Introdução ao curso - campos vetoriais, fluxos, teorema do divergente em duas dimensões.

Aula cancelada (por causa de um concurso).

Funções de R^2 em R^2. Campos vetoriais, e como representá-los graficamente. Derivadas parciais de campos vetoriais.

Integral dupla em regiões retangulares e não-retangulares. Teorema de Fubini. Mudança de ordem de integração.

Mudança de variável na integral dupla.

Aula de exercícios em cima de dois blocos de exercícios do Guidorizzi: p.73, 7 ("inverta a ordem de integração"), p.98, 1 (integrais para calcular por mudança de variável).

Vários modos de entender e de calcular o determinante Jacobiano.

Integral de superfície - revisão de representação de funções z=h(x,y), produto cruzado, área de paralelogramos em R^3.

(Continuação).

Calculamos a área de 1/8 da esfera.

Idem, revisão, exercícios.

Superfícies parametrizadas - o exemplo motivador era que para calcular a área da superfície de 1/8 da esfera nós fizemos uma mudança de coordenadas em R^2 e parametrizamos o quarto de círculo por um retângulo em coordenadas polares. Entendemos a notação e as fórmulas do Guidorizzi (p.211). Pedi pros alunos encontrarem uma parametrização de um toro. Passei uma lista (grande) de exercícios do Guidorizzi:
Funções de R^n em R^n: p.5, 1-15.
Integral dupla: p.71, 1, 3-9.
Mudança de variável: p.98, 1-5.
Superfícies parametrizadas: p.208, 1-4.
Plano tangente: p.210, 1.
Integral de superfície: p.213, 1-2 e 4-5.

Introdução ao cálculo do fluxo através de uma superfície. Avisei que as idéias principais valiam tanto em R^2 quanto em R^3, e começamos com o caso de uma lâmpada colocada no ponto (0,0); vimos, por argumentos geométricos, quanta luz certos objetos (arcos de círculos centrados na origem, segmentos de retas passando pela origem...) absorviam. Para generalizar, encontramos um campo vetorial que descrevia a direção e a intensidade da luz em cada ponto, e revimos como calcular o vetor tangente e o vetor normal unitário para algumas curvas parametrizadas (funções de R em R^2). A aula terminou com a gente linearizando o problema e vendo quanta "luz" um segmento de reta absorve quando o campo vetorial é constante.

Fluxo através de uma superfície: aprendemos a interpretar algumas fórmulas importantes do cap.10 do Guidorizzi, e "calculamos" (com argumentos bem informais) o fluxo total através das paredes de um cubo para alguns campos vetoriais simples.

Voltamos ao problema de calcular o fluxo total através das paredes de um cubo C={(x,y,z)|x,y,z in [0,1]} para três campos vetoriais: F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=(1,0,0), H(x,y,z)=(x,0,0). Vimos com todos os detalhes como separar a integral total em 6 integrais - uma para cada face - e calculamos os fluxos totais.

(Semana acadêmica)

(Semana acadêmica)

Revisão; passei duas folhas com exercícios que complementavam os do Guidorizzi.

P1

Fiquei doente, vamos repôr essa aula depois.

Teorema de Gauss (a.k.a. "do divergente") para cubos e figuras feitas de cubos: casos particulares, definição de divergente, enunciado formal do teorema, etc, etc. Pedi pros alunos fazerem o exercício 1 da p.30 e o 7 da p.241.

(Teorema de Gauss em 2D)

(Teorema de Gauss em 2D, integral de linha, parametrizações)

(Idem)

(Idem)

Como entender todas as igualdades com ·, ×, ∇ da 2ª capa do Schey; div, grad e rot via ∇; div, grab e rot em 2D; integral de caminho como trabalho; função de potencial; campos conservativos como campos irrotacionais em regiões simplesmente conexas; interpretação do rot como "medida de não-conservatividade" do campo; começamos a ver uma função de potencial - Ψ(x,y) = θ(x,y), em R^2 menos um corte - cujo gradiente vai dar um campo irrotacional não-conservativo.

Remarcamos a prova, e discutimos as primeiras questões da lista de revisão.

P2 (19:00)

Feriado

VR

VS