% (find-LATEX "2025-1-C3-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C3-P1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C3-P1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C3-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-P1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C3-P1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C3-P1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-1-C3-P1")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C3-P1.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf
%               file:///tmp/2025-1-C3-P1.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-1-C3-P1.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C3-P1" "3" "c3m251p1" "c3p1")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.questao-1»		(to "questao-1")
% «.questao-1f»		(to "questao-1f")
% «.questao-1g»		(to "questao-1g")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m251p1p 1 "title")
% (c3m251p1a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2025.1}

\bsk

P1 (primeira prova)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.1-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m251p1p 2 "links")
% (c3m251p1a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}

\newpage

% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c3m251p1p 3 "questao-1")
% (c3m251p1a   "questao-1")
% (c3m242p1p 3 "questao-1")
% (c3m242p1a   "questao-1")
% (c3m241p1p 3 "questao-1")
% (c3m241p1a   "questao-1")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

\T(Total: 5.5 pts)

O diagrama de numerozinhos da última folha da prova corresponde a uma
superfície $z=F(x,y)$ que tem 7 faces. Também é possível interpretá-lo
como uma superfície com 8 ou mais faces, mas vamos considerar que a
superfície com só 7 faces é que é a correta.

\msk

a) \B (0.5 pts) Mostre como dividir o plano em 7 polígonos que são as
projeções destas faces no plano do papel.

\msk

b) \B (0.5 pts) Chame estas faces de face W (``oeste''), E
(``leste''), NW (``noroeste''), NE (``nordeste''), SW (``sudoeste''),
SE (``Sudeste'') e C (``centro''), e chame as equações dos planos
delas de $F_{W}(x,y)$, $F_{E}(x,y)$, $F_{NW}(x,y)$, $F_{NE}(x,y)$,
$F_{SW}(x,y)$, $F_{SE}(x,y)$ e $F_{C}(x,y)$. Dê as equações destes
planos.

\msk

c) \B (0.5 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P_{C} &=& \setofxyzst{z = F_{C}(x,y)}, \\
  P_{NW} &=& \setofxyzst{z = F_{NW}(x,y)}, \\
  r &=& P_{C} ∩ P_{NW}. \\
  \end{array}
$$

Represente a reta $r$ graficamente como numerozinhos.

\msk

d) \B (0.5 pts) Dê uma parametrização para a reta do item anterior.
Use notação de conjuntos.


}\anothercol{

{}

e) \B (0.5 pts) Seja
% 
$$A \;=\; \{0,1,\ldots,10\} × \{0,1,\ldots,6\};$$

note que os numerozinhos do diagrama de numerozinhos estão todos sobre
pontos de $A$. Para cada ponto $(x,y)∈A$ represente graficamente
$(x,y)+\frac13 \vec∇F(x,y)$.

\ssk

Obs: quando $\vec∇F(x,y)=0$ desenhe uma bolinha preta sobre o ponto
$(x,y)$, e quando $\vec∇F(x,y)$ não existir faça um `$×$' sobre o
numerozinho que está no ponto $(x,y)$.

\msk

% «questao-1f»  (to ".questao-1f")
% (c3m251p1p 3 "questao-1f")
% (c3m251p1a   "questao-1f")

f) \B (1.5 pts) Sejam
% 
$$\begin{array}{rcl}
  Q(t) &=& 
     \begin{cases}
       (1,5) +  t   \VEC{1,-2} & \text{quando $t<3$}, \\
       (5,2) + (t-3)\VEC{2, 1} & \text{quando $3≤t$}, \\
     \end{cases}
  \\
  (x(t),y(t)) &=& Q(t), \\
  h(t) &=& F(x(t),y(t)). \\
  \end{array}
$$

Faça o gráfico da função $h(t)$. Considere que o domínio dela é o
intervalo $[0,6]$.

\msk

% «questao-1g»  (to ".questao-1g")
% (c3m251p1p 3 "questao-1g")
% (c3m251p1a   "questao-1g")

g) \B (1.5 pts) Dê uma ``definição por casos'' pra função $h(t)$ que
você obteve no item anterior. Repare que a $Q(t)$ do item anterior é
definida por casos.

}}


\newpage

%   ___                  _                ____  
%  / _ \ _   _  ___  ___| |_ __ _  ___   |___ \ 
% | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \    __) |
% | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) |  / __/ 
%  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_____|
%                                               
% «questao-2»  (to ".questao-2")
% (c3m222p1p 4 "questao-2")
% (c3m222p1a   "questao-2")

{\bf Questão 2}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

\T(Total: 4.5 pts)

Seja
%
$$F(x,y) = (x+2)(x-y)(y+2).$$

Nesta questão você vai ter que fazer várias cópias do diagrama de
numerozinhos da função $F(x,y)$ para os pontos com
$x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$.

% Os numerozinhos vão ser estes aqui:
% %
% $$\begin{array}{rrrrr}
%   8 &  0 &  -4 & -4 &  0 \\
%   9 &  2 &  -1 &  0 &  5 \\
%   8 &  2 &   0 &  2 &  8 \\
%   5 &  0 &  -1 &  2 &  9 \\
%   0 & -4 &  -4 &  0 &  8 \\
%   \end{array}
% $$

\msk

a) \B (1.0 pts) Desenhe o ``campo gradiente'' da função $F$ nestes
pontos, mas multiplicando cada $\vec∇F(x,y)$ por $\frac{1}{10}$ pros
vetores não ficarem uns em cima dos outros. Deixa eu traduzir isso pra
termos mais básicos: faça uma cópia do diagrama de numerozinhos da
$F(x,y)$, e sobre cada $(x,y)$ com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$ desenhe a
seta $(x,y)+\frac{1}{10}\vec∇F(x,y)$.

\msk

b) \B (3.5 pts) Faça uma outra cópia desse diagrama de numerozinhos e
desenhe sobre ela as curvas de nível da função $F(x,y)$ para $z=0$,
$z=6$, $z=12$, $z=-6$ e $z=-12$.


}\anothercol{

{}

% \bsk

  {\bf Dicas:}

  1) O vetor gradiente num ponto $(x,y)$ é sempre ortogonal à curva de
  nível que passa pelo ponto $(x,y)$.

  2) Faça quantos rascunhos quiser. Eu só vou corrigir seus desenhos
  pros itens (a) e (b) que disserem ``versão final'', e eles têm que
  ser os mais caprichados possíveis.


}}




\newpage

% «questao-2»  (to ".questao-2")
% (c3m242p1p 5 "questao-2")
% (c3m242p1a   "questao-2")
% (find-es "maxima" "2024.2-C3-P1")

% «questao-3»  (to ".questao-3")
% (c3m241p1p 4 "questao-3")
% (c3m241p1a   "questao-3")
% (find-es "maxima" "2024-1-C3-P1-Q3")

\newpage


% «barranco-defs»  (to ".barranco-defs")  
% (c3m242p1p 99 "barranco-defs")
% (c3m242p1a    "barranco-defs")
% (find-angg "GNUPLOT/2024-2-C3-P1.dem")
% (find-angg "GNUPLOT/2024-2-C3-P1.dem")
% (find-angg "GNUPLOT/2025-1-C3-P1.dem")
% (find-bgprocess "gnuplot ~/GNUPLOT/2024-2-C3-P1.dem")
% (find-bgprocess "gnuplot ~/GNUPLOT/2025-1-C3-P1.dem")

% (find-eepitch-intro "3.3. `eepitch-preprocess-line'")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%?%L ?")
%
%%L * (eepitch-lua51)
%%L * (eepitch-kill)
%%L * (eepitch-lua51)
%%L Path.prependtopath "~/LUA/?.lua"
%L require "Cabos3"
%L require "Numerozinhos1"
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(11,7))
%L
%L bigstr1 = [[
%L   0 0 0 2 4 5 6 7 8 8 8
%L   0 0 0 2 4 5 6 7 8 8 8
%L   0 0 0 2 4 5 6 7 8 8 8
%L   0 0 0 2 3 4 5 6 8 8 8
%L   0 0 0 1 2 3 4 6 8 8 8
%L   0 0 0 1 2 3 4 6 8 8 8
%L   0 0 0 1 2 3 4 6 8 8 8
%L ]]
%L bigstr2 = [[
%L   6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L   6 - 6 - 6 - 6 - 6 - C - 6 - 6 - 6 - D
%L   | . | . | . | . | / | . | . | . | . |
%L   6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5
%L   | . | . | . | / | . | . | . | . | . |
%L   6 - 6 - 6 - 6 - 5 - E - 4 - 4 - 4 - F
%L   | . | . | / | . | . | \ | . | . | . |
%L   A - 6 - B - 5 - 4 - 3 - 2 - 2 - 2 - 2
%L   | . | . | . | . | . | . | \ | . | . |
%L   5 - 5 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - I - 0 - J
%L   | . | . | . | . | . | . | / | . | . |
%L   4 - 4 - 4 - 3 - 2 - 1 - 0 - 0 - 0 - 0
%L   | . | . | . | . | . | / | . | . | . |
%L   3 - 3 - 3 - 2 - 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0
%L   | . | . | . | . | / | . | . | . | . |
%L   2 - 2 - 2 - 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0
%L   | . | . | . | / | . | . | . | . | . |
%L   1 - 1 - 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0
%L   | . | . | / | . | . | . | . | . | . |
%L   G - 0 - H - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0
%L   | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L   0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0
%L ]]
%L clabels = CabosNaDiagonal.from(bigstr2)
%L lbls    = clabels.strgrid:labels()
%L spec    = lbls:subst("A--B--C--D C--E--I E--F B--H G--H--I--J")
%L ns = Numerozinhos.from(0, 0, bigstr1)
%L p1 = ns:show0 {u="25pt"}:sa("barranco")
%L ns:setspec(spec)
%L p2 = ns:show0():sa("barranco 2")
%L p3 = Pict { p1, p2 }
%L p4 = Pict { p1, p2, [[\ga{barranco} \ga{barranco com linhas}]] }
%L p3:output()
%L -- p4:output()
%%L = p4:show("")
%%L = Show.bigstr
%%L * (etv)
\pu

% «questao-1-grids»  (to ".questao-1-grids")
% (c3m242p1p 4 "questao-1-grids")
% (c3m242p1a   "questao-1-grids")
% (c3m241p1p 5 "questao-1-grids")
% (c3m241p1a   "questao-1-grids")

\vspace*{-0.55cm}

\def\barra{\scalebox{0.35}{\ga{barranco}}}
\def\barras{\barra \quad \barra \quad \barra}

$\begin{array}{l}
 \barras \\ \\[-5pt]
 \barras \\ \\[-5pt]
 \barras \\
 \end{array}
$


\newpage


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C3-P1")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3p1"
% ee-tla: "c3m251p1"
% End: