|
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% (find-LATEX "2021-1-C3-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-1-C3-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-1-C3-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C3-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-1-C3-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C3-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C3-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-1-C3-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-1-C3-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-1-C3-P2")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C3-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C3-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C3-P2.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-1-C3-P2.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-1-C3-P2.pdf
% file:///tmp/2021-1-C3-P2.pdf
% file:///tmp/pen/2021-1-C3-P2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-1-C3-P2" "3" "c3m211p2" "c3p2")
%
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m211p2" "2021-1-C3-P2")
% (code-video "c3m211p2video" "$S/http/angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-P2.mp4")
% (find-c3m211p2video "0:00")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.title» (to "title")
% «.regras-e-dicas» (to "regras-e-dicas")
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-1-cont» (to "questao-1-cont")
% «.questao-1-abcde» (to "questao-1-abcde")
% «.questao-1-fg» (to "questao-1-fg")
% «.questao-1-hij» (to "questao-1-hij")
% «.questao-1-k» (to "questao-1-k")
% «.questao-3» (to "questao-3")
% «.questao-3-cont» (to "questao-3-cont")
%
% «.gabarito» (to "gabarito")
% «.gabarito-1abcde» (to "gabarito-1abcde")
% «.gabarito-1fgh» (to "gabarito-1fgh")
% «.gabarito-1ij» (to "gabarito-1ij")
% «.gabarito-2ab» (to "gabarito-2ab")
% «.gabarito-3» (to "gabarito-3")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
%\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
%\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
%\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
%\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
%\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
%\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
%\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
%\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
%
%\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
%\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
%
%\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
%\def\True {\mathbf{V}}
%\def\False{\mathbf{F}}
%\def\D {\displaystyle}
\def\degs{^\circ}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
% (c3m202p1p 6 "questao-2")
% (c3m202p1a "questao-2")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m211p2p 1 "title")
% (c3m211p2a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2021.1}
\bsk
P2 (segunda prova)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «regras-e-dicas» (to ".regras-e-dicas")
% (c3m211p2p 2 "regras-e-dicas")
% (c3m211p2a "regras-e-dicas")
{\bf Regras e dicas}
As regras e dicas são as mesmas dos mini-testes:
\ssk
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-MT1.pdf}
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-MT2.pdf}
\ssk
exceto que a prova vai ser disponibilizada às 23:30 do dia
15/setembro/2021 e deve ser entregue até as 23:30 do dia
17/setembro/2021. \ColorRed{Talvez o Classroom esteja com a data
de entrega errada, como se o prazo fosse só de 24 horas}.
\bsk
Pra fazer essa prova você vai precisar de idéias que a gente
viu durante o curso todo. Se você precisar saber onde estão
as idéias necessárias pra resolver algum item pergunte
\ColorRed{no grupo do Telegram da turma} que eu respondo com um
link pros slides, vídeos, ou livros em que aquela idéia
aparece.
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c3m211p2p 3 "questao-1")
% (c3m211p2a "questao-1")
{\bf Questão 1.}
\T(Total: 5.5 pts)
\ssk
Você deve ter lido que ``o gradiente de uma função aponta pra
direção de maior crescimento dela''. Nesta questão nós vamos
ver um modo de provar isto --- num caso particular em $\R^2$.
\def\questaoumcasogeral{
\begin{array}[t]{rcl}
F &:& \R^2 → \R \\
P_0 &∈& \R^2 \\
\vv &=& ∇F(P_0) \\
\vv &=& \VEC{a,b} \\
\uu &⊥& \vv, \text{ obedecendo } ||\uu|| = ||\vv|| \\
A &=& \setofst{Q∈\R^2}{d(P_0,Q) = ||\vv||} \\
B &=& \{ P_0 + \VEC{\pm a, \pm b} \}
∪ \{ P_0 + \VEC{\pm b, \pm a} \} \\
θ &∈& \R \\
\ww &=& (\cos θ)\vv + (\senθ)\uu \\
\end{array}
}
O caso geral vai ser este aqui:
%
$$\scalebox{0.8}{$
\questaoumcasogeral
$}
$$
\newpage
% «questao-1-cont» (to ".questao-1-cont")
% (c3m211p2p 4 "questao-1-cont")
% (c3m211p2a "questao-1-cont")
{\bf Questão 1 (cont.)}
O caso particular vai ser o da coluna da direita abaixo:
%
$$\scalebox{0.9}{$
\questaoumcasogeral
%
\hspace*{-1cm}
%
\begin{array}[t]{rcl}
F(x,y) &=& 10 - 2x + y \\
P_0 &=& (3,2) \\
\vv &=& ∇F(P_0) \\[2pt]
\uu &=& \VEC{1,2} \\
\end{array}
$}
$$
\ColorRed{Dica:} neste caso particular o conjunto $B$ vai ser um
conjunto de 8 pontos equidistantes de $P_0$, todos com
coordenadas inteiras.
\ssk
\newpage
% «questao-1-abcde» (to ".questao-1-abcde")
% (c3m211p2p 5 "questao-1-abcde")
% (c3m211p2a "questao-1-abcde")
{\bf Questão 1 (cont.)}
Nesse caso particular,
\msk
a) \B(0.2 pts) Dê as coordenadas dos 8 pontos de $B$.
\msk
b) \B(0.2 pts) Represente graficamente num gráfico só:
$P_0$, $P_0 + \vv$ e $P_0 + \uu$ (como setas), $A$, $B$.
\msk
c) \B(0.5 pts) Faça um diagrama de numerozinhos pra função
$F$, mas no qual você só vai indicar os valores de $F(x,y)$ nos
pontos em que $(x,y)∈B$ e em $(x,y)=P_0$.
\msk
d) \B(0.1 pts) Seja $P_1$ o ponto de $B$ no qual $F(x,y)$ assume
o maior valor. Diga as coordenadas de $P_1$ e faça um círculo
em torno de $P_1$ na figura que você fez no item (c).
\msk
e) \B(1.0 pts) Acrescente à figura do seu item (c) as curvas de
nível da $F(x,y)$ que passam pelos pontos de $B$.
\newpage
% «questao-1-fg» (to ".questao-1-fg")
% (c3m211p2p 6 "questao-1-fg")
% (c3m211p2a "questao-1-fg")
{\bf Questão 1 (cont.)}
Ainda nesse caso particular,
\msk
f) \B(0.5 pts) Verifique que $P_1$ é um ponto da forma
$P_0 + α\vv$ para algum $α∈\R$. Qual é o valor de $α$?
\msk
g) \B(0.5 pts) Sejam $P_2$ e $P_3$ os dois pontos de $B$ em que
temos $F(P_0) = F(P_2) = F(P_3)$. Diga as coordenadas
de $P_2$ e $P_3$ e verifique que tanto $P_2$ quanto $P_3$ são da
forma $P_0 + \bb \uu$. Qual é o valor de $\bb$ associado ao $P_2$?
E qual é o valor de $\bb$ associado ao $P_3$?
\msk
\newpage
% «questao-1-hij» (to ".questao-1-hij")
% (c3m211p2p 7 "questao-1-hij")
% (c3m211p2a "questao-1-hij")
{\bf Questão 1 (cont.)}
Ainda nesse caso particular...
\msk
h) \B(0.5 pts) Na ``notação de físicos'' podemos dizer que
``$\ww$ é função de $θ$'', e podemos escrever isto assim: $\ww = \ww(θ)$.
Represente graficamente num gráfico só, separado dos
gráficos anteriores: $P_0$, o conjunto $A$, e $P_0+\ww(θ)$ para estes
valores de $θ$: $0\degs$, $45\degs$, $90\degs$. Não esqueça de indicar qual é o $θ$
associado a cada seta!
\msk
i) \B(1.0 pts) Encontre uma fórmula para $F(P_0+\ww(θ))$.
Simplifique o resultado dela o máximo que puder.
\msk
j) \B(0.5 pts) Encontre uma fórmula para $\frac{d}{dθ} F(P_0+\ww(θ))$.
Simplifique o resultado dela o máximo que puder.
\newpage
% «questao-1-k» (to ".questao-1-k")
% (c3m211p2p 8 "questao-1-k")
% (c3m211p2a "questao-1-k")
{\bf Questão 1 (cont.)}
Ainda nesse caso particular...
\msk
k) \B(0.5 pts) Seja $z = z(θ) = F(P_0+\ww(θ))$, pra abreviar.
Faça o gráfico de $z(θ)$ --- com $θ$ crescendo pra direita e
$z$ crescendo pra cima --- e mostre no gráfico para quais
valores de $θ$ o valor de $z$ é maximo e mínimo.
\msk
\newpage
{\bf Questão 2.}
\T(Total: 3.0 pts)
\ssk
Aqui nós vamos generalizar a questão 1 ---
pra um caso particular bem mais geral que o anterior,
que é o da coluna da direita abaixo:
%
$$\scalebox{0.8}{$
\questaoumcasogeral
\hspace{-1.0cm}
\begin{array}[t]{rcl}
F(x,y) &=& αx + βy + γ \\
(α,β) &≠& (0,0) \\
\uu &=& \VEC{b, -a} \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
{\bf Questão 2 (cont.)}
Seja $z = z(θ) = F(P_0+\ww(θ))$, pra abreviar.
\msk
a) \B(1.0 pts) Encontre uma fórmula para $z(θ)$.
Simplifique o resultado dela o máximo que puder.
\msk
b) \B(1.0 pts) Encontre uma fórmula para $\frac{d}{dθ} z(θ)$.
Simplifique o resultado dela o máximo que puder.
\msk
c) \B(1.0 pts) Faça o gráfico de $z(θ)$ --- com $θ$ crescendo
pra direita e $z$ crescendo pra cima --- e mostre no gráfico
para quais valores de $θ$ o valor de $z$ é maximo e mínimo.
\newpage
% «questao-3» (to ".questao-3")
% (c3m211p2p 11 "questao-3")
% (c3m211p2a "questao-3")
{\bf Questão 3.}
\T(Total: 2.0 pts)
\ssk
Na última aula antes da prova nós começamos a
fazer esse ``Exercício 5'' aqui, mas não terminamos...
\ssk
{\scriptsize
% (c3m211afp 9 "exercicio-5")
% (c3m211afa "exercicio-5")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-abertos-e-fechados.pdf#page=9
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-abertos-e-fechados.pdf#page=9}
}
\ssk
Use as ``traduções'' dos slides 14 e 15 desse PDF sobre
abertos e fechados pra traduzir isto aqui pra uma outra
expressão que seja ``a mais simples possível'':
%
$$[2,4] \text{ não é aberto}$$
\newpage
% «questao-3-cont» (to ".questao-3-cont")
% (c3m211p2p 12 "questao-3-cont")
% (c3m211p2a "questao-3-cont")
{\bf Questão 3 (cont.)}
\ssk
Dá pra definir formalmente o que quer dizer esse
``mais simples possível'' entre aspas, mas a definição
formal é meio horrível. A dica é que no slide 14 desse
PDF, cujo título é ``Algumas traduções'', cada igualdade
da tabela é desta forma:
%
$$\text{expressão ``mais complicada''}
\;\;=\;\;
\text{expressão ``mais simples''}
$$
com a expressão ``mais simples'' à direita.
\newpage
% «gabarito» (to ".gabarito")
% (c3m211p2p 13 "gabarito")
% (c3m211p2a "gabarito")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{2.0cm}
{\bf \Large Gabarito}
\end{center}
\newpage
% «gabarito-1abcde» (to ".gabarito-1abcde")
% (c3m211p2p 14 "gabarito-1abcde")
% (c3m211p2a "gabarito-1abcde")
{\bf Questões 1a até 1e}
(Os desenhos estão muito incompletos)
\msk
\unitlength=10pt
1a)
%
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-1)(6,5)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(3,2)o (5,3)c (5,1)c (4,0)c (2,0)c (1,1)c (1,3)c (2,4)c (4,4)c}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$
%
$\begin{array}{c}
(2,4), (4,4), \\
(1,3), \ph{m} (5,3), \\
(1,1), \ph{m} (5,1), \\
(2,0), (4,0) \\
\end{array}
$
\msk
1b) $\sm{
\vv &=& \VEC{-2,1} \\
\uu &=& \VEC{1,2} \\
}
\quad
\sm{
P_0 &=& (3,2) \\
P_0 + \vv &=& (1,3) \\
P_0 + \uu &=& (4,4) \\
}
$
\msk
% -- (c3m211p1p 7 "questao-1-gab")
% -- (c3m211p1a "questao-1-gab")
%
% * (eepitch-lua51)
% * (eepitch-kill)
% * (eepitch-lua51)
%
% F = function (x,y) return 10 - 2*x + y end
% pts = {{3,2},
% {2,4}, {4,4},
% {1,3}, {5,3},
% {1,1}, {5,1},
% {2,0}, {4,0}
% }
% for _,xy in pairs(pts) do
% local x,y = xy[1], xy[2]
% local z = F(x,y)
% -- print(x, y, z)
% print(format("\\put(%d,%d){\\cellc{%s}}%%", x,y, z))
% end
% (c3m211p1p 7 "questao-1-gab")
% (c3m211p1a "questao-1-gab")
%
\def\cellhc#1{\hbox to 0pt{\hss\cellfont${#1}$\hss}}
\def\cellvm#1{\setbox0#1\lower \celllower \box0}
\def\cellvb#1{\setbox0#1\lower \ht0 \box0}
\def\cellvm#1{\setbox0#1\lower 0.4\ht0 \box0}
\def\cellc #1{\cellvm{\cellhc{#1}}}
1c)
%
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-1)(6,5)
\pictgrid%
\put(3,2){\cellc{6}}%
\put(2,4){\cellc{10}}%
\put(4,4){\cellc{6}}%
\put(1,3){\cellc{11}}%
\put(5,3){\cellc{3}}%
\put(1,1){\cellc{9}}%
\put(5,1){\cellc{1}}%
\put(2,0){\cellc{6}}%
\put(4,0){\cellc{2}}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$
\msk
1d) $P_1 = (1,3)$
\newpage
% «gabarito-1fgh» (to ".gabarito-1fgh")
% (c3m211p2p 15 "gabarito-1fgh")
% (c3m211p2a "gabarito-1fgh")
{\bf Questões 1f até 1h}
\msk
1f) $P_1 = (1,3) = P_0 + 1 \vv = (3,2) + 1 \VEC{-2,1}$
\msk
1g) $\begin{array}[t]{l}
P_2 = (2,0) = P_0 + (-1) · \uu = (3,2) + (-1)·\VEC{1, 2} \\
P_3 = (4,4) = P_0 + 1 · \uu = (3,2) + 1·\VEC{1, 2} \\
\end{array}
$
\msk
\def\sqt{\frac{\sqrt2}{2}}
1h) $\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{rcccl}
\ww(0\degs) &=& (\cos 0\degs)\vv + (\sen 0\degs)\vv &=& \VEC{-2,1} + \VEC{0,0} \\
\ww(45\degs) &=& (\cos 45\degs)\vv + (\sen 45\degs)\vv &=& \sqt\VEC{-2,1} + \sqt\VEC{1,2} \\
\ww(90\degs) &=& (\cos 90\degs)\vv + (\sen 90\degs)\vv &=& \VEC{0,0} + \VEC{1,2} \\
P_0 + \ww(0\degs) &=& (3,2) + \VEC{-2,1} \ph{mi}\\
P_0 + \ww(45\degs) &=& (3,2) + \sqt\VEC{-1,3} \\
P_0 + \ww(90\degs) &=& (3,2) + \VEC{1,2} \ph{miii} \\
\end{array}
$}
$
%
\unitlength=5pt
%
$$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,0)(6,5)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(3,2)o (1,3)c (2.3,4.1)c (4,4)c}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$$
\newpage
% «gabarito-1ij» (to ".gabarito-1ij")
% (c3m211p2p 16 "gabarito-1ij")
% (c3m211p2a "gabarito-1ij")
{\bf Questões 1i e 1j}
\msk
1i) $\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{rcl}
F(P_0 + \ww(θ))
&=& F((3,2) + (\cos θ)\VEC{-2,1} + (\senθ)\VEC{1,2}) \\
&=& F((3,2) + \VEC{-2\cos θ + \senθ, \cosθ + 2\senθ}) \\
&=& F((3 -2\cos θ + \senθ, 2 + \cosθ + 2\senθ)) \\
&=& 10 -2(3 -2\cos θ + \senθ) + (2 + \cosθ + 2\senθ) \\
&=& 10 -6 +4\cos θ -2 \senθ + 2 + \cosθ + 2\senθ \\
&=& 6 + 5\cosθ \\
\end{array}
$}
$
\msk
\def\ddth{\frac{d}{dθ}}
1j) $\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{rcl}
\ddth F(P_0 + \ww(θ))
&=& \ddth (6 + 5\cosθ) \\
&=& - 5\senθ \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «gabarito-2ab» (to ".gabarito-2ab")
% (c3m211p2p 17 "gabarito-2ab")
% (c3m211p2a "gabarito-2ab")
{\bf Questões 2a e 2b}
\msk
2a) Temos $\vv = ∇F(P_0) = \VEC{α,β}$ e $\vv = \VEC{a,b}$,
\ph{2a) }Então $α=a$ e $β=b$. Aí:
%
$$\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{rcl}
z(θ) &=& F(P_0 + \ww(θ)) \\
&=& F((x_0,y_0) + (\cos θ)\VEC{a,b} + (\senθ)\VEC{b,-a}) \\
&=& F((x_0,y_0) + \VEC{(\cos θ)a + (\senθ)b, (\cos θ)b - (\senθ)a}) \\
&=& α(x_0 + (\cos θ)a + (\senθ)b) + β(y_0 + (\cos θ)b - (\senθ)a) + γ \\
&=& α(x_0 + (\cos θ)α + (\senθ)β) + β(y_0 + (\cos θ)β - (\senθ)α) + γ \\
&=& αx_0 + α^2(\cos θ) + αβ(\senθ) + βy_0 + β^2(\cos θ) - αβ(\senθ) + γ \\
&=& αx_0 + α^2(\cos θ) + βy_0 + β^2(\cos θ) + γ \\
&=& (αx_0 + βy_0 + γ) + (α^2 + β^2)(\cos θ) \\
&=& F(P_0) + (α^2 + β^2)(\cos θ) \\
\end{array}
$}
$$
2b)
%
$\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{rcl}
\ddth z(θ) &=& \ddth((αx_0 + βy_0 + γ) + (α^2 + β^2)(\cos θ)) \\
&=& (α^2 + β^2)(- \sen θ) \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «gabarito-3» (to ".gabarito-3")
% (c3m211p2p 10 "gabarito-3")
% (c3m211p2a "gabarito-3")
% (c3m211afp 9 "exercicio-5")
% (c3m211afa "exercicio-5")
{\bf Gabarito da 3}
\ssk
\def\BA{\mathsf{B}}
\def\BF{\overline{\mathsf{B}}}
Lembre que $A = [2,4]$. Temos:
%
\def\iff{\Leftrightarrow}
%
$$\begin{array}{c}
\begin{array}{lrcl}
& A & \multicolumn{2}{l}{\text{não é aberto}} \\
\iff \ph{m} & A & \not⊂ & \Int(A) \\
\iff & A & \not⊂ & \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A} \\
\iff & [2,4] & \not⊂ & \setofst{P∈[2,4]}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆[2,4]} \\
\end{array}
\\
[25pt]
\begin{array}{ll}
\iff & ∃x∈[2,4]. \; x \not∈ \setofst{P∈[2,4]}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆[2,4]} \\
\iff & ∃x∈[2,4]. ¬ (x ∈ \setofst{P∈[2,4]}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆[2,4]}) \\
\iff & ∃x∈[2,4]. ¬ (x ∈ [2,4] ∧ ∃ε>0.\, \BA_ε(x)⊆[2,4]) \\
\iff & ∃x∈[2,4]. (¬ x ∈ [2,4]) ∨ (¬ \; ∃ε>0.\, \BA_ε(x)⊆[2,4]) \\
\iff & ∃x∈[2,4]. (¬ x ∈ [2,4]) ∨ (∀ε>0. ¬ (\BA_ε(x)⊆[2,4])) \\
\iff & ∃x∈[2,4]. (¬ x ∈ [2,4]) ∨ (∀ε>0. ¬ (∀y∈\BA_ε(x).\; y∈[2,4])) \\
\iff & ∃x∈[2,4]. (¬ x ∈ [2,4]) ∨ (∀ε>0. \; ∃y∈\BA_ε(x).\; ¬ y∈[2,4])) \\
\iff & \ldots \\
\end{array}
\end{array}
$$
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.1-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-1-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.1-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-1-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C3-P2 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C3-P2 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3p2"
% ee-tla: "c3m211p2"
% End: