- [Eduardo] Tá bom. Esse aqui é meu slide de título...
- [Alex] Sim, a gente consegue ver.
- [Eduardo] Tá.
- [Alex] O seu slide de título, né?
- [Eduardo] Tá, então vou começar...
- [Alex] Ok. Muito bem... pode começar.
- [Eduardo] Então, o título é esse aqui, e eu vou explicar ele num slide que tem um pouquinho mais de texto.
Bom, primeira a dedicatória, tá? É...
"Para Walter Machado Pinheiro, que não leu e não vai ler documento nenhum, e se ler não vai entender".
Essa apresentação é sobre vários problemas práticos que eu tou tendo.
Alguns têm a ver com ensino, outros têm a ver com os zumbis, que são... vou explicar depois o que são.
E o Walter Machado Pinheiro é um é um colega meu - professor titular - que virou um zumbi.
Outro problema bem importante são as assombrações, mas eu vou explicar isso aos pouquinhos... tá?
Primeiro... há um tempo atrás o o Alex me mandou uma mensagem me perguntando se eu podia fazer uma apresentação aqui...
e eu fiquei bem empolgado porque eu tou tentando escrever um artigo sobre Educação Matemática,
sobre coisas que até um ano atrás eu nem sabia que esse material existia,
e aí eu dei um jeito de encaixar isso na... nesse evento de hoje. Aí a ideia é essa aqui, ó.
Vou falar rapidinho e a gente começa direto com com o material mais prático.
É... qual é a ordem mais natural para aprender as regras lógicas quando você chega em cálculo...
Eu dou aula de Cálculo 2 e Cálculo 3 num lugar muito ruim, tá?
...sabendo só o método para resolver coisas como 2+x=5, mas não sabendo substituir x por 3 em 2+x=5.
Ou seja, as pessoas estão chegando em Cálculo 2 sabendo _métodos_,
mas não sabendo verificar coisas, e não tendo nenhuma noção de Verdade.
Eles só sabem decorar métodos e seguir eles.
Eu não sou um especialista de verdade em Educação Matemática, mas eu tou há meses baixando maniacamente
livros e artigos sobre Educação Matemática e seguindo referências bibliográficas...
E as pessoas que com as quais eu conversei me disseram que acham
que agora eu conheço a literatura sobre Educação Matemática melhor do que elas.
Então eu resolvi organizar isso aqui e no mínimo, se ficasse muito ruim...
vocês teriam uma bibliografia com os 40 melhores livros e artigos que que encontrei.
Então vamos começar. Deixa eu me apresentar.
É o seguinte, eu... o meu nome é Eduardo Ochs,
eu trabalho num campus pequeno que a UFF tem no interior do estado do Rio,
o PURO, Pólo Universitário de Rio das Ostras, que tá infestado de zumbis, que eu vou falar sobre isso depois...
E a minha área de pesquisa é... eu não tou muito ativo nela, mas era principalmente Categorias...
e eu passei anos empacado no que eu tava estudando em Categorias, porque eu fiquei...
na verdade não entendia direito os livres que eu deveria estar... que eu deveria estar entendendo...
e eu desempaquei quando eu comecei a encontrar técnicas pra fazer contas em vários níveis de detalhe em paralelo,
como aqui - tem um exemplo aqui à direita. Então isso aqui é mais ou menos parecido.
- [Alex] Eduardo, eu acho que... o slide não tá aparecendo pra gente agora.
- [Eduardo] Sério? É... aparece o Emacs com um tela preta agora?
- [Alex] Não. Tá aparecendo uma...
- [Eduardo] Deixa eu ver... será que ele congelou? Ele tá congelado.
- [Alex] Acho que congelou.
- [Eduardo] Ai, meu deus... Alguém sabe como é que eu faço para descongelar?
- [Marcos] Acho que tem que sair da sair da apresentação e voltar pra apresentação.
- [Eduardo] Sair do share screen e voltar? Vou tentar. Pera aí. Agora ele tá compartilhando minha tela?
- [Guilherme] É a tela inteira, né?
- [Eduardo] Isso. Pera aí, deixa eu ver se eu consigo voltar pro slide.
- [Marcos] Aí. Voltou.
- [Eduardo] Tá. Então, eu tou nessa figura daqui. Então, os livros tinham coisas como isso aqui... Agora não tá congelado não, né?
- [Alex] Não. Dá para ver.
- [Eduardo] Tá. E eu descobri que eu podia expandir essas figuras, que eram muito abstratas, em figuras como essa aqui,
que eram concretas o suficiente, e eu conseguia entender. Aí aqui eu conseguia ter intuição sobre que que tava acontecendo aqui...
Aqui era tudo formal demais... eu às vezes nem conseguia fazer as contas de tão abstratas que as coisas eram...
e aqui eu tinha bastante intuição sobre o que que acontecia.
Aí eu encontrei essas técnicas pra fazer as contas em vários níveis de detalhe em paralelo...
e eu fui encontrando jeitos de adaptar elas para coisas mais básicas também.
Então, num dos meus primeiros artigos, tem esse exemplo aqui,
em que a gente começa com essa demonstração daqui, aí a gente transforma ela num caso particular
e depois a gente deleta a parte do meio e fica só com essa expressão daqui e essa expressão daqui, e ela vira só isso.
Então, tem uma formalização do que que são essas idéias.
Isso aqui funciona como uma _projeção_, isso aqui funciona como outra...
tem uma idéia de _levantamento_, e coisas assim.
E os alunos têm piorado MUITO. E da pandemia para cá a gente começou a ter MUITOS alunos
que acham que o problema... que o objetivo de cada problema nas matérias que eu dou
é só chegar no resultado - e chegar no resultado o mais rápido possível.
Então pra eles, a resposta pra uma... pra uma questão como essa aqui,
que deveria ser uma conta enorme de meia página, no mínimo, é só esse é resultado final.
Eles não entendem o que que é a conta ficar clara e fácil de explicar.
E aí, repara, nós que somos lógicos,
nós estamos acostumados com objetos que são como sanfonas que têm muita coisa estampada no fole...
quando a sanfona tá fechada a gente não vê nenhum detalhe do fole, mas quando a gente abre a safona, a gente vê tudo.
Em árvores de dedução é comum a barra dupla significar "aqui o fole tá fechado", como aqui.
Ou: "aqui a gente tá omitindo alguns passos"...
ou "aqui a gente tá omitido alguns passos que são _óbvios_" - em algum sentido.
Se a gente abre essa sanfona daqui, ela vira toda essa coisa daqui.
E se a gente abre essa, ela vira isso. Repara que até tem umas coisas extras,
uns nós extras na árvore, que estão descarregados... então tem muita coisa nova que aparece.
E aí isso aqui é de um outro artigo meu, e tal.
Deixa eu dar um outro exemplo que é muito útil pros alunos.
Um bom jeito da gente introduzir essa idéia para pessoas que sabem muito pouca Matemática
é a gente começar por "game trees", tá... árvores de jogos.
Então vamos começar com um pedacinho da árvore do Jogo da Velha.
Essa figura aqui eu tirei de um livro sobre Haskell, o livro do Hutton...
e ele sabe fazer programas que...
ele sabe usar programas que desenham essas coisas com setinhas... eu sou muito ruim nisso...
e aí eu resolvi formatar iso de um outro jeito usando só LaTeX.
Então essa árvore da direita - opa - ela é equivalente à anterior... péra aí... caramba, péra...
Essa árvore da direita ela é equivalente à anterior, mas ela tá desenhada de um jeito diferente...
A raiz tá aqui, os três nós filhos da raiz são esses daqui...
então tem uma seta implícita aqui, outra aqui e outra aqui...
os filhos dessa aqui são essa e essa...
E eu ainda por cima tou usando cores pra indicar a última jogada e cores para indicar quando alguém ganhou o jogo.
Então, daria pra desenhar a árvore... a árvore toda.. mas a gente NÃO QUER.
Também daria pra... a gente pode imaginar que a gente... que isso aqui, é...
tá sendo mostrado por um computador, e a gente tem um programa com uma interface,
e a gente poderia apertar um botão que desativa as cores,
ou apertar botões que mudam entre esse formato e esse, coisas assim.
Então vamos imaginar que os nossos objetos expansíveis são objetos que um
computador pode mostrar e que a gente controla o nível de detalhe deles.
Em Cálculo é muito importante a gente poder pensar em termos de contas expansíveis.
Repara que pra gente, nós, que somos Lógicos, é óbvio que dá pra gente expandir essa conta daqui...
Acho que não preciso ampliar porque os detalhes não são tão importantes...
E ela vira toda essa conta daqui da direita. Nessa conta daqui da direita,
essa coisa, que a gente considera como uma sanfona fechada,
virou um montão de passos em que cada passo é fácil de justificar.
Na verdade isso aqui é um pedaço de uma animação maior - deixa eu ver se eu consigo mostrar ela.
Isso aqui é exatamente um trecho do livro do Stewart que a gente usa... o livro de Cálculo que a gente usa.
E isso aqui é a minha animação. Aqui a conta com... com todos os passos, mas sem muitos detalhes...
aí a gente introduz os números das igualdades...
aí a gente começa a dar highlight em... em o que que cada igualdade tá fazendo...
por exemplo, a igualdade (5) tá dizendo que essa expressão é igual a essa...
aí a gente muda pra um outro modo de expor isso aqui...
E a gente vê que nessa igualdade (3) o que tá mudando é que essa expressão aqui
foi transformada nessa... ou seja, essa expressão é igual a essa, e o resto não mudou.
E a gente pode ampliar mais isso para colocar justificativas.
Então... é comum a gente ver justificativas desse jeito, mas com o nome das regras em Português...
mas vamos imaginar que todo mundo conhece esse nome... esses nomes dessas regras daqui.
Isso é regra do produto pra derivada, isso é a regra da multiplicação por constante, e tal.
Também dá pra gente ampliar mais e a gente imaginar que a gente tá...
que uma pessoa fez a demonstração e tá explicando ela pra outra, e essa outra pessoa pode fazer perguntas...
"não entendi esse passo aqui, você pode me explicar ele melhor?"
E, então, nesse passo aqui... vamos pegar esse...
daqui para cá a gente usou a Regra da Multiplicação por Constante.
Aí a pessoa diz: "tá, acredito, mas não consigo fazer essa conta de cabeça, você pode mostrar mais detalhes para mim?"
E a gente diz "a gente vai fazer a regra da multiplicação por constante com com c=6 e f(x)=x^3".
E a pessoa diz: "Você pode mostrar mais detalhes disso?"
E a gente responde pra ela isso.
A regra da multiplicação por constante é essa igualdade aqui,
que eu desenhei com uma quebra de linha aqui...
Aqui tem essas instruções pra obter um caso particular,
e o caso particular é esse: a derivada de 6 x^3 é 6 vezes isso aqui,
que é exatamente o que tá acontecendo aqui, tá?
Então isso é a ideia de "demonstração expansível",
e é isso que os alunos têm que entender.
Então, deixa eu voltar paraos meus slides aqui. Primeiro...
- [Alex] Eduardo, eu não sei se o seu slide agora
parece que ficou congelado naquela conta com a equação 3...
- [Eduardo] Ih, tá congelado de novo. Vou fazer o truque de novo, tá?
- [Alex] Tá bom. Beleza.
- [Eduardo] Quando isso acontecer de novo, me avisa que eu vou ficar mexendo muito no mouse... nos slides.
Agora foi?
- [Alex] Sim, voltou.
- [Eduardo] Tá. Então pra muitos alunos esse tipo de coisa aqui é assustador.
Eles ficam com uma cara de pânico e pela cara deles a gente vê que eles nunca viram algo tão abstrato na vida.
E a reação deles quando eles fazem essa cara de "eu nunca vi algo tão abstrato na vida"
é de pensar: "eu vou fazer de tudo pra aprender isso depois,
para deixar para depois, ou para mais depois ainda... ou se possível NUNCA".
Eu lembro do tempo em que todo mundo usava a expressão "pons asinorum".
Isso aqui é uma "pons asinorum" bem conhecida do pessoal de Educação Matemática...
eu não conhecia nada da literatura sobre isso até um ano atrás,
e um dos meus objetivos nessa apresentação vai ser mostrar um pouco disso para vocês,
com links pros melhores livros e artigos que eu encontrei.
Deixa eu mostrar uma outra coisa em que vale...
que é muito legal da gente entender como objetos expansíveis.
Uma coisa bem básica quando a gente começa a aprender Cálculo e coisas assim é construções com conjuntos.
A gente vai usar isso para desenhar gráficos, por exemplo.
Normalmente Cálculo já começa com conjuntos infinitos, como gráficos de funções e coisas assim,
mas é melhor a gente começar com casos onde tudo é finito.
Então a gente tem duas notações que parecem iguais porque elas têm essas chaves e essa barrinha no meio,
mas na verdade elas são diferentes. Essa daqui corresponde a esse programa daqui...
- [Alex] Eduardo -
- [Eduardo] Congelou de novo?
- [Alex] Você tá no slide 10? Acho que não, né?
- [Eduardo] Não, tou no 11. Congelou, né?
- [Alex] É, congelou.
- [Eduardo] Ai, caramba. Pera aí. Acho que meu computador é lento e aí ele tá meio...
a gente vai ter que fazer isso zilhões de vezes.
- [Alex] Se você quiser, é... é em PDF, você pode me mandar pro WhatsApp o PDF?
- [Eduardo] Não, eu vou ter que ficar apontando muita coisa, então vamos fazer isso toda vez que precisar.
É só você me avisar quando congelou de novo. É o jeito.
- [Alex] Beleza.
- [Eduardo] Eita, pera aí.
Você consegue ver meu slide agora?
- [Alex] Sim.
- [Eduardo] Tá. Então, quando a gente tem muita prática a gente consegue olhar isso aqui,
essa expressão daqui e ver que o resultado é o conjunto {4,9}. Mas no início a gente não tem tanta prática,
e a gente precisa dividir isso em vários passos...
Então, no primeiro passo a gente faz umas anotações dizendo que isso é um gerador, isso é um filtro...
aí a gente pode transformar pra essa notação daqui que integra as duas expressões...
aí a gente consegue entender tudo isso como programinhas e consegue entender os detalhes.
E aí eu costumo começar alguns cursos com esses exercícios porque eles servem para muita coisa.
Aqui tem um exemplo um pouquinho maior, que dá essa figura, que é esse triangulinho daqui,
com, deixa eu ver... nove pontos...
E... eu uso set comprehension nos meus cursos desde 2010 e bolinha,
e eu tenho um material que tem um montão de exercícios super bem graduados em termos de dificuldade...
os exercícios tem essa cara daqui, cada um dá um desenhinho...
e costumam servir pros alunos relembrarem coisas como a equação da reta, e coisas assim...
e pra outras coisas muito importantes.
Tipo, eles começam a treinar como fazer exercícios em grupo, começam a treinar como discutir,
como fazer perguntas boas, e coisas assim. E eles também aprendem
como aproximar figuras que tenham infinitos pontos, como é o gráfico de uma reta ou de uma parábola,
por figuras com número finito de pontos, e um monte de outras coisas.
Então aqui tem mais uns detalhes... aqui tem um slide sobre um tipo de jogo que a gente faz pra...
eu defino as regras de um jogo colaborativo e os alunos aprendem a fazer hipóteses e testar hipóteses.
É... e aqui tem uma uma coisa que eu acho que eu vou pular por questões de tempo,
que é como é que a gente pode eh transformar isso aqui, que a gente já viu que era um programinha,
numa árvore que mostra como calcular isso aqui passo a passo.
Tá. Então, vou pular isso aqui,
mas isso é só para discutir vários tipos de expansão, em que um objeto muito difícil de entender vira objetos
que a gente consegue entender eles mais passo a passo.
É... então... os alunos de Cálculo 2, eles antigamente eles faziam passos errados,
como esse daqui, em que aqui tem uma simplificação bizarra com raiz quadrada... e eu costumava dizer:
"vamos desenhar esses dois conjuntos aqui, o que corresponde a essa expressão e o que corresponde a essa, como gráficos".
Para desenhar eles como gráficos a gente vai ter que usar essas set comprehensions daqui.
Aí esse aqui vira um semicírculo, o segundo vira uma reta, e eles conseguiam entender o que que tava errado.
Eles conseguiam ver que tinha alguma coisa errada nesse passo, e eles descobriam o quê.
Mas hoje em dia, quando eu mostro isso, eles não entendem NADA.
É... deixa eu falar um pouquinho sobre o que que é esse "nada"
pra dar uma noção para vocês de sobre o que que vai ser essa apresentação.
Isso aqui é um dos artigos mais legais sobre Educação Matemática que eu encontrei...
e aí... o autor do artigo, o Hewitt, ele conta da experiência dele com alunos de 14, 15 anos...
e aí tem um aluno que tem que resolver essa equação daqui, x-y=2, e ele faz TUDO errado.
E aí o Hewitt comenta que o aluno lembra vagamente quais são as regras mas não sabe aplicar eles direito,
tipo, ouviu o galo cantar e não lembra onde.
É... então isso é o que tá acontecendo.
Eu precisava entender isso com mais detalhes pra eu descobrir como resolver.
Deixa eu ver... é...
deixa eu dar um exemplo mais preciso do que tava acontecendo.
No final do curso de Cálculo 2 a gente vê um pouquinho de equações diferenciais, que eu não vou mostrar o que é...
imagino que pouca gente aqui tenha feito Cálculo...
e no final do curso, 70% dos alunos não entendiam certas ideias que DEVERIAM ser básicas...
e eles DESISTIAM de entender - isso que era o pior.
Aí considera esse problema aqui. Encontre a solução geral da equação diferencial BLÁ...
depois encontre a solução particular que passa por esse ponto verde daqui.
Depois encontre a que passa por esse ponto azul daqui e teste as duas.
A solução particular que passa pelo ponto verde é o semicírculo de cima...
- [Alex] Ô, ô, Eduardo...
- [Eduardo] Congelou de novo?
- [Alex] Eu acho que sim.
- [Eduardo] Tá, eu vou ficar mexendo o mouse o tempo todo, então quando congelar...
- [Alex] Ah, tá bom. Eu vou olhar pro mouse, então. Tá bom.
- [Eduardo] Tá bom. Deixa eu tentar mais uma vez.
Voltou?
- [Alex] Sim.
- [Eduardo] Tá. Então, 70% dos alunos ficavam perdidos aqui.
Eles até entendiam que o método... entendiam em algum nível que o método
dava uma solução positiva e uma solução negativa, mas eles não faziam ideia de como testar as duas pra ver qual era
a que passava por um certo ponto, como esse ou esse...
e o problema terminava com "teste suas respostas" e eles não entendiam o que que era testar uma solução...
aí eles erravam nas contas de teste de propósito para fingir que tudo tinha dado certo
e eles só tinham cometido um errinho de conta aqui e ali.
E se eu mantivesse o o critério de correção óbvio, esses alunos
só perderiam um ponto numa questão de cinco pontos,
e eles nunca teriam motivação suficiente pra aprender uma coisa que é importante
mas que é difícil, e que para mim é muito básica.
Eu queria encontrar critérios de correção que mediam o quanto eles sabiam... é...
e não medisse só quantos % dos problemas-padrão eles conseguiam resolver.
E eu queria ajustar esses critérios para fazer os alunos aprenderem certas coisas rápido
ao invés de deixarem elas sempre para depois.
Os critérios estabeleceriam PRIORIDADES.
Deixa eu contar uma historinha aqui, mas eu vou contar ela super rápido,
porque eu vou supor que muita gente já leu essa essa história por aí.
Ela já foi postada na lista de Lógica, e coisas assim.
O Feynman passou pelo Brasil algumas vezes e em 52 ele passou um tempo dando aula no CBPF.
Aí ele descobriu que quando ele dava as aulas dele, e quando os outros davam aulas,
os alunos não entendiam nada. Os alunos decoravam tudo, mas não absorviam o significado de nada.
E ele começou a tentar entender o que tava acontecendo ali...
e ele fez uns comentários bem interessantes.
é... ele descobriu que...
bom, ele tentou ensinar os alunos a resolverem problemas por tentativa e erro,
que era uma coisa que eles normalmente não aprendiam...
aí ele tentou ensinar o método para para testar coisas... por tentativa e erro,
e só 10% dos alunos resolveram a primeira tarefa.
Aí o Feynman deu um esporro neles dizendo que eles precisavam tentar...
e aí uns alunos fizeram uma delegação depois, e disseram que ele, Feynman,
não entendia a formação deles. Eles eram "capazes de estudar sem resolver problemas"...
eles já tinham aprendido Aritmética e coisas assim,
e as coisas que ele tava dizendo estavam "abaixo do nível deles".
E é exatamente isso que tá acontecendo com os meus alunos.
Eles estão chegando com uma noção bizarra de Matemática em que "entender Matemática" para eles é algo
totalmente diferente do que "entender Matemática" para mim.
Então pra alguns deles entender alguma coisa de Matemática é você, por exemplo,
saber explicar ela em Português... Aí eles decoram a explicação em Português e acham que entenderam.
Deixa eu fazer um modelinho mental pra eu explicar as coisas que vão vir depois.
Vamos pensar num aluno. Bom, tem vários tipos de aluno, né?
Então vamos pensar que tem os alunos que estudam muito e os alunos que estudam pouco.
Os que estudam pouco não nos interessam. Vamos pensar só nos alunos que estudam muito.
A gente pode estar falando de um aluno que "estudou decorando" no sentido do CBPF...
eu vou chamar ele de Alex, só porque começa com A, não é o Alex que me convidou para cá...
e um outro aluno que "estudou entendendo".
Então esse estudou no estilo CBPF, esse estudou no estilo Feynman... são o Alex e o Bob.
Se eles forem fazer a prova do CBPF - vou simplificar um pouquinho, tá?
O aluno que estuda decorando tira 10 e o outro tira uma nota muito baixa... digamos 0, pra simplificar.
Então o cara que entendeu se ferrou e era para ele ter aprendido que ele não tem tempo pra aprender...
pra entender nada, ele tem mesmo é que decorar. Mas se eles forem fazer a prova do Feynman acontece o contrário...
O aluno que estudou decorando tira 0 e o aluno que estudou entendendo tira 10.
E aí se tudo der certo o Alex, que estuda decorando, ele vai pensar: "Eu preciso aprender outro jeito de estudar".
Então olha esse diagraminha daqui.
Tem alunos que estudam entendendo, alunos que estudam decorando,
e alguns alunos que estudam decorando viram alunos que estudam entendendo.
Também tem um problema muito grave nos cursos de hoje...
o pessoal que tá dando cursos nos primeiros períodos já deve ter visto isso,
e o resto do pessoal nem acredita que seja tão grave assim.
São alunos que eu chamo de "assombrações", e que TALVEZ sejam viciados em ChatGPT.
É... o pessoal que usa ChatGPT e outras LLMs bem _não faz idéia_ de como é possível usar essas coisas mal.
E aí em alguns cursos... algumas turmas tão infestadas de pessoas que usam tão mal que a gente não consegue que eles
respondam nada. Eles ficam olhando pra gente com uma cara totalmente apática, a gente não consegue descobrir o que eles
pensam... a gente não consegue nem descobrir se eles pensam ou não.
E eu chamo esses alunos de "assombrações", e isso virou um problema prático.
- [Alex] Acho que travou de novo, né?
- [Eduardo] É, travou, né? Tou mexendo o mouse... tá, vamos lá.
É... pera aí, deixa eu estimar o tempo. Eu tenho até que horas?
- [Alex] É... começamos às 11:35, né? É, por aí, 11:30, 11:35.
- [Eduardo] Tá legal. Beleza.
É... também dá para inventar... agora vocês estão vendo o mouse mexer, né?
- [Alex] Sim.
- [Eduardo] Tá. Também dá para inventar termos mais curtos para isso. Esses alunos são alunos bons,
esses alunos são alunos médios, e esses são os alunos ruins - ou alunos péssimos.
Então, os alunos médios às vezes melhoram...
e a questão é: que que eu posso fazer pra que mais alunos ruins que sabem que estudam decorando,
mas querem aprender outro jeito de estudar, como é que como é que a gente pode ensinar pra eles
os outros jeitos de estudar?
É... aí aqui tem um slide sobre sobre como eu começava a pensar em termos de tipos de alunos,
mas pra gente basta essa essa noção mais simples agora com três tipos de alunos.
Isso aqui é uma foto de uma turma, é... que eu consegui que não tivesse assombração nenhuma.
As assombrações começaram a faltar muito e desapareceram.
É uma turma em que os alunos sempre passavam boa parte da aula discutindo os problemas no quadro...
Eu dava os problemas e eles conseguiam descobrir muita coisa sozinhos, e eu ia dando as dicas que precisavam.
É... deixa eu só explicar de onde é que vem essa... esse termo, "assombrações".
Vou explicar bem rapidinho, tá? Vem de um filme de terror, ou suspense,
que é sobre uma cidadezinha em que estão acontecendo umas coisas sinistras,
onde os arqueólogos descobriram uma uma igreja cristã do século I, na Inglaterra...
eu nem sabia que tinha cristãos na... na Inglaterra no século I...
e nessa igreja tem um Cristo que fica de costas pro público
e de frente pra um painel que tem 12 figuras que ficam olhando ele passivamente...
e em cada tragédia que acontece na cidadezinha aparecem umas figuras que ficam assistindo a tragédia passivamente.
E a gente descobre que as pessoas daqui são exatamente as pessoas daqui...
que estão amaldiçoados, são imortais e estão amaldiçoados a passar toda a eternidade
assistindo tragédias passivamente por pura curiosidade mórbida.
Então é daí que vem o termo assombração, tá?
E foi um pesadelo dar aula pra uma turma que tinha 80% de assombrações,
então isso virou um problema muito urgente para mim.
Aqui tem um slide sobre como lidar com assombrações que eu vou pular por enquanto...
Aqui tem uma coisa que eu tentei fazer e descobri que não funcionava,
era tentar mostrar pras pessoas que elas tinham que aprender como treinar, tinham que falar com
amigos músicos para descobrir que que era "treinar"... e não adianta, as assombrações simplesmente não reagem.
Isso aqui eu quero só mostrar rapidinho, tá?
Depois eu vou explicar que que são zumbis, mas as coisas lá no PURO estão tão ruins
que eu até imprimi isso... um monte de cópias disso aqui, e saí distribuindo.
Eu chegava pros alunos e pra outras pessoas e perguntava: "Oi, você quer saber de uma fofoca?"
E aí as pessoas ficavam curiosíssimas e liam essa folha... eu mostrava para elas, elas liam, adoravam,
e aí seguiam o link do QR code.
E aí olha essa apresentação daqui. Antigamente todo mundo tinha medo dos cursos com muita Matemática,
como Engenharia de Produção, Ciência da Computação, e tal... que são dois dos cursos que a gente tem.
E as pessoas só entravam nesses cursos quando elas tinham uma noção de que elas eram boa boas em Matemática.
E isso queria dizer que na escola elas tinham aprendido a descobrir coisas elas mesmas.
Elas já sabiam que Matemática não era só decorar.
Aí a educação piorou muito. E, pra resumir muito, muita gente nunca viu essa diferença entre entender e decorar...
nunca tiveram contato com outros modos de pensar - só acham que dá para decorar fórmulas...
E a gente não sabia direito como lidar com isso e a gente precisa de toda ajuda que puder...
E os meus coleguinhas não contam NADA sobre como estão dando os cursos deles...
e eu descobri que a Patrícia do HortiFruti... que eu sou amigo dela, que eu vou sempre no hortifruti dela
com a minha cachorra e a gente acaba conversando a beça, ela se formou em Educação,
trabalhou uns anos como professora de Alfabetização e ela tinha um montão de dicas interessantes para me dar.
Então a ideia é: "Precisamos de mais Patrícias e menos Anas Isabéis".
A gente precisa conversar com mais pessoas que queiram trocar idéias
e a gente tá cercado de gente que não quer trocar ideia nenhuma, né?
Então depois vocês vão ler isso aqui.
Deixa eu dar mais uma noção pra vocês de como Cálculo 2 é horrível.
- [Alex] É... o seu mouse não tá mexendo mais.
- [Eduardo] Ih, vamos tentar de novo.
- [Alex] No slide 23.
- [Eduardo] Tá bom.
Pelo menos eu já tô um pouquinho mais rápido em clicar nos botões certos.
- [Alex] Essa dinâmica tá providenciando uma interação com o público, né?
- [Eduardo] É, outras pessoas também podem falar, tá?
Eu ia começar a apresentação me desculpando por meus slides estem bagunçados,
mas até que não estão tão ruins não. A parte bagunçada vai vir depois, e talvez o tempo até acabe antes.
Vamos voltar. Então, deixa eu começar por isso aqui.
Essa figurinha daqui, tá? Isso aqui é um moto perpétuo. Isso eu vi na televisão quando era criança e eu fiquei bolado com isso.
É... o Jô Soares tinha um programa humorístico na televisão e numa hora tinha um gênio que apresentava o modo perpétuo...
e o modo perpétuo é assim, você faz uma figura assim e você faz o nove ser mais [pesado que o] seis.
Então quando você tá nessa posição daqui, o seis é levinho, o nove é pesado, o nove puxa para baixo, seis puxa para cima,
e isso roda. Aí ele roda um pouquinho e as figuras mudam de lugar.
Um outro nove entra aqui, o outro seis vem aqui,
esse nove acaba virando um seis, esse seis acaba virando um nove, e isso vai rodando para sempre.
Eu levei um tempo para entender que o truque aí era que o problema foi empurrado para outro lugar.
A dificuldade aí é construir essa figura... essa coisa de um jeito que o nove fique sempre mais pesado que o seis.
E Cálculo 2 tem umas coisas bizarras, são umas fórmulas que você tem que entender e a explicação delas parece uma
explicação tipo isso, em que o problema tá simplesmente sendo empurrado pra um outro lugar.
Isso aqui é uma fórmula super importante de Cálculo 2... deixa eu dar um zoom nela...
Essa fórmula de cima a gente usa ela a beça, e eu levei décadas para começar a ter alguma intuição do que que ela queria dizer.
Eu só comecei a ter intuição quando eu vi como encontrar...
Primeiro, eu vi essa essa demonstração daqui, que fica escondida num cantinho dos livros...
eu vi como... comparar isso com um caso particular...
E em determinados casos particulares a gente consegue visualizar direitinho o que que tá acontecendo aqui.
E aí a gente consegue ver como é que o gráfico tá sendo distorcido de uma determinada forma...
Você tá amassando o gráfico de um jeito e esticando ele pra cima... e aí a área se preserva.
- [Alex] O seu mouse não tá mexendo de novo.
- [Eduardo] Vou fazer o truque de novo.
Voltou?
- [Alex] Voltou.
- [Eduardo] Ai, que bom.
Então, essa é uma fórmula em vários níveis de abstração.
Quando a gente consegue entender o que que uma integral quer dizer, como uma figura, uma área,
cada pedacinho dessa... dessas últimas quatro igualdades daqui faz sentido.
Agora, a gente costuma usar isso numa versão um pouco abreviada,
que não tem esses `a's e `b's aqui, a gente chama de "limites de integração".
Isso aqui já é muito abstrato. Eu até hoje não tenho uma uma intuição visual do que que sejam
essas integrais indefinidas sem o limite de integração...
acho isso horrível de visualizar.
E o modo como a gente lembra essas coisas é por essas expressões aqui, com umas anotações.
Então, é... _parece_ que pra físicos e engenheiros essa explicação daqui é totalmente óbvia...
Essa coisa daqui... a gente vai inventar uma variável nova chamada `u', que é isso...
Ah, então é _óbvio_ que du/dx é essa coisa daqui...
aí você multiplica du/dx por dx, cancela o dx com dx, sobra du. Pronto, ó, resolveu!
Essa integral daqui virou essa daqui.
Só que para metade das pessoas isso faz sentido total e é óbvio...
e pra outra metade não faz sentido nenhum. E eu tava na turma que... pra quem isso não fazia sentido nenhum.
Então Cálculo 2 é um curso bizarro porque ele é cheio dessas coisas com o nível...
em que o nível de de abstração fica oscilando loucamente... e os alunos eram péssimos.
Eu comecei a tentar descobrir as dificuldades dos alunos...
e eu comecei a dar uns testes de nivelamento para descobrir.
E eu descobri umas coisas muito interessantes.
Os testes de nivelamento... eu repeti esses três testes várias vezes... eu vou ampliar alguns deles...
o primeiro teste que nos interessa... aliás, a primeira coisa que eu quero contar para vocês, é o seguinte...
em teoria em Cálculo 1 você deve aprender uma coisa chamada "modelagem", em que você pega problemas
em que o problema é todo dado em português e você transforma isso em algo matemático e resolve.
E aí eu tinha bons motivos para achar que isso estava muito acima do nível dos alunos.
Então isso nem chegou a virar um teste de nivelamento formal,
e eu comecei a checar coisas mais básicas.
Isso aqui é uma coisa que os alunos deveriam ser capazes de fazer e não sabiam fazer.
Em teoria, quando os alunos aprendiam a derivada em Cálculo 1,
eles aprendiam que a definição da derivada por limite é essa daqui... essa igualdade.
Eles deveriam ser capazes de transformar essa igualdade daqui nessa, substituindo `a' por `1' em todo lugar...
repara que o `a' virou `1' aqui, aqui e aqui... e fazendo uma outra coisa mais complicada que é
substituir f(x) por x^10. Eles não sabiam fazer isso. Isso era totalmente misterioso para eles.
Uma outra coisa ainda mais básica, que tinha a ver com outro teste de nivelamento que eu dei, era o seguinte.
É... o Teste de Nivelamento 2 era... eu perguntava essa derivada daqui,
que era a derivada de f de uma determinada coisa... e os alunos não faziam ideia do que que era esse f.
Eles pronunciavam isso em português e eles pensavam que isso aqui queria dizer...
"ah, isso aqui é derivada DA FUNÇÃO sen(x^4) + ln x".
Então eles ignoravam o f e faziam o cálculo do resto.
Com isso eu consegui descobrir que eles não sabiam certas coisas muito importantes.
Eles sabiam que a fórmula da... da Regra da Cadeia é essa, que é uma fórmula importantíssima...
eles sabiam fazer algumas contas tipo isso, mas eles não faziam... não sabiam só substituir o g por 42x,
e não sabiam só substituir o f por seno.
Então eles não sabiam obter esses passos intermediários,
e eu concluí que eles não tavam sabendo pegar fórmulas que eles conheciam e obter outras fórmulas.
Onde é que será que tava a base do problema deles?
Como é que eu conseguiria algum modo de explicar as coisas, é... em que eu não falasse uma coisa complicada demais...
em que eu conseguisse acompanhar eles passo a passo até eles chegarem num nível de abstração maior?
Uma das coisas que eu descobri foi que eles nunca tinham pensado em expressões como árvores...
então isso aqui era totalmente novo para eles.
Essa, desculpa... essa derivada daqui a gente pode interpretar como essa árvore daqui...
A gente tá construindo essa expressão daqui, f de alguma coisa, e aplicando operação ddx nela.
E então preparei um monte de exercício disso...
e... alguns alunos ficaram maravilhados, outros alunos ficaram empacados,
então... já tava melhorando, mas, é... eu precisava de mais material ainda...
aqui é aquele slide que eu mostrei antes, logo no início...
E eu tentei descobrir como é que eles tinham aprendido a regra da cadeia. Eu ainda não entendi.
E eles disseram que tinha aprendido pelo livro tal, que tinha várias explicações diferentes...
e uma das explicações era essa. Você pega a regra da cadeia, aí você aplica ela desse jeito...
você... se você vai fazer uma conta como essa aqui tá a função de fora, aqui tá a função de dentro...
O resultado é a derivada da função de fora avaliada na função de dentro, vezes não sei quê.
Então eles sabiam fazer essa conta, mas eles não conseguiam escrever num cantinho do papel...
o que que eram essas coisas... eles tinham que guardar isso na memória...
eles não sabiam contar para ninguém que que era a função de fora e a função de dentro...
eles sabiam fazer isso, mas não sabiam explicar...
então eles... aprendiam um método que só funcionava se eles tivessem com um buffer mental, um espaço mental suficiente
para eles guardarem essas coisas na memória, e falhava em vários casos mais complicados.
Aqui tem uns casos mais complicados, e o caso... um dos casos que me interessava esse aqui,
derivada de f(x^4), em que eles pensavam: "ah, isso aqui é derivada DA FUNÇÃO x^4,
portanto é a derivada de x^4, portanto é 4*x^3". Então o f desaparecia.
É... como é que será que eles tinham aprendido a regra da cadeia?
Eles sabiam que a fórmula era essa e eles sabiam, em algum sentido,
que isso valia para qualquer f e qualquer g...
Que que queria dizer isso para eles? Será que eles pensavam que isso aqui tava quantificado de alguma forma?
- [Alex] Ô Eduardo, será que o seu mouse tá travado de novo?
- [Eduardo] Não, acho que é que meu computador é muito antigo. Deixa eu fazer o truque de novo.
É... vamos lá.
É bom que tudo que der errado eu posso botar a culpa no computador.
Oi. Voltou?
- [Alex] Sim. Voltou.
- [Eduardo] Oba! Oba! Tá... então, será que a regra da cadeia para eles era isso?
Quando eles viam isso, eles pensavam: "ah, pra qualquer função com... é, de classe C^1 f,
e qualquer função de classe C^1 g, a gente tem essa... isso aqui vale..."
ou será que eles pensavam "pra qualquer função com infinitas derivadas isso aqui vale"?
Ou será que eles pensavam de um jeito mais com cara de analista, no sentido de Análise Matemática,
seja f uma função que vai do intervalo J para o para o conjunto dos reais, de classe C^1,
e g é uma função do conjunto... do intervalo I no intervalo J, e não sei quê...".
Então... eu não consegui descobrir, eu tinha que deduzir isso a partir de informações mínimas,
mas o que eu sabia era que variáveis livres são um conceito bem complicado para mim
e eu normalmente me livro delas usando quantificadores...
Então para mim isso aqui é bem complicado porque f e g fazem papel de variáveis livres,
mas é pior ainda, não são nem números, são funções...
Então o que que será que esses alunos viram em Cálculo 1?
Será que eles viram teoremas e demonstrações? Talvez sim...
e aqui eu peguei... eu catei uma, um comentário de um colega meu, na verdade meu grande inimigo,
de um grupo de WhatsApp, em que tavam discutindo se iam deixar um professor da Engenharia dar Cálculo 1 ou não...
e aí esse meu inimigo, Reginaldo, tava dizendo: "Ó, o Edwin, por exemplo, já deu Cálculo 1...
duvido que ele tenha dado uma única ideia de demonstração no curso todo.
Não deve nem ter provado que se a função tem derivada a zero, ela tem que ser constante,
que dirá o Teorema do Valor Médio..."
Então em algum sentido esses alunos tavam vendo demonstrações em Cálculo 1,
só que eu não tavam entendendo nada.
E aí pra mim a grande pergunta é: como é que a gente entende um teorema de Cálculo 1
se a gente não entende o que que é um caso particular?
É... aqui é um slide só com duas citações, que eu não vou usar...
sobre essa ideia do que que é uma função qualquer... então vamos pular porque tem pouco tempo...
Aqui tem um outro slide sobre tipos de memória, que fala um pouquinho sobre working memory, e não sei quê...
E isso aqui é importante. É... se vocês quiserem olhar a literatura sobre isso
um dos livros mais legais é o livro do Van Hiele, e... e a ideia de níveis de Van Hiele sobre níveis de abstração.
E como é que a gente... se a gente tá num determinado nível de demonstração... não, de ABSTRAÇÃO...
a gente consegue fazer as coisas o nível seguinte com uma certa dificuldade
e as coisas de dois níveis acima são praticamente impossíveis pra gente.
Então, o Van Hiele discute como é que a gente aprende isso,
como é que a gente passa pro nível seguinte, como é que a gente prepara material pros alunos
subirem pro nível seguinte, como é que a gente prepara perguntas, e coisas assim...
E na verdade isso é de uma... de um artigo do David Tall e do não-sei-quê Long,
que fala sobre níveis de Van Hiele e ele fala sobre que os livros de matemática
fazem uma coisa chamada "level reduction"...
Então isso aqui é uma "level reduction".
Os alunos entendiam determinado método, sem entender nada do que tava por trás,
decoravam esse método, e esqueciam o espírito por trás do método.
Também vou pular os detalhes disso aqui, porque tem muitos slides. É...
- [Alex] ô, eu acho que o mouse tá parado de novo.
- [Eduardo] Vamos lá. Peraí, vou fazer o negocinho de novo. É... culpa do computador, hein?
- [Alex] Mas você já é craque nesse negócio de... de colocar...
- [Eduardo] Agora vai levar só 5 segundos.
É... pera aí. Voltou? Tá vendo meu mouse mexer?
- [Alex] Sim, sim.
- [Eduardo] Tá. Então, é... lá no início eu tava falando sobre entender versus decorar.
Não basta a gente dar um esporro num aluno e dizer "você tem que entender os conceitos!".
É... na verdade, "entender" Matemática é uma coisa que pode ser decomposta em várias subtécnicas diferentes...
o pessoal de Educação Matemática discute isso e eles têm várias ideias sobre como, é...
não só como fazer essa decomposição, sobre como dar... como também sobre como dar exemplos disso.
E eu fiquei empolgado com isso, pensando, nossa,
eu tou aprendendo como fazer determinadas coisas no Maxima, que é um programa de Computação Algébrica...
Eu até já sei fazer árvores nele, e não sei quê...
Eu acho que se eu conseguir fazer esses exemplos de mudança de nível, generalização,
particularização, reificação e coisas assim, no Maxima e fazer figuras bacanas, isso vira artigos bacanas.
Então eu comecei a ter a sensação de "tem um mercado pra isso",
em termos de artigos, interesse, ser chamado para palestras e coisas assim...
e comecei a me dedicar a essas coisas.
É... então aqui tem um... essas colunas aqui são de um artigo de 94,
e... os autores falam que quando o contexto muda, essa expressão daqui pode ser vista de várias formas diferentes...
Pode ser... no início, ela podia ser vista como "calcule isso aqui pra um determinado valor de x",
Depois ela podia ser vista como uma função, depois tem vários outros jeitos,
e um dos outros jeitos é a gente pensar que isso é uma coisa puramente abstrata,
só um string de símbolos que não representam nada.
E a gente vai mexer nessa coisa abstratamente,
seguindo determinadas regras que até fazem sentido,
mas que a gente também pode trabalhar... tratar como regras abstratas.
E hoje em dia eu acho melhor a gente pensar nessas coisas como árvores do que pensar só como strings.
Então, eu tenho os programas para fazer árvores, como eu já falei,
eu dou exercícios pro... pros alunos entenderem as coisas como árvores
e aos pouquinhos as coisas começam a fazer sentido para eles.
Deixa eu pular um monte de slides aqui.
Isso aqui é uma coisa que eu ainda não testei com os alunos,
mas que seria um um material novo para explicar essa ideia de árvores...
É... no Maxima a gente dá um comando e bate Enter, e ele dá um resultado.
Ele usa uma interface um pouco mais feia que isso mas isso é a versão mais bonita.
Então, se eu pedir pro Maxima rodar isso aqui, ele vai pegar esse objeto daqui e vai transformar não só nessa árvore, como...
ele vai me mostrar duas representações. Uma é a representação bonita do Maxima pra isso aqui, que é essa matriz,
e a outra é a representação em árvore, que é o jeito bonito de ver a representação interna dele.
Então aqui tem uma outra operação que troca `matrix' por `bmatrix'...
É... o `b' é de... vem do LaTeX, quer dizer use square `b'rackets...
a matriz vira isso aqui... a gente pode usar matrizes pra para coisas que não são matrizes matemáticas,
mas que tem strings em alguns lugares... a gente pode usar matrizes para coisas que são desenhos...
Então, isso aqui faz todo sentido para um humano...
a gente vai interpretar isso como uma série de igualdades, mas o Maxima interpreta como uma matriz.
A gente pode definir substituições desse jeito.
É... e aí eu defino uma operação que é a operação de substituição.
Nesse passo aqui eu defino uma igualdade e eu defino uma operação nova,
que na verdade tá definida em algum outro lugar, que é uma operação que não tem simplificação.
É... o Maxima tem determinadas regras para simplificar algumas coisas.
Por exemplo, se você pergunta para ele o resultado de 2+3, ele simplifica isso e vira 5.
Mas a gente também pode definir operações novas que compartilham um monte de propriedades da operação `+'
e não tem as regras de simplificação. E eu vi que quando eu fazia isso, muita coisa ficava mais simples.
Então o `+.' ele parece com o `+', mas ele não tem nenhuma regra de simplificar.
Então o Maxima não sabe transformar `a+.b' em `b+.a', e ele transforma isso nisso aqui,
que acho que imagino que todo mundo consegue visualizar que árvore é essa.
Aí eu posso pegar essa árvore daqui e dizer: pegue a substituição S1, que é essa, e substitua isso aqui aqui.
E essa substituição quer dizer "a vira 2 e b vira 3".
Então com isso a gente consegue ver que essa igualdade vira essa igualdade.
E isso é uma operação que os alunos precisavam aprender.
Então aqui eu tenho algumas variações para essa operação `_s_'.
Aqui é uma operação que me mostra isso num formato bonito e o S1 num formato bonito também...
E aqui temos outras coisas assim, e o resto não interessa.
E aí dá para fazer coisas muito bacanas com isso, dá para definir operações que usam underbraces e coisas assim...
e aí eu consigo que o Maxima faça um monte de contas complicadas para mim.
e que eles não precisavam aprender porque não tá no livro do Stewart...
Eles só precisavam aprender o que tá no livro do Stewart. E aí eles aprendiam tudo errado.
É o que eu contei lá no início. Eles tentavam aprender equações diferenciais,
mas eles não faz a menor ideia da lógica por trás daquilo.
Então eles tentavam decorar o método, usavam o método errado e se ferravam.
E eu me ferrava também, porque eu tinha um critério de correção ruim que só descontava um ponto deles.
Então não era prioridade para eles aprenderem a lógica por trás das coisas.
E é nisso que eu tô trabalhando. Pera aí. Vamos voltar...
- [Alex] Será que tá...
- [Eduardo] Congelou de novo?
Acho que vou fazer... vai de novo. É...
então tem mais tipo 15 minutos, né?
- [Alex] Eu acho que tem um pouco... assim, é, a idéia é 40 minutos com mais 20 de perguntas.
- [Eduardo] Ah, tá. Então, 10 minutos no máximo.
- [Alex] É. Bom... depois a gente terá menos tempo para pergunta, né?
- [Eduardo] Tá legal. Tá. Então, vou vou tentar ser rápido.
Então... é, vou contar super rápido... há um tempo atrás eu achei que um bom jeito de explicar pros alunos
que que é uma conta feita passo a passo, é... era dizer para eles: "é uma conta que um computador entende".
E o que todo mundo diz hoje em dia é você tem que aprender assistente de provas, e todo mundo tá usando Lean, então aprenda Lean.
Só que eu quebrei a cara, eu achei Lean super difícil... por motivos que que agora não interessam,
mas minha apresentação no último EBL foi sobre isso.
E eu vi que era mais interessante usar o Maxima, que aparentemente é um programa muito antigo,
mas ele é interativo, e não sei quê... o pessoal da mailing list era fantástico, eu aprendi a estender ele num instante,
coisas assim. E aí eu precisava definir a substituição de um modo que fosse natural em algum sentido. E aí o que eu
fiz foi que eu peguei uma operação que já vem com o Maxima, que é a substituição em paralelo, `psubst', e só, é...
inventei uma sintaxe nova para ela, que é esse `_s_' aqui... e ainda acrescentei um detalhezinho pra gente poder colocar...
quer dizer, dois detalhezinhos, um detalhezinho pra... pra substituição ficar bonita, que é esse negócio com
square brackets aqui. e um truque pra gente poder... dizer substitua toda ocorrência de f(x) pela coisa tal.
Então a gente... pra gente poder substituir funções, e aí com isso eu consegui empurrar os detalhes complicados para dentro do Maxima.
É... então esse é um caso em que tem detalhes complicados...
Isso aqui é uma conta que, é... só pessoas com muita prática em Matemática conseguem olhar pra...
pra isso aqui e dizer: "ah, o resultado DEVE SER esse"...
elas deduzem qual deve ser a definição certa disso...
mas na verdade essa definição certa é uma definição recursiva complicada...
Pra gente entender como isso funciona a gente tem que fazer várias traduções,
entender que na verdade essa aplicação daqui é isso, é... isso aqui vira essa aplicação... ai, droga...
vira essa aplicação com lambdas, ele faz isso aqui.
E aí, isso aqui é na verdade β-redução, que entre aspas, "todo mundo conhece".
Tá? Então, eu encontrei uma determinada noção de simplicidade, que é:
vamos usar _quase que_ a noção de substituição do Maxima.
Bom, é... como eu falei, os alunos estão chegando péssimos.
Eles acham que "estudar" quer dizer "decorar"...
É... eles não conseguem fazer perguntas, eles ficam paralisados, e eles pensam:
"Ai, meu Deus, eu não tô entendendo nada. Eu vou estudar em casa depois pelo livro"... E eles estudam tudo errado.
Tem um slide que eu queria botar aqui,
alguns slides que eram para mostrar o tipo de erro que eles fazem em que, por exemplo,
eles têm que justificar uma uma determinada conta...
Ó, o mouse ainda tá mexendo ou já congelou de novo?
- [Alex] Não, não, tá mexendo.
- [Nick Olle] Tá mexendo.
- [Eduardo] Ai, que bom, bom sinal. E aí a sensação que dava era que eles tinham gasto muita energia
tentando copiar o estilo de fazer justificativas do livro, mas eles não faziam a menor idéia do que tava acontecendo.
E quando eu conversei sobre... com a Patrícia do HortiFruti sobre alfabetização, eu disse:
"Patrícia, pelo amor de Deus, eu imagino que o pessoal que trabalha com alfabetização deva ter uma noção de
níveis de aprendizado e coisa assim"... e ela me deu dicas fantásticas.
Ela disse: "Procura os livros da Emília Ferreiro".
E aí tem uma coisa que eu não pus nos slides aqui, que são umas coisas sobre níveis de alfabetização, em que tem um ditado,
e aí, a professora pediu "agora escrevam ÁRVORE", e a criança escreve tipo "V R O E A", uma coisa assim...
E o que tava acontecendo é que os alunos chegavam na vista de prova com com uma questão que não fazia sentido nenhum
e e eles ficavam dizendo: "Mas tá igual ao livro! TÁ IGUAL!!! TÁ IGUAL!!!".
Eles tinham certeza absoluta de que tava igual. Era exatamente a mesma coisa que a criança
num primeiro nível, que não faz a menor ideia do que que ela não tá vendo.
Então, tem muita coisa aí que eu preciso fazer. Eu preciso, é...
encontrar um modo de ensinar esses alunos a perguntarem...
eles precisam ter uma noção do que que é uma pergunta boa...
Tem um slide aqui sobre alguns exemplos de perguntas ruins, mas, é... por enquanto o melhor que eu tenho sobre
perguntas boas é essa historinha daqui, ó, que eu vou contar para vocês, porque acho que vale a pena.
O Alex, Bob e outros três amigos começam a estagiar na mesma empresa...
eles tem que pôr dados no sistema da empresa, que é super mal feito...
aí o Bob começa a fazer perguntas pro programador da empresa por e-mail, com cópia para todo mundo.
E o programador dá respostas super boas e começa a reescrever a documentação do sistema e ela fica bem melhor.
E o problema era que o programador antes, ele não sabia para quem ele tava escrevendo,
e quando a gente escreve algo sem saber pra quem a gente tá escrevendo em geral fica horrível.
E agora o Fulano consegue imaginar que ele tá escrevendo pro Bob.
E aí acontecem várias coisas... Agora todo mundo adora o Bob e todo mundo detesta o Alex,
que é um cara que não fala com ninguém e só pergunta tudo pro ChatGPT, e o Alex acaba sendo demitido.
Então o objetivo é vocês serem como o Bob, que fazer perguntas boas.
Agora, quais são as técnicas para fazer perguntas boas?
É aí são outros slides que não eu não tenho tempo para eles agora.
É... quantos minutos ainda tenho? Poucos, né?
- [Alex] É...
- [Eduardo] Então vou só mais vou ler só esse slide aqui e a gente passa pras perguntas.
Ai, que bom, aí vocês não vou ver a parte que tá bagunçada demais.
Então, é... vamos voltar pra aquela idéia dos alunos que faziam problemas de equações diferenciais
e eles erravam a coisa que eu achava que era mais importante e que revelava que eles não sabiam praticamente nada,
mas eles tinham conseguido fazer quase todo o problema.
Será que esses alunos, que "só" não sabiam conferir a solução, eles mereciam 9 na prova?
Aqui tem uma citação do Halmos, um matemático famosíssimo, que escreveu uma espécie de autobiografia...
E aí tem esse trecho em que ele conta que ele aprendeu não sei quê, e ele conseguia fazer as contas direitinho,
mas ele não entendia o que que determinados argumentos com `ε's e `δ's queriam dizer...
e teve um dia que ele teve um estalo e tudo começou a fazer sentido.
Então, será que a gente tem que tratar esses alunos como se fossem pequenos Halmos,
que por enquanto eles estão... tão só aprendendo a fazer as contas e depois depois tudo vai fazer sentido para eles?
Olha, na verdade não, né? Porque eles não estão nem conseguindo fazer as contas direito...
mas eu preciso... ter material para mostrar pra todo mundo que esses alunos têm que ser demitidos,
porque a gente teriam que aprender a coisa tal, e eles não querem aprender a coisa tal,
porque a coisa tal "não tá no Stewart".
Tá? Então vamos parar agora e a gente vai pras perguntas. Pode ser?
- [Alex] Pode sim.
- [Eduardo] Tá.
- [Alex] Obrigado, Eduardo.
- [Eduardo] Valeu! Obrigado pela oportunidade! Eu tava com...
precisava de uma desculpa para arrumar esse material e... não consegui arrumar tão bem, mas até funcionou...
- [Alex] Obrigado, viu? Gostei. Bom, eu tenho uma pergunta, um... um comentário, né?
É, assim, eu... o que você estuda me interessa bastante.
Também... a Matemática tem uma lógica interna, né, a Lógica Dedutiva, mas existe...
eu falei sobre isso em fevereiro numa palestra online, sobre raciocínio lógico na aprendizagem da matemática...
- [Eduardo] Isso. Eu assisti.
- [Alex] E como os alunos de fato raciocinam, né... quando eles aprendem matemática, né?
Por exemplo, se um professor passa uma lista de exercícios, né, e diz "treina isso para entender como funciona"...
os alunos não raciocinam por dedução, eles... eles fazem um tipo de abdução necessariamente.
Eles fazem um monte de, sei lá, armam um monte de subtrações e depois de um tempo eles chegaram à conclusão...
e não é esse jeito que as regras funcionam, certo?
Por mais que... se você começa com os axiomas de Zermelo Fraenkel ou os axiomas de Peano
você tem uma dedução pra chegar aos teoremas... e os alunos na aprendizagem... não é o jeito que é feito, né?
a gente não começa com os axiomas pra depois, é, ensinar regras de dedução
pra chegar aos resultados, mas a gente tenta que eles entendam pra... inferem de alguma forma que a gente tá fazendo, né?
A partir de exercícios, né? Aí eu
achei interessante quando você fala dos níveis dos detalhes, né?
Porque isso é algo sobre... que a Catarina Dutilh Novais fala no livro dela,
"As origens dialéticas da dedução... do raciocínio dedutivo", eu acho, né?
É, assim, o que caracteriza a lógica dedutiva, né, em geral, é a... obviamente, a necessidade, né,
as conclusões são necessariamente... seguem necessariamente,
e a ideia da contenção de crenças, né, que a gente simplesmente tem certas premissas
e a partir delas a conclusão tem que necessariamente seguir... mas tem um aspecto que ela enfatiza, é a
auditabilidade, que ela chama de "perspicuity", né, de quantos passos...
tem que ter passos no meio, né? Você não pode simplesmente colocar "teorema" e
você quer propor... fazer uma proposição, "Teorema de Fermat" e depois você diz:
"Eu vou provar o teorema de Fermat"... você escreve a prova, põe os axiomas de Zermelo Fraenkel,
e diz que "é óbvio", pronto, o teorema é óbvio, o teorema de Fermat... Bom, é uma conclusão necessária,
segue necessariamente, né? E também, é, né... segue da premissa.
Só que isso não vale como prova matemática. E a gente não chamaria isso de de argumento dedutivo, né?
É, tem que ter um... detalhamento suficiente, né? Então entra esse aspecto, né, da... do agente
cognitivo, de alguém que tem que ser capaz de entender, né? E quando eu, é...
ensino matemática, é... né, eu sou do departamento de Matemática, dou aula de
Matemática, minha formação em Matemática, né?
- [Eduardo] Você costuma daqui cursos?
- [Alex] É... um pouco de tudo, né? Mas muitos calouros, né?
- [Eduardo] Tá.
- [Alex] Aí eu... assim, tudo que você tá falando, eu também tô vendo, né?
Nos meus alunos. Mas assim, eu sinto que a ideia de fazer um argumento lógico,
um argumento pra chegar a uma conclusão lógica é completamente inexistente neles,
A ideia, o ensino de matemática, parece focado na resposta certa, né?
Eles não têm nenhuma ideia de fazer algum raciocínio, de colocar um argumento no papel, de argumentar por
algo é verdadeiro, se a resposta é certa, tá bom... e isso contrasta muito
com as, digamos, as Humanas... ou, digamos, no Enem tem uma redação, né?
Você tem que, né, escrever com palavras, né, é... comunicar, né, ideias e
argumentos lógicos. Você tem que fazer isso. E você também tem um norma culta
da linguagem portuguesa que você tem que empregar, você tem que ter uma ortografia, né?
E na matemática não importa, né? Você pode escrever de qualquer jeito, escrever, usar símbolo
de igual quando você quiser, não trocar por uma seta, ninguém liga para isso na escola. Eles chegam lá trocando símbolo
de igual por uma seta, né? Né? Mas o símbolo de igual é o mais sagrado na
matemática, né? Então assim, eles não têm nenhuma, é... idéia de redação
matemática. Eu tenho que escrever, comunicar minha ideia matemática, né? E
não... não existe isso de comunicar, né? É só resposta certa ou não é certa.
- [Eduardo] Isso porque eles nem tiveram contato com com a linguagem matemática, né?
- [Alex] Oi?
- [Eduardo] Eles nem tiveram contato suficiente com a linguagem matemática. Eles não têm nem de onde aprender.
- [Alex] É, é assim, eles não têm, é... eles não
sabem o significado de igual, né? Porque igual e ou é igual ou não é igual na
matemática. E para eles igual é uma seta, né? Tanto faz, né? E assim o dois pontos, né? Um "colon", né?
É, então assim, é, a ideia de construir um argumento lógico, né,
é completamente ausente, de ter uma ortografia na matemática, de mategramática
e usar os símbolos matemáticos corretamente. E isso acho que dialoga um pouco ensino de Lógica, né?
É porque... eu sei que na Sociedade Brasileira de Lógica se discute essa idéia sobre,
né... é, a ausência do ensino de Lógica na escola. Eu não sou especialista nisso,
mas eu sinto que é um pouco... um dos problemas da Matemática na
universidade, quando eles saem da escola, que eles não têm a mínima ideia do que é construir um argumento lógico,
né, no âmbito da matemática, né... assim, que possa ter uma argumentação
matemática... você tem que comunicar, né, eles são incapazes de comunicar, né, porque é tudo múltipla escolha
também, né? Isso. Não sei, né?
- [Eduardo] É, alguns slides que eu pulei tem um montão de links pra artigos sobre igualdade, sobre variável,
coisa assim. Inclusive, alguns desses eu descobri na sua apresentação. Eu comecei a seguir os
links de lá e foi de lá que eu cheguei num monte de material sobre Educação Matemática. Então, eu peguei dois ou
três links sobre igualdade de lá e sobre variável e já encontrei um montão de coisa nova que acho que vai te interessar.
- [Alex] Ah, que bom. Bom. É... mas, é, legal, é...
ver o seu material, as suas idéias de, né, as suas observações...
- [Eduardo] É, e vamos tentar botar isso na prática
porque são coisas que eu sei que não cabem em poucas frases, talvez caibam em exercícios com figuras, e coisas assim...
mas eu realmente não tenho como resumir as minhas idéias em pouquinhas frases agora.
- [Alex] Uhum. Mas eu acho uma... algo, né... no ensino de
matemática, na educação matemática, acho que é interessante, né... tentar um
pouco entender o que que pode ser feito para melhorar o raciocínio lógico, né?
- [Eduardo] É. E é um problema que não existia e agora tá muito pior. Antigamente os alunos que não sabiam absolutamente nada de lógica
eram poucos. Agora são quase todos.
- [Alex] É, é, acho que é, eu acho que também tem teve uma piora. Sim.
Tem mais, mais perguntas?
Bom, se tem... não tem mais perguntas. É, bom...
- [Eduardo] Sua vez.
- [Alex] A minha vez, né? Tá bom. Bom, eu vou também... é... aqui... cadê o negócio?
Janela... o PDF que tou compartilhando aqui. Vocês estão vendo?
- [Nick Olle] Sim.
- [Eduardo] Sim.
- [Alex] Beleza. Ótimo. Então, meu nome é Alex... né, é...