Lógica pra pessoas que sabem resolver 2+x=5 mas... (WLD 2026)

Esta página é sobre a minha apresentação no World Logic Day 2026, no evento da UFMG e da UFOP. Os organizadores vão postar um vídeo com as 4 apresentações no canal do Lógica Ladeira Abaixo em breve, mas esta página é só sobre a minha apresentação, que acabou sendo bem boa, e que foi a minha primeira apresentação "séria" sobre Educação Matemática. Eu legendei o vídeo dela.

O título completo era:

Lógica pra pessoas que sabem resolver 2+x=5 mas não sabem substituir x por 3 em 2+x=5.

1. Alguns trechos

(0:19) Bom, primeira a dedicatória, tá? É... "Para Walter Machado Pinheiro, que não leu e não vai ler documento nenhum, e se ler não vai entender". Essa apresentação é sobre vários problemas práticos que eu tou tendo. Alguns têm a ver com ensino, outros têm a ver com os zumbis, que são... vou explicar depois o que são. E o Walter Machado Pinheiro é um é um colega meu - professor titular - que virou um zumbi.

(16:42) Isso aqui é um dos artigos mais legais sobre Educação Matemática que eu encontrei... o autor do artigo, o Hewitt, ele conta da experiência dele com alunos de 14, 15 anos... e aí tem um aluno que tem que resolver essa equação daqui, x-y=2, e ele faz TUDO errado. E aí o Hewitt comenta que o aluno lembra vagamente quais são as regras mas não sabe aplicar eles direito, tipo, ouviu o galo cantar e não lembra onde. É... então isso é o que tá acontecendo. Eu precisava entender isso com mais detalhes pra eu descobrir como resolver.

(18:39) Então, 70% dos alunos ficavam perdidos aqui. Eles até entendiam que o método... entendiam em algum nível que o método dava uma solução positiva e uma solução negativa, mas eles não faziam ideia de como testar as duas pra ver qual era a que passava por um certo ponto, como esse ou esse... e o problema terminava com "teste suas respostas" e eles não entendiam o que que era testar uma solução... aí eles erravam nas contas de teste de propósito para fingir que tudo tinha dado certo e eles só tinham cometido um errinho de conta aqui e ali. E se eu mantivesse o o critério de correção óbvio, esses alunos só perderiam um ponto numa questão de cinco pontos, e eles nunca teriam motivação suficiente pra aprender uma coisa que é importante mas que é difícil, e que para mim é muito básica. Eu queria encontrar critérios de correção que mediam o quanto eles sabiam... é... e não medisse só quantos % dos problemas-padrão eles conseguiam resolver. E eu queria ajustar esses critérios para fazer os alunos aprenderem certas coisas rápido ao invés de deixarem elas sempre para depois. Os critérios estabeleceriam PRIORIDADES.

(32:48) Então Cálculo 2 é um curso bizarro porque ele é cheio dessas coisas com o nível... em que o nível de de abstração fica oscilando loucamente... e os alunos eram péssimos. Eu comecei a tentar descobrir as dificuldades dos alunos... e eu comecei a dar uns testes de nivelamento para descobrir. E eu descobri umas coisas muito interessantes. Os testes de nivelamento... eu repeti esses três testes várias vezes... eu vou ampliar alguns deles... o primeiro teste que nos interessa... aliás, a primeira coisa que eu quero contar para vocês, é o seguinte... em teoria em Cálculo 1 você deve aprender uma coisa chamada "modelagem", em que você pega problemas em que o problema é todo dado em português e você transforma isso em algo matemático e resolve. E aí eu tinha bons motivos para achar que isso estava muito acima do nível dos alunos. Então isso nem chegou a virar um teste de nivelamento formal, e eu comecei a checar coisas mais básicas. Isso aqui é uma coisa que os alunos deveriam ser capazes de fazer e não sabiam fazer. Em teoria, quando os alunos aprendiam a derivada em Cálculo 1, eles aprendiam que a definição da derivada por limite é essa daqui... essa igualdade. Eles deveriam ser capazes de transformar essa igualdade daqui nessa, substituindo `a' por `1' em todo lugar... repara que o `a' virou `1' aqui, aqui e aqui... e fazendo uma outra coisa mais complicada que é substituir f(x) por x^10. Eles não sabiam fazer isso. Isso era totalmente misterioso para eles. Uma outra coisa ainda mais básica, que tinha a ver com outro teste de nivelamento que eu dei, era o seguinte. É... o Teste de Nivelamento 2 era... eu perguntava essa derivada daqui, que era a derivada de f de uma determinada coisa... e os alunos não faziam ideia do que que era esse f. Eles pronunciavam isso em português e eles pensavam que isso aqui queria dizer... "ah, isso aqui é derivada DA FUNÇÃO sen(x^4) + ln x". Então eles ignoravam o f e faziam o cálculo do resto. Com isso eu consegui descobrir que eles não sabiam certas coisas muito importantes. Eles sabiam que a fórmula da... da Regra da Cadeia é essa, que é uma fórmula importantíssima... eles sabiam fazer algumas contas tipo isso, mas eles não faziam... não sabiam só substituir o g por 42x, e não sabiam só substituir o f por seno. Então eles não sabiam obter esses passos intermediários, e eu concluí que eles não tavam sabendo pegar fórmulas que eles conheciam e obter outras fórmulas. Onde é que será que tava a base do problema deles? Como é que eu conseguiria algum modo de explicar as coisas, é... em que eu não falasse uma coisa complicada demais... em que eu conseguisse acompanhar eles passo a passo até eles chegarem num nível de abstração maior?

2. Os PDFs

Eu usei dois PDFs no vídeo: um principal e um só com o "example 6" - uma animação mostrando como demonstrações podem ser vistas como "objetos expansíveis", e que eu expliquei no 7:44. Clique nas imagenzinhas abaixo pra ver uma página de cada um, e clique aqui pra ir pros PDFs: principal, example 6.

O PDF principal termina com uma bibliografia com uns 50 itens. Dá pra baixar alguns deles daqui.

3. O vídeo

Clique nas timestamps da próxima seção pra ir pro vídeo no YouTube. O YouTube às vezes reduz a resolução dos vídeos, e se você estiver no Linux você pode baixar o vídeo com uma resolução boa e legendas e assistir ele com:

wget -nc https://anggtwu.net/eev-videos/2026-logica-para-pessoas.mp4
wget -N  https://anggtwu.net/eev-videos/2026-logica-para-pessoas.vtt
mpv --fs 2026-logica-para-pessoas.mp4

4. Transcrição/legendas

0:00 - [Eduardo] Tá bom. Esse aqui é meu slide de título...
0:03 - [Alex] Sim, a gente consegue ver.
0:05 - [Eduardo] Tá.
0:06 - [Alex] O seu slide de título, né?
0:08 - [Eduardo] Tá, então vou começar...
0:09 - [Alex] Ok. Muito bem... pode começar.

0:13 - [Eduardo] Então, o título é esse aqui, e eu vou explicar ele num slide que tem um pouquinho mais de texto.
0:19 Bom, primeira a dedicatória, tá? É...
0:21 "Para Walter Machado Pinheiro, que não leu e não vai ler documento nenhum, e se ler não vai entender".
0:29 Essa apresentação é sobre vários problemas práticos que eu tou tendo.
0:33 Alguns têm a ver com ensino, outros têm a ver com os zumbis, que são... vou explicar depois o que são.
0:39 E o Walter Machado Pinheiro é um é um colega meu - professor titular - que virou um zumbi.

0:43 Outro problema bem importante são as assombrações, mas eu vou explicar isso aos pouquinhos... tá?

0:52 Primeiro... há um tempo atrás o o Alex me mandou uma mensagem me perguntando se eu podia fazer uma apresentação aqui...
0:58 e eu fiquei bem empolgado porque eu tou tentando escrever um artigo sobre Educação Matemática,
1:02 sobre coisas que até um ano atrás eu nem sabia que esse material existia,
1:09 e aí eu dei um jeito de encaixar isso na... nesse evento de hoje. Aí a ideia é essa aqui, ó.
1:17 Vou falar rapidinho e a gente começa direto com com o material mais prático.

1:23 É... qual é a ordem mais natural para aprender as regras lógicas quando você chega em cálculo...
1:27 Eu dou aula de Cálculo 2 e Cálculo 3 num lugar muito ruim, tá?
1:30 ...sabendo só o método para resolver coisas como 2+x=5, mas não sabendo substituir x por 3 em 2+x=5.

1:39 Ou seja, as pessoas estão chegando em Cálculo 2 sabendo _métodos_,
1:44 mas não sabendo verificar coisas, e não tendo nenhuma noção de Verdade.
1:49 Eles só sabem decorar métodos e seguir eles.

1:52 Eu não sou um especialista de verdade em Educação Matemática, mas eu tou há meses baixando maniacamente
1:56 livros e artigos sobre Educação Matemática e seguindo referências bibliográficas...

2:01 E as pessoas que com as quais eu conversei me disseram que acham
2:04 que agora eu conheço a literatura sobre Educação Matemática melhor do que elas.
2:08 Então eu resolvi organizar isso aqui e no mínimo, se ficasse muito ruim...
2:12 vocês teriam uma bibliografia com os 40 melhores livros e artigos que que encontrei.
2:17 Então vamos começar. Deixa eu me apresentar.

2:22 É o seguinte, eu... o meu nome é Eduardo Ochs,
2:24 eu trabalho num campus pequeno que a UFF tem no interior do estado do Rio,
2:28 o PURO, Pólo Universitário de Rio das Ostras, que tá infestado de zumbis, que eu vou falar sobre isso depois...
2:34 E a minha área de pesquisa é... eu não tou muito ativo nela, mas era principalmente Categorias...
2:39 e eu passei anos empacado no que eu tava estudando em Categorias, porque eu fiquei...
2:44 na verdade não entendia direito os livres que eu deveria estar... que eu deveria estar entendendo...
2:48 e eu desempaquei quando eu comecei a encontrar técnicas pra fazer contas em vários níveis de detalhe em paralelo,
2:53 como aqui - tem um exemplo aqui à direita. Então isso aqui é mais ou menos parecido.

2:58 - [Alex] Eduardo, eu acho que... o slide não tá aparecendo pra gente agora.
3:03 - [Eduardo] Sério? É... aparece o Emacs com um tela preta agora?
3:09 - [Alex] Não. Tá aparecendo uma...
3:10 - [Eduardo] Deixa eu ver... será que ele congelou? Ele tá congelado.
3:16 - [Alex] Acho que congelou.
3:19 - [Eduardo] Ai, meu deus... Alguém sabe como é que eu faço para descongelar?
3:23 - [Marcos] Acho que tem que sair da sair da apresentação e voltar pra apresentação.
3:28 - [Eduardo] Sair do share screen e voltar? Vou tentar. Pera aí. Agora ele tá compartilhando minha tela?
3:56 - [Guilherme] É a tela inteira, né?
4:00 - [Eduardo] Isso. Pera aí, deixa eu ver se eu consigo voltar pro slide.
4:04 - [Marcos] Aí. Voltou.

4:06 - [Eduardo] Tá. Então, eu tou nessa figura daqui. Então, os livros tinham coisas como isso aqui... Agora não tá congelado não, né?
4:14 - [Alex] Não. Dá para ver.

4:16 - [Eduardo] Tá. E eu descobri que eu podia expandir essas figuras, que eram muito abstratas, em figuras como essa aqui,
4:21 que eram concretas o suficiente, e eu conseguia entender. Aí aqui eu conseguia ter intuição sobre que que tava acontecendo aqui...
4:27 Aqui era tudo formal demais... eu às vezes nem conseguia fazer as contas de tão abstratas que as coisas eram...
4:33 e aqui eu tinha bastante intuição sobre o que que acontecia.

4:38 Aí eu encontrei essas técnicas pra fazer as contas em vários níveis de detalhe em paralelo...
4:42 e eu fui encontrando jeitos de adaptar elas para coisas mais básicas também.
4:48 Então, num dos meus primeiros artigos, tem esse exemplo aqui,
4:52 em que a gente começa com essa demonstração daqui, aí a gente transforma ela num caso particular
4:57 e depois a gente deleta a parte do meio e fica só com essa expressão daqui e essa expressão daqui, e ela vira só isso.

5:05 Então, tem uma formalização do que que são essas idéias.
5:07 Isso aqui funciona como uma _projeção_, isso aqui funciona como outra...
5:10 tem uma idéia de _levantamento_, e coisas assim.

5:14 E os alunos têm piorado MUITO. E da pandemia para cá a gente começou a ter MUITOS alunos
5:18 que acham que o problema... que o objetivo de cada problema nas matérias que eu dou
5:22 é só chegar no resultado - e chegar no resultado o mais rápido possível.

5:26 Então pra eles, a resposta pra uma... pra uma questão como essa aqui,
5:29 que deveria ser uma conta enorme de meia página, no mínimo, é só esse é resultado final.
5:34 Eles não entendem o que que é a conta ficar clara e fácil de explicar.

5:41 E aí, repara, nós que somos lógicos,
5:43 nós estamos acostumados com objetos que são como sanfonas que têm muita coisa estampada no fole...
5:48 quando a sanfona tá fechada a gente não vê nenhum detalhe do fole, mas quando a gente abre a safona, a gente vê tudo.

5:54 Em árvores de dedução é comum a barra dupla significar "aqui o fole tá fechado", como aqui.
6:00 Ou: "aqui a gente tá omitindo alguns passos"...
6:03 ou "aqui a gente tá omitido alguns passos que são _óbvios_" - em algum sentido.

6:06 Se a gente abre essa sanfona daqui, ela vira toda essa coisa daqui.
6:11 E se a gente abre essa, ela vira isso. Repara que até tem umas coisas extras,
6:15 uns nós extras na árvore, que estão descarregados... então tem muita coisa nova que aparece.
6:21 E aí isso aqui é de um outro artigo meu, e tal.

6:24 Deixa eu dar um outro exemplo que é muito útil pros alunos.
6:28 Um bom jeito da gente introduzir essa idéia para pessoas que sabem muito pouca Matemática
6:31 é a gente começar por "game trees", tá... árvores de jogos.

6:35 Então vamos começar com um pedacinho da árvore do Jogo da Velha.
6:37 Essa figura aqui eu tirei de um livro sobre Haskell, o livro do Hutton...
6:41 e ele sabe fazer programas que...
6:44 ele sabe usar programas que desenham essas coisas com setinhas... eu sou muito ruim nisso...
6:48 e aí eu resolvi formatar iso de um outro jeito usando só LaTeX.
6:52 Então essa árvore da direita - opa - ela é equivalente à anterior... péra aí... caramba, péra...

7:01 Essa árvore da direita ela é equivalente à anterior, mas ela tá desenhada de um jeito diferente...
7:05 A raiz tá aqui, os três nós filhos da raiz são esses daqui...
7:09 então tem uma seta implícita aqui, outra aqui e outra aqui...
7:13 os filhos dessa aqui são essa e essa...
7:15 E eu ainda por cima tou usando cores pra indicar a última jogada e cores para indicar quando alguém ganhou o jogo.

7:24 Então, daria pra desenhar a árvore... a árvore toda.. mas a gente NÃO QUER.
7:29 Também daria pra... a gente pode imaginar que a gente... que isso aqui, é...
7:33 tá sendo mostrado por um computador, e a gente tem um programa com uma interface,
7:36 e a gente poderia apertar um botão que desativa as cores,
7:40 ou apertar botões que mudam entre esse formato e esse, coisas assim.

7:44 Então vamos imaginar que os nossos objetos expansíveis são objetos que um
7:48 computador pode mostrar e que a gente controla o nível de detalhe deles.

7:55 Em Cálculo é muito importante a gente poder pensar em termos de contas expansíveis.
8:00 Repara que pra gente, nós, que somos Lógicos, é óbvio que dá pra gente expandir essa conta daqui...
8:06 Acho que não preciso ampliar porque os detalhes não são tão importantes...
8:09 E ela vira toda essa conta daqui da direita. Nessa conta daqui da direita,
8:14 essa coisa, que a gente considera como uma sanfona fechada,
8:18 virou um montão de passos em que cada passo é fácil de justificar.
8:21 Na verdade isso aqui é um pedaço de uma animação maior - deixa eu ver se eu consigo mostrar ela.

8:26 Isso aqui é exatamente um trecho do livro do Stewart que a gente usa... o livro de Cálculo que a gente usa.
8:31 E isso aqui é a minha animação. Aqui a conta com... com todos os passos, mas sem muitos detalhes...
8:38 aí a gente introduz os números das igualdades...
8:41 aí a gente começa a dar highlight em... em o que que cada igualdade tá fazendo...
8:46 por exemplo, a igualdade (5) tá dizendo que essa expressão é igual a essa...
8:50 aí a gente muda pra um outro modo de expor isso aqui...

8:56 E a gente vê que nessa igualdade (3) o que tá mudando é que essa expressão aqui
9:00 foi transformada nessa... ou seja, essa expressão é igual a essa, e o resto não mudou.
9:06 E a gente pode ampliar mais isso para colocar justificativas.

9:10 Então... é comum a gente ver justificativas desse jeito, mas com o nome das regras em Português...
9:15 mas vamos imaginar que todo mundo conhece esse nome... esses nomes dessas regras daqui.
9:19 Isso é regra do produto pra derivada, isso é a regra da multiplicação por constante, e tal.

9:25 Também dá pra gente ampliar mais e a gente imaginar que a gente tá...
9:30 que uma pessoa fez a demonstração e tá explicando ela pra outra, e essa outra pessoa pode fazer perguntas...
9:35 "não entendi esse passo aqui, você pode me explicar ele melhor?"
9:38 E, então, nesse passo aqui... vamos pegar esse...
9:42 daqui para cá a gente usou a Regra da Multiplicação por Constante.

9:45 Aí a pessoa diz: "tá, acredito, mas não consigo fazer essa conta de cabeça, você pode mostrar mais detalhes para mim?"
9:52 E a gente diz "a gente vai fazer a regra da multiplicação por constante com com c=6 e f(x)=x^3".
10:00 E a pessoa diz: "Você pode mostrar mais detalhes disso?"
10:02 E a gente responde pra ela isso.
10:03 A regra da multiplicação por constante é essa igualdade aqui,
10:06 que eu desenhei com uma quebra de linha aqui...
10:09 Aqui tem essas instruções pra obter um caso particular,
10:12 e o caso particular é esse: a derivada de 6 x^3 é 6 vezes isso aqui,
10:18 que é exatamente o que tá acontecendo aqui, tá?
10:20 Então isso é a ideia de "demonstração expansível",
10:24 e é isso que os alunos têm que entender.
10:27 Então, deixa eu voltar paraos meus slides aqui. Primeiro...

10:32 - [Alex] Eduardo, eu não sei se o seu slide agora
10:37 parece que ficou congelado naquela conta com a equação 3...
10:44 - [Eduardo] Ih, tá congelado de novo. Vou fazer o truque de novo, tá?
10:47 - [Alex] Tá bom. Beleza.
10:49 - [Eduardo] Quando isso acontecer de novo, me avisa que eu vou ficar mexendo muito no mouse... nos slides.
11:16 Agora foi?
11:18 - [Alex] Sim, voltou.

11:20 - [Eduardo] Tá. Então pra muitos alunos esse tipo de coisa aqui é assustador.
11:26 Eles ficam com uma cara de pânico e pela cara deles a gente vê que eles nunca viram algo tão abstrato na vida.
11:33 E a reação deles quando eles fazem essa cara de "eu nunca vi algo tão abstrato na vida"
11:39 é de pensar: "eu vou fazer de tudo pra aprender isso depois,
11:43 para deixar para depois, ou para mais depois ainda... ou se possível NUNCA".

11:50 Eu lembro do tempo em que todo mundo usava a expressão "pons asinorum".
11:53 Isso aqui é uma "pons asinorum" bem conhecida do pessoal de Educação Matemática...
11:57 eu não conhecia nada da literatura sobre isso até um ano atrás,
12:01 e um dos meus objetivos nessa apresentação vai ser mostrar um pouco disso para vocês,
12:05 com links pros melhores livros e artigos que eu encontrei.

12:09 Deixa eu mostrar uma outra coisa em que vale...
12:12 que é muito legal da gente entender como objetos expansíveis.
12:17 Uma coisa bem básica quando a gente começa a aprender Cálculo e coisas assim é construções com conjuntos.
12:22 A gente vai usar isso para desenhar gráficos, por exemplo.

12:25 Normalmente Cálculo já começa com conjuntos infinitos, como gráficos de funções e coisas assim,
12:29 mas é melhor a gente começar com casos onde tudo é finito.

12:34 Então a gente tem duas notações que parecem iguais porque elas têm essas chaves e essa barrinha no meio,
12:39 mas na verdade elas são diferentes. Essa daqui corresponde a esse programa daqui...

12:44 - [Alex] Eduardo -
12:45 - [Eduardo] Congelou de novo?
12:46 - [Alex] Você tá no slide 10? Acho que não, né?
12:48 - [Eduardo] Não, tou no 11. Congelou, né?
12:50 - [Alex] É, congelou.
12:52 - [Eduardo] Ai, caramba. Pera aí. Acho que meu computador é lento e aí ele tá meio...
13:01 a gente vai ter que fazer isso zilhões de vezes.
13:04 - [Alex] Se você quiser, é... é em PDF, você pode me mandar pro WhatsApp o PDF?
13:10 - [Eduardo] Não, eu vou ter que ficar apontando muita coisa, então vamos fazer isso toda vez que precisar.
13:15 É só você me avisar quando congelou de novo. É o jeito.
13:17 - [Alex] Beleza.
13:33 - [Eduardo] Eita, pera aí.
13:45 Você consegue ver meu slide agora?
13:47 - [Alex] Sim.

13:49 - [Eduardo] Tá. Então, quando a gente tem muita prática a gente consegue olhar isso aqui,
13:54 essa expressão daqui e ver que o resultado é o conjunto {4,9}. Mas no início a gente não tem tanta prática,
14:00 e a gente precisa dividir isso em vários passos...
14:02 Então, no primeiro passo a gente faz umas anotações dizendo que isso é um gerador, isso é um filtro...
14:08 aí a gente pode transformar pra essa notação daqui que integra as duas expressões...
14:12 aí a gente consegue entender tudo isso como programinhas e consegue entender os detalhes.

14:18 E aí eu costumo começar alguns cursos com esses exercícios porque eles servem para muita coisa.
14:23 Aqui tem um exemplo um pouquinho maior, que dá essa figura, que é esse triangulinho daqui,
14:28 com, deixa eu ver... nove pontos...

14:36 E... eu uso set comprehension nos meus cursos desde 2010 e bolinha,
14:40 e eu tenho um material que tem um montão de exercícios super bem graduados em termos de dificuldade...
14:46 os exercícios tem essa cara daqui, cada um dá um desenhinho...

14:49 e costumam servir pros alunos relembrarem coisas como a equação da reta, e coisas assim...
14:54 e pra outras coisas muito importantes.

14:56 Tipo, eles começam a treinar como fazer exercícios em grupo, começam a treinar como discutir,
15:01 como fazer perguntas boas, e coisas assim. E eles também aprendem
15:05 como aproximar figuras que tenham infinitos pontos, como é o gráfico de uma reta ou de uma parábola,
15:10 por figuras com número finito de pontos, e um monte de outras coisas.

15:15 Então aqui tem mais uns detalhes... aqui tem um slide sobre um tipo de jogo que a gente faz pra...
15:20 eu defino as regras de um jogo colaborativo e os alunos aprendem a fazer hipóteses e testar hipóteses.

15:27 É... e aqui tem uma uma coisa que eu acho que eu vou pular por questões de tempo,
15:30 que é como é que a gente pode eh transformar isso aqui, que a gente já viu que era um programinha,
15:35 numa árvore que mostra como calcular isso aqui passo a passo.
15:39 Tá. Então, vou pular isso aqui,
15:41 mas isso é só para discutir vários tipos de expansão, em que um objeto muito difícil de entender vira objetos
15:45 que a gente consegue entender eles mais passo a passo.

15:53 É... então... os alunos de Cálculo 2, eles antigamente eles faziam passos errados,
16:00 como esse daqui, em que aqui tem uma simplificação bizarra com raiz quadrada... e eu costumava dizer:
16:05 "vamos desenhar esses dois conjuntos aqui, o que corresponde a essa expressão e o que corresponde a essa, como gráficos".
16:15 Para desenhar eles como gráficos a gente vai ter que usar essas set comprehensions daqui.

16:20 Aí esse aqui vira um semicírculo, o segundo vira uma reta, e eles conseguiam entender o que que tava errado.
16:24 Eles conseguiam ver que tinha alguma coisa errada nesse passo, e eles descobriam o quê.
16:30 Mas hoje em dia, quando eu mostro isso, eles não entendem NADA.

16:35 É... deixa eu falar um pouquinho sobre o que que é esse "nada"
16:38 pra dar uma noção para vocês de sobre o que que vai ser essa apresentação.

16:42 Isso aqui é um dos artigos mais legais sobre Educação Matemática que eu encontrei...
16:48 e aí... o autor do artigo, o Hewitt, ele conta da experiência dele com alunos de 14, 15 anos...
16:56 e aí tem um aluno que tem que resolver essa equação daqui, x-y=2, e ele faz TUDO errado.

17:04 E aí o Hewitt comenta que o aluno lembra vagamente quais são as regras mas não sabe aplicar eles direito,
17:09 tipo, ouviu o galo cantar e não lembra onde.
17:14 É... então isso é o que tá acontecendo.
17:16 Eu precisava entender isso com mais detalhes pra eu descobrir como resolver.

17:21 Deixa eu ver... é...
17:23 deixa eu dar um exemplo mais preciso do que tava acontecendo.

17:27 No final do curso de Cálculo 2 a gente vê um pouquinho de equações diferenciais, que eu não vou mostrar o que é...
17:31 imagino que pouca gente aqui tenha feito Cálculo...
17:35 e no final do curso, 70% dos alunos não entendiam certas ideias que DEVERIAM ser básicas...
17:40 e eles DESISTIAM de entender - isso que era o pior.

17:44 Aí considera esse problema aqui. Encontre a solução geral da equação diferencial BLÁ...
17:50 depois encontre a solução particular que passa por esse ponto verde daqui.
17:54 Depois encontre a que passa por esse ponto azul daqui e teste as duas.
17:59 A solução particular que passa pelo ponto verde é o semicírculo de cima...

18:03 - [Alex] Ô, ô, Eduardo...
18:05 - [Eduardo] Congelou de novo?
18:06 - [Alex] Eu acho que sim.
18:07 - [Eduardo] Tá, eu vou ficar mexendo o mouse o tempo todo, então quando congelar...
18:10 - [Alex] Ah, tá bom. Eu vou olhar pro mouse, então. Tá bom.
18:13 - [Eduardo] Tá bom. Deixa eu tentar mais uma vez.
18:35 Voltou?
18:37 - [Alex] Sim.

18:39 - [Eduardo] Tá. Então, 70% dos alunos ficavam perdidos aqui.
18:44 Eles até entendiam que o método... entendiam em algum nível que o método
18:49 dava uma solução positiva e uma solução negativa, mas eles não faziam ideia de como testar as duas pra ver qual era
18:55 a que passava por um certo ponto, como esse ou esse...

18:58 e o problema terminava com "teste suas respostas" e eles não entendiam o que que era testar uma solução...
19:06 aí eles erravam nas contas de teste de propósito para fingir que tudo tinha dado certo
19:11 e eles só tinham cometido um errinho de conta aqui e ali.

19:15 E se eu mantivesse o o critério de correção óbvio, esses alunos
19:18 só perderiam um ponto numa questão de cinco pontos,
19:20 e eles nunca teriam motivação suficiente pra aprender uma coisa que é importante
19:24 mas que é difícil, e que para mim é muito básica.

19:28 Eu queria encontrar critérios de correção que mediam o quanto eles sabiam... é...
19:35 e não medisse só quantos % dos problemas-padrão eles conseguiam resolver.

19:38 E eu queria ajustar esses critérios para fazer os alunos aprenderem certas coisas rápido
19:44 ao invés de deixarem elas sempre para depois.
19:47 Os critérios estabeleceriam PRIORIDADES.

19:51 Deixa eu contar uma historinha aqui, mas eu vou contar ela super rápido,
19:54 porque eu vou supor que muita gente já leu essa essa história por aí.
19:58 Ela já foi postada na lista de Lógica, e coisas assim.

20:00 O Feynman passou pelo Brasil algumas vezes e em 52 ele passou um tempo dando aula no CBPF.
20:07 Aí ele descobriu que quando ele dava as aulas dele, e quando os outros davam aulas,
20:11 os alunos não entendiam nada. Os alunos decoravam tudo, mas não absorviam o significado de nada.

20:19 E ele começou a tentar entender o que tava acontecendo ali...
20:24 e ele fez uns comentários bem interessantes.
20:29 é... ele descobriu que...
20:32 bom, ele tentou ensinar os alunos a resolverem problemas por tentativa e erro,
20:35 que era uma coisa que eles normalmente não aprendiam...
20:38 aí ele tentou ensinar o método para para testar coisas... por tentativa e erro,
20:43 e só 10% dos alunos resolveram a primeira tarefa.

20:47 Aí o Feynman deu um esporro neles dizendo que eles precisavam tentar...
20:52 e aí uns alunos fizeram uma delegação depois, e disseram que ele, Feynman,
20:56 não entendia a formação deles. Eles eram "capazes de estudar sem resolver problemas"...
21:00 eles já tinham aprendido Aritmética e coisas assim,
21:03 e as coisas que ele tava dizendo estavam "abaixo do nível deles".

21:07 E é exatamente isso que tá acontecendo com os meus alunos.
21:10 Eles estão chegando com uma noção bizarra de Matemática em que "entender Matemática" para eles é algo
21:15 totalmente diferente do que "entender Matemática" para mim.

21:18 Então pra alguns deles entender alguma coisa de Matemática é você, por exemplo,
21:23 saber explicar ela em Português... Aí eles decoram a explicação em Português e acham que entenderam.

21:28 Deixa eu fazer um modelinho mental pra eu explicar as coisas que vão vir depois.
21:33 Vamos pensar num aluno. Bom, tem vários tipos de aluno, né?
21:37 Então vamos pensar que tem os alunos que estudam muito e os alunos que estudam pouco.
21:40 Os que estudam pouco não nos interessam. Vamos pensar só nos alunos que estudam muito.
21:45 A gente pode estar falando de um aluno que "estudou decorando" no sentido do CBPF...
21:51 eu vou chamar ele de Alex, só porque começa com A, não é o Alex que me convidou para cá...
21:56 e um outro aluno que "estudou entendendo".

21:59 Então esse estudou no estilo CBPF, esse estudou no estilo Feynman... são o Alex e o Bob.
22:04 Se eles forem fazer a prova do CBPF - vou simplificar um pouquinho, tá?
22:08 O aluno que estuda decorando tira 10 e o outro tira uma nota muito baixa... digamos 0, pra simplificar.
22:15 Então o cara que entendeu se ferrou e era para ele ter aprendido que ele não tem tempo pra aprender...
22:21 pra entender nada, ele tem mesmo é que decorar. Mas se eles forem fazer a prova do Feynman acontece o contrário...
22:26 O aluno que estudou decorando tira 0 e o aluno que estudou entendendo tira 10.

22:31 E aí se tudo der certo o Alex, que estuda decorando, ele vai pensar: "Eu preciso aprender outro jeito de estudar".
22:39 Então olha esse diagraminha daqui.
22:41 Tem alunos que estudam entendendo, alunos que estudam decorando,
22:44 e alguns alunos que estudam decorando viram alunos que estudam entendendo.

22:48 Também tem um problema muito grave nos cursos de hoje...
22:51 o pessoal que tá dando cursos nos primeiros períodos já deve ter visto isso,
22:55 e o resto do pessoal nem acredita que seja tão grave assim.

22:59 São alunos que eu chamo de "assombrações", e que TALVEZ sejam viciados em ChatGPT.
23:04 É... o pessoal que usa ChatGPT e outras LLMs bem _não faz idéia_ de como é possível usar essas coisas mal.

23:10 E aí em alguns cursos... algumas turmas tão infestadas de pessoas que usam tão mal que a gente não consegue que eles
23:17 respondam nada. Eles ficam olhando pra gente com uma cara totalmente apática, a gente não consegue descobrir o que eles
23:22 pensam... a gente não consegue nem descobrir se eles pensam ou não.
23:27 E eu chamo esses alunos de "assombrações", e isso virou um problema prático.

23:31 - [Alex] Acho que travou de novo, né?
23:34 - [Eduardo] É, travou, né? Tou mexendo o mouse... tá, vamos lá.
24:04 É... pera aí, deixa eu estimar o tempo. Eu tenho até que horas?
24:10 - [Alex] É... começamos às 11:35, né? É, por aí, 11:30, 11:35.
24:20 - [Eduardo] Tá legal. Beleza.
24:26 É... também dá para inventar... agora vocês estão vendo o mouse mexer, né?
24:31 - [Alex] Sim.
24:32 - [Eduardo] Tá. Também dá para inventar termos mais curtos para isso. Esses alunos são alunos bons,
24:37 esses alunos são alunos médios, e esses são os alunos ruins - ou alunos péssimos.
24:42 Então, os alunos médios às vezes melhoram...
24:46 e a questão é: que que eu posso fazer pra que mais alunos ruins que sabem que estudam decorando,
24:51 mas querem aprender outro jeito de estudar, como é que como é que a gente pode ensinar pra eles
24:56 os outros jeitos de estudar?

24:59 É... aí aqui tem um slide sobre sobre como eu começava a pensar em termos de tipos de alunos,
25:02 mas pra gente basta essa essa noção mais simples agora com três tipos de alunos.

25:09 Isso aqui é uma foto de uma turma, é... que eu consegui que não tivesse assombração nenhuma.
25:13 As assombrações começaram a faltar muito e desapareceram.
25:17 É uma turma em que os alunos sempre passavam boa parte da aula discutindo os problemas no quadro...
25:21 Eu dava os problemas e eles conseguiam descobrir muita coisa sozinhos, e eu ia dando as dicas que precisavam.

25:27 É... deixa eu só explicar de onde é que vem essa... esse termo, "assombrações".
25:33 Vou explicar bem rapidinho, tá? Vem de um filme de terror, ou suspense,
25:37 que é sobre uma cidadezinha em que estão acontecendo umas coisas sinistras,
25:40 onde os arqueólogos descobriram uma uma igreja cristã do século I, na Inglaterra...
25:45 eu nem sabia que tinha cristãos na... na Inglaterra no século I...

25:48 e nessa igreja tem um Cristo que fica de costas pro público
25:51 e de frente pra um painel que tem 12 figuras que ficam olhando ele passivamente...
25:57 e em cada tragédia que acontece na cidadezinha aparecem umas figuras que ficam assistindo a tragédia passivamente.
26:04 E a gente descobre que as pessoas daqui são exatamente as pessoas daqui...
26:11 que estão amaldiçoados, são imortais e estão amaldiçoados a passar toda a eternidade
26:15 assistindo tragédias passivamente por pura curiosidade mórbida.

26:21 Então é daí que vem o termo assombração, tá?
26:25 E foi um pesadelo dar aula pra uma turma que tinha 80% de assombrações,
26:28 então isso virou um problema muito urgente para mim.

26:32 Aqui tem um slide sobre como lidar com assombrações que eu vou pular por enquanto...

26:37 Aqui tem uma coisa que eu tentei fazer e descobri que não funcionava,
26:40 era tentar mostrar pras pessoas que elas tinham que aprender como treinar, tinham que falar com
26:43 amigos músicos para descobrir que que era "treinar"... e não adianta, as assombrações simplesmente não reagem.

26:50 Isso aqui eu quero só mostrar rapidinho, tá?
26:53 Depois eu vou explicar que que são zumbis, mas as coisas lá no PURO estão tão ruins
26:58 que eu até imprimi isso... um monte de cópias disso aqui, e saí distribuindo.

27:03 Eu chegava pros alunos e pra outras pessoas e perguntava: "Oi, você quer saber de uma fofoca?"
27:08 E aí as pessoas ficavam curiosíssimas e liam essa folha... eu mostrava para elas, elas liam, adoravam,
27:14 e aí seguiam o link do QR code.

27:17 E aí olha essa apresentação daqui. Antigamente todo mundo tinha medo dos cursos com muita Matemática,
27:21 como Engenharia de Produção, Ciência da Computação, e tal... que são dois dos cursos que a gente tem.
27:28 E as pessoas só entravam nesses cursos quando elas tinham uma noção de que elas eram boa boas em Matemática.
27:33 E isso queria dizer que na escola elas tinham aprendido a descobrir coisas elas mesmas.
27:36 Elas já sabiam que Matemática não era só decorar.

27:40 Aí a educação piorou muito. E, pra resumir muito, muita gente nunca viu essa diferença entre entender e decorar...
27:49 nunca tiveram contato com outros modos de pensar - só acham que dá para decorar fórmulas...
27:54 E a gente não sabia direito como lidar com isso e a gente precisa de toda ajuda que puder...
28:00 E os meus coleguinhas não contam NADA sobre como estão dando os cursos deles...

28:06 e eu descobri que a Patrícia do HortiFruti... que eu sou amigo dela, que eu vou sempre no hortifruti dela
28:11 com a minha cachorra e a gente acaba conversando a beça, ela se formou em Educação,
28:15 trabalhou uns anos como professora de Alfabetização e ela tinha um montão de dicas interessantes para me dar.

28:20 Então a ideia é: "Precisamos de mais Patrícias e menos Anas Isabéis".
28:23 A gente precisa conversar com mais pessoas que queiram trocar idéias
28:27 e a gente tá cercado de gente que não quer trocar ideia nenhuma, né?
28:31 Então depois vocês vão ler isso aqui.
28:34 Deixa eu dar mais uma noção pra vocês de como Cálculo 2 é horrível.

28:38 - [Alex] É... o seu mouse não tá mexendo mais.
28:41 - [Eduardo] Ih, vamos tentar de novo.
28:43 - [Alex] No slide 23.
28:45 - [Eduardo] Tá bom.
28:55 Pelo menos eu já tô um pouquinho mais rápido em clicar nos botões certos.
29:00 - [Alex] Essa dinâmica tá providenciando uma interação com o público, né?

29:06 - [Eduardo] É, outras pessoas também podem falar, tá?
29:09 Eu ia começar a apresentação me desculpando por meus slides estem bagunçados,
29:13 mas até que não estão tão ruins não. A parte bagunçada vai vir depois, e talvez o tempo até acabe antes.
29:18 Vamos voltar. Então, deixa eu começar por isso aqui.
29:21 Essa figurinha daqui, tá? Isso aqui é um moto perpétuo. Isso eu vi na televisão quando era criança e eu fiquei bolado com isso.

29:28 É... o Jô Soares tinha um programa humorístico na televisão e numa hora tinha um gênio que apresentava o modo perpétuo...
29:34 e o modo perpétuo é assim, você faz uma figura assim e você faz o nove ser mais [pesado que o] seis.
29:40 Então quando você tá nessa posição daqui, o seis é levinho, o nove é pesado, o nove puxa para baixo, seis puxa para cima,
29:45 e isso roda. Aí ele roda um pouquinho e as figuras mudam de lugar.
29:50 Um outro nove entra aqui, o outro seis vem aqui,
29:53 esse nove acaba virando um seis, esse seis acaba virando um nove, e isso vai rodando para sempre.

29:59 Eu levei um tempo para entender que o truque aí era que o problema foi empurrado para outro lugar.
30:04 A dificuldade aí é construir essa figura... essa coisa de um jeito que o nove fique sempre mais pesado que o seis.

30:13 E Cálculo 2 tem umas coisas bizarras, são umas fórmulas que você tem que entender e a explicação delas parece uma
30:18 explicação tipo isso, em que o problema tá simplesmente sendo empurrado pra um outro lugar.
30:23 Isso aqui é uma fórmula super importante de Cálculo 2... deixa eu dar um zoom nela...

30:29 Essa fórmula de cima a gente usa ela a beça, e eu levei décadas para começar a ter alguma intuição do que que ela queria dizer.
30:36 Eu só comecei a ter intuição quando eu vi como encontrar...

30:39 Primeiro, eu vi essa essa demonstração daqui, que fica escondida num cantinho dos livros...
30:45 eu vi como... comparar isso com um caso particular...
30:51 E em determinados casos particulares a gente consegue visualizar direitinho o que que tá acontecendo aqui.

30:55 E aí a gente consegue ver como é que o gráfico tá sendo distorcido de uma determinada forma...
31:02 Você tá amassando o gráfico de um jeito e esticando ele pra cima... e aí a área se preserva.

31:08 - [Alex] O seu mouse não tá mexendo de novo.
31:13 - [Eduardo] Vou fazer o truque de novo.
31:31 Voltou?
31:33 - [Alex] Voltou.
31:34 - [Eduardo] Ai, que bom.

31:37 Então, essa é uma fórmula em vários níveis de abstração.
31:40 Quando a gente consegue entender o que que uma integral quer dizer, como uma figura, uma área,
31:44 cada pedacinho dessa... dessas últimas quatro igualdades daqui faz sentido.

31:50 Agora, a gente costuma usar isso numa versão um pouco abreviada,
31:54 que não tem esses `a's e `b's aqui, a gente chama de "limites de integração".

31:57 Isso aqui já é muito abstrato. Eu até hoje não tenho uma uma intuição visual do que que sejam
32:02 essas integrais indefinidas sem o limite de integração...
32:05 acho isso horrível de visualizar.

32:08 E o modo como a gente lembra essas coisas é por essas expressões aqui, com umas anotações.
32:15 Então, é... _parece_ que pra físicos e engenheiros essa explicação daqui é totalmente óbvia...
32:21 Essa coisa daqui... a gente vai inventar uma variável nova chamada `u', que é isso...
32:27 Ah, então é _óbvio_ que du/dx é essa coisa daqui...
32:31 aí você multiplica du/dx por dx, cancela o dx com dx, sobra du. Pronto, ó, resolveu!
32:36 Essa integral daqui virou essa daqui.

32:39 Só que para metade das pessoas isso faz sentido total e é óbvio...
32:42 e pra outra metade não faz sentido nenhum. E eu tava na turma que... pra quem isso não fazia sentido nenhum.

32:48 Então Cálculo 2 é um curso bizarro porque ele é cheio dessas coisas com o nível...
32:53 em que o nível de de abstração fica oscilando loucamente... e os alunos eram péssimos.

33:01 Eu comecei a tentar descobrir as dificuldades dos alunos...
33:04 e eu comecei a dar uns testes de nivelamento para descobrir.
33:07 E eu descobri umas coisas muito interessantes.

33:12 Os testes de nivelamento... eu repeti esses três testes várias vezes... eu vou ampliar alguns deles...
33:19 o primeiro teste que nos interessa... aliás, a primeira coisa que eu quero contar para vocês, é o seguinte...
33:26 em teoria em Cálculo 1 você deve aprender uma coisa chamada "modelagem", em que você pega problemas
33:32 em que o problema é todo dado em português e você transforma isso em algo matemático e resolve.
33:37 E aí eu tinha bons motivos para achar que isso estava muito acima do nível dos alunos.
33:42 Então isso nem chegou a virar um teste de nivelamento formal,
33:46 e eu comecei a checar coisas mais básicas.

33:49 Isso aqui é uma coisa que os alunos deveriam ser capazes de fazer e não sabiam fazer.
33:55 Em teoria, quando os alunos aprendiam a derivada em Cálculo 1,
33:59 eles aprendiam que a definição da derivada por limite é essa daqui... essa igualdade.

34:04 Eles deveriam ser capazes de transformar essa igualdade daqui nessa, substituindo `a' por `1' em todo lugar...
34:11 repara que o `a' virou `1' aqui, aqui e aqui... e fazendo uma outra coisa mais complicada que é
34:17 substituir f(x) por x^10. Eles não sabiam fazer isso. Isso era totalmente misterioso para eles.

34:24 Uma outra coisa ainda mais básica, que tinha a ver com outro teste de nivelamento que eu dei, era o seguinte.
34:30 É... o Teste de Nivelamento 2 era... eu perguntava essa derivada daqui,
34:34 que era a derivada de f de uma determinada coisa... e os alunos não faziam ideia do que que era esse f.

34:40 Eles pronunciavam isso em português e eles pensavam que isso aqui queria dizer...
34:44 "ah, isso aqui é derivada DA FUNÇÃO sen(x^4) + ln x".
34:49 Então eles ignoravam o f e faziam o cálculo do resto.
34:52 Com isso eu consegui descobrir que eles não sabiam certas coisas muito importantes.

34:56 Eles sabiam que a fórmula da... da Regra da Cadeia é essa, que é uma fórmula importantíssima...
35:03 eles sabiam fazer algumas contas tipo isso, mas eles não faziam... não sabiam só substituir o g por 42x,
35:11 e não sabiam só substituir o f por seno.

35:14 Então eles não sabiam obter esses passos intermediários,
35:17 e eu concluí que eles não tavam sabendo pegar fórmulas que eles conheciam e obter outras fórmulas.

35:24 Onde é que será que tava a base do problema deles?
35:27 Como é que eu conseguiria algum modo de explicar as coisas, é... em que eu não falasse uma coisa complicada demais...
35:32 em que eu conseguisse acompanhar eles passo a passo até eles chegarem num nível de abstração maior?

35:39 Uma das coisas que eu descobri foi que eles nunca tinham pensado em expressões como árvores...
35:42 então isso aqui era totalmente novo para eles.
35:46 Essa, desculpa... essa derivada daqui a gente pode interpretar como essa árvore daqui...
35:52 A gente tá construindo essa expressão daqui, f de alguma coisa, e aplicando operação ddx nela.

36:00 E então preparei um monte de exercício disso...
36:04 e... alguns alunos ficaram maravilhados, outros alunos ficaram empacados,
36:07 então... já tava melhorando, mas, é... eu precisava de mais material ainda...
36:13 aqui é aquele slide que eu mostrei antes, logo no início...

36:20 E eu tentei descobrir como é que eles tinham aprendido a regra da cadeia. Eu ainda não entendi.
36:25 E eles disseram que tinha aprendido pelo livro tal, que tinha várias explicações diferentes...
36:29 e uma das explicações era essa. Você pega a regra da cadeia, aí você aplica ela desse jeito...
36:34 você... se você vai fazer uma conta como essa aqui tá a função de fora, aqui tá a função de dentro...
36:39 O resultado é a derivada da função de fora avaliada na função de dentro, vezes não sei quê.

36:44 Então eles sabiam fazer essa conta, mas eles não conseguiam escrever num cantinho do papel...
36:49 o que que eram essas coisas... eles tinham que guardar isso na memória...
36:52 eles não sabiam contar para ninguém que que era a função de fora e a função de dentro...
36:56 eles sabiam fazer isso, mas não sabiam explicar...

36:59 então eles... aprendiam um método que só funcionava se eles tivessem com um buffer mental, um espaço mental suficiente
37:07 para eles guardarem essas coisas na memória, e falhava em vários casos mais complicados.

37:12 Aqui tem uns casos mais complicados, e o caso... um dos casos que me interessava esse aqui,
37:17 derivada de f(x^4), em que eles pensavam: "ah, isso aqui é derivada DA FUNÇÃO x^4,
37:22 portanto é a derivada de x^4, portanto é 4*x^3". Então o f desaparecia.

37:32 É... como é que será que eles tinham aprendido a regra da cadeia?
37:35 Eles sabiam que a fórmula era essa e eles sabiam, em algum sentido,
37:38 que isso valia para qualquer f e qualquer g...
37:43 Que que queria dizer isso para eles? Será que eles pensavam que isso aqui tava quantificado de alguma forma?

37:49 - [Alex] Ô Eduardo, será que o seu mouse tá travado de novo?
37:52 - [Eduardo] Não, acho que é que meu computador é muito antigo. Deixa eu fazer o truque de novo.
38:01 É... vamos lá.
38:07 É bom que tudo que der errado eu posso botar a culpa no computador.
38:19 Oi. Voltou?
38:21 - [Alex] Sim. Voltou.

38:23 - [Eduardo] Oba! Oba! Tá... então, será que a regra da cadeia para eles era isso?
38:26 Quando eles viam isso, eles pensavam: "ah, pra qualquer função com... é, de classe C^1 f,
38:32 e qualquer função de classe C^1 g, a gente tem essa... isso aqui vale..."
38:36 ou será que eles pensavam "pra qualquer função com infinitas derivadas isso aqui vale"?

38:40 Ou será que eles pensavam de um jeito mais com cara de analista, no sentido de Análise Matemática,
38:47 seja f uma função que vai do intervalo J para o para o conjunto dos reais, de classe C^1,
38:53 e g é uma função do conjunto... do intervalo I no intervalo J, e não sei quê...".

38:57 Então... eu não consegui descobrir, eu tinha que deduzir isso a partir de informações mínimas,
39:03 mas o que eu sabia era que variáveis livres são um conceito bem complicado para mim
39:08 e eu normalmente me livro delas usando quantificadores...

39:12 Então para mim isso aqui é bem complicado porque f e g fazem papel de variáveis livres,
39:16 mas é pior ainda, não são nem números, são funções...
39:21 Então o que que será que esses alunos viram em Cálculo 1?
39:24 Será que eles viram teoremas e demonstrações? Talvez sim...

39:27 e aqui eu peguei... eu catei uma, um comentário de um colega meu, na verdade meu grande inimigo,
39:33 de um grupo de WhatsApp, em que tavam discutindo se iam deixar um professor da Engenharia dar Cálculo 1 ou não...
39:40 e aí esse meu inimigo, Reginaldo, tava dizendo: "Ó, o Edwin, por exemplo, já deu Cálculo 1...
39:45 duvido que ele tenha dado uma única ideia de demonstração no curso todo.
39:48 Não deve nem ter provado que se a função tem derivada a zero, ela tem que ser constante,
39:52 que dirá o Teorema do Valor Médio..."

39:55 Então em algum sentido esses alunos tavam vendo demonstrações em Cálculo 1,
39:58 só que eu não tavam entendendo nada.

40:01 E aí pra mim a grande pergunta é: como é que a gente entende um teorema de Cálculo 1
40:04 se a gente não entende o que que é um caso particular?

40:08 É... aqui é um slide só com duas citações, que eu não vou usar...
40:11 sobre essa ideia do que que é uma função qualquer... então vamos pular porque tem pouco tempo...

40:15 Aqui tem um outro slide sobre tipos de memória, que fala um pouquinho sobre working memory, e não sei quê...

40:22 E isso aqui é importante. É... se vocês quiserem olhar a literatura sobre isso
40:27 um dos livros mais legais é o livro do Van Hiele, e... e a ideia de níveis de Van Hiele sobre níveis de abstração.
40:34 E como é que a gente... se a gente tá num determinado nível de demonstração... não, de ABSTRAÇÃO...
40:40 a gente consegue fazer as coisas o nível seguinte com uma certa dificuldade
40:44 e as coisas de dois níveis acima são praticamente impossíveis pra gente.

40:48 Então, o Van Hiele discute como é que a gente aprende isso,
40:52 como é que a gente passa pro nível seguinte, como é que a gente prepara material pros alunos
40:58 subirem pro nível seguinte, como é que a gente prepara perguntas, e coisas assim...

41:02 E na verdade isso é de uma... de um artigo do David Tall e do não-sei-quê Long,
41:08 que fala sobre níveis de Van Hiele e ele fala sobre que os livros de matemática
41:12 fazem uma coisa chamada "level reduction"...

41:15 Então isso aqui é uma "level reduction".
41:19 Os alunos entendiam determinado método, sem entender nada do que tava por trás,
41:24 decoravam esse método, e esqueciam o espírito por trás do método.
41:29 Também vou pular os detalhes disso aqui, porque tem muitos slides. É...

41:36 - [Alex] ô, eu acho que o mouse tá parado de novo.
41:39 - [Eduardo] Vamos lá. Peraí, vou fazer o negocinho de novo. É... culpa do computador, hein?
41:49 - [Alex] Mas você já é craque nesse negócio de... de colocar...
41:53 - [Eduardo] Agora vai levar só 5 segundos.
41:58 É... pera aí. Voltou? Tá vendo meu mouse mexer?
42:01 - [Alex] Sim, sim.

42:03 - [Eduardo] Tá. Então, é... lá no início eu tava falando sobre entender versus decorar.
42:10 Não basta a gente dar um esporro num aluno e dizer "você tem que entender os conceitos!".

42:15 É... na verdade, "entender" Matemática é uma coisa que pode ser decomposta em várias subtécnicas diferentes...
42:22 o pessoal de Educação Matemática discute isso e eles têm várias ideias sobre como, é...
42:28 não só como fazer essa decomposição, sobre como dar... como também sobre como dar exemplos disso.

42:33 E eu fiquei empolgado com isso, pensando, nossa,
42:36 eu tou aprendendo como fazer determinadas coisas no Maxima, que é um programa de Computação Algébrica...

42:41 Eu até já sei fazer árvores nele, e não sei quê...
42:44 Eu acho que se eu conseguir fazer esses exemplos de mudança de nível, generalização,
42:48 particularização, reificação e coisas assim, no Maxima e fazer figuras bacanas, isso vira artigos bacanas.

42:55 Então eu comecei a ter a sensação de "tem um mercado pra isso",
42:58 em termos de artigos, interesse, ser chamado para palestras e coisas assim...
43:02 e comecei a me dedicar a essas coisas.

43:07 É... então aqui tem um... essas colunas aqui são de um artigo de 94,
43:13 e... os autores falam que quando o contexto muda, essa expressão daqui pode ser vista de várias formas diferentes...
43:23 Pode ser... no início, ela podia ser vista como "calcule isso aqui pra um determinado valor de x",
43:28 Depois ela podia ser vista como uma função, depois tem vários outros jeitos,
43:32 e um dos outros jeitos é a gente pensar que isso é uma coisa puramente abstrata,
43:37 só um string de símbolos que não representam nada.

43:40 E a gente vai mexer nessa coisa abstratamente,
43:42 seguindo determinadas regras que até fazem sentido,
43:45 mas que a gente também pode trabalhar... tratar como regras abstratas.

43:51 E hoje em dia eu acho melhor a gente pensar nessas coisas como árvores do que pensar só como strings.
43:56 Então, eu tenho os programas para fazer árvores, como eu já falei,
43:58 eu dou exercícios pro... pros alunos entenderem as coisas como árvores
44:01 e aos pouquinhos as coisas começam a fazer sentido para eles.

44:04 Deixa eu pular um monte de slides aqui.
44:08 Isso aqui é uma coisa que eu ainda não testei com os alunos,
44:11 mas que seria um um material novo para explicar essa ideia de árvores...

44:17 É... no Maxima a gente dá um comando e bate Enter, e ele dá um resultado.
44:20 Ele usa uma interface um pouco mais feia que isso mas isso é a versão mais bonita.
44:24 Então, se eu pedir pro Maxima rodar isso aqui, ele vai pegar esse objeto daqui e vai transformar não só nessa árvore, como...
44:32 ele vai me mostrar duas representações. Uma é a representação bonita do Maxima pra isso aqui, que é essa matriz,
44:37 e a outra é a representação em árvore, que é o jeito bonito de ver a representação interna dele.

44:44 Então aqui tem uma outra operação que troca `matrix' por `bmatrix'...
44:49 É... o `b' é de... vem do LaTeX, quer dizer use square `b'rackets...
44:56 a matriz vira isso aqui... a gente pode usar matrizes pra para coisas que não são matrizes matemáticas,
45:00 mas que tem strings em alguns lugares... a gente pode usar matrizes para coisas que são desenhos...

45:06 Então, isso aqui faz todo sentido para um humano...
45:10 a gente vai interpretar isso como uma série de igualdades, mas o Maxima interpreta como uma matriz.

45:15 A gente pode definir substituições desse jeito.
45:20 É... e aí eu defino uma operação que é a operação de substituição.
45:24 Nesse passo aqui eu defino uma igualdade e eu defino uma operação nova,
45:27 que na verdade tá definida em algum outro lugar, que é uma operação que não tem simplificação.

45:33 É... o Maxima tem determinadas regras para simplificar algumas coisas.
45:37 Por exemplo, se você pergunta para ele o resultado de 2+3, ele simplifica isso e vira 5.
45:42 Mas a gente também pode definir operações novas que compartilham um monte de propriedades da operação `+'
45:48 e não tem as regras de simplificação. E eu vi que quando eu fazia isso, muita coisa ficava mais simples.
45:53 Então o `+.' ele parece com o `+', mas ele não tem nenhuma regra de simplificar.
45:58 Então o Maxima não sabe transformar `a+.b' em `b+.a', e ele transforma isso nisso aqui,
46:04 que acho que imagino que todo mundo consegue visualizar que árvore é essa.

46:07 Aí eu posso pegar essa árvore daqui e dizer: pegue a substituição S1, que é essa, e substitua isso aqui aqui.
46:16 E essa substituição quer dizer "a vira 2 e b vira 3".
46:20 Então com isso a gente consegue ver que essa igualdade vira essa igualdade.

46:23 E isso é uma operação que os alunos precisavam aprender.
46:27 Então aqui eu tenho algumas variações para essa operação `_s_'.
46:30 Aqui é uma operação que me mostra isso num formato bonito e o S1 num formato bonito também...
46:37 E aqui temos outras coisas assim, e o resto não interessa.

46:42 E aí dá para fazer coisas muito bacanas com isso, dá para definir operações que usam underbraces e coisas assim...
46:50 e aí eu consigo que o Maxima faça um monte de contas complicadas para mim.
% (find-2026lppvideo "46:55" "E antes os alunos achavam que isso que isso era uma maluquice que eu tinha inventado... tirado do chapéu,)
46:59 e que eles não precisavam aprender porque não tá no livro do Stewart...

47:02 Eles só precisavam aprender o que tá no livro do Stewart. E aí eles aprendiam tudo errado.
47:07 É o que eu contei lá no início. Eles tentavam aprender equações diferenciais,
47:10 mas eles não faz a menor ideia da lógica por trás daquilo.
47:13 Então eles tentavam decorar o método, usavam o método errado e se ferravam.
47:17 E eu me ferrava também, porque eu tinha um critério de correção ruim que só descontava um ponto deles.
47:21 Então não era prioridade para eles aprenderem a lógica por trás das coisas.
47:27 E é nisso que eu tô trabalhando. Pera aí. Vamos voltar...
47:33 É... vou passar por isso aqui super rapidinho, tá?

47:35 - [Alex] Será que tá...
47:37 - [Eduardo] Congelou de novo?
47:39 Acho que vou fazer... vai de novo. É...
47:56 então tem mais tipo 15 minutos, né?
48:00 - [Alex] Eu acho que tem um pouco... assim, é, a idéia é 40 minutos com mais 20 de perguntas.

48:05 - [Eduardo] Ah, tá. Então, 10 minutos no máximo.
48:10 - [Alex] É. Bom... depois a gente terá menos tempo para pergunta, né?
48:13 - [Eduardo] Tá legal. Tá. Então, vou vou tentar ser rápido.
48:18 Então... é, vou contar super rápido... há um tempo atrás eu achei que um bom jeito de explicar pros alunos
48:23 que que é uma conta feita passo a passo, é... era dizer para eles: "é uma conta que um computador entende".
48:29 E o que todo mundo diz hoje em dia é você tem que aprender assistente de provas, e todo mundo tá usando Lean, então aprenda Lean.
48:38 Só que eu quebrei a cara, eu achei Lean super difícil... por motivos que que agora não interessam,
48:43 mas minha apresentação no último EBL foi sobre isso.

48:48 E eu vi que era mais interessante usar o Maxima, que aparentemente é um programa muito antigo,
48:52 mas ele é interativo, e não sei quê... o pessoal da mailing list era fantástico, eu aprendi a estender ele num instante,
48:59 coisas assim. E aí eu precisava definir a substituição de um modo que fosse natural em algum sentido. E aí o que eu
49:06 fiz foi que eu peguei uma operação que já vem com o Maxima, que é a substituição em paralelo, `psubst', e só, é...
49:13 inventei uma sintaxe nova para ela, que é esse `_s_' aqui... e ainda acrescentei um detalhezinho pra gente poder colocar...
49:21 quer dizer, dois detalhezinhos, um detalhezinho pra... pra substituição ficar bonita, que é esse negócio com
49:26 square brackets aqui. e um truque pra gente poder... dizer substitua toda ocorrência de f(x) pela coisa tal.

49:35 Então a gente... pra gente poder substituir funções, e aí com isso eu consegui empurrar os detalhes complicados para dentro do Maxima.
49:41 É... então esse é um caso em que tem detalhes complicados...
49:44 Isso aqui é uma conta que, é... só pessoas com muita prática em Matemática conseguem olhar pra...
49:51 pra isso aqui e dizer: "ah, o resultado DEVE SER esse"...

49:55 elas deduzem qual deve ser a definição certa disso...
50:00 mas na verdade essa definição certa é uma definição recursiva complicada...

50:04 Pra gente entender como isso funciona a gente tem que fazer várias traduções,
50:08 entender que na verdade essa aplicação daqui é isso, é... isso aqui vira essa aplicação... ai, droga...
50:18 vira essa aplicação com lambdas, ele faz isso aqui.

50:21 E aí, isso aqui é na verdade β-redução, que entre aspas, "todo mundo conhece".
50:25 Tá? Então, eu encontrei uma determinada noção de simplicidade, que é:
50:31 vamos usar _quase que_ a noção de substituição do Maxima.

50:36 Bom, é... como eu falei, os alunos estão chegando péssimos.
50:40 Eles acham que "estudar" quer dizer "decorar"...
50:44 É... eles não conseguem fazer perguntas, eles ficam paralisados, e eles pensam:
50:48 "Ai, meu Deus, eu não tô entendendo nada. Eu vou estudar em casa depois pelo livro"... E eles estudam tudo errado.

50:52 Tem um slide que eu queria botar aqui,
50:55 alguns slides que eram para mostrar o tipo de erro que eles fazem em que, por exemplo,
51:01 eles têm que justificar uma uma determinada conta...
51:05 Ó, o mouse ainda tá mexendo ou já congelou de novo?
51:08 - [Alex] Não, não, tá mexendo.
51:10 - [Nick Olle] Tá mexendo.

51:12 - [Eduardo] Ai, que bom, bom sinal. E aí a sensação que dava era que eles tinham gasto muita energia
51:16 tentando copiar o estilo de fazer justificativas do livro, mas eles não faziam a menor idéia do que tava acontecendo.
51:22 E quando eu conversei sobre... com a Patrícia do HortiFruti sobre alfabetização, eu disse:
51:26 "Patrícia, pelo amor de Deus, eu imagino que o pessoal que trabalha com alfabetização deva ter uma noção de
51:31 níveis de aprendizado e coisa assim"... e ela me deu dicas fantásticas.
51:35 Ela disse: "Procura os livros da Emília Ferreiro".

51:38 E aí tem uma coisa que eu não pus nos slides aqui, que são umas coisas sobre níveis de alfabetização, em que tem um ditado,
51:45 e aí, a professora pediu "agora escrevam ÁRVORE", e a criança escreve tipo "V R O E A", uma coisa assim...
51:55 E o que tava acontecendo é que os alunos chegavam na vista de prova com com uma questão que não fazia sentido nenhum
52:01 e e eles ficavam dizendo: "Mas tá igual ao livro! TÁ IGUAL!!! TÁ IGUAL!!!".
52:05 Eles tinham certeza absoluta de que tava igual. Era exatamente a mesma coisa que a criança
52:09 num primeiro nível, que não faz a menor ideia do que que ela não tá vendo.

52:14 Então, tem muita coisa aí que eu preciso fazer. Eu preciso, é...
52:19 encontrar um modo de ensinar esses alunos a perguntarem...
52:22 eles precisam ter uma noção do que que é uma pergunta boa...
52:26 Tem um slide aqui sobre alguns exemplos de perguntas ruins, mas, é... por enquanto o melhor que eu tenho sobre
52:34 perguntas boas é essa historinha daqui, ó, que eu vou contar para vocês, porque acho que vale a pena.

52:39 O Alex, Bob e outros três amigos começam a estagiar na mesma empresa...
52:42 eles tem que pôr dados no sistema da empresa, que é super mal feito...
52:45 aí o Bob começa a fazer perguntas pro programador da empresa por e-mail, com cópia para todo mundo.
52:51 E o programador dá respostas super boas e começa a reescrever a documentação do sistema e ela fica bem melhor.
52:58 E o problema era que o programador antes, ele não sabia para quem ele tava escrevendo,
53:02 e quando a gente escreve algo sem saber pra quem a gente tá escrevendo em geral fica horrível.
53:07 E agora o Fulano consegue imaginar que ele tá escrevendo pro Bob.

53:10 E aí acontecem várias coisas... Agora todo mundo adora o Bob e todo mundo detesta o Alex,
53:13 que é um cara que não fala com ninguém e só pergunta tudo pro ChatGPT, e o Alex acaba sendo demitido.

53:20 Então o objetivo é vocês serem como o Bob, que fazer perguntas boas.
53:23 Agora, quais são as técnicas para fazer perguntas boas?
53:26 É aí são outros slides que não eu não tenho tempo para eles agora.
53:30 É... quantos minutos ainda tenho? Poucos, né?

53:35 - [Alex] É...

53:37 - [Eduardo] Então vou só mais vou ler só esse slide aqui e a gente passa pras perguntas.
53:42 Ai, que bom, aí vocês não vou ver a parte que tá bagunçada demais.
53:47 Então, é... vamos voltar pra aquela idéia dos alunos que faziam problemas de equações diferenciais
53:56 e eles erravam a coisa que eu achava que era mais importante e que revelava que eles não sabiam praticamente nada,
54:01 mas eles tinham conseguido fazer quase todo o problema.

54:06 Será que esses alunos, que "só" não sabiam conferir a solução, eles mereciam 9 na prova?
54:10 Aqui tem uma citação do Halmos, um matemático famosíssimo, que escreveu uma espécie de autobiografia...

54:15 E aí tem esse trecho em que ele conta que ele aprendeu não sei quê, e ele conseguia fazer as contas direitinho,
54:23 mas ele não entendia o que que determinados argumentos com `ε's e `δ's queriam dizer...
54:27 e teve um dia que ele teve um estalo e tudo começou a fazer sentido.

54:32 Então, será que a gente tem que tratar esses alunos como se fossem pequenos Halmos,
54:37 que por enquanto eles estão... tão só aprendendo a fazer as contas e depois depois tudo vai fazer sentido para eles?
54:42 Olha, na verdade não, né? Porque eles não estão nem conseguindo fazer as contas direito...
54:46 mas eu preciso... ter material para mostrar pra todo mundo que esses alunos têm que ser demitidos,
54:51 porque a gente teriam que aprender a coisa tal, e eles não querem aprender a coisa tal,
54:56 porque a coisa tal "não tá no Stewart".
54:59 Tá? Então vamos parar agora e a gente vai pras perguntas. Pode ser?

55:06 - [Alex] Pode sim.
55:07 - [Eduardo] Tá.
55:08 - [Alex] Obrigado, Eduardo.
55:10 - [Eduardo] Valeu! Obrigado pela oportunidade! Eu tava com...
55:12 precisava de uma desculpa para arrumar esse material e... não consegui arrumar tão bem, mas até funcionou...

55:19 - [Alex] Obrigado, viu? Gostei. Bom, eu tenho uma pergunta, um... um comentário, né?
55:29 É, assim, eu... o que você estuda me interessa bastante.
55:37 Também... a Matemática tem uma lógica interna, né, a Lógica Dedutiva, mas existe...
55:49 eu falei sobre isso em fevereiro numa palestra online, sobre raciocínio lógico na aprendizagem da matemática...

55:56 - [Eduardo] Isso. Eu assisti.

56:00 - [Alex] E como os alunos de fato raciocinam, né... quando eles aprendem matemática, né?
56:07 Por exemplo, se um professor passa uma lista de exercícios, né, e diz "treina isso para entender como funciona"...
56:20 os alunos não raciocinam por dedução, eles... eles fazem um tipo de abdução necessariamente.
56:27 Eles fazem um monte de, sei lá, armam um monte de subtrações e depois de um tempo eles chegaram à conclusão...
56:34 e não é esse jeito que as regras funcionam, certo?
56:37 Por mais que... se você começa com os axiomas de Zermelo Fraenkel ou os axiomas de Peano
56:45 você tem uma dedução pra chegar aos teoremas... e os alunos na aprendizagem... não é o jeito que é feito, né?
56:54 a gente não começa com os axiomas pra depois, é, ensinar regras de dedução
57:00 pra chegar aos resultados, mas a gente tenta que eles entendam pra... inferem de alguma forma que a gente tá fazendo, né?
57:07 A partir de exercícios, né? Aí eu
57:11 achei interessante quando você fala dos níveis dos detalhes, né?
57:16 Porque isso é algo sobre... que a Catarina Dutilh Novais fala no livro dela,
57:24 "As origens dialéticas da dedução... do raciocínio dedutivo", eu acho, né?

57:33 É, assim, o que caracteriza a lógica dedutiva, né, em geral, é a... obviamente, a necessidade, né,
57:46 as conclusões são necessariamente... seguem necessariamente,
57:55 e a ideia da contenção de crenças, né, que a gente simplesmente tem certas premissas
58:02 e a partir delas a conclusão tem que necessariamente seguir... mas tem um aspecto que ela enfatiza, é a
58:08 auditabilidade, que ela chama de "perspicuity", né, de quantos passos...
58:14 tem que ter passos no meio, né? Você não pode simplesmente colocar "teorema" e
58:19 você quer propor... fazer uma proposição, "Teorema de Fermat" e depois você diz:
58:25 "Eu vou provar o teorema de Fermat"... você escreve a prova, põe os axiomas de Zermelo Fraenkel,
58:31 e diz que "é óbvio", pronto, o teorema é óbvio, o teorema de Fermat... Bom, é uma conclusão necessária,
58:39 segue necessariamente, né? E também, é, né... segue da premissa.

58:44 Só que isso não vale como prova matemática. E a gente não chamaria isso de de argumento dedutivo, né?
58:52 É, tem que ter um... detalhamento suficiente, né? Então entra esse aspecto, né, da... do agente
58:59 cognitivo, de alguém que tem que ser capaz de entender, né? E quando eu, é...
59:07 ensino matemática, é... né, eu sou do departamento de Matemática, dou aula de
59:12 Matemática, minha formação em Matemática, né?

59:15 - [Eduardo] Você costuma daqui cursos?
59:17 - [Alex] É... um pouco de tudo, né? Mas muitos calouros, né?
59:20 - [Eduardo] Tá.

59:21 - [Alex] Aí eu... assim, tudo que você tá falando, eu também tô vendo, né?
59:25 Nos meus alunos. Mas assim, eu sinto que a ideia de fazer um argumento lógico,
59:32 um argumento pra chegar a uma conclusão lógica é completamente inexistente neles,
59:37 A ideia, o ensino de matemática, parece focado na resposta certa, né?
59:43 Eles não têm nenhuma ideia de fazer algum raciocínio, de colocar um argumento no papel, de argumentar por
59:51 algo é verdadeiro, se a resposta é certa, tá bom... e isso contrasta muito
59:57 com as, digamos, as Humanas... ou, digamos, no Enem tem uma redação, né?
1:00:03 Você tem que, né, escrever com palavras, né, é... comunicar, né, ideias e
1:00:11 argumentos lógicos. Você tem que fazer isso. E você também tem um norma culta
1:00:18 da linguagem portuguesa que você tem que empregar, você tem que ter uma ortografia, né?
1:00:24 E na matemática não importa, né? Você pode escrever de qualquer jeito, escrever, usar símbolo
1:00:30 de igual quando você quiser, não trocar por uma seta, ninguém liga para isso na escola. Eles chegam lá trocando símbolo
1:00:36 de igual por uma seta, né? Né? Mas o símbolo de igual é o mais sagrado na
1:00:41 matemática, né? Então assim, eles não têm nenhuma, é... idéia de redação
1:00:46 matemática. Eu tenho que escrever, comunicar minha ideia matemática, né? E
1:00:52 não... não existe isso de comunicar, né? É só resposta certa ou não é certa.

1:00:57 - [Eduardo] Isso porque eles nem tiveram contato com com a linguagem matemática, né?
1:01:00 - [Alex] Oi?
1:01:02 - [Eduardo] Eles nem tiveram contato suficiente com a linguagem matemática. Eles não têm nem de onde aprender.
1:01:07 - [Alex] É, é assim, eles não têm, é... eles não
1:01:10 sabem o significado de igual, né? Porque igual e ou é igual ou não é igual na
1:01:16 matemática. E para eles igual é uma seta, né? Tanto faz, né? E assim o dois pontos, né? Um "colon", né?
1:01:24 É, então assim, é, a ideia de construir um argumento lógico, né,
1:01:29 é completamente ausente, de ter uma ortografia na matemática, de mategramática
1:01:34 e usar os símbolos matemáticos corretamente. E isso acho que dialoga um pouco ensino de Lógica, né?
1:01:42 É porque... eu sei que na Sociedade Brasileira de Lógica se discute essa idéia sobre,
1:01:49 né... é, a ausência do ensino de Lógica na escola. Eu não sou especialista nisso,
1:01:55 mas eu sinto que é um pouco... um dos problemas da Matemática na
1:02:02 universidade, quando eles saem da escola, que eles não têm a mínima ideia do que é construir um argumento lógico,
1:02:10 né, no âmbito da matemática, né... assim, que possa ter uma argumentação
1:02:17 matemática... você tem que comunicar, né, eles são incapazes de comunicar, né, porque é tudo múltipla escolha
1:02:22 também, né? Isso. Não sei, né?

1:02:27 - [Eduardo] É, alguns slides que eu pulei tem um montão de links pra artigos sobre igualdade, sobre variável,
1:02:35 coisa assim. Inclusive, alguns desses eu descobri na sua apresentação. Eu comecei a seguir os
1:02:42 links de lá e foi de lá que eu cheguei num monte de material sobre Educação Matemática. Então, eu peguei dois ou
1:02:47 três links sobre igualdade de lá e sobre variável e já encontrei um montão de coisa nova que acho que vai te interessar.

1:02:54 - [Alex] Ah, que bom. Bom. É... mas, é, legal, é...
1:02:59 ver o seu material, as suas idéias de, né, as suas observações...

1:03:04 - [Eduardo] É, e vamos tentar botar isso na prática
1:03:06 porque são coisas que eu sei que não cabem em poucas frases, talvez caibam em exercícios com figuras, e coisas assim...
1:03:12 mas eu realmente não tenho como resumir as minhas idéias em pouquinhas frases agora.
1:03:16 - [Alex] Uhum. Mas eu acho uma... algo, né... no ensino de
1:03:20 matemática, na educação matemática, acho que é interessante, né... tentar um
1:03:27 pouco entender o que que pode ser feito para melhorar o raciocínio lógico, né?
1:03:34 - [Eduardo] É. E é um problema que não existia e agora tá muito pior. Antigamente os alunos que não sabiam absolutamente nada de lógica
1:03:40 eram poucos. Agora são quase todos.
1:03:46 - [Alex] É, é, acho que é, eu acho que também tem teve uma piora. Sim.
1:03:53 Tem mais, mais perguntas?
1:03:59 Bom, se tem... não tem mais perguntas. É, bom...
1:04:07 - [Eduardo] Sua vez.
1:04:10 - [Alex] A minha vez, né? Tá bom. Bom, eu vou também... é... aqui... cadê o negócio?
1:04:23 Janela... o PDF que tou compartilhando aqui. Vocês estão vendo?
1:04:35 - [Nick Olle] Sim.
1:04:37 - [Eduardo] Sim.
1:04:39 - [Alex] Beleza. Ótimo. Então, meu nome é Alex... né, é...