|
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% (find-LATEX "2021-2-C3-taylor.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C3-taylor.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C3-taylor.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C3-taylor.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C3-taylor.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C3-taylor.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C3-taylor.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C3-taylor"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C3-taylor.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C3-taylor")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C3-taylor.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C3-taylor.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C3-taylor.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C3-taylor.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C3-taylor.pdf
% file:///tmp/2021-2-C3-taylor.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C3-taylor.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-taylor.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C3-taylor" "3" "c3m212ta" "c3ta")
% «.video-1» (to "video-1")
% «.video-2» (to "video-2")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.ideia-basica-1» (to "ideia-basica-1")
% «.ideia-basica-2» (to "ideia-basica-2")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.derivs-e-derivs0» (to "derivs-e-derivs0")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.approx» (to "approx")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-4-maxima» (to "exercicio-4-maxima")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «video-1» (to ".video-1")
% (find-ssr-links "c3m212ta" "2021-2-C3-taylor" "nug1S2GbY3U")
% (code-eevvideo "c3m212ta" "2021-2-C3-taylor" "nug1S2GbY3U")
% (code-eevlinksvideo "c3m212ta" "2021-2-C3-taylor" "nug1S2GbY3U")
% (find-c3m212tavideo "0:00" "19/jan/2022")
% (find-c3m212tavideo "6:05" "Algumas definições")
% «video-2» (to ".video-2")
% (find-ssr-links "c3m212ta2" "2021-2-C3-taylor-2" "KjlfSQvsFYU")
% (code-eevvideo "c3m212ta2" "2021-2-C3-taylor-2" "KjlfSQvsFYU")
% (code-eevlinksvideo "c3m212ta2" "2021-2-C3-taylor-2" "KjlfSQvsFYU")
% (find-c3m212ta2video "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%
% %L dofile "2021pict2e.lua" -- (find-LATEX "2021pict2e.lua")
% %L Pict2e.__index.suffix = "%"
% \pu
% \def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
% \def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\derivs{\mathsf{derivs}}
\def\frt#1{\frac{f^{(#1)}(0)}{#1!}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m212tap 1 "title")
% (c3m212taa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2021.2}
\bsk
Aula 24: Séries de Taylor
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «ideia-basica-1» (to ".ideia-basica-1")
% (c3m212tap 2 "ideia-basica-1")
% (c3m212taa "ideia-basica-1")
% (c3m211tap 2 "taylor-1")
% (c3m211taa "taylor-1")
{\bf A idéia básica}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que $f(x)$ é um polinômio.
Digamos que o grau dele é 4, pra simplificar.
Digamos que $f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4$.
Então:
%
\def\b#1{\hbox to 25pt{\hss$#1$\hss}}
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \b{a} + \b{bx} + \b{cx^2} + \b{dx^3} + \b{ex^4} \\
f'(x) &=& \b{b} + \b{2cx} + \b{3dx^2} + \b{4ex^3} \\
f''(x) &=& \b{2c} + \b{6dx} + \b{12ex^2} \\
f'''(x) &=& \b{6d} + \b{24ex} \\
f''''(x) &=& \b{24e} \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
f(0) &=& a \\
f'(0) &=& b \\
f''(0) &=& 2c \\
f'''(0) &=& 6d \\
f''''(0) &=& 24e \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{m}
a &=& f(0) \\
b &=& f'(0) \\
c &=& f''(0)/2 \\
d &=& f'''(0)/6 \\
e &=& f''''(0)/24 \\
\end{array}
%
$$
E portanto:
%
$$f(x) \;\; = \;\;
f(0)
+ f'(0) x
+ \frac{f''(0)}{2} x^2
+ \frac{f'''(0)}{6} x^3
+ \frac{f''''(0)}{24} x^4
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «ideia-basica-2» (to ".ideia-basica-2")
% (c3m212tap 3 "ideia-basica-2")
% (c3m212taa "ideia-basica-2")
{\bf A idéia básica (2)}
\scalebox{0.72}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Agora vamos tentar generalizar isso.
Digamos que $f(x)$ é um polinômio.
Digamos que o grau dele é $k$, e que \ColorRed{por enquanto} $k=4$.
Digamos que $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4$.
A notação $f^{(k)}$, como o $(k)$ entre parênteses, quer dizer
``$f$ derivada $k$ vezes''. Por exemplo, $f^{(4)} = f''''$, e $f^{(0)} = f$.
Então:
%
\def\b#1{\hbox to 27.5pt{\hss$#1$\hss}}
%
$$\begin{array}{rcl}
f^{(0)}(x) &=& \b{a_0} + \b{a_1x} + \b{a_2x^2} + \b{a_3x^3} + \b{a_4x^4} \\
f^{(1)}(x) &=& \b{a_1} + \b{2a_2x} + \b{3a_3x^2} + \b{4a_4x^3} \\
f^{(2)}(x) &=& \b{2a_2} + \b{6a_3x} + \b{12a_4x^2} \\
f^{(3)}(x) &=& \b{6a_3} + \b{24a_4x} \\
f^{(4)}(x) &=& \b{24a_4} \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{ii}
f^{(0)}(0) &=& 0!\,a_0 \\
f^{(1)}(0) &=& 1!\,a_1 \\
f^{(2)}(0) &=& 2!\,a_2 \\
f^{(3)}(0) &=& 3!\,a_3 \\
f^{(4)}(0) &=& 4!\,a_4 \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{m}
a_0 &=& f^{(0)}(0)/0! \\
a_1 &=& f^{(1)}(0)/1! \\
a_2 &=& f^{(2)}(0)/2! \\
a_3 &=& f^{(3)}(0)/3! \\
a_4 &=& f^{(4)}(0)/4! \\
\end{array}
%
$$
E portanto:
%
$$\def\frt#1{\frac{f^{(#1)}(0)}{#1!}}
f(x) \;\; = \;\;
\frt0 x^0
+ \frt1 x^1
+ \frt2 x^2
+ \frt3 x^3
+ \frt4 x^4
\;\; = \;\;
\D \sum_{k=0}^{4} \frt{k} x^k
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3tap 4 "exercicio-1")
% (c3taa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
A fórmula do slide anterior também funciona
pra polinômios com grau menor que 4.
Verifique o que ela faz quando
%
$$f(x) = 42x^2 + 99x + 200.$$
Lembre que no ensino médio você era obrigado
a ``simplificar'' $4·5·6·999$ para 119880, mas
em Cálculo 2 você tem que encontrar jeitos
de escrever que sejam mais simples de ler e
de verificar... pra gente \ColorRed{em certos contextos}
$4·5·6·999$ é mais ``simples'' que 119880.
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3tap 5 "exercicio-2")
% (c3taa "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Tente aplicar a fórmula $(*)$ abaixo
%
$$f(x) \;\; = \;\;
\D \sum_{k=0}^{4} \frt{k} x^k
\qquad \qquad (*)
$$
a esta $f$ aqui: $f(x) = 200x^5$.
\msk
a) O que acontece?
\msk
b) Tente escrever em detalhes o que dá errado.
Você vai precisar de notação matemática \ColorRed{E} português.
Tente aprender as convenções que eu usei nos PDFs
e as convenções que os livros usam, e lembre que se
você começar escrevendo uma igualdade qualquer leitor
que não seja muito seu amigo vai interpretá-la
como uma \ColorRed{afirmação}.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «derivs-e-derivs0» (to ".derivs-e-derivs0")
% (c3m212tap 5 "derivs-e-derivs0")
% (c3m212taa "derivs-e-derivs0")
% (c3m211tap 2 "taylor-1")
% (c3m211taa "taylor-1")
{\bf As operações $\derivs$ e $\derivs_0$}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Sejam $\derivs$ e $\derivs_0$ as seguintes operações --
que vão nos ajudar muito nas contas:
%
$$\begin{array}{rcl}
\derivs(f) &=& (f, f', f'', f''', \ldots) \\
\derivs_0(f) &=& (f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), \ldots) \\
\end{array}
$$
Repare que $\derivs(f)$ retorna uma sequência infinita de \ColorRed{funções}
e $\derivs_0(f)$ retorna uma sequência infinita de \ColorRed{números}.
\msk
Um exemplo: se $f(x) = ax^2 + bx + c$, então:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
f(x) &=& ax^2 + bx + c, && f(0) &=& c, \\
f'(x) &=& 2ax + b, && f'(0) &=& b, \\
f''(x) &=& 2a, && f''(0) &=& 2a, \\
f'''(x) &=& 0, && f'''(0) &=& 0, \\
\end{array}
$$
e:
%
$$\begin{array}{rcl}
\derivs(f) &=& (ax^2 + bx + c, \; 2ax + b, \; 2a, \; 0, 0, 0, \ldots) \\
\derivs_0(f) &=& (c, b, 2a, 0, 0, 0, \ldots) \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c3m212tap 7 "exercicio-3")
% (c3m212taa "exercicio-3")
{\bf Algumas definições}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{6.5cm}\firstcol{
Isto aqui
%
$$\D \sum_{k=0}^{n} \frt{k} x^k
$$
é a {\sl série de Taylor da função $f$
no ponto 0 truncada até grau $n$},
e isto aqui
%
$$\begin{array}{rr}
& \D \lim_{n→∞} \sum_{k=0}^{n} \frt{k} x^k, \\[15pt]
\text{ou:}
& \D \sum_{k=0}^{∞} \frt{k} x^k
\end{array}
$$
é a {\sl série de Taylor da função $f$
no ponto 0}.
}\def\colwidth{10cm}%
\anothercol%
{
{\bf Exercício 3.}
Seja $f(x) = \sen x$.
\msk
a) Calcule as 8 primeiras
componentes de $\derivs(f)$.
\msk
b) Calcule as 8 primeiras
componentes de $\derivs_0(f)$.
\msk
c) Calcule a série de Taylor
de $\sen x$ truncada até grau 7.
\msk
d) Seja $g(x)$ a série de Taylor
de $\sen x$ truncada até grau 7;
Calcule $g(0.1)$ \ColorRed{na mão} e
compare o seu resultado com
o resultado de calcular $\sen 0.1$
na calculadora ou no computador.
}}
\newpage
% «approx» (to ".approx")
% (c3m212tap 8 "approx")
% (c3m212taa "approx")
{\bf A notação com `$≈$'}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
O sinal `$≈$' que dizer ``é aproximadamente igual a'',
mas ele não diz quão boa é a aproximação...
Estas duas afirmações são ambas verdadeiras:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(0.42) &≈& f(0) + f'(0)·0.42 + \frac{f''(0)}{2}(0.42)^2 \\[5pt]
f(0.42) &≈& f(0) + f'(0)·0.42
+ \frac{f'' (0)}{2}(0.42)^2
+ \frac{f'''(0)}{6}(0.42)^3 \\
\end{array}
$$
Até daria pra formalizar essa afirmação aqui
usando um limite,
%
$$f(x) \;\;=\;\;
f(0) + f'(0)·x + \frac{f''(0)}{2}x^2
$$
Mas eu não sei como formalizar precisamente
a versão com $0.42$ no lugar do $x$... \quad $\frown$
%}\anothercol{
}}
\newpage
{\bf A tradução pra notação de físicos}
Temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &≈& f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 \\
\end{array}
$$
Acho que vocês devem conseguir acreditar nisso aqui...
(a gente pode checar os detalhes depois!)
%
$$\begin{array}{rcl}
g(x_0 + Δx) &≈& g(x_0) + g'(x_0)Δx + \frac{g''(x_0)}{2}(Δx)^2 \\[2.5pt]
h(x + Δx) &≈& h(x) + h'(x)Δx + \frac{h''(x)}{2}(Δx)^2 \\
\end{array}
$$
E se $y=y(x)$ então:
%
$$\begin{array}{rcl}
y(x+Δx) &≈& y + y_x Δx + \frac{y_{xx}}{2} (Δx)^2 \\[2.5pt]
y(x+Δx) &≈& y + y_x Δx + \frac{y_{xx}}{2} (Δx)^2 + \frac{y_{xxx}}{6} (Δx)^3 \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf As versões truncadas de $\derivs$, $\derivs_0$ e $\derivs_p$}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Vamos definir $\derivs^n$ e $\derivs_0^n$ como as versões ``truncadas até grau $n$''
de $\derivs$ e $\derivs_0$...
\msk
$\derivs^n(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs^n(f)$, e
$\derivs^n_0(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs_0^n(f)$.
\msk
Além disso $\derivs_p(f)$ vai ser a lista infinita $(f(p), f'(p), f''(p), \ldots)$, e
$\derivs_p^n(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs_p^n(f)$.
\msk
Exemplo:
%
$$\derivs_{42}^2(f) \;\;=\;\; (f(42), f'(42), f''(42)).
$$
Vamos nos referir a $\derivs_p^n(f)$ como ``as derivadas de $f$ até grau $n$ no
ponto $p$''. Repare que $f(42)$ é a ``derivada de $f$ de grau 0 no ponto 42'',
$f'(42)$ é a ``derivada de $f$ de grau 1 no ponto 42'', etc...
\msk
Antes o termo ``grau'' não servia pra falar de número de vezes que uma
função foi derivada, mas agora passou a servir. \quad $\smile$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m212tap 11 "exercicio-4")
% (c3m212taa "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Digamos que $x_0 = 10$, $f(x)=x^3$, $y_0=f(x_0)$, $g(y)=\sen y$.
\msk
a) Calcule $\derivs_{x_0}^1(f(x))$.
\ssk
b) Calcule $\derivs_{y_0}^1(g(y))$.
\ssk
c) Calcule $\derivs_{x_0}^1(g(f(x)))$.
\bsk
Seja $h(x) = g(f(x))$ --- ou seja, $h = g∘f$.
\msk
d) Calcule $\derivs_{x_0}^2(h(x))$.
\newpage
% «exercicio-4-maxima» (to ".exercicio-4-maxima")
% (c3m212tap 12 "exercicio-4-maxima")
% (c3m212taa "exercicio-4-maxima")
{\bf Exercício 4: gabarito em código}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T load("/usr/share/emacs/site-lisp/maxima/emaxima.lisp")$
%T display2d:'emaxima$
%T f : x^3;
%T g : sin(y);
%T h : subst([y=f], g);
%T diff(h, x);
%T [h, diff(h, x)];
%T x0 : 10;
%T y0 : subst([x=x0], f);
%T z0 : subst([x=x0], h);
%T subst([x=x0], [h, diff(h, x)]);
{\footnotesize
\begin{maximasession}
\maximaoutput*
\i3. f : x^3; \\
\o3. x^3 \\
\i4. g : sin(y); \\
\o4. \sin y \\
\i5. h : subst([y=f], g); \\
\o5. \sin x^3 \\
\i6. diff(h, x); \\
\o6. 3\,x^2\,\cos x^3 \\
\i7. [h, diff(h, x)]; \\
\o7. \left[ \sin x^3 , 3\,x^2\,\cos x^3 \right] \\
\i8. x0 : 10; \\
\o8. 10 \\
\i9. y0 : subst([x=x0], f); \\
\o9. 1000 \\
\i10. z0 : subst([x=x0], h); \\
\o10. \sin 1000 \\
\i11. subst([x=x0], [h, diff(h, x)]); \\
\o11. \left[ \sin 1000 , 300\,\cos 1000 \right] \\
\end{maximasession}
Obs: aí não tem a resposta do item d...
}
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3m212tap 15 "exercicio-5")
% (c3m212taa "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
Este exercício é uma versão mais geral do exercício 4.
Digamos que $f$ e $g$ são funções suaves de $\R$ em $\R$.
(Uma função é ``suave'' quando ela pode ser derivada
infinitas vezes. A função $|x|$ não é suave).
Digamos que $x_0∈\R$, $y_0=f(x_0)$, e $h=g∘f$.
\msk
a) Calcule $\derivs_{x_0}^2(h(x))$.
\msk
Repare que neste caso ``calcule'' quer dizer algo como
``expanda e simplifique a expressão que você obtiver''...
Existem vários tipos de expansão e simplificação, e os
programas de computação simbólica dão um nome pra cada
tipo e permitem que você escolha quais vão ser aplicadas.
\newpage
{\bf Exercício 5 (cont.)}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Agora sejam $y=y(x)=f(x)$ e $z=z(y)=g(y)$.
\msk
b) Traduza o seu $\derivs_{x_0}^2(h(x))$ do item (a)
pra notação de físicos.
\msk
Dica (pequena): $\ddx g(f(x_0)) = z_y y_x$.
\bsk
\bsk
c) Calcule $\derivs_{x_0}^{\ColorRed{3}}(z)$ usando notação de físicos.
\msk
Nas próximas páginas eu pus um ``gabarito em código'' do
item (b). O modo mais fácil de usar a ``notação de físicos''
no Maxima é traduzir entre ela e a ``notação de matemáticos''
sempre que necessário. No item (c) as contas em ``notação de
matemáticos'' ficam gigantescas, mas se você conseguir fazer
elas todas em ``notação de físicos'' elas ficam pequenas.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T load("/usr/share/emacs/site-lisp/maxima/emaxima.lisp")$
%T display2d:'emaxima$
%T gradef(y (x), y_x (x));
%T gradef(y_x(x), y_xx(x));
%T gradef(z (y), z_y (y));
%T gradef(z_y(y), z_yy(y));
%T z : z(y(x));
%T z__x : diff(z, x);
%T z__xx : diff(z__x, x);
%T gradefs;
%T ex : z__xx;
%T ex : subst([y (x)=y], ex);
%T ex : subst([y_x (x)=y_x], ex);
%T ex : subst([y_xx(x)=y_xx], ex);
%T ex : subst([z (y)=z], ex);
%T ex : subst([z_y (y)=z_y], ex);
%T ex : subst([z_yy(y)=z_yy], ex);
%T ex : expand(ex);
{\footnotesize
\begin{maximasession}
\maximaoutput*
\i3. gradef(y (x), y_x (x)); \\
\o3. y\left(x\right) \\
\i4. gradef(y_x(x), y_xx(x)); \\
\o4. \mathrm{y\_x}\left(x\right) \\
\i5. gradef(z (y), z_y (y)); \\
\o5. z\left(y\right) \\
\i6. gradef(z_y(y), z_yy(y)); \\
\o6. \mathrm{z\_y}\left(y\right) \\
\i7. z : z(y(x)); \\
\o7. z\left(y\left(x\right)\right) \\
\i8. z__x : diff(z, x); \\
\o8. \mathrm{y\_x}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\left(x\right)\right) \\
\i9. z__xx : diff(z__x, x); \\
\o9. \mathrm{y\_x}\left(x\right)^2\,\mathrm{z\_yy}\left(y\left(x\right)\right)+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\left(x\right)\right) \\
\i10. gradefs; \\
\o10. \left[ y\left(x\right) , \mathrm{y\_x}\left(x\right) , z\left(y\right) , \mathrm{z\_y}\left(y\right) \right] \\
\i11. ex : z__xx; \\
\o11. \mathrm{y\_x}\left(x\right)^2\,\mathrm{z\_yy}\left(y\left(x\right)\right)+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\left(x\right)\right) \\
\i12. ex : subst([y (x)=y], ex); \\
\o12. \mathrm{y\_x}\left(x\right)^2\,\mathrm{z\_yy}\left(y\right)+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\right) \\
\i13. ex : subst([y_x (x)=y_x], ex); \\
\o13. \mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\right) \\
\i14. ex : subst([y_xx(x)=y_xx], ex); \\
\o14. \mathrm{z\_y}\left(y\right)\,\mathrm{y\_xx}+\mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2 \\
\i15. ex : subst([z (y)=z], ex); \\
\o15. \mathrm{z\_y}\left(y\right)\,\mathrm{y\_xx}+\mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2 \\
\i16. ex : subst([z_y (y)=z_y], ex); \\
\o16. \mathrm{y\_xx}\,\mathrm{z\_y}+\mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2 \\
\i17. ex : subst([z_yy(y)=z_yy], ex); \\
\o17. \mathrm{y\_x}^2\,\mathrm{z\_yy}+\mathrm{y\_xx}\,\mathrm{z\_y} \\
\end{maximasession}
}
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C3-taylor veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C3-taylor pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3ta"
% ee-tla: "c3m212ta"
% End: