% (find-LATEX "2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-funcoes-homogeneas.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-funcoes-homogeneas.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C3-funcoes-homogeneas"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2024-2-C3-funcoes-homogeneas")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
%               file:///tmp/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C3-funcoes-homogeneas" "3" "c3m242fh" "c3fh")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")

% «.defs»			(to "defs")
% «.defs-T-and-B»		(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»		(to "defs-caepro")
% «.defs-maxima»		(to "defs-maxima")
% «.defs-pict2e»		(to "defs-pict2e")
% «.title»			(to "title")
% «.links»			(to "links")
% «.primeiras-defs»		(to "primeiras-defs")
% «.primeiras-defs-2»		(to "primeiras-defs-2")
% «.segundas-defs»		(to "segundas-defs")
% «.exercicio-1-defs»		(to "exercicio-1-defs")
% «.exercicio-1»		(to "exercicio-1")
% «.exercicio-2»		(to "exercicio-2")
% «.alguns-exemplos-defs»	(to "alguns-exemplos-defs")
% «.alguns-exemplos»		(to "alguns-exemplos")
% «.polinomios-homogeneos»	(to "polinomios-homogeneos")
% «.maxima»			(to "maxima")
% «.diags-sinais-em-R»		(to "diags-sinais-em-R")
%
% «.djvuize»			(to "djvuize")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
%L dofile "ExprDxDy1.lua"               -- (find-LATEX "ExprDxDy1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

\def\P #1{\left( #1 \right)}
\def\PP#1{\bigl( #1  \bigr)}
\sa  {[Ak]}{\CFname{A}{_k}}
\sa  {[Bk]}{\CFname{B}{_k}}
\sa  {[Ck]}{\CFname{C}{_k}}
\sa  {[Dk]}{\CFname{D}{_k}}
\sa  {[Ek]}{\CFname{E}{_k}}
\sa  {[Fk]}{\CFname{F}{_k}}
%
\sa  {[A0]}{\CFname{A}{_0}}
\sa  {[A1]}{\CFname{A}{_1}}
\sa  {[A2]}{\CFname{A}{_2}}
\sa  {[A3]}{\CFname{A}{_3}}
\sa  {[B0]}{\CFname{B}{_0}}
\sa  {[B1]}{\CFname{B}{_1}}
\sa  {[B2]}{\CFname{B}{_2}}
\sa  {[B3]}{\CFname{B}{_3}}


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m242fhp 1 "title")
% (c3m242fha   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.2}

\bsk

Aula 17: funções homogêneas

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m242fhp 2 "links")
% (c3m242fha   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% 3dT112: (find-LATEX "2021-2-C3-MT2.tex" "title")
%         (c3m212mt2p 3 "itens")
%         (c3m212mt2a   "itens")

% 3eT50: (find-LATEX "2022-1-C3-MT2.tex" "title")
%        (c3m221mt2p 2 "questao")
%        (c3m221mt2a   "questao")

% 3dT158: (find-LATEX "2021-2-C3-P2.tex" "title")
%         (c3m212p2p 3 "questao-1")
%         (c3m212p2a   "questao-1")

% 3eT60: (find-LATEX "2022-1-C3-P2.tex" "title")
%        (c3m221p2p 4 "questoes-3-e-4")
%        (c3m221p2a   "questoes-3-e-4")
%        (c3m221p2p 6 "questao-4-gab")
%        (c3m221p2a   "questao-4-gab")

% 3fT118: (find-LATEX "2022-2-C3-P2.tex" "title")
%         (c3m222p2p 2 "questao-1")
%         (c3m222p2a   "questao-1")

% (find-LATEX "2022-2-C3-dicas-pra-P2.tex" "title")
% (find-LATEX "2022-2-C3-maximos-e-minimos.tex" "title")
% (find-LATEX "2021-2-C3-diag-nums.tex" "title")
% (find-LATEX "2021-2-C3-funcoes-homogeneas.tex" "title")
% (find-LATEX "2022-1-C3-funcoes-homogeneas.tex" "title")
% (find-LATEX "2021-2-C3-taylor-R2.tex" "title")
% (find-angg "LUA/ExprDxDy1.lua" "ExprDxDy-tests-2D3D")

{\footnotesize

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_polynomial}

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function}

}

% (find-angg ".emacs" "c3q232" "17,oct25")
\par \Ca{3hQ50} Quadros da aula 17 (25/out/2023)
\par \Ca{3hQ54} Quadros da aula 18 (27/out/2023)
\par \Ca{3hQ57} Quadros da aula 19 (01/nov/2023)

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "383" "11.3. Formas quadráticas e matrizes")
\par \Ca{Bort11p19} (p.383) 11.3 Formas quadráticas e matrizes definidas

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "850" "14.7 Valores Máximo e Mínimo")
\par \Ca{StewPtCap14p64} (p.850) 14.7 Valores Máximo e Mínimo
\par \Ca{StewPtCap14p65} (p.851) Teste da segunda derivada; D(a,b)

}\anothercol{
}}

\newpage


%  ____       _                _                     _       __     
% |  _ \ _ __(_)_ __ ___   ___(_)_ __ __ _ ___    __| | ___ / _|___ 
% | |_) | '__| | '_ ` _ \ / _ \ | '__/ _` / __|  / _` |/ _ \ |_/ __|
% |  __/| |  | | | | | | |  __/ | | | (_| \__ \ | (_| |  __/  _\__ \
% |_|   |_|  |_|_| |_| |_|\___|_|_|  \__,_|___/  \__,_|\___|_| |___/
%                                                                   
% «primeiras-defs»  (to ".primeiras-defs")
% (c3m232fhp 3 "primeiras-defs")
% (c3m232fha   "primeiras-defs")

{\bf Primeiras definições}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[Ak]} &=& \PP{f(λx) = λ^kf(x)} \\
  \ga{[Bk]} &=& \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
  %\ga{[Ck]} &=& \PP{f(λ(x-x_0)) = λ^kf((x-x_0))} \\
  %\\[-7.5pt]
  %\ga{[Dk]} &=& \PP{g(λx,λy) = λ^kg(x,y)} \\
  %\ga{[Ek]} &=& \PP{g(λΔx,λΔy) = λ^kg(Δx,Δy)} \\
  %\ga{[Fk]} &=& \PP{g(λ(x-x_0),λ(y-y_0)) = λ^kg((x-x_0),(y-y_0))} \\
  \end{array}
$$

Uma função $f:\R→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$} -- abreviação:
h.d.g.$k$ -- quando ela obedece isto,
%
$$\begin{array}{l}
  ∀x,λ∈\R.\; f(λx) = λ^kf(x) \\
  ∀x,λ∈\R.\; \ga{[Ak]} \\
  \end{array}
$$

onde a segunda linha é abreviação da primeira; e uma função $f:\R→\R$
é {\sl homogênea de grau $k$ em $x_0$} -- abreviação: h.d.g.$k$ em
$x_0$ -- quando ela obedece esta condição,
%
$$\begin{array}{l}
  ∀x,λ∈\R.\; \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
  %∀x,λ∈\R.\; \PP{f(λ(x-x_0)) = λ^kf((x-x_0))} \\
  ∀Δx,λ∈\R.\; \ga{[Bk]} \\
  %∀x,λ∈\R.\; \ga{[Ck]} \\
  \end{array}
$$

% Como nós estamos sempre usando $Δx=x-x_0$ as condições $\ga{[Bk]}$ e
% $\ga{[Ck]}$ são equivalentes. Eu vou dizer que $\ga{[Bk]}$ é a
% ``versão bonita'' e $\ga{[Ck]}$ é a ``versão feia''.

}\anothercol{

  Vou definir $\ga{[A2]}$ da forma óbvia:
  %
  $$\begin{array}{rcl}
    \ga{[A2]} &=& \ga{[Ak]} [k:=2] \\
              &=& \PP{f(λx) = λ^2f(x)} \\
    \end{array}
  $$

  $\ga{[A0]}, \ga{[A1]}, \ga{[A3]}, \ldots, \ga{[B1]}, \ga{[B0]},
  \ga{[B2]}, \ga{[B3]}, \ldots$, etc, vão ser todos definidos da mesma
  forma.

  \msk

  Digamos que uma função $f:\R→\R$ é homogênea de grau $2$
  (``h.d.g.2''). Então ela obedece todos os casos particulares de
  $\ga{[A2]}$, incluindo estes aqui:
  %
  $$\begin{array}{rcl}
    \ga{[A2]}\bsm{λ:=3   \\ x:=4}  &=& \PP{f(3·4) = 3^2f(4)} \\
                                   &=& \PP{f(12) = 9f(4)} \\
    \ga{[A2]}\bsm{λ:=1/2 \\ x:=12} &=& \PP{f(\frac12 12) = (\frac12)^2f(12)} \\
                                   &=& \PP{f(6) = \frac14 f(12)} \\
    \end{array}
  $$

  ...e aí se a gente souber o valor de $f(x)$ pra algum $x$ a gente
  consegue descobrir $f(x)$ para todos os outros `$x$'zes!

}}

\newpage

%  ____       _                _                     _       __       ____  
% |  _ \ _ __(_)_ __ ___   ___(_)_ __ __ _ ___    __| | ___ / _|___  |___ \ 
% | |_) | '__| | '_ ` _ \ / _ \ | '__/ _` / __|  / _` |/ _ \ |_/ __|   __) |
% |  __/| |  | | | | | | |  __/ | | | (_| \__ \ | (_| |  __/  _\__ \  / __/ 
% |_|   |_|  |_|_| |_| |_|\___|_|_|  \__,_|___/  \__,_|\___|_| |___/ |_____|
%                                                                           
% «primeiras-defs-2»  (to ".primeiras-defs-2")
% (c3m232fhp 4 "primeiras-defs-2")
% (c3m232fha   "primeiras-defs-2")

{\bf Primeiras definições (2)}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{

Lembre que definimos:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[Ak]} &=& \PP{f(λx) = λ^kf(x)} \\
  \ga{[Bk]} &=& \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
  \end{array}
$$

e que uma função $f:\R→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$}
(``h.d.g.$k$'') -- quando ela obedece isto,
%
$$\begin{array}{l}
  ∀x,λ∈\R.\; \ga{[Ak]} \\
  \end{array}
$$

E uma função $f:\R→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$ em $x_0$}
(``h.d.g.$k$ em $x_0$'') quando ela obedece esta outra condição:
%
$$\begin{array}{l}
  ∀Δx,λ∈\R.\; \ga{[Bk]} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

  {\bf Exercícios}

  a) Digamos que $f:\R→\R$ é h.d.g.2 e que $f(4)=32$. Descubra os
  valores de $f(x)$ para $x=1,2,3,-4,0,-1,-2,-3$.

  \msk

  b) Digamos que $f:\R→\R$ é h.d.g.1 e que $f(4)=32$. Faça uma tabela
  com os valores de $f(x)$ para $x∈\{-4,\ldots,4\}$.

  \msk

  c) Digamos que $f:\R→\R$ é h.d.g.0 e que $f(4)=32$. Faça uma tabela
  com os valores de $f(x)$ para $x∈\{-4,\ldots,4\}$.

  \msk

  d) Digamos que $x_0=10$, que $f:\R→\R$ é h.d.g.1 em $x_0$, e que
  $f(10+4)=32$. Faça uma tabela com os valores de $f(x)$ para
  $x∈\{10-4,\ldots,10+4\}$.

}}


\newpage

%  ____                             _                 _       __     
% / ___|  ___  __ _ _   _ _ __   __| | __ _ ___    __| | ___ / _|___ 
% \___ \ / _ \/ _` | | | | '_ \ / _` |/ _` / __|  / _` |/ _ \ |_/ __|
%  ___) |  __/ (_| | |_| | | | | (_| | (_| \__ \ | (_| |  __/  _\__ \
% |____/ \___|\__, |\__,_|_| |_|\__,_|\__,_|___/  \__,_|\___|_| |___/
%             |___/                                                  
%
% «segundas-defs»  (to ".segundas-defs")
% (c3m232fhp 5 "segundas-defs")
% (c3m232fha   "segundas-defs")

\def\parrayl#1{\P{\begin{array}{l}#1\end{array}}}
\def \arrayl#1{   \begin{array}{l}#1\end{array} }

{\bf Segundas definições}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[Ak]} &=& \PP{f(λx) = λ^kf(x)} \\
  \ga{[Bk]} &=& \PP{f(x_0+λΔx) = λ^kf(x_0+Δx)} \\
  \ga{[Ck]} &=& \PP{g(λx,λy) = λ^kg(x,y)} \\
  \ga{[Dk]} &=& \parrayl{g(x_0+λΔx,y_0+λΔy) \\ = λ^kg(x_0+Δx,y_0+Δy)} \\
  %\ga{[Ck]} &=& \PP{f(λ(x-x_0)) = λ^kf((x-x_0))} \\
  %\\[-7.5pt]
  %\ga{[Dk]} &=& \PP{g(λx,λy) = λ^kg(x,y)} \\
  %\ga{[Ek]} &=& \PP{g(λΔx,λΔy) = λ^kg(Δx,Δy)} \\
  %\ga{[Fk]} &=& \PP{g(λ(x-x_0),λ(y-y_0)) = λ^kg((x-x_0),(y-y_0))} \\
  \end{array}
$$

As definições $\ga{[Ak]}$ e $\ga{[Bk]}$ são as mesmas de antes.

\ssk

Vou dizer que uma função $g:\R^2→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$}
(``h.d.g.$k$'') quando ela obedece isto,
%
$$\begin{array}{l}
  ∀(x,y)∈\R^2.∀λ∈\R.\; \ga{[Ck]} \\
  \end{array}
$$

e vou dizer que uma função $g:\R^2→\R$ é {\sl homogênea de grau $k$}
(``h.d.g.$k$ em $(x_0,y_0)$'') quando ela obedece isto:
%
$$\begin{array}{l}
  ∀(Δx,Δy)∈\R^2.∀λ∈\R.\; \ga{[Dk]} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{


Por exemplo, se $g:\R^2→\R$ é h.d.g.2 em $(10,20)$ então ela obedece
isto...
%
$$\arrayl{g(10+5·3,20+5·4) \\
          = 5^2g(10+3,20+4)}
$$

Você consegue ver quem são $λ$, $Δx$ e $Δy$ neste caso?

\bsk

{\bf Exercício}

a) Digamos que $g:\R^2→\R$ é h.d.g.2 em $(10,20)$ e que
$g(10+3,20+4)=6$. Descubra os valores de $$g(10+λ·3,20+λ·4)$$ para
$λ∈\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$.

\msk

b) Faça a mesma coisa que no item anterior, mas supondo que
$g:\R^2→\R$ é h.d.g.1 em $(10,20)$ ao invés de h.d.g.2 em $(10,20)$.

\msk

c) Idem, mas agora supondo que a $g$ é h.d.g.0 em $(10,20)$.






}}


\newpage

% «exercicio-1-defs»  (to ".exercicio-1-defs")
% (c3m232fhp 6 "exercicio-1-defs")
% (c3m232fha   "exercicio-1-defs")

\def\Rq{\footnotesize\ColorRed{?}}
%L PictBounds.setbounds(v(-5,-5), v(5,5))
%L Numerozinhos.__index.preprocs["?"] = "\\Rq"
%L bigstr = [[ . . ? . . . . . .
%L             . . . . ? . . ? .
%L             . . . ? ? . ? . ?
%L             . . . . 1 2 5 . .
%L             . . ? ? ? 4 ? ? .
%L             . . ? ? ? . . . .
%L             ? . ? . ? 0 . . .
%L             . ? . . ? . . . .
%L             . . . . . . ? . .]]
%L ns = Numerozinhos.from(-4, -4, bigstr)
%L ns:show0({u="25pt"}):sa("exercicio 1?"):output()
%L
%L PictBounds.setbounds(v(-2,-3), v(8,7))
%L ns = Numerozinhos.from(-1, -2, bigstr)
%L ns:show0({u="25pt"}):sa("exercicio 2?"):output()
\pu

\newpage

%  _____                   _      _         _ 
% | ____|_  _____ _ __ ___(_) ___(_) ___   / |
% |  _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \  | |
% | |___ >  <  __/ | | (__| | (__| | (_) | | |
% |_____/_/\_\___|_|  \___|_|\___|_|\___/  |_|
%                                             
% «exercicio-1»  (to ".exercicio-1")
% (c3m232fhp 6 "exercicio-1")
% (c3m232fha   "exercicio-1")

{\bf Exercício 1}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{

Na figura da direita cada numerozinho representa alguma coisa que {\sl
  sabemos} sobre uma certa função $g:\R^2→\R$ homogênea de grau 1 e
cada `$\ColorRed{?}$' representa alguma coisa que {\sl queremos saber}
sobre ela; por exemplo, o 5 na posição (2,1) quer dizer que sabemos
que $g(2,1)=5$ e o `$\ColorRed{?}$' na posição (4,2) quer dizer que
você vai ter que descobrir o valor de $g(4,2)$ e escrever esse valor
sobre a interrogação.

\msk

Complete a figura à direita escrevendo os valores certos sobre as
interrogações.

}\anothercol{

\vspace*{0pt}
$\ga{exercicio 1?}$

}}

\newpage

%  _____                   _      _         ____  
% | ____|_  _____ _ __ ___(_) ___(_) ___   |___ \ 
% |  _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \    __) |
% | |___ >  <  __/ | | (__| | (__| | (_) |  / __/ 
% |_____/_/\_\___|_|  \___|_|\___|_|\___/  |_____|
%                                                 
% «exercicio-2»  (to ".exercicio-2")
% (c3m232fhp 7 "exercicio-2")
% (c3m232fha   "exercicio-2")

{\bf Exercício 2}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{

Na figura da direita cada numerozinho representa alguma coisa que {\sl
  sabemos} sobre uma certa função $g:\R^2→\R$ homogênea de grau
\standout{2} em \standout{$(3,2)$} -- note que isto é bem diferente do
exercício anterior! -- e cada `$\ColorRed{?}$' representa alguma coisa
que {\sl queremos saber} sobre ela; por exemplo, o 5 na posição
$(3+2,2+1)$ quer dizer que sabemos que $g(3+2,2+1)=5$ e o
`$\ColorRed{?}$' na posição $(3+4,3+2)$ quer dizer que você vai ter
que descobrir o valor de $g(3+4,3+2)$ e escrever esse valor sobre a
interrogação.

\msk

Complete a figura à direita escrevendo os valores certos sobre as
interrogações.

}\anothercol{

\vspace*{0pt}
$\ga{exercicio 2?}$

}}


\newpage

% «polinomios-homogeneos»  (to ".polinomios-homogeneos")
% (c3m232fhp 9 "polinomios-homogeneos")
% (c3m232fha   "polinomios-homogeneos")
% (c3m221fhp 2 "exercicio-1")
% (c3m221fha   "exercicio-1")

{\bf Polinômios homogêneos}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{

Normalmente a gente começa a ouvir falar de funções homogêneas por
polinômios homogêneos, que são polinômios que todos os monômios deles
têm o mesmo grau... por exemplo,
%
$$2x^3y^4 + 5x^4y^3 - 6x^7$$

é um polinômio em duas variáveis, $x$ e $y$, que é homogêneo de grau
7, porque $x^3y^4$, $x^4y^3$, e $x^7$ são monômios de grau 7. Qualquer
polinômio em duas variáveis pode ser decomposto em polinômios
homogêneos; por exemplo:
%
$$\def\gra#1{←\;\text{parte homogênea de grau #1}}
  \begin{array}{rcll}
  F(x,y) &=& a                           & \gra0 \\
         &+& bx + cy                     & \gra1 \\
         &+& dx^2 + exy + fy^2           & \gra2 \\
         &+& gx^3 + hxy^2 + jx^2y + ky^3 & \gra3 \\
         &+& \ldots
  \end{array}
$$

Repare que fica implícito que $a, b, \ldots, k, \ldots$ são
constantes.

Veja estas páginas da Wikipedia:

\ssk

{\footnotesize

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_polynomial}

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function}

}

\ssk

Nas figuras da próxima página a coluna da esquerda mostra vários
polinônomios h.d.g.2 \standout{em $(3,2)$}.

}\anothercol{
}}



\newpage

% «alguns-exemplos-defs»  (to ".alguns-exemplos-defs")
% (c3m232fhp 9 "alguns-exemplos-defs")
% (c3m232fha   "alguns-exemplos-defs")
%L
%L -- (find-angg "LUA/ExprDxDy1.lua" "ExprDxDy-tests-abc")
%L V3.threeD = "2D"
%L x0,y0 = 3,2
%L defabc = function (s) ExprDxDy.from(s):abc():output() end
%L defabc     "Dx^2"
%L defabc   "1+Dx^2"
%L defabc   "2+Dx^2"
%L defabc          "Dy^2"
%L defabc        "1+Dy^2"
%L defabc        "2+Dy^2"
%L defabc     "Dx^2+Dy^2"
%L defabc   "1+Dx^2+Dy^2"
%L defabc   "2+Dx^2+Dy^2"
%L
%L defabc     "Dx^2-Dy^2"
%L defabc   "2+Dx^2-Dy^2"
%L
%L defabc     "Dx*Dy"
%L defabc   "2+Dx*Dy"
\pu

\def\exprdxdyabc#1{\ensuremath{
  \ga{#1 1D} \quad
  \ga{#1 2D} \quad
  \ga{#1 3D}
  }}

\def\mabc#1{\ensuremath{
  \ga{#1 1D} &
  \scalebox{0.8}{\ga{#1 2D}} &
  \ga{#1 3D}
  }}

\newpage

% «alguns-exemplos»  (to ".alguns-exemplos")
% (c3m232fhp 8 "alguns-exemplos")
% (c3m232fha   "alguns-exemplos")

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{

$\begin{array}[t]{rcc}
 \mabc  {Dx^2}      \\
 \mabc       {Dy^2} \\
 \mabc  {Dx^2+Dy^2} \\ \\
 \mabc  {Dx^2-Dy^2} \\
 \mabc      {Dx*Dy} \\
 \end{array}
$

}\anothercol{

$\begin{array}[t]{rcc}
 \mabc      {2+Dx^2} \\
 \mabc      {2+Dy^2} \\
 \mabc {2+Dx^2+Dy^2} \\ \\
 \mabc {2+Dx^2-Dy^2} \\
 \mabc     {2+Dx*Dy} \\
 \end{array}
$

}}

\newpage

% «maxima»  (to ".maxima")
% (c3m232fhp 10 "maxima")
% (c3m232fha   "maxima")
% (find-es "maxima" "radcan-homogeneous")

%M (%i1) /* f:R->R, homogeneous of degree k */
%M f(x) := a * x^k;
%M (%o1) f\left(x\right):=a\,x^{k}
%M (%i2) f(x0);
%M (%o2) a\,x_0^{k}
%M (%i3) f(m*x0);
%M (%o3) a\,\left(m\,x_0\right)^{k}
%M (%i4) o  : f(m*x0) = m^k * f(x0);
%M (%o4) a\,\left(m\,x_0\right)^{k}=a\,m^{k}\,x_0^{k}
%M (%i5) o2 : radcan(o);
%M (%o5) a\,m^{k}\,x_0^{k}=a\,m^{k}\,x_0^{k}
%M (%i6) is(o);    /* false because "is" is dumb */
%M (%o6) \mathbf{false}
%M (%i7) is(o2);   /* true */
%M (%o7) \mathbf{true}
%M (%i8) 
%L maximahead:sa("contas1", "")
\pu

%M (%i8)   /* f:R->R, homogeneous of degree 2 */
%M (%i8)      f(   x,   y) := a*x^2 + b*x*y + c*y^2;
%M (%o8) f\left(x , y\right):=a\,x^2+b\,x\,y+c\,y^2
%M (%i9)      f(  x0,  y0);
%M (%o9) c\,y_0^2+b\,x_0\,y_0+a\,x_0^2
%M (%i10)      f(m*x0,m*y0);
%M (%o10) c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2
%M (%i11) o  : f(m*x0,m*y0) = m^2 * f(x0,y0);
%M (%o11) c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2=m^2\,\left(c\,y_0^2+b\,x_0\,y_0+a\,x_0^2\right)
%M (%i12) o2 : radcan(o);
%M (%o12) c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2=c\,m^2\,y_0^2+b\,m^2\,x_0\,y_0+a\,m^2\,x_0^2
%M (%i13) is(o);    /* false because "is" is dumb */
%M (%o13) \mathbf{false}
%M (%i14) is(o2);   /* true */
%M (%o14) \mathbf{true}
%M (%i15) 
%L maximahead:sa("contas2", "")
\pu

%M (%i15)   /* f:R->R, homogeneous of degree 3 */
%M (%i15)      f(   x,   y) := a*x^3 + b*x^2*y + c*x*y^2 + d*y^3;
%M (%o15) f\left(x , y\right):=a\,x^3+b\,x^2\,y+c\,x\,y^2+d\,y^3
%M (%i16)      f(  x0,  y0);
%M (%o16) d\,y_0^3+c\,x_0\,y_0^2+b\,x_0^2\,y_0+a\,x_0^3
%M (%i17)      f(m*x0,m*y0);
%M (%o17) d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3
%M (%i18) o  : f(m*x0,m*y0) = m^3 * f(x0,y0);
%M (%o18) d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3=m^3\,\left(d\,y_0^3+c\,x_0\,y_0^2+b\,x_0^2\,y_0+a\,x_0^3\right)
%M (%i19) o2 : radcan(o);
%M (%o19) d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3=d\,m^3\,y_0^3+c\,m^3\,x_0\,y_0^2+b\,m^3\,x_0^2\,y_0+a\,m^3\,x_0^3
%M (%i20) is(o);    /* false because "is" is dumb */
%M (%o20) \mathbf{false}
%M (%i21) is(o2);   /* true */
%M (%o21) \mathbf{true}
%M (%i22) 
%L maximahead:sa("contas3", "")
\pu


\def\hboxthreewidth {12cm}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
\ga{contas1}
}\anothercol{
}}

\def\hboxthreewidth {15cm}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\ga{contas2}
}\anothercol{
}}

\def\hboxthreewidth {18cm}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{18cm}\firstcol{
\ga{contas3}
}\anothercol{
}}


\newpage

% «diags-sinais-em-R»  (to ".diags-sinais-em-R")
% (c3m232fhp 13 "diags-sinais-em-R")
% (c3m232fha    "diags-sinais-em-R")
% (c3m212dnp 12 "exercicio-5")
% (c3m212dna    "exercicio-5")


{\bf Exercício 5.}

Relembre o que era o ``estudo do sinal de uma função''

que você deve ter visto em Cálculo 1, e faça um diagramas

indicando em que intervalos cada uma das funções abaixo

é positiva, negativa, ou zero.

\ssk

Dica: veja este vídeo, sobre diagramas de sinais em $\R^2$:

\ssk

{\scriptsize

% (c3m211qa "video-2")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-2.mp4}

\url{https://www.youtube.com/watch?v=noVh-RsK5Jo}

}

\msk

a) $x$

b) $x+1$

c) $x(x+1)$

d) $4-x$

e) $x(x+1)(4-x)$

\newpage

% «exercicio-6»  (to ".exercicio-6")
% (c3m212dnp 13 "exercicio-6")
% (c3m212dna    "exercicio-6")
% (c3m211qp 8 "exercicio-3")
% (c3m211qa   "exercicio-3")

{\bf Exercício 6.}

Agora adapte essa idéia do diagrama do sinal para $\R^2$,

no quadrado com $x∈[x_0-1,x_0+1]$ e $y∈[y_0-1,y_0+1]$,

e faça o diagrama do sinal para cada uma das funções abaixo.

Dica: veja este vídeo, sobre diagramas de sinais em $\R^2$:

\ssk

{\scriptsize

% (c3m211qa "video-2")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-2.mp4}

\url{https://www.youtube.com/watch?v=noVh-RsK5Jo}

}

\msk

\begin{tabular}[t]{l}
a) $Δx$   \\
b) $Δx^2$ \\
c) $Δy$   \\
d) $ΔxΔy$ \\
e) $Δx+Δy$ \\
f) $Δx-Δy$ \\
g) $(Δx+Δy)^2$ \\
h) $(Δx-Δy)^2$ \\
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}[t]{l}
i) $(Δx+Δy)(Δx-Δy)$ \\
j) $(Δx+Δy)Δx$ \\
k) $-(Δx+Δy)^2$ \\
\end{tabular}


\newpage

% «exercicio-7»  (to ".exercicio-7")
% (c3m212dnp 14 "exercicio-7")
% (c3m212dna    "exercicio-7")
% (c3m211qp 9 "exercicio-4")
% (c3m211qa   "exercicio-4")

{\bf Exercício 7.}

A partir de agora vamos considerar que:
%
$$\begin{array}{rcl}
  x &=& x(t) \\
    &=& x(t_1) \\
    &=& x_0 + α·(t_1-t_0) \\
    &=& x_0 + αΔt \\
  y &=& y(t) \\
    &=& y(t_1) \\
    &=& y_0 + β·(t_1-t_0) \\
    &=& y_0 + βΔt \\
  \end{array}
$$

Onde $t_0=5$; $x_0$ e $y_0$ continuam os mesmos de antes,

e $α$ e $β$ são constantes cujos valores podem depender

do contexto.

\newpage

{\bf Exercício 7 (cont.)}

A trajetória $(x(t), y(t))$ é sempre um movimento

retilíneo uniforme pra quaisquer valores de $α$ e $β$.

\ssk

a) Calcule $\VEC{x_t, y_t}$.

\bsk

Cada escolha de valores para $α$ e $β$ dá uma trajetória

diferente. Nos itens abaixo você vai visualizar algumas

dessas trajetórias e vai desenhá-las no papel --- desta

forma aqui: você vai marcar no plano os pontos

$(x(t_0+Δt), y(t_0+Δt))$ para $Δt=-1,0,1$, vai escrever

``$Δt=-1$'', ``$Δt=0$'' e ``$Δt=1$'' do lado dos pontos

correspondentes a esses valores de $Δt$, e ao lado de

cada desenho você vai escrever os valores de $α$ e $β$.

\msk

b) Desenhe a trajetória associada a $α=1$, $β=0$.

c) Desenhe a trajetória associada a $α=0$, $β=1$.

\newpage

{\bf Exercício 7 (cont.)}

...e além disso você vai escrever algo como ``Leste'' (ou ``E''),

``Noroeste'' (ou ``NW'') do lado de cada um dos seus desenhos

de trajetórias pra indicar em que direção o ponto $(x,y)$ está

andando. Use a convenção que costuma ser usada em mapas,

matemática e videogames, em que o Leste é pra direita e o

Norte é pra cima:
%
% (find-latexscan-links "C3" "20210813_direcoes")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210813_direcoes.pdf")
$$\includegraphics[height=3.5cm]{2021-1-C3/20210813_direcoes.pdf}
$$

\newpage

{\bf Exercício 7 (cont.)}

\ssk

d) Desenhe a trajetória associada a $α=0$, $β=-1$

e diga o nome da direção dela.

\ssk

e) Desenhe a trajetória associada a $α=-1$, $β=1$.

e diga o nome da direção dela.

\ssk

f) Quais são os valores mais simples de $α$ e $β$ ---

onde ``simples'' quer dizer ``$0$, $1$ ou $-1$'' --- que fazem

a trajetória ir pro nordeste? E pro sudoeste?

\bsk
\bsk

Nos próximos exercícios eu vou me referir a essas

trajetórias em que $α$ e $β$ são números ``simples''

pelos \ColorRed{nomes das direções} delas.


\newpage

% «zt-e-ztt-intro»  (to ".zt-e-ztt-intro")
% (c3m211qp 13 "zt-e-ztt-intro")
% (c3m211qa    "zt-e-ztt-intro")

{\bf O significado geométrico de $z_t$}

Nós sabemos calcular $z$, $z_t$ e $z_{tt}$ a partir de $t$,

e sabemos calcular $z$, $z_t$ e $z_{tt}$ em $t_0$.

\ssk

Com um pouquinho de esforço você deve ser

capaz de visualizar o que acontece perto de $t_0$...

o valor da primeira derivada, $(z_t)(t_0)$, diz o seguinte:

\def\LR{$\Longleftrightarrow$}

\msk

\begin{tabular}{lll}
$z$ aumenta quando $t$ aumenta (``crescente'')   &\LR& $(z_t)(t_0)>0$ \\
$z$ ``fica horizontal'' quando $t$ aumenta       &\LR& $(z_t)(t_0)=0$ \\
$z$ diminui quando $t$ aumenta (``decrescente'') &\LR& $(z_t)(t_0)<0$ \\
\end{tabular}

\bsk
\bsk

\ColorRed{

Veja o vídeo!!!

}

\ssk

{\footnotesize

% (c3m211qa "video-3")

\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-3.mp4}

\url{https://www.youtube.com/watch?v=VwowES6EM3Y}

}

\newpage

% «signif-geom-ztt»  (to ".signif-geom-ztt")
% (c3m212dnp 19 "signif-geom-ztt")
% (c3m212dna    "signif-geom-ztt")

{\bf O significado geométrico de $z_{tt}$}

Nos casos em que $z$ ``fica horizontal'' nós vamos usar

a segunda derivada, $(z_{tt})(t_0)$, pra ver se o gráfico de

$z(t)$ ``parece uma parábola'' ao redor de $t_0$, e se essa

parábola tem concavidade pra cima ou pra baixo:

\msk

\begin{tabular}{lll}
concavidade pra cima  &\LR& $(z_{tt})(t_0)>0$ \\
``parece horizontal'' &\LR& $(z_{tt})(t_0)=0$ \\
concavidade pra baixo &\LR& $(z_{tt})(t_0)<0$ \\
\end{tabular}

\bsk

Eu usei muitos termos informais de propósito.

No \ColorRed{próximo exercício} você vai tentar descobrir

\ColorRed{sem fazer contas} qual é o comportamento da $z$

em torno de $t_0$, e no \ColorRed{outro exercício} você vai

\ColorRed{fazer as contas} e vai ver se o seu olhômetro

funcionou direito.


\newpage

% «exercicio-8»  (to ".exercicio-8")
% (c3m212dnp 20 "exercicio-8")
% (c3m212dna    "exercicio-8")
% (c3m211qp 15 "exercicio-5")
% (c3m211qa    "exercicio-5")

{\bf Exercício 8.}

\unitlength=20pt


Em cada um dos desenhos dos próximos slides diga

o que acontece quando a trajetória $(x(t),y(t))$ anda

em uma das oito direções simples, que são:

\msk

norte, nordeste, leste, sudeste,

sul, sudoeste, oeste, noroeste.

\bsk

Use estas categorias na suas respostas:

\msk

$z$ cresce

$z$ decresce

$z$ faz uma parábola com concavidade pra cima

$z$ faz uma parábola com concavidade pra baixo

$z$ é ``muito horizontal''



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C3-funcoes-homogeneas")
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2023-2-C3-funcoes-homogeneas")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3fh"
% ee-tla: "c3m242fh"
% End:
