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% (find-LATEX "2023-2-C3-trajetorias.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C3-trajetorias.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C3-trajetorias.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-trajetorias.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-trajetorias.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C3-trajetorias"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2023-2-C3-trajetorias")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C3-trajetorias.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf
% file:///tmp/2023-2-C3-trajetorias.pdf
% file:///tmp/pen/2023-2-C3-trajetorias.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C3-trajetorias" "C3" "c3m232tr" "c3tr")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.traco» (to "traco")
% «.bico-e-teleporte» (to "bico-e-teleporte")
% «.adivinhar-trajetorias» (to "adivinhar-trajetorias")
% «.lissajous» (to "lissajous")
% «.orbita» (to "orbita")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m232tr" "2023-2-C3-trajetorias")
% (code-eevvideo "c3m232tr" "2023-2-C3-trajetorias")
% (code-eevlinksvideo "c3m232tr" "2023-2-C3-trajetorias")
% (find-c3m232trvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L V = nil -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m232trp 1 "title")
% (c3m232tra "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo C3 - 2023.2}
\bsk
Aula 6: mais trajetórias
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m232trp 2 "links")
% (c3m232tra "links")
{\bf Links}
% (c3m222introp 1 "title")
% (c3m222introa "title")
\par \Ca{3fT1} Versão anterior destes slides
\par \Ca{StewPtCap10p9} (p.579) Figuras 10, 11 e 12
% (c3m211vtp 3 "exercicio-1")
% (c3m211vta "exercicio-1")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17 618" "Limaçon")
% (find-leitholdptpage (+ 17 618) "Limaçon")
% (find-leitholdptpage 760 "Limaçon")
\newpage
{\bf Introdução antiga}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
% (c3m222introp 2 "aula-1")
% (c3m222introa "aula-1")
{\bf Sobre a aula 1}
Na aula 1 nós usamos as idéias dos 8 primeiros slides daqui,
\ssk
% (c3m212introp 1 "title")
% (c3m212introa "title")
\Ca{3dT2} Aulas 4 e 5: introdução ao curso
\ssk
e do slide 10 daqui,
\ssk
% (c3m202planotangp 10 "geral-e-particular")
% (c3m202planotanga "geral-e-particular")
\Ca{3bT93} ...usam um caso particular disfarçado
\ssk
...pra desenhar casos particulares das figuras das seções 7.4 e 7.5 do
``GA1'' do Felipe Acker:
\ssk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA1page (+ 16 27) "7.4 Soma de vetores")
% (find-ackerGA1page (+ 16 29) "7.5 Somando vetores a pontos")
\Ca{AckerGA1p43} (p.27) 7.4 Soma de vetores
\bsk
{\bf Introdução ao vetor velocidade}
Em cursos de Cálculo 3 ``pra matemáticos'' a gente normalmente
começa definindo o vetor velocidade como um limite. O Felipe
Acker faz isso muito bem nos capítulos 2 e 3 do ``GA4'',
\ssk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA4page (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4text (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4page (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
% (find-ackerGA4text (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
\par \Ca{AckerGA4p21} (p.13) Capítulo 2: Velocidade
\par \Ca{AckerGA4p27} (p.19) Capítulo 3: Aceleração
\ssk
Eu costumava fazer mais ou menos isso no curso de Cálculo 3,
e a gente gastava uma aula inteira aprendendo a decifrar a
fórmula daquele limite e visualizar o que ela queria dizer.
}\anothercol{
Dessa vez vamos tentar fazer algo diferente.
Vamos começar com exemplos e animações.
Assista este vídeo aqui até o 9:00,
\msk
% (c3m212bezierp 1)
% (c3m212bezier 1)
\Ca{3dT25} Aula 7: um vídeo sobre curvas de Bézier
{\footnotesize
% https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw
\url{https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw}
}
\msk
...mas considere que tudo no vídeo até o 6:34 são idéias avançadas que
a gente só vai entender nuns exercícios que a gente vai fazer daqui a
algumas aulas. Por enquanto reserve praticamente toda a sua atenção
pro trecho entre 6:34 e 9:00, que é o trecho que a Freya Holmér mostra
os vetores velocidade e aceleração pra algumas curvas de Bézier.
\msk
A gente vai fazer o seguinte. Nós vamos acreditar que {\sl em geral}
quando temos uma trajetória $P(t) = (x(t),y(t))$ o vetor velocidade
dessa trajetória é $P'(t) = (x'(t),y'(t))$. Nós vamos ver vários
exemplos disso, e vamos deixar pra entender os detalhes desse ``em
geral'' quando formos entender a definição ``pra matemáticos'' do
vetor velocidade.
}}
\newpage
% «traco» (to ".traco")
% (c3m232trp 3 "traco")
% (c3m232tra "traco")
{\bf Traço}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
%a
Comece entendendo a definição de traço de uma curva parametrizada do
Bortolossi:
\Ca{Bort6p2} (p.188) Definição 6.1
Agora sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
P(t) &=& (4,0) + t\VEC{0,1}, \\
Q(u) &=& (0,3) + u\VEC{2,0}. \\
\end{array}
$$
% (find-bortolossi6page (+ -186 188) "traço")
% (find-bortolossi6page (+ -186 199) "limite de vetores secantes")
{\bf Exercício 1}
a) Represente num gráfico só o traço de $P(t)$ e o de $Q(u)$.
\msk
b) Marque o ponto $P(0)$ e escreva `$t=0$' do lado dele.
\msk
c) Faça o mesmo para os pontos $P(1)$ (`$t=1$') e $Q(0)$ e $Q(1)$ (`$u=0$' e `$u=1$').
\msk
d) Seja $r$ o traço de $P(t)$ e $s$ o traço de $Q(u)$.
Seja $X$ o ponto de interseção de $r$ e $s$.
Quais são as coordenadas de $X$?
\msk
e) Cada ponto de $r$ está ``associado'' a um valor de $t$ e cada ponto
de $s$ a um valor de $u$. Quais são os valores de $t$ e $u$ associados
ao ponto $X$? Chame-os de $t_0$ e $u_0$ e indique-os no seu gráfico --
por exemplo, se $t_0=99$ e $u_0=200$ você vai escrever `$t=99$' e
`$u=200$' do lado do ponto $X$. Note que ``$t_0=99$'' e ``$t_{99}$''
são coisas totalmente diferentes!
\msk
{\bf Dica:}
\Ca{MpgP17}
% Faça o desenho sozinho -- talvez você gaste alguns minutos pra
% decifrar todas as instruções -- e depois compare o seu desenho com o
% dos seus colegas.
}\anothercol{
Agora releia as dicas 1, 2 e 7 daqui:
\Ca{2gT4} ``Releia a dica 7''
e entenda a notação de ``set comprehensions'' daqui:
\Ca{MpgP8} ``Set comprehensions''
\bsk
Se você aprender a definir os seus objetos em linguagem matemática
você vai conseguir aprender (e fazer!) muitas coisas do curso
\standout{MUITO} mais rápido, e vai ter muito mais facilidade pra
escrever elas de um jeito legível. Então:
\bsk
\bsk
{\bf Exercício 1 (cont.)}
\ssk
f) No item (d) a gente definiu $r$, $s$ e $X$ usando muitas palavras
em português. Dá pra definir $r$, $s$ e $X$ com bem menos português se
a gente usar a notação de ``set comprehensions''. Aprenda a usar essa
notação e complete as lacunas abaixo:
%
\begin{quote}
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
P(t) &=& (4,0) + t\VEC{0,1}, \\
Q(u) &=& (0,3) + u\VEC{2,0}. \\
r &=& \setofst{\_\_\_}{\_\_\_}, \\
s &=& \setofst{\_\_\_}{\_\_\_}, \\
X &=& r∩s \\
\end{array}
$$
\end{quote}
}}
\newpage
% «bico-e-teleporte» (to ".bico-e-teleporte")
% (c3m232trp 7 "bico-e-teleporte")
% (c3m232tra "bico-e-teleporte")
{\bf Bico e teleporte}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
% (c3m222introp 5 "exercicios-1-e-2")
% (c3m222introa "exercicios-1-e-2")
{\bf Exercício 2: uma trajetória com um bico}
Dê uma olhada no item 1e daqui:
\ssk
\Ca{3eT70} VS extra de 2022.1 - questão 1
%{\footnotesize
%
%% (c3m221vsp 2 "questao-1")
%% (c3m221vsa "questao-1")
%% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf#page=2
%\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf\#page=2}
%
%}
\ssk
Faça o que essa questão pede e represente graficamente $Q(t)+Q'(t)$
pra um monte de outros valores de $t$ também --- até você entender
como essa trajetória se comporta. {\sl Dica:} ela é um movimento
retilíneo uniforme até um determinado instante, aí ela muda de vetor
velocidade subitamente e vira um outro movimento retilíneo uniforme.
\msk
{\bf Exercício 3: um trajetória com teleporte}
Represente graficamente a trajetória abaixo. Ela é parecida com a
anterior, mas nessa tem um momento em que a partícula desaparece do
ponto em que em estava e se teleporta pra outro lugar.
%
$$\scalebox{0.9}{$
R(t) \;=\;
\begin{cases}
(t,4) & \text{quando $t≤6$}, \\
(5,11-t) & \text{quando $6<t$}. \\
\end{cases}
$}
$$
}\anothercol{
% (c3m222introp 6 "exs-1-e-2-dicas")
% (c3m222introa "exs-1-e-2-dicas")
{\bf Dicas pro exercícios 1 e 2}
Este vídeo aqui tem algumas figuras sobre como desenhar trajetórias:
\ssk
{\footnotesize
% (c3m202introa "video-1")
\url{http://www.youtube.com/watch?v=3yWLubqHsic}
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2020.2-C3-intro.mp4}
}
\bsk
Quase todo mundo achou muito difícil desenhar a trajetória do
exercício 3 --- se a gente calcula $R(t)$ só pra valores inteiros de
$t$ a gente não consegue descobrir como a $R(t)$ se comporta entre
$t=6$ e $t=7$...
\ssk
Um jeito de resolver isso é calcular $R(t)$ para $t=6.1$, $t=6.2$,
$\ldots$, $t=6.9$, desenhar esses pontos no gráfico, e aí tentar
descobrir qual é o comportamento da $R(t)$ pra todos os valores em
$[6,7]$.
\ssk
Um outro jeito é considerar que $R(t)=(x(t),y(t))$ e tentar entender
as funções $x(t)$ e $y(t)$, que são funções de $\R$ em $\R$.
}}
\newpage
% (c3m222introp 6 "VT")
% (c3m222introa "VT")
% (c3m211vtp 3 "exercicio-1")
% (c3m211vta "exercicio-1")
% (c3m211vtp 5 "exercicio-2")
% (c3m211vta "exercicio-2")
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m211vtp 3 "exercicio-2")
% (c3m211vta "exercicio-2")
% (c3m202vtp 5 "exercicio-2")
% (c3m202vt "exercicio-2")
{\bf Um círculo}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Seja:
%
$$P(t) = (\cos t, \sen t).$$
{\bf Exercício 4.}
Represente num gráfico só:
\ssk
a) o traço de $P(t)$,
\msk
b) $P(\frac{π}{2}) + P'(\frac{π}{2})$, escrevendo `$P(\frac{π}{2})$'
ao lado do ponto e `$P'(\frac{π}{2})$' ao lado da seta,
\msk
c) Idem para estes outros valores de $t$: $0, \frac14π, \frac34π, π$.
\msk
d) Seja $Q(u) = P(π) + uP'(π)$. Desenhe o traço de $Q(u)$ e anote
`$Q(0)$' e `$Q(1)$' nos pontos adequados.
\msk
e) O traço de $Q(u)$ é uma reta tangente ao traço de $P(t)$ no ponto
$P(π)$? Encontre no livro ou no resto da internet uma definição formal
de reta tangente e descubra se isto é verdade ou não.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «adivinhar-trajetorias» (to ".adivinhar-trajetorias")
% (c3m232trp 9 "adivinhar-trajetorias")
% (c3m232tra "adivinhar-trajetorias")
% (c3m211vtp 6 "sobre-adivinhar-trajetorias")
% (c3m211vta "sobre-adivinhar-trajetorias")
{\bf Sobre ``adivinhar trajetórias''}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Nos próximos dois exercícios nós vamos {\sl começar} a fazer uma coisa
que vai ser muito comum aqui nesse curso de Cálculo 3, e que
geralmente é inadmissível nos cursos de Cálculo 1: nós vamos tentar
``advinhar'' como certas trajetórias são a partir de umas poucas
informações sobre elas.
\msk
Esse ``adivinhar'' na verdade é ``fazer hipóteses razoáveis'', e às
vezes a gente precisa de mais informações pra descobrir qual hipótese
é mais razoável. Na figura do próximo slide eu desenhei à esquerda
$P(t)+P'(t)$ para a trajetória de um personagem de videogame em
$t=0,1,3,4$, mas existem muitas trajetórias que se passam por esses
pontos com essas velocidades. Na primeira figura à direita eu desenhei
uma trajetória de uma nave no espaço; na segunda eu desenhei a
trajetória de um personagem de um videogame do meu tempo --- naquela
época nada nos videogames obedecia as leis da Física, e nos meus jogos
preferidos o meu personagem era um quadradinho --- e na terceira o
personagem é atingido por um raio em $t=1.05$ e ele adquire
superpoderes.
\bsk
}\anothercol{
\vspace*{2cm}
% (find-latexscan-links "C3" "20210618_trajetorias")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210618_trajetorias.pdf")
\includegraphics[height=5cm]{2021-1-C3/20210618_trajetorias.pdf}
}}
\newpage
% «lissajous» (to ".lissajous")
% (c3m232trp 8 "lissajous")
% (c3m232tra "lissajous")
% (c3m211vtp 8 "exercicio-3")
% (c3m211vta "exercicio-3")
% (c3m202vtp 6 "exercicio-3")
% (c3m202vt "exercicio-3")
{\bf Lissajous}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ?")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T load_qdraw();
%T x(t) := cos( t);
%T y(t) := sin(2*t);
%T qdraw(para(x(t),y(t), t, 0,2*%pi));
%T x(t) := cos(2*t);
%T y(t) := sin( t);
%T qdraw(para(x(t),y(t), t, 0,2*%pi));
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Os exercícios desta página vão dar curvas de Lissajous, como as daqui:
{\footnotesize
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve}
}
Seja $P(t) = (\cos t, \sen \ColorRed{2}t)$.
Represente graficamente $P(t)+P'(t)$ para os seguintes valores de $t$:
$0, \frac14π, \frac24π, \frac34π, \ldots, 2π$.
Faça as anotações adequadas nos seu pontos e vetores pra lembrar qual
é o $t$ associado a cada um.
\msk
\ColorRed{Tente} usar as informações deste gráfico pra desenhar o
traço de $P(t)$. Isto não é nada óbvio -- se inspire nas figuras das
páginas 208 e 209 do capítulo 6 do Bortolossi e tente conseguir uma
hipótese razoável.
\msk
Você pode pensar que $P(t)$ é a posição do Super Mario Kart no
instante $t$ e $P'(t)$ é o {\sl vetor velocidade} dele no instante $t$
(lembre que um vetor tem ``direção'', ``orientação'' e ``módulo''!)...
você só sabe a posição e a velocidade dele em alguns instantes, isto
é, em alguns valores de $t$, e você vai ter que encontrar uma
aproximação razoável, olhométrica, pra pista onde ele está correndo.
}\anothercol{
{\bf Exercício 4}
Seja $P(t) = (\cos \ColorRed{2}t, \sen t)$.
Represente graficamente $P(t)+P'(t)$ para os seguintes valores de $t$:
$0, \frac14π, \frac24π, \frac34π, \ldots, 2π$.
Faça as anotações adequadas nos seu pontos e vetores pra lembrar qual
é o $t$ associado a cada um.
\msk
\ColorRed{Tente} usar as informações deste gráfico pra desenhar o
traço de $P(t)$. Isto não é nada óbvio -- se inspire nas figuras das
páginas 208 e 209 do capítulo 6 do Bortolossi e tente conseguir uma
hipótese razoável.
}}
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m211vtp 9 "exercicio-4")
% (c3m211vta "exercicio-4")
% (c3m201vtp 8 "exercicio-4")
% (c3m201vt "exercicio-4")
\newpage
% «orbita» (to ".orbita")
% (c3m232trp 9 "orbita")
% (c3m232tra "orbita")
% (c3m222introp 8 "orbita")
% (c3m222introa "orbita")
{\bf Órbita}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Este exercício vai dar uma figura que é a órbita de uma lua.
O resultado vai ser algo como a figura da última página daqui,
\ssk
{\footnotesize
% (c3m221orbitap 2 "links")
% (c3m221orbitaa "links")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf}
}
\ssk
mas olhe pra essa figura durante só uns poucos segundos.
\msk
Neste exercício você vai tentar redescobrir essa figura sozinho, e
você vai tentar descobrir como desenhar uma aproximação bem razoável
pra ela só somando uns vetores no olhômetro e sem fazer nenhuma conta
complicada --- por exemplo, você vai evitar usar uma aproximação
numérica pra $(\cos(\frac{1}{12}·2π), \sen(\frac{1}{12}·2π))$; ao
invés disso você vai usar a representação gráfica deste ponto no
$\R^2$.
}\anothercol{
Seja $h = \frac{1}{12}·2π$.
Esse $h$ vai ser uma ``hora''. Vou explicar isso no quadro.
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
P(t) &=& (\cos t, \sen t), \\
Q(t) &=& (\cos 4t, \sen 4t), \\
R(t) &=& \frac{1}{2}(\cos 4t, \sen 4t) = (\frac{1}{2}\cos 4t, \frac{1}{2}\sen 4t), \\
S(t) &=& P(t) + R(t). \\
\end{array}
$$
\ssk
{\bf Represente graficamente:}
\ssk
a) $P(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
b) $P(t) + P'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
\ssk
c) $Q(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
d) $Q(t) + Q'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
\ssk
e) $R(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
f) $R(t) + R'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
\ssk
g) $S(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
h) $S(t) + S'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
\bsk
(Continua...)
}}
\newpage
% «orbita-2» (to ".orbita-2")
% (c3m222introp 8 "orbita-2")
% (c3m222introa "orbita-2")
% (find-es "maxima" "plot2d-parametric")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "Limaçon")
% «orbita-3» (to ".orbita-3")
% (c3m222introp 9 "orbita-3")
% (c3m222introa "orbita-3")
{\bf Órbita (cont.)}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Nos itens a até f você deve ter obtido pontos sobre círculos e vetores
tangentes aos círculos apoiados nestes pontos. Nos itens g e h você
deve ter obtido algo bem mais complicado: pontos e vetores apoiados
nestes pontos, mas você ainda não sabe direito sobre que curva eles
estão.
Reveja o trecho entre 6:34 e 9:00 do vídeo da Freya Holmér. A
trajetória que ela analisa é bem ``suave'', no sentido de que ela não
bicos ou teleportes, e a derivada da aceleração dela é constante.
No item h você obteve alguns pontos e vetores velocidade {\sl de uma
trajetória que você não sabe direito qual é}... você só tem uma
lembrança vaga do ``traço'' dessa trajetória, porque você viu a
figura-spoiler durante uns poucos segundos.
}\anothercol{
i) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item g. Aqui
você vai conseguir uma aproximação bem tosca pro ``traço'' da
trajetória $S(t)$.
\msk
j) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item h, e que
naqueles instantes tenha exatamente os vetores velocidade que você
também desenhou no item h. Aqui você provavelmente vai conseguir uma
aproximação bastante boa pro ``traço'' da trajetória $S(t)$.
\msk
k) Refaça o desenho do item j pra ele ficar mais caprichado e
simétrico e tal. Quando você achar que conseguiu fazer uma versão
caprichada boa olhe de novo a figura-spoiler e compare o seu desenho
com ela.
}}
\newpage
% (c3m222introp 10 "orbita-4")
% (c3m222introa "orbita-4")
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2023.2-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-trajetorias veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-trajetorias pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3tr"
% ee-tla: "c3m232tr"
% End: