|
Warning: this is an htmlized version!
The original is here, and the conversion rules are here. |
% (find-LATEX "2021-2-C2-mud-var-gamb.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-mud-var-gamb.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-mud-var-gamb.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-mud-var-gamb.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-mud-var-gamb.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-mud-var-gamb"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-mud-var-gamb")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-mud-var-gamb.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-mud-var-gamb" "2" "c2m212mv" "c2mv")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.introducao-2» (to "introducao-2")
% «.exemplo» (to "exemplo")
% «.limites-int» (to "limites-int")
% «.importante» (to "importante")
% «.caixinhas» (to "caixinhas")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m212mv" "2021-2-C2-mud-var-gamb" "{naoexiste}")
% (code-eevvideo "c2m212mv" "2021-2-C2-mud-var-gamb")
% (code-eevlinksvideo "c2m212mv" "2021-2-C2-mud-var-gamb")
% (find-c2m212mvvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%
% %L dofile "2021pict2e.lua" -- (find-LATEX "2021pict2e.lua")
% %L Pict2e.__index.suffix = "%"
% \pu
% \def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
% \def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212mvp 1 "title")
% (c2m212mva "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aula 26: mudança de variável
por gambiarras
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c2m212mvp 2 "introducao")
% (c2m212mva "introducao")
{\bf Introdução}
No último PDF e na P1 a gente viu como fazer
``integração por substituição'' de um jeito mais ou menos
fácil de formalizar... agora a gente vai ver o método
que os livros usam, que nos permite fazer as contas bem
rápido, mas que usa várias gambiarras, algumas delas
bem difíceis de formalizar.
\msk
Os nomes ``integração por substituição'' e ``integração
por mudança de variável'' costumam ser equivalentes.
Vou me referir ao método que a gente vai ver agora como
``mudança de variável'', ``mudança de variável por
gambiarras'', ``MV'', ou ``MVG'', pra gente poder usar
o termo ``substituição'' pro `[:=]'.
\newpage
% «introducao-2» (to ".introducao-2")
% (c2m212mvp 3 "introducao-2")
% (c2m212mva "introducao-2")
{\bf Introdução (2)}
\scalebox{0.95}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Cada livro usa convenções um pouco diferentes pra como
escrever as contas por MVG. Eu vou usar a convenção do
exemplo do próximo slide, em que a resolução da integral
fica à esquerda e as caixinhas indicando os truques que
usamos em \ColorRed{cada} MV ficam à direita, separadas da contas
da integral.
\msk
A primeira caixinha tem os truques pra mudar
da variável $x$ pra variável $u$ e pra voltar de $u$ pra $x$.
\ssk
A segunda caixinha tem os truques pra mudar
da variável $u$ pra variável $v$ e pra voltar de $v$ pra $u$.
\ssk
A terceira caixinha tem os truques pra mudar
da variável $v$ pra variável $w$ e pra voltar de $w$ pra $v$.
\ssk
A quarta caixinha tem os truques pra mudar
da variável $w$ pra variável $y$ e pra voltar de $y$ pra $w$.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exemplo» (to ".exemplo")
% (c2m212mvp 4 "exemplo")
% (c2m212mva "exemplo")
% (c2m211isp 7 "exemplo-contas-2")
% (c2m211isa "exemplo-contas-2")
% (c2m211p1p 15 "gabarito-2-2020.2")
% (c2m211p1a "gabarito-2-2020.2")
$$\scalebox{1.25}{$
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
\intx {\frac{3 \cos{\left (2 + \sqrt{3 x + 4} \right )}}
{2 \sqrt{3 x + 4}}
} \\
= \intu {\frac{\cos{\left (2 + \sqrt{u + 4} \right )}}
{2 \sqrt{u + 4}}
} \\
= \intv {\frac{\cos{\left (2 + \sqrt{v} \right )}}
{2 \sqrt{v}}
} \\
= \intw {\cos{\left (2 + w \right )}
} \\
= \inty {\cos y}
\\
= \sen y \\
= \sen \left( 2+w \right) \\
= \sen \left( 2+\sqrt{v} \right) \\
= \sen \left( 2+\sqrt{u+4} \right) \\
= \sen \left( 2+\sqrt{3x+4} \right) \\
\end{array}
%
\begin{array}{c}
\bsm{u = 3x \\ \frac{du}{dx} = 3 \\ du = 3\,dx \\ dx = \frac13 du}
\\[15pt]
\bsm{v = u+4 \\ du=dv }
\\[5pt]
\bsm{w = \sqrt{v} \\ \frac{dw}{dv} = \frac12 v^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \\}
\\[5pt]
\bsm{y = 2+w \\ dy=dw }
\\[60pt]
\end{array}
%
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «limites-int» (to ".limites-int")
% (c2m212mvp 5 "limites-int")
% (c2m212mva "limites-int")
{\bf Limites de integração}
A coluna da esquerda tem uma série de integrais sem
limites de integração --- a gente está trabalhando numa
notação abreviada em que os limites de integração foram
apagados. Eles podem ser recolocados de novo no final,
quando a gente for transformar essas contas abreviadas
numa versão ``desabreviada'' delas.
\msk
Os limites de integração em $x$ são diferentes
dos limites de integração em $u$, que são diferentes
dos limites de integração em $v$, que são diferentes
dos limites de integração em $w$, que são diferentes
dos limites de integração em $y$.
\msk
Detalhes em breve!
\newpage
\def\expr#1{〈\mathsf{expr_{#1}}〉}
A coluna da esquerda tem uma série de igualdades.
Ela é da forma $\expr1 = \expr2 = \ldots = \expr{n}$,
mas a gente escreve essa série de igualdades na
vertical.
\msk
Repare que na coluna da esquerda
``as variáveis não se misturam'':
$\expr{1}$ e $\expr{10}$ são ``expressões em $x$'',
$\expr{2}$ e $\expr{9}$ são ``expressões em $u$'',
$\expr{3}$ e $\expr{8}$ são ``expressões em $v$'',
$\expr{4}$ e $\expr{7}$ são ``expressões em $w$'',
$\expr{5}$ e $\expr{6}$ são ``expressões em $y$''.
\newpage
% «importante» (to ".importante")
% (c2m212mvp 7 "importante")
% (c2m212mva "importante")
{\bf A regra mais importante de todas}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Na coluna da esquerda cada expressão é
uma expressão ``em uma variável só''.
Se você escrever algo como
%
$$\inty{\cos(2+w)}$$
Isso é um \ColorRed{ERRO CONCEITUAL GRAVÍSSIMO}
e a sua questão é \ColorRed{ZERADA}.
\bsk
A gente não vai ter tempo de ver o porquê disso...
O motivo é que com essa proibição o método pra
``desabreviar'' as contas fica simples ---
sem essa proibição ele fica BEM mais complicado,
e a gente precisaria de uns truques de ``notação
de físicos'', que é um assunto bem difícil de
Cálculo 3, pra definir o método de desabreviação.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «caixinhas» (to ".caixinhas")
% (c2m212mvp 8 "caixinhas")
% (c2m212mva "caixinhas")
{\bf As caixinhas de truques}
As caixinhas de truques da MVG têm uma sintaxe
\ColorRed{BEM} diferente das caixinhas do `[:=]'.
Pra enfatizar isso a gente usa `$=$'s dentro delas,
não `$:=$'s, e a gente escreve elas separadas
do resto, à direita.
\msk
Dê uma olhada nas 9 primeiras páginas daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c3m212nfp 1 "title")
% (c3m212nfa "title")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf}
}
\msk
Dentro cada caixinha de truques da MVG a gente
vai usar algumas expressões que só podem ser
formalizadas \ColorRed{direito} usando a ``notação de físicos'',
que a gente vai ver com detalhes em C3...
Vou mostrar como ``ler em voz alta'' uma caixinha
e a gente vai tentar usar elas meio de improviso.
\newpage
{\bf Lendo uma caixinha de truques em voz alta}
$$\bmat{u = 3x \\ \frac{du}{dx} = 3 \\ du = 3\,dx \\ dx = \frac13 du}$$
Digamos que $u$ e $x$ são variáveis dependentes,
que obedecem a equação $u=3x$.
Então podemos tratar $u$ como uma função de $x$,
e temos $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(u(x)) = \frac{d}{dx}(3x) = \frac{d}{dx}(u(x)) = 3$.
Multiplicando os dois lados de $\frac{du}{dx} = 3$ por $dx$
obtemos $du = 3\,dx$; e multiplicando os dois lados de
$du = 3\,dx$ por $\frac13$ obtemos $dx = \frac{1}{3}$.
\newpage
Na caixinha
%
$$\bmat{u = 3x \\ \frac{du}{dx} = 3 \\ du = 3\,dx \\ dx = \frac13 du}$$
\msk
as duas últimas linhas são igualdades entre expressões
incompletas. Você viu na P1 como substituir expressões
incompletas, como parênteses, bananas e lentes...
\msk
Em expressões das formas `$\intx{\ldots}$' e `$\intu{\ldots}$' o `$dx$'
e o `$du$' fazem papel de ``fecha parênteses'', e as igualdades
$du = 3\,dx$ e $dx = \frac13 du$ indicam substituições que você vai
poder fazer nas integrais do lado esquerda que vão ser
\ColorRed{parecidas} com as da questão 2 da P1.
\newpage
{\bf Exercício 1.}
Reescreva os exemplos 1 a 4 da seção 6.2 do livro do
Daniel Miranda na notação que eu disse que nós vamos
usar, em que todas caixinhas de truques são escritas
explicitamente.
\msk
Link:
\ssk
{\scriptsize
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=189}
}
% sobre
%
% ;; (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% ;; (find-es "ead" "daniel-miranda")
% ;; http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf
%
%
% ;; (find-dmirandacalcpage 189 "6.2 Integração por Substituição")
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-mud-var-gamb veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-mud-var-gamb pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2mv"
% ee-tla: "c2m212mv"
% End: