|
Warning: this is an htmlized version!
The original is here, and the conversion rules are here. |
% (find-LATEX "2024-2-C2-fracoes-parciais.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C2-fracoes-parciais.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C2-fracoes-parciais.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-fracoes-parciais.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-fracoes-parciais.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C2-fracoes-parciais"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2024-2-C2-fracoes-parciais")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% file:///tmp/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% file:///tmp/pen/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C2-fracoes-parciais" "2" "c2m242fp" "c2fp")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.defs-fracoes-parciais» (to "defs-fracoes-parciais")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.links-quadros» (to "links-quadros")
% «.links-livros» (to "links-livros")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
% «defs-fracoes-parciais» (to ".defs-fracoes-parciais")
\def\eqnpfull#1{\overset{\scriptscriptstyle(#1)}{=}}
\def\eqnpbare#1{=}
\def\eqnp {\eqnpfull}
\def\redname#1{{\color{Red3}\text{#1}}}
\sa{II} {\redname{[II]}}
\sa{DFI}{\redname{[DFI]}}
\sa{RC} {\redname{[RC]}}
\def\P #1{\left( #1 \right)}
\def\Pbig#1{\big ( #1 \big)}
\def\PBig#1{\Big ( #1 \Big)}
\sa{(II)} {\P{\D \intx{f'(x)} \;=\; f(x)}}
\sa{(RC)} {\PBig{\ddx f(g(x)) \;=\; f'(g(x))g'(x) }}
\sa{(DFI)}{\P{\def\eqnp{\eqnpbare}
\begin{array}{rcl}
f(g(x)) &\eqnp{1}& x \\
\ddx f(g(x)) &\eqnp{2}& \ddx x \\
&\eqnp{3}& 1 \\
\ddx f(g(x)) &\eqnp{4}& f'(g(x))g'(x) \\
f'(g(x))g'(x) &\eqnp{5}& 1 \\
g'(x) &\eqnp{6}& \D \frac{1}{f'(g(x))} \\
\end{array}}}
\def\together {\mathsf{together}}
\def\togetherp#1{\mathsf{together}\left(#1\right)}
\def\apart {\mathsf{apart}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m242fpp 1 "title")
% (c2m242fpa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.2}
\bsk
Aulas 17 a 19: Frações parciais
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m242fpp 2 "links")
% (c2m242fpa "links")
% (c2m232fpp 1 "links")
% (c2m232fpa "links")
% (c2m231fpp 2 "links")
% (c2m231fpa "links")
% (c2m202itp 2 "div-polis")
% (c2m202it "div-polis")
% (c2m221dfip 5 "demonstracao-complicada")
% (c2m221dfia "demonstracao-complicada")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
% 2hT90: (c2m232fpp 1 "title")
% (c2m232fpa "title")
\par \Ca{2hT90} (2023.2) Versão anterior destes slides
\msk
% «links-quadros» (to ".links-quadros")
% 2jQ32: (find-angg ".emacs" "c2q242" "29/10: Frações parciais")
% 2iQ33: (find-angg ".emacs" "c2q241" "abr09:" "frações parciais")
% 2hQ31: (find-angg ".emacs" "c2q232" "sep19: Frações parciais")
% 2gQ30: (find-angg ".emacs" "c2q231" "may19: Frações parciais")
% 2fQ17: (find-angg ".emacs" "c2q222" "set21: frações parciais")
Quadros:
\par \Ca{2jQ32} (2024.2) 29/out/2024
\par \Ca{2iQ33} (2024.1) 09/abr/2024
\par \Ca{2hQ31} (2023.2) 19/set/2024
\par \Ca{2hQ37} (2023.2) 20/set/2023
\par \Ca{2gQ30} (2023.1) 19/mai/2023
\par \Ca{2fQ17} (2022.2) 21/set/2022
\par \Ca{2yQ43} (2019.2) 13/out/2019
\par \Ca{2yQ106} (2019.2) 13/nov/2019: polinômios em duas variáveis
\par \Ca{2xQ26} (2019.1) 17/mai/2029
\msk
% «links-livros» (to ".links-livros")
\par Seções sobre frações parciais nos livros:
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 438" "7.4" "Frações Parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17 551" "9.5" "frações parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "240" "8.1 Frações Parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj-c1v1" "75" "23" "frações parciais - primeira parte")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj-c1v1" "91" "24" "frações parciais - segunda parte")
\par \Ca{StewPtCap7p23} (p.438) Seção 7.4
\par \Ca{Leit9p24} (p.551) Seção 9.5
\par \Ca{Miranda240} Seção 8.1: Frações parciais
\par \Ca{CederjC2V2p77} (p.75) 23. Frações parciais - primeira parte
\par \Ca{CederjC2V2p93} (p.91) 24. Frações parciais - segunda parte
\msk
\bsk
Eu tentei fazer um programa pra typesettear essas figuras mas o
resultado ficou feio -- \Ca{2bT212} -- e eu ainda não tive tempo de
melhorá-lo.
% «lua-feio» (to ".lua-feio")
% (c2m202itp 2 "div-polis")
% (c2m202it "div-polis")
\msk
Polinômios de Laurent em Maxima:
\par \url{http://anggtwu.net/MAXIMA/laurent1.mac.html}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «sobre-as-provas» (to ".sobre-as-provas")
% (c2m231fpp 3 "sobre-as-provas")
% (c2m231fpa "sobre-as-provas")
{\bf Sobre as questões de prova}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{6.75cm}\firstcol{
A P1 vai ter uma questão em que você vai ter que resolver uma integral
como essa aqui:
%
$$\intx{\frac{ax+b}{cx^2+dx+e}}$$
A VR e a VS vão ter questões em que você vai ter que resolver
integrais de ``funções racionais impróprias'', como isto aqui,
%
$$\intx{\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{ex^2+fx+g}}$$
em que você vai precisar de divisão de polinômios com resto.
% 2xQ26 -> (c2q191 26 "20190517" "Frações parciais; truques com polinômios")
% 2yQ43 -> (c2q192 43 "20190913 gde aula 9: ...parte 2: truques com polinômios, Heaviside")
% 2yQ106
% 2bT212
}\anothercol{
Neste semestre eu vou considerar que frações parciais são
principalmente uma desculpa pra gente aprender duas coisas: a) um
jeito de lidar com polinômios que vai nos permitir fazer um montão de
contas com polinômios ou de cabeça ou escrevendo muito pouco, e b) um
caso que a gente precisa usar um pouquinho de Álgebra Linear --
``resolver um sistema'' -- pra transformar uma integral complicada em
outra mais simples.
\bsk
{\sl A gente só vai ver os casos em que o polinômio do denominador tem
raízes reais e essas raízes são todas diferentes.}
}}
% (find-angg ".emacs" "c2q191")
% (find-angg ".emacs" "c2q191" "Frações parciais")
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% (find-angg ".emacs" "c2q192" "funções racionais")
% 2xQ26 -> (c2q191 26 "20190517" "Frações parciais; truques com polinômios")
% 2yQ43 -> (c2q192 43 "20190913 gde aula 9: ...parte 2: truques com polinômios, Heaviside")
% 2yQ106
% 2bT212
\newpage
% «1-sobre-x» (to ".1-sobre-x")
% (c2m231fpp 4 "1-sobre-x")
% (c2m231fpa "1-sobre-x")
{\bf A integral do $\frac 1x$}
% (c2m221dfip 5 "demonstracao-complicada")
% (c2m221dfia "demonstracao-complicada")
\def\casespn#1#2{
\begin{cases}
#1 & \text{quando $0<x$}, \\
#2 & \text{quando $x<0$} \\
\end{cases}}
% (c2m212intsp 8 "dfi")
% (c2m212intsa "dfi")
\scalebox{0.47}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Lembre que:
\msk
$\begin{array}{rcl}
\ga{II} &=& \ga{(II)} \\
\ga{RC} &=& \ga{(RC)} \\
\ga{DFI} &=& \ga{(DFI)} \\
\end{array}
$
\bsk
e que eu estou usando uma definição pra integral
indefinida na qual as duas igualdades abaixo
são equivalentes:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) \;\;\;\;\; &=& \ddx \, g(x) \\
\D \intx{f(x)} &=& \;\;\;\; g(x) \\
\end{array}
$$
Ou seja, pra mim o `$+C$' é opcional.
\msk
Me contaram que o Reginaldo dá errado pra quem
não escreve o `$+C$', então se você for fazer C2 com
ele no próximo semestre não esqueça o `$+C$'!!!
\bsk
{\bf Exercício 1}
Calcule a integral abaixo. Dica: $u=bx+c$.
%
$$\intx{\frac{a}{bx+c}}$$
}\anothercol{
Temos:
\msk
$\begin{array}{rcl}
\exp(\ln(x)) &\eqnp1& x \\
\ln' x &\eqnp2& 1/\exp'(\ln(x)) \\
&\eqnp3& 1/\exp(\ln(x)) \\
&\eqnp4& 1/x \\
\ddx f(g(x)) &\eqnp5& f'(g(x))g'(x) \\
\ddx \ln(-x) &\eqnp6& \ln'(-x)·-1 \\
&\eqnp7& 1/(-x)·-1 \\
&\eqnp8& 1/x \\
\ln|x| &\eqnp9& \casespn{\ln x}{\ln -x} \\
\ddx \ln|x| &\eqnp{10}& \ddx \casespn{\ln x}{\ln -x} \\
&\eqnp{11}& \casespn{\ddx \ln x}{\ddx \ln -x} \\
&\eqnp{12}& \casespn{1/x}{1/x} \\
&\eqnp{13}& 1/x \\
1/x &\eqnp{14}& \ddx \ln x \\
1/x &\eqnp{15}& \ddx \ln(-x) \\
1/x &\eqnp{16}& \ddx \ln|x| \\
\intx{\frac1x} &\eqnp{17}& \ln x \\
\intx{\frac1x} &\eqnp{18}& \ln(-x) \\
\intx{\frac1x} &\eqnp{19}& \ln |x| \\
\end{array}
$
}}
\newpage
% «contas-sem-vai-um» (to ".contas-sem-vai-um")
% (c2m231fpp 5 "contas-sem-vai-um")
% (c2m231fpa "contas-sem-vai-um")
% (c2m222fpp 3 "contas-sem-vai-um")
% (c2m222fpa "contas-sem-vai-um")
% (c2m202fpp 6 "contas-sem-vai-um")
% (c2m202fp "contas-sem-vai-um")
{\bf Contas sem ``vai um'' e polinômios}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{
Compare esta conta com números,
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_1.pdf")
\includegraphics[width=7cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_1.pdf}
\bsk
Com esta conta com polinômios:
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_2.pdf")
\includegraphics[width=5cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_2.pdf}
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_3.pdf")
\includegraphics[width=7cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_3.pdf}
}\anothercol{
{\bf Exercício 2}
Traduza a conta com polinômios da esquerda pra notação de caixinhas
daqui: \Ca{2xQ26}, \Ca{2yQ43}.
\bsk
{\bf Exercício 3}
Traduza a conta abaixo pra notação de caixinhas:
%
$$\begin{array}{l}
\D \frac{2}{x+3} + \frac{4}{x-5} \\\\[-7pt]
\D = \;\; \frac{2(x-5)}{(x+3)(x-5)} + \frac{(x+3)4}{(x+3)(x-5)} \\\\[-7pt]
\D = \;\; \frac{2(x-5) + (x+3)4}{(x+3)(x-5)} \\\\[-7pt]
\end{array}
$$
}}
\newpage
% «funcoes-racionais» (to ".funcoes-racionais")
% (c2m231fpp 6 "funcoes-racionais")
% (c2m231fpa "funcoes-racionais")
{\bf Funções racionais}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
{\bf Exercício 4}
Entenda a definição de ``função racional própria'' daqui --
\Ca{Miranda240} -- e acrescente mais linhas nas contas do exercício 3
pra ``simplificar'' o resultado até ele virar uma ``função racional
própria''. Faça isso tanto na notação usual quanto na notação de
caixinhas.
\bsk
{\bf Exercício 5}
Entenda as contas do Exemplo 8.1 daqui -- \Ca{Miranda241} -- e
transforme a expressão abaixo numa função racional imprópria:
%
$$1000x^2 + 100x + 10 + \frac{2}{x+3} + \frac{4}{x-5}$$
\bsk
{\bf Exercício 6}
Isto aqui é verdade:
%
$$\frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-5} = \frac{(A+B)x + (-5A+3B)}{x^2 - 2x - 15}
$$
mostre porquê ``aumentando o nível de detalhe'' -- transforme a
igualdade acima numa série de igualdades na qual cada passo seja bem
fácil de verificar.
}\anothercol{
{\bf Exercício 7}
Resolva:
\ssk
a) $(A+B)x + (-5A+3B) = 9x+11$
\ssk
b) $\D \frac{(A+B)x + (-5A+3B)}{x^2 - 2x - 15} = \frac{9x+11}{x^2 - 2x - 15}$
\ssk
c) $\D \frac{(A+B)x + (-5A+3B)}{x^2 - 2x - 15} = \frac{2x+7}{x^2 - 2x - 15}$
\ssk
d) $\D \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-5} = \frac{2x+7}{x^2 - 2x - 15}$
\ssk
e) $\D \intx{\frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-5}}$
\ssk
f) $\D \intx{\frac{2x+7}{x^2 - 2x - 15}}$
\bsk
\bsk
\bsk
{\bf Exercício 8}
(Bem trabalhoso, pra casa!)
Mostre como organizar a solução do (7f) em
várias séries de igualdades fáceis de justificar,
como no slide 3. Você pode precisar de algumas
coisinhas em português, como na última página
do PDF de 2022.2: \Ca{2fT137}.
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T f : A/(x+3) + B/(x-5);
%T ratsimp(f);
%T linsolve ([A+B, -5*A+3*B] - [2,7], [A, B]);
%T subst([A=2, B=7], [A+B, -5*A+3*B]);
% (find-es "maxima" "linsolve")
}}
\newpage
\standout{Aviso:} Todos os slides a partir daqui são antigos!
Assim que der eu vou fazer uma faxina neles
e deixar só o que ainda serve!!!
% «div-polis» (to ".div-polis")
% (c2m222fpp 4 "div-polis")
% (c2m222fpa "div-polis")
% (c2m202fpp 7 "div-polis")
% (c2m202fp "div-polis")
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m222fpp 5 "exercicio-1")
% (c2m222fpa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1}
\sa{[RC]}{\CFname{RC}{}}
\sa {RC} {\ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)}
\sa{(RC)}{\left(\ga{RC}\right)}
Algumas consequências da regra da cadeia...
%
$$\ga{[RC]} \;=\; \ga{(RC)}$$
Obtenha os seguintes casos particulares da \ga{[RC]}:
\msk
a) $g(x) = 2x$
b) $g(x) = 2x+3$
c) $g(x) = x+3$
d) $g(x) = x+3$, $f(x)=\ln x$
e) $g(x) = -x$
f) $g(x) = -x$, $f(x) = \ln x$
g) $g(x) = -x+200$, $f(x) = \ln x$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m222fpp 6 "exercicio-2")
% (c2m222fpa "exercicio-2")
% (c2m201fracparcp 1 "title")
% (c2m201fracparc "title")
% (c2m202fpp 2 "exercicio-1")
% (c2m202fp "exercicio-1")
{\bf Exercício 2.}
\msk
a) $\D \intx{\frac{1}{3x}} = \ColorRed{?}$
\ssk
b) $\D \intx{\frac{1}{3x+4}} = \ColorRed{?}$
\ssk
c) $\D \intx{\frac{2}{3x+4}} = \ColorRed{?}$
\ssk
d) $\D \intx{\frac{a}{bx+c}} = \ColorRed{?}$
\newpage
% «derivadas-formais» (to ".derivadas-formais")
% (c2m222fpp 7 "derivadas-formais")
% (c2m222fpa "derivadas-formais")
{\bf Derivadas formais (de novo)}
Todas estas igualdades são verdadeiras,
mas se tentarmos formalizar elas com
todos os detalhes vamos ver que várias delas
falam de funções com domínios diferentes...
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
\ddx \ln x &=& \frac1x \\
\ddx \ln (-x) &=& \frac1x \\
\ddx \ln |x| &=& \frac1x \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}[t]{rcl}
\intx{\frac1x} &=& \ln(x) \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(x) + C \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(-x) \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(-x) + C \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(|x|) \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(|x|) + C \\
\intx{\frac1x} &=&
\begin{cases}
\ln(-x) + C_1 & \text{quando $x<0$}, \\
\ln(x) + C_2 & \text{quando $x>0$} \\
\end{cases} \\
\end{array}
$$
\newpage
% _____ _ _
% |_ _|__ __ _ ___| |_| |__ ___ _ __
% | |/ _ \ / _` |/ _ \ __| '_ \ / _ \ '__|
% | | (_) | (_| | __/ |_| | | | __/ |
% |_|\___/ \__, |\___|\__|_| |_|\___|_|
% |___/
%
% «together» (to ".together")
% (c2m222fpp 8 "together")
% (c2m222fpa "together")
% (c2m212fpp 3 "together")
% (c2m212fpa "together")
% (c2m202fpp 3 "together")
% (c2m202fp "together")
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_2.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_2.pdf}
% (find-es "sympy" "tut-apart")
% (find-es "sympy" "tut-together")
% (find-es "maxima" "partial-fractions")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-isympy)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-isympy)
%T f = 1/(x+1) + 1/(x-1)
%T f
%T g = together(f)
%T g
%T apart(g)
%T
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T f : 2/(x+3) + 4/(x-5);
%T g : ratsimp(f);
%T ff : partfrac(g, x);
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m222fpp 9 "exercicio-3")
% (c2m222fpa "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
\msk
a) $\D \togetherp{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}} = \ColorRed{?}$
\ssk
b) $\D \togetherp{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}} = \ColorRed{?}$
\ssk
c) $\D \togetherp{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c}} = \ColorRed{?}$
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_3.pdf")
%\includegraphics[height=7cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_3.pdf}
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m222fpp 10 "exercicio-4")
% (c2m222fpa "exercicio-4")
% (c2m212fpp 5 "exercicio-3")
% (c2m212fpa "exercicio-3")
{\bf Exercício 4.}
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_4.pdf")
\includegraphics[height=7cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_4.pdf}
\newpage
% «exercicio-4a» (to ".exercicio-4a")
% (c2m222fpp 11 "exercicio-4a")
% (c2m222fpa "exercicio-4a")
% (c2m212fpp 6 "exercicio-3-maxima")
% (c2m212fpa "exercicio-3-maxima")
% (find-es "maxima" "partial-fractions")
{\bf Exercício 4: uma solução pro item (a)}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T f1 : A/(x-a) + B/(x-b);
%T f2 : ratsimp(f1);
%T (f1 = f2);
%T f3 : (c*x+d) / (x^2+e*x+f);
%T fs : [e=-a-b, f=a*b, c=A+B, d=-A*b-a*B];
%T f4 : subst(fs, f3);
%T f2 - f4;
%T **
%T g1 : (2*x + 3) / (x^2 - 7*x + 10)$
%T g2 : partfrac(g1, x)$
%T (g1 = g2);
%T g2;
%T f1;
%T gs : [b=5, B=13/3, a=2, A=-7/3];
%T subst(gs, f1);
%T ratsimp(subst(gs, f1) - g1);
\sa{f1}{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}}
\sa{f1.5}{\frac{A(x-b)}{(x-a)(x-b)} + \frac{B(x-a)}{(x-a)(x-b)}}
\sa{f1.6}{\frac{A(x-b) + B(x-a)}{(x-a)(x-b)}}
\sa{f2}{\frac {(A+B)x + (-Ab-Ba)} {x^2 + (-a-b)x + ab}}
\sa{f3}{\frac {cx+d} {x^2+ex+f}}
\sa{g1}{\frac {2x+3} {x^2-7x+10}}
\sa{g2}{\frac {2x+3} {(x-2)(x-5)}}
\sa{g3}{\frac {A(x-2)} {(x-2)(x-5)} + \frac {B(x-5)} {(x-2)(x-5)}}
\msk
a) $\scalebox{1.0}{$
\begin{array}[t]{rcl}
\ga{f1} &=& \ga{f3} \\[7pt]
\ga{f1} &=& \ga{f1.5} \\[6pt]
&=& \ga{f1.6} \\[6pt]
&=& \ga{f2} \\[7pt]
c &=& A+B \\
d &=& -Ab-Ba \\
e &=& -a-b \\
f &=& ab \\[15pt]
\end{array}
$}
$
\newpage
% «exercicio-4a-2» (to ".exercicio-4a-2")
% (c2m222fpp 12 "exercicio-4a-2")
% (c2m222fpa "exercicio-4a-2")
{\bf Exercício 4: uma solução pro item (a), cont...}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Dá pra gente reescrever isso usando o `$[:=]$':
%
$$\begin{array}{l}
\left( \ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f3} \right)
\bsm{ c:=A+B \\ d:=-Ab-Ba \\ e:=-a-b \\ f:=ab} \\[15pt]
= \left( \ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f2} \right),
\end{array}
$$
e sabemos que esta igualdade é verdade:
%
$$\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f2}$$
então isto aqui
%
$$\begin{array}{rcl}
c &=& A+B \\
d &=& -Ab-Ba \\
e &=& -a-b \\
f &=& ab \\
\end{array}
$$
é \ColorRed{uma} solução para a equação
%
$$\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f3} \;\; ...$$
mas não sabemos se é a \ColorRed{única} solução!
}\anothercol{
Sempre dá pra escrever soluções de equações
usando o `$[:=]$'. Por exemplo, as duas soluções
da equação
%
$$ (x-2)(x-5) = 0:$$
São:
%
$$\begin{array}{l}
\left( (x-2)(x-5)=0 \right) [x:=2] \; = \\
\left( (2-2)(2-5)=0 \right) \\
\left( (x-2)(x-5)=0 \right) [x:=5] \; = \\
\left( (5-2)(5-5)=0 \right) \\
\end{array}
$$
\ColorRed{Nenhum} livro ``\ColorRed{básico}'' define
``solução de uma equação'' desse jeito ---
como ``a substituição que transforma a
equação numa igualdade verdadeira'' ---
mas eu acho isso um bom modo de
entender o que são ``equações'' e
``soluções''...
\msk
Ah, note que eu não fiquei repetindo a
condição ``as suas fórmulas para $c,d,e,f$
não podem conter `$x$'\,'' o tempo todo...
eu deixei isso implícito. \quad \smile
}}
\newpage
% «exercicio-4b» (to ".exercicio-4b")
% (c2m222fpp 13 "exercicio-4b")
% (c2m222fpa "exercicio-4b")
{\bf Exercício 4: uma solução pro item (b)}
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Temos duas soluções para
%
$$(x-a)(x-b) = x^2-7x+10:$$
uma é $a=2$ e $b=5$, e a outra é $a=5$ e $b=2$.
Lembre que Cálculo 2 é sobre \ColorRed{chutar} e \ColorRed{testar}.
A gente pode chutar que $a=5$, $b=2$, e que
$c,d,e,f$ são os que a gente obtém pelo
item (a), e aí ver se isso nos leva a uma
solução...
\msk
(Obs: isso funciona!!!)
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-4c» (to ".exercicio-4c")
% (c2m222fpp 14 "exercicio-4c")
% (c2m222fpa "exercicio-4c")
% (c2m212fpp 9 "exercicio-3c")
% (c2m212fpa "exercicio-3c")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 246 "8.1.2 Fatores quadráticos")
% (find-dmirandacalcpage 251 "Exercícios")
{\bf Exercício 4: item (c)}
Seja [PFP] esta igualdade aqui -- o
``princípio por trás das frações parciais'':
%
$$\text{[PFP]} \;\;=\;\;
\left(\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f1.6}
\right)
$$
\msk
c) Resolva o exercício 8.7.2 do livro do Miranda --
\ssk
{\scriptsize
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=251}
}
\ssk
\def\rq{\ColorRed{?}}
e depois mostre qual é a substituição da forma
%
$$\text{[PFP]} \bsm{a:=\rq \\ b:=\rq \\ A:=\rq \\ B:=\rq}
$$
que ``está por trás'' da sua solução.
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m222fpp 15 "exercicio-5")
% (c2m222fpa "exercicio-5")
% (c2m201fracparcp 8 "exercicio-4")
% (c2m201fracparc "exercicio-4")
{\bf Exercício 5.}
\ssk
Use estas idéias para integrar:
$$\intx{\frac{2x^3 + 7x^2 + 7x + 3}{x+2}} \;\; = \;\; ?$$
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m222fpp 16 "exercicio-6")
% (c2m222fpa "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
\ssk
O que acontece nos casos em que ``teria vai um''?
\ssk
a) Tente fazer a divisão com resto de $x^3$ por $x+2$.
Mais precisamente, encontre um polinômios $R(x)$ e $Q(x)$ tais que
$(x^3) = Q(x) · (x+2) + R(x)$ e $R(x)$ é no máximo de grau 1.
Teste a sua resposta!
\ssk
b) Calcule $\intx{\frac{x^3}{x+2}}$ pelo método acima.
Teste a sua resposta derivando a sua antiderivada para $\frac{x^3}{x+2}$.
\ssk
c) Calcule $\intx{\frac{x^3}{x+2}}$ fazendo a substituição $u=x+2$.
Você deve obter o mesmo resultado que na (b).
\bsk
d) Calcule $\intx{\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}}$ por frações parciais.
\newpage
{\bf Dica importante}
\ssk
Lembre que uns dos meus slogans é
``eu só vou corrigir os sinais de igual''...
No slide ?? a igualdade mais importante é a da última linha.
Nós vamos usá-la assim, pra transformar a integral original
em algo fácil de integrar:
\msk
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201119_C2_div_com_resto_4.pdf")
\includegraphics[height=4cm]{2020-1-C2/20201119_C2_div_com_resto_4.pdf}
\newpage
% «P1-2020.1» (to ".P1-2020.1")
% (c2m202fpp 11 "P1-2020.1")
% (c2m202fp "P1-2020.1")
{\bf Uma questão da P1 de 2020.1}
A questão 3 da P1 de 2020.1,
\ssk
% (c2m201p1p 5 "questao-3")
% (c2m201p1 "questao-3")
% (c2m201p1p 9 "gabarito-3a")
% (c2m201p1a "gabarito-3a")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-P1.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-P1.pdf}
\ssk
era de frações parciais, e eu pus nesse PDF um gabarito
parcial dela, que não inclui nem as contas da divisão de
polinômios nem a verificação de que a nossa integral
está certa. Faça a questão, incluindo a parte que
não está no gabarito.
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-fracoes-parciais")
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2fp"
% ee-tla: "c2m242fp"
% End: