|
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% (find-LATEX "2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-funcoes-homogeneas.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C3-funcoes-homogeneas"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2024-2-C3-funcoes-homogeneas")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
% file:///tmp/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
% file:///tmp/pen/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C3-funcoes-homogeneas" "3" "c3m242fh" "c3fh")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.primeiras-defs» (to "primeiras-defs")
% «.primeiras-defs-2» (to "primeiras-defs-2")
% «.segundas-defs» (to "segundas-defs")
% «.exercicio-1-defs» (to "exercicio-1-defs")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.alguns-exemplos-defs» (to "alguns-exemplos-defs")
% «.alguns-exemplos» (to "alguns-exemplos")
% «.polinomios-homogeneos» (to "polinomios-homogeneos")
% «.maxima» (to "maxima")
% «.diags-sinais-em-R» (to "diags-sinais-em-R")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
%L dofile "ExprDxDy1.lua" -- (find-LATEX "ExprDxDy1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
\def\P #1{\left( #1 \right)}
\def\PP#1{\bigl( #1 \bigr)}
\sa {[Ak]}{\CFname{A}{_k}}
\sa {[Bk]}{\CFname{B}{_k}}
\sa {[Ck]}{\CFname{C}{_k}}
\sa {[Dk]}{\CFname{D}{_k}}
\sa {[Ek]}{\CFname{E}{_k}}
\sa {[Fk]}{\CFname{F}{_k}}
%
\sa {[A0]}{\CFname{A}{_0}}
\sa {[A1]}{\CFname{A}{_1}}
\sa {[A2]}{\CFname{A}{_2}}
\sa {[A3]}{\CFname{A}{_3}}
\sa {[B0]}{\CFname{B}{_0}}
\sa {[B1]}{\CFname{B}{_1}}
\sa {[B2]}{\CFname{B}{_2}}
\sa {[B3]}{\CFname{B}{_3}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m242fhp 1 "title")
% (c3m242fha "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.2}
\bsk
Aula 17: funções homogêneas
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m242fhp 2 "links")
% (c3m242fha "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
% 3dT112: (find-LATEX "2021-2-C3-MT2.tex" "title")
% (c3m212mt2p 3 "itens")
% (c3m212mt2a "itens")
% 3eT50: (find-LATEX "2022-1-C3-MT2.tex" "title")
% (c3m221mt2p 2 "questao")
% (c3m221mt2a "questao")
% 3dT158: (find-LATEX "2021-2-C3-P2.tex" "title")
% (c3m212p2p 3 "questao-1")
% (c3m212p2a "questao-1")
% 3eT60: (find-LATEX "2022-1-C3-P2.tex" "title")
% (c3m221p2p 4 "questoes-3-e-4")
% (c3m221p2a "questoes-3-e-4")
% (c3m221p2p 6 "questao-4-gab")
% (c3m221p2a "questao-4-gab")
% 3fT118: (find-LATEX "2022-2-C3-P2.tex" "title")
% (c3m222p2p 2 "questao-1")
% (c3m222p2a "questao-1")
% (find-LATEX "2022-2-C3-dicas-pra-P2.tex" "title")
% (find-LATEX "2022-2-C3-maximos-e-minimos.tex" "title")
% (find-LATEX "2021-2-C3-diag-nums.tex" "title")
% (find-LATEX "2021-2-C3-funcoes-homogeneas.tex" "title")
% (find-LATEX "2022-1-C3-funcoes-homogeneas.tex" "title")
% (find-LATEX "2021-2-C3-taylor-R2.tex" "title")
% (find-angg "LUA/ExprDxDy1.lua" "ExprDxDy-tests-2D3D")
{\footnotesize
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_polynomial}
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function}
}
% (find-angg ".emacs" "c3q232" "17,oct25")
\par \Ca{3hQ50} Quadros da aula 17 (25/out/2023)
\par \Ca{3hQ54} Quadros da aula 18 (27/out/2023)
\par \Ca{3hQ57} Quadros da aula 19 (01/nov/2023)
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "383" "11.3. Formas quadráticas e matrizes")
\par \Ca{Bort11p19} (p.383) 11.3 Formas quadráticas e matrizes definidas
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "850" "14.7 Valores Máximo e Mínimo")
\par \Ca{StewPtCap14p64} (p.850) 14.7 Valores Máximo e Mínimo
\par \Ca{StewPtCap14p65} (p.851) Teste da segunda derivada; D(a,b)
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ _ _ _ __
% | _ \ _ __(_)_ __ ___ ___(_)_ __ __ _ ___ __| | ___ / _|___
% | |_) | '__| | '_ ` _ \ / _ \ | '__/ _` / __| / _` |/ _ \ |_/ __|
% | __/| | | | | | | | | __/ | | | (_| \__ \ | (_| | __/ _\__ \
% |_| |_| |_|_| |_| |_|\___|_|_| \__,_|___/ \__,_|\___|_| |___/
%
% «primeiras-defs» (to ".primeiras-defs")
% (c3m232fhp 3 "primeiras-defs")
% (c3m232fha "primeiras-defs")
{\bf Primeiras definições}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[Ak]} &=& \PP{f(λx) = λ^kf(x)} \\
\ga{[Bk]} &=& \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
%\ga{[Ck]} &=& \PP{f(λ(x-x_0)) = λ^kf((x-x_0))} \\
%\\[-7.5pt]
%\ga{[Dk]} &=& \PP{g(λx,λy) = λ^kg(x,y)} \\
%\ga{[Ek]} &=& \PP{g(λΔx,λΔy) = λ^kg(Δx,Δy)} \\
%\ga{[Fk]} &=& \PP{g(λ(x-x_0),λ(y-y_0)) = λ^kg((x-x_0),(y-y_0))} \\
\end{array}
$$
Uma função $f:\R→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$} -- abreviação:
h.d.g.$k$ -- quando ela obedece isto,
%
$$\begin{array}{l}
∀x,λ∈\R.\; f(λx) = λ^kf(x) \\
∀x,λ∈\R.\; \ga{[Ak]} \\
\end{array}
$$
onde a segunda linha é abreviação da primeira; e uma função $f:\R→\R$
é {\sl homogênea de grau $k$ em $x_0$} -- abreviação: h.d.g.$k$ em
$x_0$ -- quando ela obedece esta condição,
%
$$\begin{array}{l}
∀x,λ∈\R.\; \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
%∀x,λ∈\R.\; \PP{f(λ(x-x_0)) = λ^kf((x-x_0))} \\
∀Δx,λ∈\R.\; \ga{[Bk]} \\
%∀x,λ∈\R.\; \ga{[Ck]} \\
\end{array}
$$
% Como nós estamos sempre usando $Δx=x-x_0$ as condições $\ga{[Bk]}$ e
% $\ga{[Ck]}$ são equivalentes. Eu vou dizer que $\ga{[Bk]}$ é a
% ``versão bonita'' e $\ga{[Ck]}$ é a ``versão feia''.
}\anothercol{
Vou definir $\ga{[A2]}$ da forma óbvia:
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[A2]} &=& \ga{[Ak]} [k:=2] \\
&=& \PP{f(λx) = λ^2f(x)} \\
\end{array}
$$
$\ga{[A0]}, \ga{[A1]}, \ga{[A3]}, \ldots, \ga{[B1]}, \ga{[B0]},
\ga{[B2]}, \ga{[B3]}, \ldots$, etc, vão ser todos definidos da mesma
forma.
\msk
Digamos que uma função $f:\R→\R$ é homogênea de grau $2$
(``h.d.g.2''). Então ela obedece todos os casos particulares de
$\ga{[A2]}$, incluindo estes aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[A2]}\bsm{λ:=3 \\ x:=4} &=& \PP{f(3·4) = 3^2f(4)} \\
&=& \PP{f(12) = 9f(4)} \\
\ga{[A2]}\bsm{λ:=1/2 \\ x:=12} &=& \PP{f(\frac12 12) = (\frac12)^2f(12)} \\
&=& \PP{f(6) = \frac14 f(12)} \\
\end{array}
$$
...e aí se a gente souber o valor de $f(x)$ pra algum $x$ a gente
consegue descobrir $f(x)$ para todos os outros `$x$'zes!
}}
\newpage
% ____ _ _ _ __ ____
% | _ \ _ __(_)_ __ ___ ___(_)_ __ __ _ ___ __| | ___ / _|___ |___ \
% | |_) | '__| | '_ ` _ \ / _ \ | '__/ _` / __| / _` |/ _ \ |_/ __| __) |
% | __/| | | | | | | | | __/ | | | (_| \__ \ | (_| | __/ _\__ \ / __/
% |_| |_| |_|_| |_| |_|\___|_|_| \__,_|___/ \__,_|\___|_| |___/ |_____|
%
% «primeiras-defs-2» (to ".primeiras-defs-2")
% (c3m232fhp 4 "primeiras-defs-2")
% (c3m232fha "primeiras-defs-2")
{\bf Primeiras definições (2)}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
Lembre que definimos:
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[Ak]} &=& \PP{f(λx) = λ^kf(x)} \\
\ga{[Bk]} &=& \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
\end{array}
$$
e que uma função $f:\R→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$}
(``h.d.g.$k$'') -- quando ela obedece isto,
%
$$\begin{array}{l}
∀x,λ∈\R.\; \ga{[Ak]} \\
\end{array}
$$
E uma função $f:\R→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$ em $x_0$}
(``h.d.g.$k$ em $x_0$'') quando ela obedece esta outra condição:
%
$$\begin{array}{l}
∀Δx,λ∈\R.\; \ga{[Bk]} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
{\bf Exercícios}
a) Digamos que $f:\R→\R$ é h.d.g.2 e que $f(4)=32$. Descubra os
valores de $f(x)$ para $x=1,2,3,-4,0,-1,-2,-3$.
\msk
b) Digamos que $f:\R→\R$ é h.d.g.1 e que $f(4)=32$. Faça uma tabela
com os valores de $f(x)$ para $x∈\{-4,\ldots,4\}$.
\msk
c) Digamos que $f:\R→\R$ é h.d.g.0 e que $f(4)=32$. Faça uma tabela
com os valores de $f(x)$ para $x∈\{-4,\ldots,4\}$.
\msk
d) Digamos que $x_0=10$, que $f:\R→\R$ é h.d.g.1 em $x_0$, e que
$f(10+4)=32$. Faça uma tabela com os valores de $f(x)$ para
$x∈\{10-4,\ldots,10+4\}$.
}}
\newpage
% ____ _ _ __
% / ___| ___ __ _ _ _ _ __ __| | __ _ ___ __| | ___ / _|___
% \___ \ / _ \/ _` | | | | '_ \ / _` |/ _` / __| / _` |/ _ \ |_/ __|
% ___) | __/ (_| | |_| | | | | (_| | (_| \__ \ | (_| | __/ _\__ \
% |____/ \___|\__, |\__,_|_| |_|\__,_|\__,_|___/ \__,_|\___|_| |___/
% |___/
%
% «segundas-defs» (to ".segundas-defs")
% (c3m232fhp 5 "segundas-defs")
% (c3m232fha "segundas-defs")
\def\parrayl#1{\P{\begin{array}{l}#1\end{array}}}
\def \arrayl#1{ \begin{array}{l}#1\end{array} }
{\bf Segundas definições}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[Ak]} &=& \PP{f(λx) = λ^kf(x)} \\
\ga{[Bk]} &=& \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
\ga{[Ck]} &=& \PP{g(λx,λy) = λ^kg(x,y)} \\
\ga{[Dk]} &=& \parrayl{g(x_0+λΔx,y_0+λΔy) \\ = λ^kg(x_0+Δx,y_0+Δy)} \\
%\ga{[Ck]} &=& \PP{f(λ(x-x_0)) = λ^kf((x-x_0))} \\
%\\[-7.5pt]
%\ga{[Dk]} &=& \PP{g(λx,λy) = λ^kg(x,y)} \\
%\ga{[Ek]} &=& \PP{g(λΔx,λΔy) = λ^kg(Δx,Δy)} \\
%\ga{[Fk]} &=& \PP{g(λ(x-x_0),λ(y-y_0)) = λ^kg((x-x_0),(y-y_0))} \\
\end{array}
$$
As definições $\ga{[Ak]}$ e $\ga{[Bk]}$ são as mesmas de antes.
\ssk
Vou dizer que uma função $g:\R^2→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$}
(``h.d.g.$k$'') quando ela obedece isto,
%
$$\begin{array}{l}
∀(x,y)∈\R^2.∀λ∈\R.\; \ga{[Ck]} \\
\end{array}
$$
e vou dizer que uma função $g:\R^2→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$}
(``h.d.g.$k$ em $(x_0,y_0)$'') quando ela obedece isto:
%
$$\begin{array}{l}
∀(Δx,Δy)∈\R^2.∀λ∈\R.\; \ga{[Dk]} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
Por exemplo, se $g:\R^2→\R$ é h.d.g.2 em $(10,20)$ então ela obedece
isto...
%
$$\arrayl{g(10+5·3,20+5·4) \\
= 5^2g(10+3,20+4)}
$$
Você consegue ver quem são $λ$, $Δx$ e $Δy$ neste caso?
\bsk
{\bf Exercício}
a) Digamos que $g:\R^2→\R$ é h.d.g.2 em $(10,20)$ e que
$g(10+3,20+4)=6$. Descubra os valores de $$g(10+λ·3,20+λ·4)$$ para
$λ∈\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$.
\msk
b) Faça a mesma coisa que no item anterior, mas supondo que
$g:\R^2→\R$ é h.d.g.1 em $(10,20)$ ao invés de h.d.g.2 em $(10,20)$.
\msk
c) Idem, mas agora supondo que a $g$ é h.d.g.0 em $(10,20)$.
}}
\newpage
% «exercicio-1-defs» (to ".exercicio-1-defs")
% (c3m232fhp 6 "exercicio-1-defs")
% (c3m232fha "exercicio-1-defs")
\def\Rq{\footnotesize\ColorRed{?}}
%L PictBounds.setbounds(v(-5,-5), v(5,5))
%L Numerozinhos.__index.preprocs["?"] = "\\Rq"
%L bigstr = [[ . . ? . . . . . .
%L . . . . ? . . ? .
%L . . . ? ? . ? . ?
%L . . . . 1 2 5 . .
%L . . ? ? ? 4 ? ? .
%L . . ? ? ? . . . .
%L ? . ? . ? 0 . . .
%L . ? . . ? . . . .
%L . . . . . . ? . .]]
%L ns = Numerozinhos.from(-4, -4, bigstr)
%L ns:show0({u="25pt"}):sa("exercicio 1?"):output()
%L
%L PictBounds.setbounds(v(-2,-3), v(8,7))
%L ns = Numerozinhos.from(-1, -2, bigstr)
%L ns:show0({u="25pt"}):sa("exercicio 2?"):output()
\pu
\newpage
% _____ _ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ / |
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ | |
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | | |
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/ |_|
%
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m232fhp 6 "exercicio-1")
% (c3m232fha "exercicio-1")
{\bf Exercício 1}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{
Na figura da direita cada numerozinho representa alguma coisa que {\sl
sabemos} sobre uma certa função $g:\R^2→\R$ homogênea de grau 1 e
cada `$\ColorRed{?}$' representa alguma coisa que {\sl queremos saber}
sobre ela; por exemplo, o 5 na posição (2,1) quer dizer que sabemos
que $g(2,1)=5$ e o `$\ColorRed{?}$' na posição (4,2) quer dizer que
você vai ter que descobrir o valor de $g(4,2)$ e escrever esse valor
sobre a interrogação.
\msk
Complete a figura à direita escrevendo os valores certos sobre as
interrogações.
}\anothercol{
\vspace*{0pt}
$\ga{exercicio 1?}$
}}
\newpage
% _____ _ _ ____
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ |___ \
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ __) |
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | / __/
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/ |_____|
%
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m232fhp 7 "exercicio-2")
% (c3m232fha "exercicio-2")
{\bf Exercício 2}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{
Na figura da direita cada numerozinho representa alguma coisa que {\sl
sabemos} sobre uma certa função $g:\R^2→\R$ homogênea de grau
\standout{2} em \standout{$(3,2)$} -- note que isto é bem diferente do
exercício anterior! -- e cada `$\ColorRed{?}$' representa alguma coisa
que {\sl queremos saber} sobre ela; por exemplo, o 5 na posição
$(3+2,2+1)$ quer dizer que sabemos que $g(3+2,2+1)=5$ e o
`$\ColorRed{?}$' na posição $(3+4,3+2)$ quer dizer que você vai ter
que descobrir o valor de $g(3+4,3+2)$ e escrever esse valor sobre a
interrogação.
\msk
Complete a figura à direita escrevendo os valores certos sobre as
interrogações.
}\anothercol{
\vspace*{0pt}
$\ga{exercicio 2?}$
}}
\newpage
% «polinomios-homogeneos» (to ".polinomios-homogeneos")
% (c3m232fhp 9 "polinomios-homogeneos")
% (c3m232fha "polinomios-homogeneos")
% (c3m221fhp 2 "exercicio-1")
% (c3m221fha "exercicio-1")
{\bf Polinômios homogêneos}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{
Normalmente a gente começa a ouvir falar de funções homogêneas por
polinômios homogêneos, que são polinômios que todos os monômios deles
têm o mesmo grau... por exemplo,
%
$$2x^3y^4 + 5x^4y^3 - 6x^7$$
é um polinômio em duas variáveis, $x$ e $y$, que é homogêneo de grau
7, porque $x^3y^4$, $x^4y^3$, e $x^7$ são monômios de grau 7. Qualquer
polinômio em duas variáveis pode ser decomposto em polinômios
homogêneos; por exemplo:
%
$$\def\gra#1{←\;\text{parte homogênea de grau #1}}
\begin{array}{rcll}
F(x,y) &=& a & \gra0 \\
&+& bx + cy & \gra1 \\
&+& dx^2 + exy + fy^2 & \gra2 \\
&+& gx^3 + hxy^2 + jx^2y + ky^3 & \gra3 \\
&+& \ldots
\end{array}
$$
Repare que fica implícito que $a, b, \ldots, k, \ldots$ são
constantes.
Veja estas páginas da Wikipedia:
\ssk
{\footnotesize
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_polynomial}
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function}
}
\ssk
Nas figuras da próxima página a coluna da esquerda mostra vários
polinônomios h.d.g.2 \standout{em $(3,2)$}.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «alguns-exemplos-defs» (to ".alguns-exemplos-defs")
% (c3m232fhp 9 "alguns-exemplos-defs")
% (c3m232fha "alguns-exemplos-defs")
%L
%L -- (find-angg "LUA/ExprDxDy1.lua" "ExprDxDy-tests-abc")
%L V3.threeD = "2D"
%L x0,y0 = 3,2
%L defabc = function (s) ExprDxDy.from(s):abc():output() end
%L defabc "Dx^2"
%L defabc "1+Dx^2"
%L defabc "2+Dx^2"
%L defabc "Dy^2"
%L defabc "1+Dy^2"
%L defabc "2+Dy^2"
%L defabc "Dx^2+Dy^2"
%L defabc "1+Dx^2+Dy^2"
%L defabc "2+Dx^2+Dy^2"
%L
%L defabc "Dx^2-Dy^2"
%L defabc "2+Dx^2-Dy^2"
%L
%L defabc "Dx*Dy"
%L defabc "2+Dx*Dy"
\pu
\def\exprdxdyabc#1{\ensuremath{
\ga{#1 1D} \quad
\ga{#1 2D} \quad
\ga{#1 3D}
}}
\def\mabc#1{\ensuremath{
\ga{#1 1D} &
\scalebox{0.8}{\ga{#1 2D}} &
\ga{#1 3D}
}}
\newpage
% «alguns-exemplos» (to ".alguns-exemplos")
% (c3m232fhp 8 "alguns-exemplos")
% (c3m232fha "alguns-exemplos")
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{
$\begin{array}[t]{rcc}
\mabc {Dx^2} \\
\mabc {Dy^2} \\
\mabc {Dx^2+Dy^2} \\ \\
\mabc {Dx^2-Dy^2} \\
\mabc {Dx*Dy} \\
\end{array}
$
}\anothercol{
$\begin{array}[t]{rcc}
\mabc {2+Dx^2} \\
\mabc {2+Dy^2} \\
\mabc {2+Dx^2+Dy^2} \\ \\
\mabc {2+Dx^2-Dy^2} \\
\mabc {2+Dx*Dy} \\
\end{array}
$
}}
\newpage
% «maxima» (to ".maxima")
% (c3m232fhp 10 "maxima")
% (c3m232fha "maxima")
% (find-es "maxima" "radcan-homogeneous")
%M (%i1) /* f:R->R, homogeneous of degree k */
%M f(x) := a * x^k;
%M (%o1) f\left(x\right):=a\,x^{k}
%M (%i2) f(x0);
%M (%o2) a\,x_0^{k}
%M (%i3) f(m*x0);
%M (%o3) a\,\left(m\,x_0\right)^{k}
%M (%i4) o : f(m*x0) = m^k * f(x0);
%M (%o4) a\,\left(m\,x_0\right)^{k}=a\,m^{k}\,x_0^{k}
%M (%i5) o2 : radcan(o);
%M (%o5) a\,m^{k}\,x_0^{k}=a\,m^{k}\,x_0^{k}
%M (%i6) is(o); /* false because "is" is dumb */
%M (%o6) \mathbf{false}
%M (%i7) is(o2); /* true */
%M (%o7) \mathbf{true}
%M (%i8)
%L maximahead:sa("contas1", "")
\pu
%M (%i8) /* f:R->R, homogeneous of degree 2 */
%M (%i8) f( x, y) := a*x^2 + b*x*y + c*y^2;
%M (%o8) f\left(x , y\right):=a\,x^2+b\,x\,y+c\,y^2
%M (%i9) f( x0, y0);
%M (%o9) c\,y_0^2+b\,x_0\,y_0+a\,x_0^2
%M (%i10) f(m*x0,m*y0);
%M (%o10) c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2
%M (%i11) o : f(m*x0,m*y0) = m^2 * f(x0,y0);
%M (%o11) c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2=m^2\,\left(c\,y_0^2+b\,x_0\,y_0+a\,x_0^2\right)
%M (%i12) o2 : radcan(o);
%M (%o12) c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2=c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2
%M (%i13) is(o); /* false because "is" is dumb */
%M (%o13) \mathbf{false}
%M (%i14) is(o2); /* true */
%M (%o14) \mathbf{true}
%M (%i15)
%L maximahead:sa("contas2", "")
\pu
%M (%i15) /* f:R->R, homogeneous of degree 3 */
%M (%i15) f( x, y) := a*x^3 + b*x^2*y + c*x*y^2 + d*y^3;
%M (%o15) f\left(x , y\right):=a\,x^3+b\,x^2\,y+c\,x\,y^2+d\,y^3
%M (%i16) f( x0, y0);
%M (%o16) d\,y_0^3+c\,x_0\,y_0^2+b\,x_0^2\,y_0+a\,x_0^3
%M (%i17) f(m*x0,m*y0);
%M (%o17) d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3
%M (%i18) o : f(m*x0,m*y0) = m^3 * f(x0,y0);
%M (%o18) d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3=m^3\,\left(d\,y_0^3+c\,x_0\,y_0^2+b\,x_0^2\,y_0+a\,x_0^3\right)
%M (%i19) o2 : radcan(o);
%M (%o19) d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3=d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3
%M (%i20) is(o); /* false because "is" is dumb */
%M (%o20) \mathbf{false}
%M (%i21) is(o2); /* true */
%M (%o21) \mathbf{true}
%M (%i22)
%L maximahead:sa("contas3", "")
\pu
\def\hboxthreewidth {12cm}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
\ga{contas1}
}\anothercol{
}}
\def\hboxthreewidth {15cm}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\ga{contas2}
}\anothercol{
}}
\def\hboxthreewidth {18cm}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{18cm}\firstcol{
\ga{contas3}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «diags-sinais-em-R» (to ".diags-sinais-em-R")
% (c3m232fhp 13 "diags-sinais-em-R")
% (c3m232fha "diags-sinais-em-R")
% (c3m212dnp 12 "exercicio-5")
% (c3m212dna "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
Relembre o que era o ``estudo do sinal de uma função''
que você deve ter visto em Cálculo 1, e faça um diagramas
indicando em que intervalos cada uma das funções abaixo
é positiva, negativa, ou zero.
\ssk
Dica: veja este vídeo, sobre diagramas de sinais em $\R^2$:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m211qa "video-2")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-2.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=noVh-RsK5Jo}
}
\msk
a) $x$
b) $x+1$
c) $x(x+1)$
d) $4-x$
e) $x(x+1)(4-x)$
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c3m212dnp 13 "exercicio-6")
% (c3m212dna "exercicio-6")
% (c3m211qp 8 "exercicio-3")
% (c3m211qa "exercicio-3")
{\bf Exercício 6.}
Agora adapte essa idéia do diagrama do sinal para $\R^2$,
no quadrado com $x∈[x_0-1,x_0+1]$ e $y∈[y_0-1,y_0+1]$,
e faça o diagrama do sinal para cada uma das funções abaixo.
Dica: veja este vídeo, sobre diagramas de sinais em $\R^2$:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m211qa "video-2")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-2.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=noVh-RsK5Jo}
}
\msk
\begin{tabular}[t]{l}
a) $Δx$ \\
b) $Δx^2$ \\
c) $Δy$ \\
d) $ΔxΔy$ \\
e) $Δx+Δy$ \\
f) $Δx-Δy$ \\
g) $(Δx+Δy)^2$ \\
h) $(Δx-Δy)^2$ \\
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}[t]{l}
i) $(Δx+Δy)(Δx-Δy)$ \\
j) $(Δx+Δy)Δx$ \\
k) $-(Δx+Δy)^2$ \\
\end{tabular}
\newpage
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c3m212dnp 14 "exercicio-7")
% (c3m212dna "exercicio-7")
% (c3m211qp 9 "exercicio-4")
% (c3m211qa "exercicio-4")
{\bf Exercício 7.}
A partir de agora vamos considerar que:
%
$$\begin{array}{rcl}
x &=& x(t) \\
&=& x(t_1) \\
&=& x_0 + α·(t_1-t_0) \\
&=& x_0 + αΔt \\
y &=& y(t) \\
&=& y(t_1) \\
&=& y_0 + β·(t_1-t_0) \\
&=& y_0 + βΔt \\
\end{array}
$$
Onde $t_0=5$; $x_0$ e $y_0$ continuam os mesmos de antes,
e $α$ e $β$ são constantes cujos valores podem depender
do contexto.
\newpage
{\bf Exercício 7 (cont.)}
A trajetória $(x(t), y(t))$ é sempre um movimento
retilíneo uniforme pra quaisquer valores de $α$ e $β$.
\ssk
a) Calcule $\VEC{x_t, y_t}$.
\bsk
Cada escolha de valores para $α$ e $β$ dá uma trajetória
diferente. Nos itens abaixo você vai visualizar algumas
dessas trajetórias e vai desenhá-las no papel --- desta
forma aqui: você vai marcar no plano os pontos
$(x(t_0+Δt), y(t_0+Δt))$ para $Δt=-1,0,1$, vai escrever
``$Δt=-1$'', ``$Δt=0$'' e ``$Δt=1$'' do lado dos pontos
correspondentes a esses valores de $Δt$, e ao lado de
cada desenho você vai escrever os valores de $α$ e $β$.
\msk
b) Desenhe a trajetória associada a $α=1$, $β=0$.
c) Desenhe a trajetória associada a $α=0$, $β=1$.
\newpage
{\bf Exercício 7 (cont.)}
...e além disso você vai escrever algo como ``Leste'' (ou ``E''),
``Noroeste'' (ou ``NW'') do lado de cada um dos seus desenhos
de trajetórias pra indicar em que direção o ponto $(x,y)$ está
andando. Use a convenção que costuma ser usada em mapas,
matemática e videogames, em que o Leste é pra direita e o
Norte é pra cima:
%
% (find-latexscan-links "C3" "20210813_direcoes")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210813_direcoes.pdf")
$$\includegraphics[height=3.5cm]{2021-1-C3/20210813_direcoes.pdf}
$$
\newpage
{\bf Exercício 7 (cont.)}
\ssk
d) Desenhe a trajetória associada a $α=0$, $β=-1$
e diga o nome da direção dela.
\ssk
e) Desenhe a trajetória associada a $α=-1$, $β=1$.
e diga o nome da direção dela.
\ssk
f) Quais são os valores mais simples de $α$ e $β$ ---
onde ``simples'' quer dizer ``$0$, $1$ ou $-1$'' --- que fazem
a trajetória ir pro nordeste? E pro sudoeste?
\bsk
\bsk
Nos próximos exercícios eu vou me referir a essas
trajetórias em que $α$ e $β$ são números ``simples''
pelos \ColorRed{nomes das direções} delas.
\newpage
% «zt-e-ztt-intro» (to ".zt-e-ztt-intro")
% (c3m211qp 13 "zt-e-ztt-intro")
% (c3m211qa "zt-e-ztt-intro")
{\bf O significado geométrico de $z_t$}
Nós sabemos calcular $z$, $z_t$ e $z_{tt}$ a partir de $t$,
e sabemos calcular $z$, $z_t$ e $z_{tt}$ em $t_0$.
\ssk
Com um pouquinho de esforço você deve ser
capaz de visualizar o que acontece perto de $t_0$...
o valor da primeira derivada, $(z_t)(t_0)$, diz o seguinte:
\def\LR{$\Longleftrightarrow$}
\msk
\begin{tabular}{lll}
$z$ aumenta quando $t$ aumenta (``crescente'') &\LR& $(z_t)(t_0)>0$ \\
$z$ ``fica horizontal'' quando $t$ aumenta &\LR& $(z_t)(t_0)=0$ \\
$z$ diminui quando $t$ aumenta (``decrescente'') &\LR& $(z_t)(t_0)<0$ \\
\end{tabular}
\bsk
\bsk
\ColorRed{
Veja o vídeo!!!
}
\ssk
{\footnotesize
% (c3m211qa "video-3")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-3.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=VwowES6EM3Y}
}
\newpage
% «signif-geom-ztt» (to ".signif-geom-ztt")
% (c3m212dnp 19 "signif-geom-ztt")
% (c3m212dna "signif-geom-ztt")
{\bf O significado geométrico de $z_{tt}$}
Nos casos em que $z$ ``fica horizontal'' nós vamos usar
a segunda derivada, $(z_{tt})(t_0)$, pra ver se o gráfico de
$z(t)$ ``parece uma parábola'' ao redor de $t_0$, e se essa
parábola tem concavidade pra cima ou pra baixo:
\msk
\begin{tabular}{lll}
concavidade pra cima &\LR& $(z_{tt})(t_0)>0$ \\
``parece horizontal'' &\LR& $(z_{tt})(t_0)=0$ \\
concavidade pra baixo &\LR& $(z_{tt})(t_0)<0$ \\
\end{tabular}
\bsk
Eu usei muitos termos informais de propósito.
No \ColorRed{próximo exercício} você vai tentar descobrir
\ColorRed{sem fazer contas} qual é o comportamento da $z$
em torno de $t_0$, e no \ColorRed{outro exercício} você vai
\ColorRed{fazer as contas} e vai ver se o seu olhômetro
funcionou direito.
\newpage
% «exercicio-8» (to ".exercicio-8")
% (c3m212dnp 20 "exercicio-8")
% (c3m212dna "exercicio-8")
% (c3m211qp 15 "exercicio-5")
% (c3m211qa "exercicio-5")
{\bf Exercício 8.}
\unitlength=20pt
Em cada um dos desenhos dos próximos slides diga
o que acontece quando a trajetória $(x(t),y(t))$ anda
em uma das oito direções simples, que são:
\msk
norte, nordeste, leste, sudeste,
sul, sudoeste, oeste, noroeste.
\bsk
Use estas categorias na suas respostas:
\msk
$z$ cresce
$z$ decresce
$z$ faz uma parábola com concavidade pra cima
$z$ faz uma parábola com concavidade pra baixo
$z$ é ``muito horizontal''
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C3-funcoes-homogeneas")
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2023-2-C3-funcoes-homogeneas")
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3fh"
% ee-tla: "c3m242fh"
% End: