% (find-LATEX "2024-1-C3-VRP2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C3-VRP2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C3-VRP2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-1-C3-VRP2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C3-VRP2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-VRP2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C3-VRP2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C3-VRP2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2024-1-C3-VRP2")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-1-C3-VRP2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C3-VRP2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C3-VRP2.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C3-VRP2.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C3-VRP2.pdf
%               file:///tmp/2024-1-C3-VRP2.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-1-C3-VRP2.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3-VRP2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C3-VRP2" "3" "c3m241vrp2" "c3vr2")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.questao-1»		(to "questao-1")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m241vrp2p 1 "title")
% (c3m241vrp2a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.1}

\bsk

Prova de reposição (VR)

pra quem perdeu a P2

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m241vrp2p 2 "links")
% (c3m241vrp2a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}

\newpage

%   ___                  _                _ 
%  / _ \ _   _  ___  ___| |_ __ _  ___   / |
% | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \  | |
% | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) | | |
%  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_|
%                                           
% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c3m241vrp2p 3 "questao-1")
% (c3m241vrp2a   "questao-1")
% (c3m241p2p 3 "questao-1")
% (c3m241p2a   "questao-1")
% (c3m222vrp 2 "questao-1")
% (c3m222vra   "questao-1")

{\bf Questão 1.}

\scalebox{0.4}{\def\colwidth{13.5cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

\T(Total: 10.0 pts)

\msk

Lembre que $\Int(A)$ é o interior de $A$, $\ovl{A}$ é o fecho de $A$,
$∂A$ é a fronteira de $A$, e que se $f$ é uma função de $A$ em $B$
então $f^{-1}$ é a ``imagem inversa de $F$'', que é definida de um
jeito quando o argumento é um número e de outro jeito quando o
argumento é um conjunto. Se $b∈A$ e $C⊂B$, então:
%
$$\begin{array}{rcl}
  f^{-1}(b) &=& \setofst{a∈A}{f(a)=b} \\
  f^{-1}(C) &=& \setofst{a∈A}{f(a)∈C} \\
  \end{array}
$$


Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  C_1 &=& \setofxyst{x∈\{0,1,2\},y∈\{0,1,2,3,4\}} \\
  C_2 &=& \setofxyst{x∈[0,2],y∈[0,4]} \\
  C_N &=& \setofxyst{x∈[0,2],y∈[2,4]} \\
  C_S &=& \setofxyst{x∈[0,2],y∈[0,2]} \\
  F_{PN}(x,y) &=& y+x^2 \\
  F_{CS}(x,y) &=& x^2+(y-2)^2 \\
  D_N &=& \setofst{(x,y)∈C_N}{F_{PN}(x,y)≤4} \\
  D_S &=& \setofst{(x,y)∈C_S}{F_{CS}(x,y)≤4} \\
  D_L &=& \setofst{(x,y)∈C_2}{F_{CS}(x,y)≤1} \\
  D   &=& \ovl{((D_N∪D_S) \bsl D_L)} \\
  D'  &=& D \bsl \{(2,2)\} \\
  G(x,y) &=& (x-1)^2+y^2 \\
  \end{array}
$$
%
e:
%
$$\begin{array}{rcrcl}
  H         &:& D &\to& \R \\ 
             && (x,y) &\mto& G(x,y) \\
  \end{array}
$$

As letras $N$, $S$, $P$ e $C$ às vezes querem dizer ``norte'',
``sul'', ``parábola'' e ``círculo'', e $C$ e $D$ às vezes querem dizer
``conjunto'' e ``domínio''.

\msk

a) \B (0.3 pts) Faça os diagramas de numerozinhos das funções
$F_{PN}$, $F_{CS}$ e $G$ nos pontos de $C_1$. Cada diagrama vai ter
$3×5=15$ numerozinhos.

\ssk

b) \B (1.2 pts) Desenhe as curvas de nível das funções $F_{PN}$,
$F_{CS}$ e $G$ em $C_2$. Note que $C_2$ é um retângulo $2×4$.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Desenhe os conjuntos $C_N$, $C_S$, $D_N$, $D_S$, $D_L$
e $D$.

}\anothercol{

\vspace*{-1.75cm}

d) \B (1.0 pts) A fronteira $∂D$ tem seis ``vértices''. Chame-os de
$V_1, \ldots, V_6$ e dê as coordenadas -- exatas ou aproximadas -- de
cada um deles. Nos casos em que for difícil encontrar as coordenadas
exatas use a notação `$≈$' -- por exemplo, escreva $P_{42}≈(1.2,3.4)$
ao invés de $P_{42}=(1.2,3.4)$.

\ssk

e) \B (2.0 pts) Faça um desenho bem grande com o conjunto $D$ e as
curvas de nível da função $H$; desenhe as curvas de nível pelo menos
para $z=1$, $z=4$ e $z=9$. Use esse desenho para determinar -- no
olhômetro mesmo -- quais são os pontos de máximos e mínimos locais da
função $H$. Chame esses pontos de $M_1, M_2, \ldots$ e dê as
coordenadas exatas ou aproximadas de cada um deles, como no item
anterior.

\ssk

\def\HIL{H_{\text{IL}}}

f) \B (1.0 pts) Defina uma função contínua $\HIL:D'→\R$ tal que
$\HIL(D')$ seja um conjunto ilimitado.

\bsk

O ponto (1,3) não é um máximo local da função $H$, e nos próximos
itens você vai fazer o {\sl início} de uma prova formal disto. Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  (x_0,y_0) &=&(1,3) \\
  P_0 &=& (x_0,y_0) \\
  \uu &=& ∇F_{PN}(x_0,y_0) \\
  \vv &=& ∇G(x_0,y_0) \\
  \ww &=& \vv-3\uu \\
  P(t) &=& P_0 + t\ww \\
  r &=& \setofst{P(t)}{t∈\R} \\
  \end{array}
$$

\ssk

g) \B (0.5 pts) Calcule $\uu, \vv, \ww$.

\ssk

h) \B (1.5 pts) Faça um desenho -- grande, mas pode ser meio torto --
que mostre $∂D, P_0, P_0+\uu/10, P_0+\vv/10, P_0+\ww/10$ e a reta $r$.
Lembre que como $r$ é uma reta parametrizada a gente costuma pôr
anotações como `$t=0$', `$t=1$', `$t=0.1$' em alguns pontos dela.

\ssk

i) \B (2.0 pts) Encontre no olhômetro um $ε>0$ tal que isto seja
verdade,
%
$$P([0,ε)) \, ⊂ \, D$$
%
e faça um outro desenho que pode ser meio torto, e que mostre $∂D$ e
$P([0,ε))$. Diga qual $ε$ você escolheu!





}}


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-1-C3-VRP2")
# (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-1-C3-VRP2" "-pp" "pages=3,fitpaper,landscape=true")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3vr2"
% ee-tla: "c3m241vrp2"
% End: