% (find-angg "LATEX/2009-1-C2-prova-1.tex")
% (find-angg "LATEX/2009-1-C2-prova-1-gab.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C2-prova-1.tex && latex    2009-1-C2-prova-1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C2-prova-1.tex && pdflatex 2009-1-C2-prova-1.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C2-prova-1.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C2-prova-1.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C2-prova-1.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C2-prova-1.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C2-prova-1.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C2-prova-1.ps 2009-1-C2-prova-1.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C2-prova-1.ps 2009-1-C2-prova-1.dvi && ps2pdf 2009-1-C2-prova-1.ps 2009-1-C2-prova-1.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C2-prova-1.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C2-prova-1.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C2-prova-1.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C2-prova-1.pdf") 'over)



\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C2-prova-1.dnt



%*
% (eedn4a-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")


\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}


% \large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral II

PURO-UFF - 2009.1

Turma: A1/RCT00017

Professor: Eduardo Ochs

{Primeira prova - 22/maio/2009}

}

\bsk
\bsk



\noindent {\bf (1)} (Total: 2.5 pontos). Na figura abaixo as regiões
$A, B, C$ e $D$ são delimitadas pelas curvas $y=0$, $y=f(x)$,
$y=g(x)$, $y=h(x)$, $y=k(x)$, $y=p(x)$,
%
% (find-LATEXfile "edrx.sty" "\\usepackage{graphicx}")
% (find-pspage  "2009-1-C2-prova-1-areas.eps")
$$\includegraphics[scale=0.7]{2009-1-C2-prova-1-areas.eps}$$
%
onde:
%
$$\begin{array}{rcl}
  f(x) &=& 1-(x+3)^2      \\ 
  g(x) &=& 2 \sqrt{x+4}-1 \\ 
  h(x) &=& ((x+4)/2)^2-1  \\ 
  k(x) &=& ((4-x)/2)^2-1  \\ 
  p(x) &=& 2 \sqrt{4-x}-1 \\ 
  \end{array}
$$

% f = function (x) return 1-(x+3)^2 end
% g = function (x) return 2*sqrt(x+4)-1 end
% h = function (x) return ((x+4)/2)^2-1 end
% k = function (x) return ((4-x)/2)^2-1 end
% p = function (x) return 2*sqrt(4-x)-1 end

a) (1.5 pontos) Expresse as áreas das regiões $A, B, C$ e $D$ como
somas e diferenças de integrais. {\sl Neste item não é preciso
  calcular as integrais.}

b) (1.0 pontos) Calcule as áreas das regiões $B$ e $D$. Use o método
que você quiser, mas não se esqueça de explicar o que você fez!

\bsk
\bsk
\bsk

\noindent {\bf (2)} (Total: 1.5 pontos). Usando integração por partes,
encontre primitivas para:

a) (0.5 pontos) $\int x^2 \ln x \, dx$

b) (1.0 pontos) $\int (\sen x) x^2 \ln x \, dx$

\bsk
\bsk
\bsk


\noindent {\bf (3)} (Total: 1.0 pontos). Encontre primitivas para:

a) (0.5 pontos) $\int \frac{1}{(x-2)(x-3)} \, dx$

a) (0.5 pontos) $\int \frac{x+1}{(x-1)^2} \, dx$



\newpage


\noindent {\bf (4)} (Total: 3.0 pontos). As integrais que conseguimos
resolver por substituição trigonométrica em geral são da forma $\int
F(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx$, onde $F(\aa, \bb)$ é uma função
racional de $\aa$ e $\bb$ --- por exemplo $F(\aa, \bb) = \frac{\aa^2 -
  3\bb}{\aa - \bb}$ --- e $a$, $b$ e $c$ são constantes. O método pode
ser dividido em quatro partes:

(I) Uma substituição $u = x+k$ para transformar $\int F(x, \sqrt{ax^2
  + bx + c}) \, dx$ em $\int G(u, \sqrt{a'u^2 + c'}) \, du$,

(II) $\sqrt{c^2(ax^2 \pm 1)} = c \sqrt{ax^2 \pm 1}$,

(III) a substituição $u=ax$ converte $\sqrt{\pm a^2x \pm 1}$ em
$\sqrt{\pm u^2 \pm 1}$,

(IV) a substituição trigonométrica ``em si'' --- três casos
diferentes, veja as fórmulas na próxima página.

\bsk

a) (0.8 pontos) Use o passo I do método para transformar a integral
definida $\int_{x=2}^{x=3} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 20x + 1000}} dx$ numa
outra integral na qual possamos aplicar o passo II. {\sl Dica: $k=\pm
  10$.}

b) (0.2 pontos) Use o passo II do método para transformar a integral
$\int \frac{x^2+1}{x\sqrt{4-x^2}} dx$ numa integral na qual possamos
aplicar o passo III.

c) (0.5 pontos) Use o passo III do método para converter a integral
definida $\int_{x=1/9}^{x=1/6} \frac{\sqrt{1-9x^2}}{3-x} dx$ numa
integral na qual possamos aplicar o passo IV.

d) (1.0 pontos) Calcule $\int \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}^5} dt$.

e) (0.5 pontos) Calcule $\int_{t=a}^{t=b} \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}^5}
dt$.

\msk

{\sl Observações \& dicas:} consulte a tabela de integrais da última
página; não é necessário simplificar expressões como ``$\arctan \sen
$'' se elas aparecerem nos itens $(d)$ e $(e)$.





% \bsk
% \bsk
% \bsk


\newpage

\noindent {\bf (5)} (Total: 2.0 pontos).

Um anel de raio interno $r$ e raio externo $R$ --- veja a figura à
esquerda abaixo --- tem área $(R^2-r^2)$; um ``cilindro com buraco no
meio'' com raio externo $R$, raio interno (isto é, raio do buraco) $r$
e altura $h$ tem volume $(R^2-r^2)h$. Se $R$ está muito próximo de
$r$, digamos, $R=r+\ee$, então o volume do cilindro com buraco vai ser
$((r+\ee)^2-r^2)h \approx (2\ee r)h$. Vamos nos referir a estes
cilindros com $R \approx r$ como ``cascas cilíndricas''.

O círculo da figura à direita abaixo --- ``$C$'' --- tem centro $(3,0)$ e
raio 1; a equação da metade superior da sua circunferência é $f(x) =
\sqrt{1-(x-3)^2}$. Se girarmos este círculo em torno do eixo $y$ vamos
obter um toro. Podemos medir o volume deste toro partindo o círculo
$C$ em barrinhas verticais muito estreitas, rodando cada uma delas em
torno do eixo $y$ --- elas vão virar cascas cilíndricas --- e somando
os volumes destas cascas cilíndricas.

% (find-pspage "2009-1-C2-prova-1-anel.eps")
% (find-pspage "2009-1-C2-prova-1-circulo.eps")
\def\myvcenter#1{#1}
\def\myvcenter#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}

$$\myvcenter{\includegraphics[scale=0.7]{2009-1-C2-prova-1-anel.eps}}
  \qquad
  \myvcenter{\includegraphics[scale=0.7]{2009-1-C2-prova-1-circulo.eps}}
$$


a) (0.4 pontos) Corte o círculo $C$ entre $x=x_0$ e $x=x_0+\ee$. Qual
vai ser a altura da barrinha correspondente a este corte? Qual a sua
largura? Quando rodarmos ela em torno do eixo $y$ qual vai ser o raio
da casca cilíndrica?

b) (0.4 pontos) Suponha que partimos o intervalo de integração,
$[2,4]$, em $n$ pedaços, usando os pontos $x_0=a, x_1, x_2, \ldots,
x_n=4$. Suponha que cada $x_i$ é muito próximo do $x_{i+1}$ e que cada
barrinha entre $x_i$ e $x_{i+1}$ é aproximadamente um retângulo; use
isto para obter uma aproximação $A_n$ para a área desta barrinha e uma
aproximação $V_n$ para o volume da casca cilíndrica correspondente.

% {\sl Note que estas aproximações vão ser expressões, não números.}

c) (0.6 pontos) Expresse a área total de $C$ --- aproximada pelas
barrinhas --- e o volume total do toro --- aproximado pelas cascas
cilíndicas --- como um somatório.

d) (0.6 pontos) Quando $n$ tender para $\infty$ e o comprimento de
cada barrinha tender a 0 os valores destes somatórios vão tender para
os valores de integrais que dão o valor exato da área de $C$ e do
volume do toro. Use a fórmula $\sum_{i=0,\ldots,n-1} f(x_i)
(x_{i+1}-x_i) \approx \int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx$ para obter integrais
que dão o valor exato da área de $C$ e do volume do toro. {\sl Não é
  preciso calcular estas integrais, basta expressá-las
  simbolicamente.}





\newpage


\setlength{\parindent}{10pt}

\normalsize

\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\bhbox{}

Algumas fórmulas: quando $$ é uma variável,

$s = \sen $

$c = \cos $

$t = \tan  = \frac{\sen }{\cos } = \frac{s}{c}$

$z = \sec  = \frac{1}{\cos } = \frac{1}{c}$

\msk

Identidades:

$s^2 + c^2 = 1$

$s = \sqrt{1 - c^2}$

$c = \sqrt{1 - s^2}$

$t^2 + 1 = z^2$

$\sqrt{t^2 + 1} = z$

$t = \sqrt{z^2 - 1}$

\msk

Derivadas e diferenciais:

$\frac{dc}{d} = \frac{d\cos}{d} = -\sen  = -s$

$\frac{ds}{d} = \frac{d\sen}{d} = \cos  = c$

$\frac{dt}{d} = \frac{d}{d} \frac{s}{c}
               = \frac{s'c - sc'}{c^2}
               = \frac{c^2 + s^2}{c^2}
               = \frac{1}{c^2}
               = z^2
               = 1 + t^2
$

$\frac{dz}{d} = \frac{d}{d}c^{-1} = -c^{-2}c' = -c^{-2}(-s)
               = \frac{1}{c} \frac{s}{c} = zt$

$dc = - s \, d = -\sqrt{1 - c^2}d$

$ds = c \, d = \sqrt{1 - s^2}d$

$dt = z^2 d = (1 + t^2) d$

$dz = zt\, d$

\msk

Integração por partes:

$\int_{x=a}^{x=b} f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) \big|_{x=a}^{x=b} - \int_{x=a}^{x=b} f(x)g'(x)\,dx$

\msk

Mudança de variável:

$\int_{x=a}^{y=b} \frac{dg}{du} \frac{du}{dx} \,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} \frac{dg}{du} \, du$ 

$\int_{x=a}^{y=b} g'(u(x))u'(x)\,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} g'(u) \, du$

$\int_{x=a}^{y=b} f(u(x))u'(x)\,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} f(u) \, du$

\msk

Integrais de $(\sen )^m (\cos )^n$ com um expoente ímpar:

$\int s^n c^{2k+1} d = \int s^n c^{2k} · c \,d = \int s^n (1-s^2)^k \, ds$

$\int c^n s^{2k+1} d = \int c^n s^{2k} · s \,d = - \int c^n (1-c^2)^k \, dc$

\msk

Substituição trigonométrica:

$\int F(s, \sqrt{1 - s^2})\,ds = \int F(s, c) c \, d$

$\int F(t, \sqrt{1 + t^2})\,dt = \int F(t, z) z^2 \, d$

$\int F(z, \sqrt{z^2 - 1})\,dz = \int F(z, t) zt \, d$

\msk

Outros:

$\sum_{i=0,\ldots,n-1} f(x_i) (x_{i+1}-x_i) \approx \int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx$

\bsk

Justifique cada uma das suas respostas.

Boa prova!





%*

\end{document}

* ;; (find-angg "LUA/vectors.lua" "start-gui")
* (eepitch-tcl)
* (eepitch-kill)
* (find-sh0 "killall tclsh")
* (find-sh0 "kill $(cat /tmp/ee.tcmd.pid)")
* (eepitch-tcl)
* (fvwm-sloppy-focus)
source ~/LUA/vectors.tcl
* (fvwm-click-to-focus)
canvas .c -width 500 -height 350 -relief sunken -borderwidth 2
pack .c -expand yes -fill both -side top
.c create line 10 20 30 40
exec pwd



* (eepitch-lua51)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-lua51)
ee_dofile "~/LUA/vectors.lua"  -- (find-angg "LUA/vectors.lua")
print(getoutput("pwd"))
TCL()
Vector.__scale = function (v) return Vector((v[1]+2)*30+40, (v[2]-2)*-30+40) end
BOUNDS(-2.2, 2.2,  -2.2, 2.2)
CLEAR()
AXES()

-- Figura 2:
abn = function (a, b, n) return ab_as_x0xn(a, b, n) end
sin = math.sin
cos = math.cos
circlepoints = function (v, r)
    local f = function (t) return vector(v[1]+r*cos(t), v[2]+r*sin(t)) end
    return map(f, abn(0, 2*pi, 60))
  end
blackline = "-width 3"
line(circlepoints(vector(0, 0), 1.9), blackline)
line(circlepoints(vector(0, 0), 1.7), blackline)

gui "source $env(HOME)/TCL/dragTs.tcl"
gui "set n 0; set placex 20; set placey 20"
gui "T 160  87 R"
gui "T 142  87 r"
gui "writeTs"
-- (find-fline "/tmp/Ts")

SAVE ("2009-1-C2-prova-1-anel.eps")
-- (find-pspage "2009-1-C2-prova-1-anel.eps")

-- Figura 3:
Vector.__scale = function (v) return Vector((v[1]+4.5)*50+40, (v[2]-2)*-50+40) end
BOUNDS(-2.2, 4.4,  -1.5, 1.5)
CLEAR()
AXES()
line(circlepoints(vector(3, 0), 1), blackline)
SAVE ("2009-1-C2-prova-1-circulo.eps")
-- (find-pspage "2009-1-C2-prova-1-circulo.eps")




* (eepitch-lua51)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-lua51)
ee_dofile "~/LUA/vectors.lua"  -- (find-angg "LUA/vectors.lua")
print(getoutput("pwd"))
TCL()
Vector.__scale = function (v) return Vector((v[1]+4)*60+10, (v[2]-3)*-60+20) end
BOUNDS(-4.1, 4.1,  -1.1, 3.1)
CLEAR()
AXES()

-- Figura 1:
f = function (x) return 1-(x+3)^2 end
g = function (x) return 2*sqrt(x+4)-1 end
h = function (x) return ((x+4)/2)^2-1 end
k = function (x) return ((4-x)/2)^2-1 end
p = function (x) return 2*sqrt(4-x)-1 end
print(f(-4), f(-3), f(-2))
print(g(-4), g(-3), g(0))
print(h(-4), h(-2), h(0))
print(k(0),  k(2),  k(4))
print(p(0),  p(3),  p(4))

abn = function (a, b, n) return ab_as_x0xn(a, b, n) end
xstopoints = function (f, ...)
    local xs = append(...)
    local vs = map(withx(f), xs)
    -- return vs, xs
    return vs
  end
-- PP(xstopoints(f, abn(-4, -3, 20), abn (3, 4, 10)))
CLEAR() AXES()
blackline = "-width 4"
line(xstopoints(f, abn(-4, -2, 20)), blackline)
line(xstopoints(g, abn(-3, -0, 100)), blackline)
line(xstopoints(h, abn(-2, -0, 100)), blackline)
line(xstopoints(k, abn( 0,  4, 100)), blackline)
line(xstopoints(p, abn( 0,  4, 100)), blackline)

-- (find-es "tcl" "dragTs")
-- (find-angg "TCL/dragTs.tcl")
gui "source $env(HOME)/TCL/dragTs.tcl"
gui "set n 0; set placex 20; set placey 20"
gui "T  29 139 f"
gui "T 130  61 g"
gui "T 202 117 h"
gui "T 301 128 k"
gui "T 372  70 p"
gui "T  66 167 A"
gui "T 144 112 B"
gui "T 246 143 C"
gui "T 411 193 D"
gui "writeTs"
-- (find-fline "/tmp/Ts")

SAVE ("2009-1-C2-prova-1-areas.eps")
-- (find-pspage "2009-1-C2-prova-1-areas.eps")






% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% modes: (latex-mode lua-mode fundamental-mode)
% End: