulas-expositivas")
Lembre que neste slide daqui, da ``Introdução ao curso'',
\ssk
\Ca{2hT22} Sobre aulas expositivas
\ssk
eu falei em ``músculos mentais diferentes''. Essa idéia vai valer aqui
também; por exemplo, nos slides sobre o ``Jogo colaborativo'' eu digo
que é pro jogador $P$ escrever as suas jogadas num determinado formato
e pro jogador $O$ escrever as suas respostas num outro formato, e digo
que se o jogador $P$ não entender imediatamente a resposta do jogador
$O$ é porque o jogador $P$ tem que rever certos exercícios básicos de
``set comprehensions''...
\msk
{\sl Escrever as jogadas exatamente nesses formatos vai exercitar uma
série de músculos mentais bem específicos.}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «aviso-2» (to ".aviso-2")
% (c2m241srp 18 "aviso-2")
% (c2m241sra "aviso-2")
% (c2m232srp 18 "aviso-2")
% (c2m232sra "aviso-2")
{\bf Aviso (2)}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{
Quando a gente vê um artista do Cirque de Soleil fazendo um número
de aéreos a gente reconhece imediatamente que ele tem uma
coordenação motora absurda e que ele tá usando um monte de músculos
que a gente nunca usou e um monte de outros músculos que a gente nem
sabia que existiam...
\msk
Quando a gente vê uma pessoa que entende bem -- {\sl e que é capaz de
explicar claramente} -- cada detalhe de uma definição bizarramente
complicada como essa daqui, que o Stewart fez altos malabarismos pra
ela caber em 9 linhas,
\ssk
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) % Definição da integral definida
\ssk
é a mesma coisa, só que essa pessoa treinou músculos mentais. {\sl Nos
exercícios deste PDFzinho a gente vai treinar vários dos músculos
mentais que essas pessoas mais usam -- e pra isso a gente vai fazer
devagar e por escrito e com desenhos muitas coisas que elas fazem de
cabeça.}
% 2gQ32
}\anothercol{
Também dá pra comparar o que a gente vai fazer aqui com a historinha
deste slide:
\ssk
\Ca{2hT11} Atirei o pau no gato
\ssk
Algumas mudanças de nota no Atirei o pau no gato exigem que a gente
levante uns dedos da flauta ao mesmo tempo que a gente abaixa
outros... a gente só consegue aprender isso treinando muitas vezes
muito devagar, e enquanto a gente não treina bastante o som fica
horrível.
}}
\newpage
% «um-jogo» (to ".um-jogo")
% (c2m242srp 19 "um-jogo")
% (c2m242sra "um-jogo")
% (c2m241srp 19 "um-jogo")
% (c2m241sra "um-jogo")
% (c2m241srp 19 "um-jogo")
% (c2m241sra "um-jogo")
% (c2m232srp 19 "um-jogo")
% (c2m232sra "um-jogo")
% (c2m231srp 27 "um-jogo")
% (c2m231sra "um-jogo")
% (c2m221isp 6 "exercicio-2")
% (c2m221isa "exercicio-2")
% (c2m221isp 10 "exercicio-2-dica")
% (c2m221isa "exercicio-2-dica")
% (c2m221isp 10 "exercicio-2-dica")
% (c2m221isa "exercicio-2-dica")
{\bf Um jogo colaborativo}
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(2,2))
%L spec = [[ (0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--(0,0)--(0,1)
%L ]]
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = Pict {
%L [[ \def\closeddot{\circle*{0.4}}% ]],
%L [[ \def\opendot {\circle*{0.4}\color{white}\circle*{0.3}}% ]],
%L Pict({}):addregion0(v(0,0), v(1,0), v(1,1), v(0,1)):Color("Orange")
%L }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("10pt"):sa("Prop A'"):output()
%L
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(2,2))
%L spec = [[ (0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--(0,0)--(0,1)
%L ]]
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = Pict {
%L [[ \def\closeddot{\circle*{0.4}}% ]],
%L [[ \def\opendot {\circle*{0.4}\color{white}\circle*{0.3}}% ]],
%L Pict({}):addregion0(v(0,0), v(1,0), v(1,1), v(0,1)):Color("Orange"),
%L curve:prethickness("2pt")
%L }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("10pt"):sa("Prop A''"):output()
\pu
\scalebox{0.52}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
...ou: como debugar representações gráficas.
Pense num jogo colaborativo. Os jogadores se chamam $P$
(``proponente''), e $O$ (``oponente''). O $P$ quer encontrar uma
representação gráfica pro conjunto $A$, e à primeira vista o $O$ quer
mostrar que o $P$ está errado... mas na verdade o objetivo dos dois é
fazer com que o $P$ chegue numa representação gráfica que não tem erro
nenhum.
\msk
Digamos que
%
$$A = \setofxyst{x∈[1,2), \; y∈[1,2)}.$$
O $P$ desenha uma representação gráfica \ColorRed{com um nome
diferente de $A$} e ``propõe'' ela --- por exemplo, o $P$ diz isso
aqui:
%
\pu
%
$$A' = \ga{Prop A'}$$
O oponente $O$ diz: ``verifica o ponto $(1,1)$''. Os dois verificam o
ponto $(1,1)$ do $A'$ e vêem que o desenho do $A'$ é ambíguo no ponto
$(1,1)$, já que esse é um ponto de fronteira e o $P$ não desenhou ele
nem como linha grossa sólida nem com linha tracejada... então a
resposta pra pergunta ``$(1,1)∈A'$?'' não é nem $\True$ nem $\False$,
é ``erro'', e portanto $A≠A'$, e o $P$ ainda não conseguiu a
representação gráfica certa. O oponente $O$ ganha essa rodada, e o $P$
tem que propôr outra representação gráfica.
}\anothercol{
Aí o $P$ propõe uma outra representação gráfica, \ColorRed{com um
outro nome, diferente de $A$ e de $A'$}. Por exemplo, $P$ propõe
isso aqui:
%
$$A'' = \ga{Prop A''}$$
O oponente $O$ diz: ``verifica o ponto $(0,0)$''. Os dois verificam, e
vêem que:
%
$$(0,0)\not∈A, \quad (0,0)∈A''$$
E portanto $A≠A''$, e o $P$ ainda não conseguiu a representação
gráfica certa. O oponente $O$ ganha mais essa rodada.
\bsk
Quando o $P$ propõe um desenho que o $O$ não consegue mostrar que está
errado o $P$ ganha a rodada.
\bsk
Até vocês terem prática vocês vão jogar como o $P$, vão me mostrar as
representações gráficas de vocês, e eu vou jogar como o $O$. Quando
vocês tiverem mais prática vocês vão conseguir chutar representações
gráficas (como o jogador $P$) e testá-las (fazendo o papel do jogador
$O$ vocês mesmos).
}}
\newpage
% «um-jogo-2» (to ".um-jogo-2")
% (c2m241srp 20 "um-jogo-2")
% (c2m241sra "um-jogo-2")
% (c2m232srp 20 "um-jogo-2")
% (c2m232sra "um-jogo-2")
% (c2m221isp 9 "exercicio-2")
% (c2m221isa "exercicio-2")
% (find-pdf-page "~/2022.1-C2/C2-quadros-manha.pdf" 10)
% (c2m212somas24p 4 "subconjunto-do-plano")
% (c2m212somas24a "subconjunto-do-plano")
%L PictBounds.setbounds(v(-1,-1), v(4,3))
%L spec = [[ (0,0)--(0,2)--(2,2)
%L (0.3,0)--(0.75,0) (1.25,0)--(1.7,0)
%L (2,0.3)--(2,0.75) (2,1.25)--(2,1.7)
%L (0,0)o (2,0)o (2,2)c (0,2)c
%L ]]
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = Pict {
%L [[ \def\closeddot{\circle*{0.4}}% ]],
%L [[ \def\opendot {\circle*{0.4}\color{white}\circle*{0.3}}% ]],
%L -- Pict2e.region0(v(0,0), v(2,0), v(2,2), v(0,2)):Color("Orange"),
%L Pict({}):addregion0(v(0,0), v(2,0), v(2,2), v(0,2)):Color("Orange"),
%L curve:prethickness("3pt")
%L }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("20pt"):sa("Exercicio 2 exemplo"):output()
\pu
{\bf Um jogo colaborativo (2)}
\scalebox{0.60}{\def\colwidth{9.5cm}\firstcol{
Represente graficamente os seguintes conjuntos:
%
$$\begin{array}{rcl}
A &=& \setofxyst{x∈[1,2), \; y∈[1,2)} \\
B &=& \setofst{(x,2x)}{x∈[1,2)} \\
C &=& \setofxyst{0≤x \;∧\; x+y<2} \\
\end{array}
$$
Dica: todos eles vão dar subconjuntos do plano feitos de
infinitos pontos, e você vai ter que adaptar as convenções
que usamos pra desenhar intervalos pra desenhar {\sl regiões}.
\msk
Use bolinhas cheias pra indicar ``este ponto pertence ao
conjunto'', bolinhas ocas pra indicar ``este ponto não
pertence ao conjunto'', linhas grossas contínuas pra
indicar ``esse trecho da fronteira pertence ao conjunto''
e linhas tracejadas pra indicar ``esse trecho da fronteira
não pertence ao conjunto''. Por exemplo:
%
$$\ga{Exercicio 2 exemplo}$$
}\anothercol{
\def\undt#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
\def\undg #1{\undt{#1}{gerador}}
\def\undf #1{\undt{#1}{filtro}}
\def\unde #1{\undt{#1}{expr}}
Dica: se você não tem nenhuma prática com as duas notações da forma
$\setofst{\ldots}{\ldots}$ -- por exemplo:
%
$$\begin{array}{rcl}
\setofst{\undg{a∈\{1,2,3,4\}}}{\undf{a≥3}} &=& \{3,4\} \\
\setofst{\unde{10a}}{\undg{a∈\{1,2,3,4\}}} &=& \{10,20,30,40\}\\
\end{array}
$$
então comece fazendo alguns exercícios daqui:
\ssk
% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga "comprehension")
\Ca{MpgP8} (até a p.12) Set Comprehensions
\ssk
Todos os exercícios dessa parte do MPG dão conjuntos finitos, e os
conjuntos $A$, $B$ e $C$ da coluna da esquerda são infinitos.
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 15" "círculo cheio")
% \par \Ca{StewPtCap1p10} (p.15) círculos cheios e vazios
}}
\newpage
% ___ __ _
% |_ _|_ __ ___ __ _ __ _ ___ _ __ ___ _ / _(_) __ _ ___
% | || '_ ` _ \ / _` |/ _` |/ _ \ '_ \/ __(_) | |_| |/ _` / __|
% | || | | | | | (_| | (_| | __/ | | \__ \_ | _| | (_| \__ \
% |___|_| |_| |_|\__,_|\__, |\___|_| |_|___(_) |_| |_|\__, |___/
% |___/ |___/
%
% «imagens-figuras» (to ".imagens-figuras")
% (c2m241srp 21 "imagens-figuras")
% (c2m241sra "imagens-figuras")
% (c2m232srp 21 "imagens-figuras")
% (c2m232sra "imagens-figuras")
% (c2m231srp 13 "imagens-figuras")
% (c2m231sra "imagens-figuras")
% (c2m221somas3p 5 "imagens-figuras")
% (c2m221somas3a "imagens-figuras")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "Xtoxytoy-test3")
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(8,4))
%L
%L cthick = "2pt" -- curve
%L dthick = "0.25pt" -- dots
%L sthick = "4pt" -- segments
%L
%L -- Curve:
%L cspec = "(0,2)--(2,4)--(6,0)--(8,2)"
%L cpws = PwSpec.from(cspec)
%L curve = cpws:topict():prethickness(cthick)
%L
%L -- Segments:
%L sspec = "(1,0)c--(2,0)--(4,0)c" ..
%L " (1,3)c--(2,4)--(4,2)c" ..
%L " (0,2)c--(0,4)c"
%L spws = PwSpec.from(sspec)
%L segs = spws:topict():prethickness(sthick):Color("Orange")
%L
%L -- Dots:
%L dotsn = function (nsubsegs)
%L local xs = seqn(1, 4, nsubsegs)
%L local dots0 = Xtoxytoy.from(cpws:fun(), xs)
%L local dots = dots0:topict("vhxpy"):prethickness(dthick):Color("Red")
%L return dots
%L end
%L
%L Pict { curve, dotsn(1) } :pgat("pgatc", {def="ImageOne"}) :output()
%L Pict { curve, dotsn(3) } :pgat("pgatc", {def="ImageThree"}) :output()
%L Pict { curve, dotsn(6) } :pgat("pgatc", {def="ImageSix"}) :output()
%L Pict { curve, dotsn(12) } :pgat("pgatc", {def="ImageTwelve"}):output()
%L Pict { curve, segs } :pgat("pgatc", {def="ImageSegs"}) :output()
\pu
%\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
%\end{document}
\newpage
% «imagens-de-intervalos» (to ".imagens-de-intervalos")
% (c2m241srp 21 "imagens-de-intervalos")
% (c2m241sra "imagens-de-intervalos")
% (c2m232srp 21 "imagens-de-intervalos")
% (c2m232sra "imagens-de-intervalos")
% (c2m231srp 13 "imagens-de-intervalos")
% (c2m231sra "imagens-de-intervalos")
% (c2m221somas3p 6 "imagens-figuras-2")
% (c2m221somas3a "imagens-figuras-2")
{\bf Imagens de intervalos}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{
{}
Se $f:\R→\R$ então em princípio a expressão $f(\{7,8,9\})$ deveria dar
um erro, porque $f$ é uma função que espera receber um número, e
$\{7,8,9\}$ é um conjunto... mas aí normalmente a gente define que o
comportamento da $f$ quando ela recebe um conjunto vai ser este aqui:
%
$$f(A) \;\;=\;\; \setofst{f(a)}{a∈A}$$
A gente diz que $f(A)$ é \ColorRed{a imagem do conjunto $A$}.
\bsk
Algumas pessoas -- como o Carlos, aqui: \Ca{2gT12} --
acham que isto é sempre verdade:
%
$$f([a,b]) = [f(a),f(b)].$$
\standout{Não seja como o Carlos!!! Seja como o Bob!!!}
\bsk
Nas figuras à direita temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(\{1,4\}) &=& \{f(1),f(4)\} \\
&=& \{3,2\} \\
&=& \{2,3\} \\
f(\{1,2,3,4\}) &=& \{f(1),f(2),f(3),f(4)\} \\
&=& \{2,3,4,3\} \\
&=& \{2,3,4\} \\
f([1,4]) &=& [2,4] \\{}
[f(1),f(4)] &=& [3,2] \\
&=& \setofst{y∈\R}{3≤y≤2} \\
&=& ∅ \\
&≠& f([1,4]) \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
$\phantom{mmmm}
\scalebox{2}{$
\begin{array}{l}
{\ImageOne} \\
{\ImageThree} \\
{\ImageSix} \\
{\ImageTwelve} \\
{\ImageSegs} \\
\end{array}
$}
$
}}
% (c2m222srp 14 "exercicio-7")
% (c2m222sra "exercicio-7")
\newpage
% ___
% |_ _|_ __ ___ __ _ __ _ ___ _ __ ___ _____ _____ _ __ ___
% | || '_ ` _ \ / _` |/ _` |/ _ \ '_ \/ __| / _ \ \/ / _ \ '__/ __|
% | || | | | | | (_| | (_| | __/ | | \__ \ | __/> < __/ | | (__
% |___|_| |_| |_|\__,_|\__, |\___|_| |_|___/ \___/_/\_\___|_| \___|
% |___/
%
% «imagens-exercicio» (to ".imagens-exercicio")
% (c2m241srp 22 "imagens-exercicio")
% (c2m241sra "imagens-exercicio")
% (c2m232srp 22 "imagens-exercicio")
% (c2m232sra "imagens-exercicio")
% (c2m231srp 14 "imagens-exercicio")
% (c2m231sra "imagens-exercicio")
% (c2m221somas3p 7 "exercicio-2")
% (c2m221somas3a "exercicio-2")
%
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(8,4))
%L spec = "(0,2)--(2,4)--(6,0)--(8,2)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict():Color("Orange")
%L p = Pict { curve:prethickness("1pt") }
%L p:pgat("pgatc", {def="falsoseno"}):output()
\pu
{\bf Imagens de intervalos: exercício}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{6.5cm}\firstcol{
Seja $f(x)$ esta função:
\msk
%
$f(x) = \falsoseno$
\msk
Calcule estas imagens de intervalos:
\msk
\begin{tabular}[t]{l}
a) $f([0,1])$ \\
b) $f([1,2])$ \\
c) $f([0,2])$ \\
d) $f([2,3])$ \\
e) $f([1,3])$ \\
f) $f([0,3])$ \\
g) $f([0,4])$ \\
h) $f([4,8])$ \\
i) $f([0,8])$ \\
j) $f([1,7])$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}[t]{l}
a') $f((0,1))$ \\
b') $f((1,2))$ \\
c') $f((0,2))$ \\
d') $f((2,3))$ \\
e') $f((1,3))$ \\
f') $f((0,3))$ \\
g') $f((0,4))$ \\
h') $f((4,8))$ \\
i') $f((0,8))$ \\
j') $f((1,7))$ \\
\end{tabular}
}\anothercol{
{\bf Dicas:}
\msk
1) Faça os itens (a) até (j) primeiro. Os itens (a') até (j') são bem
mais difíceis, e em alguns deles os resultados vão ser conjuntos
fechados ou ``semi-abertos''.
\msk
2) O Leithold define intervalos
semi-abertos aqui: \Ca{Leit1p7}
\msk
3) Nos casos em que você tiver dificuldade de encontrar o $f(I)$
desenhe num gráfico só:
\msk
a função $f(x)$,
o conjunto $I$ (no eixo $x$),
o conjunto $\setofst{(x,f(x)))}{x∈I}$
\phantom{i} (sobre o gráfico da $f$),
e o conjunto $f(I)$ (no eixo $y$).
% \msk
%
% Daqui a pouco nós vamos ver um modo de testar as respostas dos itens
% desse exercício, e um modo de resolver ele por chutar e testar... mas
% aguente um pouquinho!
}}
\newpage
% «imagens-exercicio-grid» (to ".imagens-exercicio-grid")
% (c2m242srp 23 "imagens-exercicio-grid")
% (c2m242sra "imagens-exercicio-grid")
% (c2m241srp 23 "imagens-exercicio-grid")
% (c2m241sra "imagens-exercicio-grid")
% (c2m232srp 23 "imagens-exercicio-grid")
% (c2m232sra "imagens-exercicio-grid")
\vspace*{-0.4cm}
\hspace*{-0.7cm}
$\scalebox{0.69}{$
\def\linha{
\falsoseno &&
\falsoseno &&
\falsoseno &&
\falsoseno &&
\falsoseno &&
\falsoseno \\[20pt]
}
\begin{array}{cccccccccccc}
\linha
\linha
\linha
\linha
\linha
\linha
\linha
\end{array}
$}
$
\vspace*{-4cm}
\newpage
% ____ __ _ __
% | _ \ ___ / _| (_)_ __ / _| ___ ___ _ _ _ __
% | | | |/ _ \ |_ | | '_ \| |_ / _ \ / __| | | | '_ \
% | |_| | __/ _| | | | | | _| | __/ \__ \ |_| | |_) |
% |____/ \___|_| |_|_| |_|_| \___| |___/\__,_| .__/
% |_|
% «def-inf-e-sup» (to ".def-inf-e-sup")
% (c2m242srp 24 "def-inf-e-sup")
% (c2m242sra "def-inf-e-sup")
% (c2m241srp 24 "def-inf-e-sup")
% (c2m241sra "def-inf-e-sup")
% (c2m232srp 24 "def-inf-e-sup")
% (c2m232sra "def-inf-e-sup")
% (c2m231srp 9 "def-inf-e-sup")
% (c2m231sra "def-inf-e-sup")
% (c2m222tfcsp 4 "def-inf-e-sup")
% (c2m222tfcsa "def-inf-e-sup")
% (c2m221isp 3 "algumas-definicoes")
% (c2m221isa "algumas-definicoes")
{\bf As definições de inf e sup}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Digamos que $f:\R→\R$ e $B⊂\R$.
Vamos definir $\inf(f(B))$ e $\sup(f(B))$ ---
e também $\inf(D)$ e $\sup(D)$, pra $D⊂\R$ ---
desta forma:
%
$$\begin{array}{rcl}
\Rext &=& \R∪\{-∞,+∞\} \\
C &=& \setofst{(x,f(x))}{x∈B} \\
D &=& \setofst{f(x)}{x∈B} \\
E &=& \setofst{y∈\R}{∃x∈B.\ f(x)=y} \\
U &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;d≤y} \\
L &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;y≤d} \\
(α=\sup(D)) &=& α∈U ∧ (∀u∈U.\;α \le u) \\
(β=\inf(D)) &=& β∈L ∧ (∀ℓ∈L.\;ℓ \le β) \\
\end{array}
$$
% Com isto podemos definir a integral definida.
% A definição formal dela está na próxima página.
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ _ _
% | _ \ ___ ___ ___ ___ _ __ | |_(_)_ __ _ _ __ _
% | | | |/ _ \/ __|/ __/ _ \| '_ \| __| | '_ \| | | |/ _` |
% | |_| | __/\__ \ (_| (_) | | | | |_| | | | | |_| | (_| |
% |____/ \___||___/\___\___/|_| |_|\__|_|_| |_|\__,_|\__,_|
%
% «descontinua» (to ".descontinua")
% (c2m242srp 25 "descontinua")
% (c2m242sra "descontinua")
% (c2m241srp 25 "descontinua")
% (c2m241sra "descontinua")
% (c2m232srp 25 "descontinua")
% (c2m232sra "descontinua")
% (c2m231srp 15 "descontinua")
% (c2m231sra "descontinua")
% (c2m221isp 12 "exercicio-5")
% (c2m221isa "exercicio-5")
%
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(9,7))
%L spec = "(0,3)--(2,1)o (2,3)c (2,5)o--(7,0)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = Pict { curve:prethickness("2pt") }
%L p:putstrat(v(2.7,5.5), "\\cell{(2,5)}")
%L p:putstrat(v(7.7,0.5), "\\cell{(7,0)}")
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("17pt"):sa("Exercicio 5"):output()
\pu
{\bf Agora uma função descontínua}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\ssk
Sejam
%
$f(x) = \scalebox{0.7}{$\ga{Exercicio 5}$}$
e $B=[1,3]$.
\bsk
{\bf Exercício}
a) Represente graficamente estes conjuntos ---
as definições deles são as mesmas do slide anterior:
%
$$\begin{array}{rcl}
% \Rext &=& \R∪\{-∞,+∞\} \\
C &=& \setofst{(x,f(x))}{x∈B} \\
D &=& \setofst{f(x)}{x∈B} \\
E &=& \setofst{y∈\R}{∃x∈B.\ f(x)=y} \\
U &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;d≤y} \\
L &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;y≤d} \\
% (α=\inf(D)) &=& α∈L ∧ (∀ℓ∈L.\;ℓ \le α) \\
% (β=\sup(D)) &=& β∈U ∧ (∀u∈U.\;β \le u) \\
\end{array}
$$
Dica pro $L$ e pro $U$: desenhe o infinito perto,
\par como na figura da próxima página.
% \ssk
% \par \Ca{2eT40} Uma figura
% (c2m221isp 2 "uma-figura")
% (c2m221isa "uma-figura")
}\anothercol{
Lembre que
%
$$\begin{array}{rcl}
B &=& [1,3] \\
D &=& f(B) \\
\end{array}
$$
e que definimos o inf e o sup desta forma:
%
$$\begin{array}{rcl}
(α=\sup(D)) &=& α∈U ∧ (∀u∈U.\;α \le u) \\
(β=\inf(D)) &=& β∈L ∧ (∀ℓ∈L.\;ℓ \le β) \\
\end{array}
$$
Isso é uma definição estranha e indireta... pode ser que a gente
calcule $(42=\inf(D))$ e $(99=\inf(D))$ por ela e os dois dêem
verdadeiro -- se isso acontecer então $\inf(D)$ não vai um número!!!
\bsk
{\bf Exercício (cont.)}
\ssk
Calcule:
\ssk
b) $(6=\sup(D))$
c) $(5=\sup(D))$
d) $(4=\sup(D))$
e) $(2=\sup(D))$
f) $(1=\sup(D))$
g) $(0=\sup(D))$
}}
\newpage
% «fig-with-inftys» (to ".fig-with-inftys")
% (c2m242srp 26 "fig-with-inftys")
% (c2m242sra "fig-with-inftys")
% (find-angg "LUA/Piecewise2.lua" "PwSpec-test2")
%L fromep = PwSpec.fromep
%L thick = function (th) return "\\linethickness{"..th.."}" end
%L putcellat = function (xy, str) return pformat("\\put%s{\\cell{%s}}", xy, str) end
%L -- = fromep("(0,0)--(2,<1+2>)c")
%L -- = putcellat(v(2,3), "foo")
%L
%L _minfy,_pinfy = -3,10
%L _xD,_xL,_xU = -0.4,-0.8,-1.0
%L
%L p = Pict {
%L fromep(" (0,<_pinfy-1>)--(0,<_pinfy>)c "),
%L fromep(" (0,<_minfy+1>)--(0,<_minfy>)c "),
%L putcellat(v(1.2, _pinfy), "+\\infty"),
%L putcellat(v(1.2, _minfy), "-\\infty"),
%L thick("1pt"),
%L fromep(" (-1,2)--(3,6)--(8,1)--(11,4) "),
%L thick("2pt"),
%L fromep(" (1,0)c--(2,0)o "):color("red"),
%L fromep(" (1,4)c--(2,5)o "):color("orange"),
%L fromep(" (0,4)c--(0,5)o "):color("green"),
%L fromep(" (<_xL>,<_minfy>)c--(<_xL>,4)c "):color("blue"),
%L fromep(" (<_xD>,4)c--(<_xD>,5)o "):color("SpringDarkHard"),
%L fromep(" (<_xU>,5)c--(<_xU>,<_pinfy>)c "):color("violet"),
%L }
%L q = (p
%L :setbounds(v(-1,0), v(11,7))
%L :pgat("gat")
%L :setbounds(v(-1,_minfy), v(11,_pinfy))
%L :pgat("p")
%L )
%L q:pgat("", {ul="12pt", sa="Figura com infinitos"}):output()
\pu
\vspace*{-0.2cm}
$\scalebox{1.2}{$\ga{Figura com infinitos}$}$
% (c2m222tfcsp 3 "def-particao")
% (c2m222tfcsa "def-particao")
% \Ca{2fT91} A definição de partição
% \Ca{2fT93} A definição do $[a,b]_n$
% \Ca{2fT94} Alguns exercícios sobre partições
% 2fT73
\newpage
% «para-todo-e-existe» (to ".para-todo-e-existe")
% (c2m241srp 26 "para-todo-e-existe")
% (c2m241sra "para-todo-e-existe")
% (c2m232srp 26 "para-todo-e-existe")
% (c2m232sra "para-todo-e-existe")
% (c2m222srp 16 "para-todo-e-existe")
% (c2m222sra "para-todo-e-existe")
% (c2m212somas2p 14 "para-todo-e-existe")
% (c2m212somas2a "para-todo-e-existe")
{\bf ``Para todo'' ($∀$) e ``existe'' ($∃$)}
\msk
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
(∀a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∧ \\&&
(a^2<10)[a:=3] \;∧ \\&&
(a^2<10)[a:=5] \\
&=& (2^2<10) ∧
(3^2<10) ∧
(5^2<10) \\
&=& (4<10) ∧
(9<10) ∧
(25<10) \\
&=& \V ∧ \V ∧ \F \\
&=& \F \\[5pt]
(∃a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∨ \\&&
(a^2<10)[a:=3] \;∨ \\&&
(a^2<10)[a:=5] \\
&=& (2^2<10) ∨
(3^2<10) ∨
(5^2<10) \\
&=& (4<10) ∨
(9<10) ∨
(25<10) \\
&=& \V ∨ \V ∨ \F \\
&=& \V \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «visualizando-fas-e-exs» (to ".visualizando-fas-e-exs")
% (c2m241srp 27 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m241sra "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m232srp 27 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m232sra "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m222srp 17 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m222sra "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m212somas2p 15 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m212somas2a "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substp 24 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substa "visualizando-fas-e-exs")
{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Dá pra {\sl visualizar} o que a expressão
%
$$(∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, 2≤x<4∨x=6)$$
``quer dizer'' visualizando os `$\V$'s e `$\F$'s de expressões mais
simples, e combinando esses ``mapas'' de `$\V$'s e `$\F$'s. E digamos
que:
%
$$\begin{array}{rcl}
F(x) &=& (2≤x), \\
G(x) &=& (x≤4), \\
H(x) &=& (x=6) \\
\end{array}
$$
Então temos:
%
$$\begin{array}{ll}
& (∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, 2≤x<4∨x=6) \\
=& (∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, (2≤x ∧ x<4)∨x=6) \\
=& (∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, (F(x) ∧ G(x)) ∨ H(x)) \\
\end{array}
$$
Às vezes vamos ter que fazer figuras com muitos `$\V$'s e `$\F$'s,
e vai ser mais fácil visualizar onde estão os `$\V$'s e `$\F$'s
delas se usarmos sinais mais fáceis de distinguir...
\msk
Vou usar essa convenção aqui:
O $\V$ é uma bolinha preta, ou sólida: $•$
O $\F$ é uma bolinha branca, ou oca: $∘$
\vspace*{-5cm}
}\anothercol{
%\vspace*{0cm}
Compare:
\bsk
$\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{r}
%
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\F {\mbc{\mathbf{F}}}
%
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mm}x<4) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmm}x=6) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4∨ x=6) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
%
\\ \\
%
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\F {\mbc{\mathbf{F}}}
%
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x)) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
%
\\ \\
%
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\V {\mbc{•}}
\def\F {\mbc{∘}}
%
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x)) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
\end{array}
$}
$
\bsk
É isso que a gente vai fazer pra analisar expressões
como $(∀x∈A.▁▁▁)$ e $(∃x∈A.▁▁▁)$ e descobrir quais
são verdadeiras e quais não --- \ColorRed{mesmo quando o conjunto
$A$ é um conjunto infinito}, como $\N$, $\R$ ou $[2,10]$.
\msk
Você \standout{pode} fazer as suas próprias definições --- como o meu
``$•=\V$ e $∘=\F$'' --- mas elas \standout{têm} que ficar claras o
suficiente... releia isto:
\ssk
\Ca{2gT4} ``Releia a Dica 7''
% {\footnotesize
%
% % (c2m212introp 3 "dica-7")
% % (c2m212introa "dica-7")
% % http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=3
% \url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf\#page=3}
%
% }
}}
\newpage
% «acima-e-abaixo» (to ".acima-e-abaixo")
% (c2m241srp 28 "acima-e-abaixo")
% (c2m241sra "acima-e-abaixo")
% (c2m232srp 28 "acima-e-abaixo")
% (c2m232sra "acima-e-abaixo")
% (c2m222srp 15 "acima-e-abaixo")
% (c2m222sra "acima-e-abaixo")
{\bf Retângulos acima e abaixo}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Lembre que eu contei que em cursos tradicionais de Cálculo 2 --
aqueles em que as pessoas passam centenas de horas fazendo contas à
mão, e mais outras centenas de horas estudando por aqueles livros que
fingem que certas coisas dificílimas são óbvias -- as pessoas acabam
aprendendo algumas coisas super úteis que não aparecem listadas
explicitamente no programa do curso...
\msk
Uma dessas coisas é aprender a entender definições que {\sl
aparentemente} envolvem um número infinito de contas. Se a gente for
como o Bob a gente consegue visualizar o que essas definições ``querem
dizer''.
\msk
As definições formais de ``retângulo acima (ou abaixo) da curva'' e
``melhor retângulo acima (ou abaixo) da curva'' são assim -- elas
aparentemente precisam de infinitas contas.
}\anothercol{
}}
\newpage
% ___ _ _ _ __
% |_ _|_ __ ___| |_ _ __ ___ __| | ___ ___ __| | ___ / _|___
% | || '_ \/ __| __| '__/ __| / _` |/ _ \/ __| / _` |/ _ \ |_/ __|
% | || | | \__ \ |_| | \__ \ | (_| | __/\__ \ | (_| | __/ _\__ \
% |___|_| |_|___/\__|_| |___/ \__,_|\___||___/ \__,_|\___|_| |___/
%
% «instrucoes-des-defs» (to ".instrucoes-des-defs")
% (c2m241srp 29 "instrucoes-des-defs")
% (c2m241sra "instrucoes-des-defs")
% (c2m231srp 21 "instrucoes-des-defs")
% (c2m231sra "instrucoes-des-defs")
%
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(7,5))
%L spec = "(0,2)--(2,4)--(5,1)--(7,3)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = Pict { curve:prethickness("2pt") }
%L p:pgat("pgatc", {def="falsoseno"}):output()
\pu
%
\sa{Color A}{\ColorRed}
\sa{Color B}{\ColorOrange}
\sa{Color C}{\ColorGreen}
\def\COLOR#1#2{\ga{Color #1}{#2}}
\def\undem#1#2{\underbrace{#1}_{\text{em }#2}}
\def\undemc#1#2#3{\underbrace{#2}_{\COLOR{#1}{\text{em }#3}}}
%
\def\fx #1{f(\undemc{A}{\mathstrut #1}{(#1,0)})}
\def\Fx #1{ \undemc{A}{\mathstrut #1}{(#1,0)} }
\def\fxy#1#2{\undemc{B}{\fx{#1}<#2}{(#1,f(#1))}}
\def\fafxy#1{\undemc{C}{∀x∈\{1,2,3\}. \fxy{x}{#1}}{(0,#1)}}
\def\LAND{\;\;∧\;\;}
\newpage
% ___ _ _
% |_ _|_ __ ___| |_ _ __ ___ __| | ___ ___
% | || '_ \/ __| __| '__/ __| / _` |/ _ \/ __|
% | || | | \__ \ |_| | \__ \ | (_| | __/\__ \
% |___|_| |_|___/\__|_| |___/ \__,_|\___||___/
%
% «instrucoes-des-1» (to ".instrucoes-des-1")
% (c2m241srp 29 "instrucoes-des-1")
% (c2m241sra "instrucoes-des-1")
% (c2m232srp 29 "instrucoes-des-1")
% (c2m232sra "instrucoes-des-1")
% (c2m231srp 21 "instrucoes-des-1")
% (c2m231sra "instrucoes-des-1")
% (c2m222srp 20 "instrucoes-des-1")
% (c2m222sra "instrucoes-des-1")
{\bf Instruções de desenho (explícitas)}
\msk
Sejam $f(x) = \falsoseno$ ,
\msk
e $P(y) \;=\; \fafxy{y} .$
\bsk
As anotações sob as chaves são ``instruções de desenho''
que o Bob vai usar pra calcular cada $P(y)$ de cabeça,
e pra visualizar o que $P(y)$ ``quer dizer''...
\ssk
Na próxima página eu fiz as figuras pra $P(3.5)$.
% (c2m221isp 5 "exercicio-1")
% (c2m221isa "exercicio-1")
\newpage
% ___ _ _ __ _
% |_ _|_ __ ___| |_ _ __ ___ __| | ___ ___ / _(_) __ _
% | || '_ \/ __| __| '__/ __| / _` |/ _ \/ __| | |_| |/ _` |
% | || | | \__ \ |_| | \__ \ | (_| | __/\__ \ | _| | (_| |
% |___|_| |_|___/\__|_| |___/ \__,_|\___||___/ |_| |_|\__, |
% |___/
% «instrucoes-des-2» (to ".instrucoes-des-2")
% (c2m241srp 30 "instrucoes-des-2")
% (c2m241sra "instrucoes-des-2")
% (c2m232srp 30 "instrucoes-des-2")
% (c2m232sra "instrucoes-des-2")
% (c2m231srp 22 "instrucoes-des-2")
% (c2m231sra "instrucoes-des-2")
% (c2m222srp 21 "instrucoes-des-2")
% (c2m222sra "instrucoes-des-2")
% (c2m221isp 2 "uma-figura")
% (c2m221isa "uma-figura")
%
%L fromep = PwSpec.fromep
%L thick = function (th) return "\\linethickness{"..th.."}" end
%L
%L p = Pict {
%L thick("1pt"),
%L fromep(" (0,2)--(2,4)--(5,1)--(7,3) "),
%L thick("2pt"),
%L fromep(" (1,0)c (2,0)c (3,0)c "):color("red"),
%L fromep(" (1,3)c (2,4)o (3,3)c "):color("orange"),
%L fromep(" (0,3.5)o "):Color("Green"),
%L }
%L p = (p
%L :setbounds(v(0,0), v(7,5))
%L :pgat("gat")
%L :pgat("p")
%L :preunitlength("10pt")
%L :sa("instrucoes des")
%L )
%L p:output()
\pu
\def\Fxy#1#2#3#4{\undemc{B}{\mathstrut #1<#2}{(#3,#4)}}
\def\Bxy#1#2#3{\undemc{B}{\mathstrut\COLOR{B}{#1}}{(#2,#3)}}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
$\begin{array}[t]{rcl}
P(3.5) &=& \fafxy{3.5} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ (\fxy{1}{3.5})
\LAND (\fxy{2}{3.5})
\LAND (\fxy{3}{3.5})}
{(0,3.5)} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ (\Fxy 3{3.5}13)
\LAND (\Fxy 4{3.5}24)
\LAND (\Fxy 3{3.5}33)}
{(0,3.5)} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ (\Bxy{•}{1}{3}) \LAND (\Bxy{∘}{2}{4}) \LAND (\Bxy{•}{3}{3})}
{(0,3.5)} \\
\\[-5pt]
&=& \undemc{C}{ \mathstrut{\COLOR{C}{∘}} }{(0,3.5)} \\
\end{array}
$
}\anothercol{
\vspace*{6cm}
\def\closeddot{\circle*{0.3}}
\def\opendot {\circle*{0.3}\color{white}\circle*{0.2}}
\def\closeddot{\circle*{0.5}}
\def\opendot {\circle*{0.5}\color{white}\circle*{0.3}}
$\scalebox{2}{$
\ga{instrucoes des}
$}
$
}}
\newpage
% ___ _ _
% |_ _|_ __ ___| |_ _ __ ___ __| | ___ ___ _____ __
% | || '_ \/ __| __| '__/ __| / _` |/ _ \/ __| / _ \ \/ /
% | || | | \__ \ |_| | \__ \ | (_| | __/\__ \ | __/> <
% |___|_| |_|___/\__|_| |___/ \__,_|\___||___/ \___/_/\_\
%
% «instrucoes-des-ex» (to ".instrucoes-des-ex")
% (c2m241srp 32 "instrucoes-des-ex")
% (c2m241sra "instrucoes-des-ex")
% (c2m232srp 31 "instrucoes-des-ex")
% (c2m232sra "instrucoes-des-ex")
% (c2m231srp 23 "instrucoes-des-ex")
% (c2m231sra "instrucoes-des-ex")
% (c2m222srp 19 "exercicio-8")
% (c2m222sra "exercicio-8")
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(6,4))
%L spec = "(0,1)--(2,3)--(4,1)--(6,3)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict():color("blue!75!white")
%L p = Pict { curve:prethickness("0.5pt") }
%L p:pgat("pgatc"):sa("instrthin"):output()
\pu
{\bf Instruções de desenho: exercício}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Sejam:
$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \ga{instrthin} \;, \\
\\[-7pt]
P(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)<y \;, \\
Q(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)≤y \;, \\
R(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)≥y \;, \\
S(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)>y \;, \\
\\[-7pt]
P'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)<y \;, \\
Q'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)≤y \;, \\
R'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)≥y \;, \\
S'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)>y \;. \\
\end{array}
$
\bsk
Para cada uma das expressões à direita visualize-a, represente-a
graficamente numa das cópias do gráfico da $f(x)$ da próxima página, e
dê o resultado dela.
Note que aqui eu não estou dando instruções de desenho {\sl
explícitas} -- você vai ter que escolher como você vai fazer pra
visualizar cada expressão.
}\anothercol{
a) $P(3.5), P(3.0), \ldots, P(0.5)$
b) $Q(3.5), Q(3.0), \ldots, Q(0.5)$
c) $R(3.5), R(3.0), \ldots, R(0.5)$
d) $S(3.5), S(3.0), \ldots, S(0.5)$
\msk
e) $P'(3.5), P'(3.0), \ldots, P'(0.5)$
f) $Q'(3.5), Q'(3.0), \ldots, Q'(0.5)$
g) $R'(3.5), R'(3.0), \ldots, R'(0.5)$
h) $S'(3.5), S'(3.0), \ldots, S'(0.5)$
\bsk
Nos itens (e) até (f) os seus desenhos vão ter infinitas bolinhas...
aliás, você vai ter que fazer desenhos que {\sl finjam} que têm
infinitas bolinhas, e nos quais o leitor consiga entender o que você
quis representar... veja este slide antigo:
\ssk
% (c2m212somas2p 53 "dirichlet-3")
% (c2m212somas2a "dirichlet-3")
% (c2m211somas24p 34 "que-finja-ter-infinitas")
% (c2m211somas24a "que-finja-ter-infinitas")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=29
% \url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf\#page=29}
%
\Ca{2dT142} ``E pra conjuntos infinitos?''
}}
\newpage
% ___ _ _ _ _
% |_ _|_ __ ___| |_ _ __ ___ __| | ___ ___ __ _ _ __(_) __| |
% | || '_ \/ __| __| '__/ __| / _` |/ _ \/ __| / _` | '__| |/ _` |
% | || | | \__ \ |_| | \__ \ | (_| | __/\__ \ | (_| | | | | (_| |
% |___|_| |_|___/\__|_| |___/ \__,_|\___||___/ \__, |_| |_|\__,_|
% |___/
%
% «instrucoes-des-grid» (to ".instrucoes-des-grid")
% (c2m241srp 33 "instrucoes-des-grid")
% (c2m241sra "instrucoes-des-grid")
% (c2m232srp 32 "instrucoes-des-grid")
% (c2m232sra "instrucoes-des-grid")
% (c2m231srp 24 "instrucoes-des-grid")
% (c2m231sra "instrucoes-des-grid")
% (c2m222srp 23 "exercicio-8-figs")
% (c2m222sra "exercicio-8-figs")
\def\IT{\ga{instrthin}}
\def\ITS{\IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT }
\def\ITS{\IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT }
$\scalebox{0.7}{$
\begin{matrix}
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\ITS \\
\end{matrix}
$}
$
\newpage
% «instrucoes-des-ex-2» (to ".instrucoes-des-ex-2")
% (c2m241srp 34 "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m241sra "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m232srp 33 "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m232sra "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m231srp 25 "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m231sra "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m222srp 24 "exercicio-9")
% (c2m222sra "exercicio-9")
{\bf Instruções de desenho: outro exercício}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
A seção ``Mais sobre bolinhas'' daqui:
\ssk
{\scriptsize
% 2dT137 Parte 4: mais sobre bolinhas
% 2dT142
% (c2m212somas2p 53 "dirichlet-3")
% (c2m212somas2a "dirichlet-3")
% (c2m211somas24p 29 "mais-sobre-bolinhas")
% (c2m211somas24a "mais-sobre-bolinhas")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=29
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf\#page=29}
}
\ssk
tem dicas sobre como visualizar subconjuntos
``definidos por proposições'', como este aqui:
%
$$\setofst{x∈A}{P(a)}$$
A gente primeiro marca cada ponto de $A$ com uma
bolinha ou preta ou branca, e depois a gente pega
o conjunto das bolinhas pretas e interpreta ele
como um outro conjunto -- o resultado.
\msk
Use isto pra visualizar cada um dos conjuntos
à direita e pra encontrar uma descrição mais simples
para cada um deles. Geralmente essas ``descrições
mais simples'' vão ser em notação de intervalos.
\msk
As funções $P, \ldots, S, P', \ldots, S'$ são as do exercício 8.
O símbolo $\Rext$ denota a ``reta real estendida'':
%
$$\begin{array}{rcl}
\Rext &=& \R ∪ \{-∞,+∞\} \\
&=& (-∞,+∞) ∪ \{-∞,+∞\} \\
&=& [-∞,+∞] \\
\end{array}
$$
Para mais detalhes, veja:
{\scriptsize
% https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line}
}
}\anothercol{
a) $\setofst{y∈[0,3]}{P(y)}$
b) $\setofst{y∈[0,3]}{Q(y)}$
c) $\setofst{y∈[0,3]}{R(y)}$
d) $\setofst{y∈[0,3]}{S(y)}$
\msk
a') $\setofst{y∈[0,3]}{P'(y)}$
b') $\setofst{y∈[0,3]}{Q'(y)}$
c') $\setofst{y∈[0,3]}{R'(y)}$
d') $\setofst{y∈[0,3]}{S'(y)}$
\msk
e) $\setofst{y∈\R}{P(y)}$
f) $\setofst{y∈\R}{Q(y)}$
g) $\setofst{y∈\R}{R(y)}$
h) $\setofst{y∈\R}{S(y)}$
\msk
i) $\setofst{y∈\Rext}{P(y)}$
j) $\setofst{y∈\Rext}{Q(y)}$
k) $\setofst{y∈\Rext}{R(y)}$
l) $\setofst{y∈\Rext}{S(y)}$
}}
\newpage
% _ _
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%
% «algumas-somas» (to ".algumas-somas")
% (c2m241srp 35 "algumas-somas")
% (c2m241sra "algumas-somas")
% (c2m232srp 29 "algumas-somas")
% (c2m232sra "algumas-somas")
% (c2m231srp 10 "algumas-somas")
% (c2m231sra "algumas-somas")
% (c2m221somas3p 13 "metodos-nomes")
% (c2m221somas3a "metodos-nomes")
{\bf Algumas somas de Riemann}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Vou definir:
%
$$\begin{array}{ccl}
\mname{L} &=& \sumiN {f(a_i)} \\[2pt]
\mname{R} &=& \sumiN {f(b_i)} \\[2pt]
\mname{Trap} &=& \sumiN {\frac{f(a_i) + f(b_i)}{2}} \\[2pt]
\mname{M} &=& \sumiN {f(\frac{a_i+b_i}{2})} \\[2pt]
\mname{min} &=& \sumiN {\min(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{max} &=& \sumiN {\max(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{inf} &=& \sumiN {\inf(f([a_i,b_i]))} \\[2pt]
\mname{sup} &=& \sumiN {\sup(f([a_i,b_i]))} \\
\end{array}
$$
Compare com: os exercícios das montanhas,
as páginas 208--210 do Miranda (\Ca{Miranda208}), e:
{\footnotesize
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann}
}
\msk
Nas duas últimas linhas o $f([a_i,b_i])$ é a \ColorRed{imagem
de um intervalo}. Temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(A) &=& \setofst{f(a)}{a∈A} \\
f(\{7,8,9\}) &=& \setofst{f(a)}{a∈\{7,8,9\}} \\
&=& \{f(7), f(8), f(9)\} \\
\end{array}
$$
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e imagens 202*.tex")
}\anothercol{
}}
% (c2m222p2p 4 "questao-3")
% (c2m222p2a "questao-3")
% (find-dmirandacalcpage 212 "7.2. Integral definida")
% (find-leitholdptpage (+ 17 324) "5.5. A integral definida")
% Veja: \Ca{Miranda212}, \Ca{Leit5p41} (p.324, seção 5.5).
% 2fT125
\newpage
% ____ __ _ _ _
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% |____/ \___|_| |_|_| |_|\__\___|\__, |_| \__,_|_|
% |___/
%
% «def-integral» (to ".def-integral")
% (c2m242srp 36 "def-integral")
% (c2m242sra "def-integral")
% (c2m241srp 36 "def-integral")
% (c2m241sra "def-integral")
% (c2m232srp 35 "def-integral")
% (c2m232sra "def-integral")
% (c2m231srp 11 "def-integral")
% (c2m231sra "def-integral")
% (c2m222tfcsp 5 "def-integral")
% (c2m222tfcsa "def-integral")
\vspace*{-0.3cm}
$$\scalebox{0.44}{$
\begin{array}{rcl}
[a,b]_N &=& \setofst{a+k(\frac{b-a}{N})}{k∈\{0,\ldots,N\}} \\
&=& \{ a+0(\frac{b-a}{N}),
\; a+1(\frac{b-a}{N}),
\; \ldots,
\; a+N(\frac{b-a}{N}) \} \\
&=& \{ a,
\; a + \frac{b-a}{N},
\; a + 2\frac{b-a}{N},
\; a + 3\frac{b-a}{N},
\; \ldots, \; b\} \\
\D \ga{into_P f(x) dx} &=& \msup_P \\[-5pt]
&=& \D \sum_{i=1}^{N} \sup(f([a_i,b_i])) (b_i-a_i) \\
\D \ga{intu_P f(x) dx} &=& \minf_P \\[-5pt]
&=& \D \sum_{i=1}^{N} \inf(f([a_i,b_i])) (b_i-a_i) \\ \\[-5pt]
\D \ga{intou_P f(x) dx} &=& \D \INTP{\into}{P}{f(x)}
- \INTP{\intu}{P}{f(x)} \\ \\[-5pt]
\D \ga{into_xab f(x) dx} &=& \D \lim_{k→∞} \ga{into_ab2k f(x) dx} \\
\D \ga{intu_xab f(x) dx} &=& \D \lim_{k→∞} \ga{intu_ab2k f(x) dx} \\ \\[-5pt]
\D \ga{intou_xab f(x) dx} &=& \D \ga{into_xab f(x) dx}
- \ga{intu_xab f(x) dx} \\ \\[-5pt]
\D \left( \ga{int_xab f(x) dx} \text{\;\;existe} \right)
&=& \D \left( \ga{into_xab f(x) dx}
= \ga{intu_xab f(x) dx} \right) \\ \\[-7pt]
&=& \D \left( \ga{intou_xab f(x) dx} = 0 \right) \\ \\[-7pt]
\D \ga{int_xab f(x) dx} &=& \D \ga{into_xab f(x) dx}
\qquad \text{(se a integral existir)} \\ \\[-7pt]
&=& \D \ga{intu_xab f(x) dx}
\qquad \text{(se a integral existir)} \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% ___ _ ___ _
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% |___|_| |_|\__\___/ \___| |___|_| |_|\__|\__,_|
%
% «into-e-intu» (to ".into-e-intu")
% (c2m241srp 37 "into-e-intu")
% (c2m241sra "into-e-intu")
% (c2m232srp 36 "into-e-intu")
% (c2m232sra "into-e-intu")
% (c2m231srp 26 "into-e-intu")
% (c2m231sra "into-e-intu")
% (c2m222tfcsp 8 "exercicio-3")
% (c2m222tfcsa "exercicio-3")
{\bf Aproximações por cima e por baixo}
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(9,7))
%L spec = "(0,3)--(2,1)o (2,3)c (2,5)o--(7,0)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = Pict { curve:prethickness("2pt") }
%L p:putstrat(v(2.7,5.5), "\\cell{(2,5)}")
%L p:putstrat(v(7.7,0.5), "\\cell{(7,0)}")
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("17pt"):sa("Exercicio 2"):output()
\pu
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
\vspace*{0cm}
Sejam:
%
$f(x) = \scalebox{0.5}{$\ga{Exercicio 2}$} \;, $
\msk
$P=\{3,4,5\}$,
$Q=\{1,3,4,5\}$,
\msk
e \ColorRed{por enquanto} considere que:
%
$$\begin{array}{rcl}
\sup(f(B)) &=& \max_{x∈B} f(x) \quad \text{e} \\
\inf(f(B)) &=& \min_{x∈B} f(x).
\end{array}
$$
\msk
}\anothercol{
{\bf Exercício.}
Represente graficamente:
\msk\par a) $\ga{into_P f(x) dx}$
\msk\par b) $\ga{intu_P f(x) dx}$
\msk\par c) $\ga{intou_P f(x) dx}$
\bsk\par d) $\ga{into_Q f(x) dx}$
\msk\par e) $\ga{intu_Q f(x) dx}$
\msk\par f) $\ga{intou_Q f(x) dx}$
\bsk\par g) $\INTP{\intou}{[1,5]_2}{f(x)}$
\msk\par h) $\INTP{\intou}{[1,5]_4}{f(x)}$
}}
\newpage
% «dirichlet» (to ".dirichlet")
% (c2m232srp 99 "dirichlet")
% (c2m232sra "dirichlet")
% (c2m231srp 29 "dirichlet")
% (c2m231sra "dirichlet")
% (c2m222tfcsp 9 "exercicio-4")
% (c2m222tfcsa "exercicio-4")
% (c2m212somas2p 51 "dirichlet")
% (c2m212somas2a "dirichlet")
% https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_function
% 2gQ39
% «integral-como-limite» (to ".integral-como-limite")
% 2eT95 - Integral como limite
% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1p 36 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a "descontinuidades")
% «TFC1» (to ".TFC1")
% 2eT74 - TFC1:
% (c2m221tfc1p 15 "exemplo-1")
% (c2m221tfc1a "exemplo-1")
\newpage
% «maxima-intervals» (to ".maxima-intervals")
% (c2m241srp 38 "maxima-intervals")
% (c2m241sra "maxima-intervals")
% (find-es "maxima" "2024.1-intervals")
%M (%i1) a : 2;
%M (%o1) 2
%M (%i2) b : 4;
%M (%o2) 4
%M (%i3) b[i] := a + i*(b-a)/6;
%M (%o3) b_{i}:=a+{\frac{i\,\left(b-a\right)}{6}}
%M (%i4) a[i] := b[i-1];
%M (%o4) a_{i}:=b_{i-1}
%M (%i5) I[i] := [a[i], b[i]];
%M (%o5) I_{i}:=\left[ a_{i} , b_{i} \right]
%M (%i6)
%M [I[1], I[2], I[3], I[4], I[5], I[6]];
%M (%o6) \left[ \left[ 2 , {\frac{7}{3}} \right] , \left[ {\frac{7}{3}} , {\frac{8}{3}} \right] , \left[ {\frac{8}{3}} , 3 \right] , \left[ 3 , {\frac{10}{3}} \right] , \left[ {\frac{10}{3}} , {\frac{11}{3}} \right] , \left[ {\frac{11}{3}} , 4 \right] \right]
%M (%i7) makelist(I[i], i, 1, 6);
%M (%o7) \left[ \left[ 2 , {\frac{7}{3}} \right] , \left[ {\frac{7}{3}} , {\frac{8}{3}} \right] , \left[ {\frac{8}{3}} , 3 \right] , \left[ 3 , {\frac{10}{3}} \right] , \left[ {\frac{10}{3}} , {\frac{11}{3}} \right] , \left[ {\frac{11}{3}} , 4 \right] \right]
%M (%i8)
%L maximahead:sa("maxima-intervals", "")
\pu
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{maxima-intervals}
}\anothercol{
}}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-somas-de-riemann")
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-somas-de-riemann" "-pp" "pages={12,23,32},fitpaper,landscape=true")
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2sr"
% ee-tla: "c2m242sr"
% End: