|
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% (find-LATEX "2021-2-C2-edovs.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-edovs.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-edovs.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-edovs.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-edovs.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-edovs.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-edovs.tex"))
% (defun p () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-edovs"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-edovs.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-edovs")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-edovs.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-edovs.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-edovs.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-edovs.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-edovs.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-edovs.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-edovs.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-edovs.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-edovs" "2" "c2m212edovs" "c2ev")
% «.videos-antigos» (to "videos-antigos")
%
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.campos-dirs» (to "campos-dirs")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.como-testar-uma-sol» (to "como-testar-uma-sol")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.funcoes-inversas» (to "funcoes-inversas")
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% «.coisas-implicitas» (to "coisas-implicitas")
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% «.numeracao» (to "numeracao")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «videos-antigos» (to ".videos-antigos")
% (c2m202edovsa "video-1")
% (c2m202edovsa "video-2")
% (c2m211edovsa "video-1")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m212edovs" "2021-2-C2-edovs" "{naoexiste}")
% (code-eevvideo "c2m212edovs" "2021-2-C2-edovs")
% (code-eevlinksvideo "c2m212edovs" "2021-2-C2-edovs")
% (find-c2m212edovsvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%
% %L dofile "2021pict2e.lua" -- (find-LATEX "2021pict2e.lua")
% %L Pict2e.__index.suffix = "%"
% \pu
% \def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
% \def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
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% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\D {\displaystyle}
\def\Rd#1{\ColorRed{#1}}
\def\dydx{\frac{dy}{dx}}
\def\pfo #1{\ensuremath{\mathsf{[#1]}}}
\def\pfot#1{\ensuremath{\textsf{[#1]}}}
\def\EDOVSGone{
\left(
\begin{array}{rcl}
\D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{f(x)}{g(y)} \\ [10pt]
g(y) \, dy &=& f(x) \, dx \\ [5pt]
∫ g(y) \, dy &=& ∫ f(x) \, dx \\
\rotl{=}\ph{mm} & & \ph{mm}\rotl{=} \\[-5pt]
G(y) + C_1 & & F(x) + C_2 \\
[5pt]
G(y) + C_1 &=& F(x) + C_2 \\ [5pt]
G(y) &=& F(x) + C_2 - C_1 \\
&=& F(x) + C_3 \\
[5pt]
G^{-1}(G(y)) &=& G^{-1}(F(x) + C_3) \\
\rotl{=}\ph{mm} & & \\[-5pt]
y\ph{mm} & & \\
\end{array}
\right)
}
\def\EDOVSGtwo{
\left(
\begin{array}{rcl}
\D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{f(x)}{g(y)} \\ [10pt]
y &=& G^{-1}(F(x) + C_3) \\
\end{array}
\right)
}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212edovsp 1 "title")
% (c2m212edovsa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aula 26: EDOs com variáveis separáveis
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c2m211edovsp 2 "introducao")
% (c2m211edovs "introducao")
{\bf Introdução}
Seja $(*)$ a EDO abaixo:
%
$$f'(x) = 2x \qquad (*)$$
Ela tem muitas soluções. Por exemplo, $f(x) = x^2$
e $f(x) = x^2+3$ são duas soluções diferentes dela.
\msk
Desenhando várias soluções dela num gráfico ---
veja o próximo slide --- dá pra entender como é o
conjunto de todas as soluções dela: ele é um conjunto
de infinitas curvas disjuntas, que ``cobrem o $\R^2$ todo'',
no sentido de que cada ponto $(x,y)∈\R^2$ pertence a
exatamente uma dessas curvas (ou: ``soluções'').
\msk
Por exemplo, o ponto $(2,5)$ pertence à solução $f(x) = x^2+1$.
\newpage
A ``solução geral'' da EDO $f'(x) = 2x$ é $f(x) = x^2 + C;$
para obter soluções particulares substituimos esse $C$
por números. Por exemplo, a solução de
%
$$f'(x) = 2x, \qquad f(2)=5$$
é $f(x) = x^2 + 1.$
\newpage
% «campos-dirs» (to ".campos-dirs")
% (c2m211edovsp 4 "campos-dirs")
% (c2m211edovs "campos-dirs")
{\bf Campos de direções}
Vamos agora considerar esta outra EDO:
%
$$f'(x) = -\frac xy$$
Nós ainda não sabemos quais são as soluções dela...
Mas existe um jeito simples de interpretar graficamente
o que ela quer dizer. Para cada ponto $(x,y)∈\R^2$ a
\ColorRed{fórmula} $\frac{dy}{dx} = -\frac xy$ nos permite calcular o coeficiente
angular \ColorRed{no ponto $(x,y)$} da solução que passa pelo ponto $(x,y)$.
Por exemplo:
%
\def\atpt#1#2{\sm{(x,y)=(#1) \\ ⇒ \; \frac{dy}{dx}=#2 }}
%
$$\begin{array}{ccccc}
\atpt{-2,2}{1} & \atpt{-1,2}{1/2} & \atpt{0,2}{0} & \atpt{1,2}{-1/2} & \atpt{2,2}{-1} \\ \\
\atpt{-2,1}{2} & \atpt{-1,1}{1} & \atpt{0,1}{0} & \atpt{1,1}{1} & \atpt{2,1}{-2} \\
% \atpt{-2,2}{1} & \atpt{-1,2}{1/2} & \atpt{0,2}{0} & \atpt{1,2}{1} & \atpt{2,2}{1} \\
\end{array}
$$
\newpage
Veja as figuras daqui:
\ssk
{
\footnotesize
% http://angg.twu.net/2020.2-C2/thomas_secoes_15.1_ate_15.3.pdf
% (code-pdf-page "thomas15" "$S/http/angg.twu.net/2020.2-C2/thomas_secoes_15.1_ate_15.3.pdf")
% (code-pdf-text "thomas15" "$S/http/angg.twu.net/2020.2-C2/thomas_secoes_15.1_ate_15.3.pdf")
% (find-thomas15page)
% (find-thomas15text)
\url{http://angg.twu.net/2020.2-C2/thomas_secoes_15.1_ate_15.3.pdf}
}
\ssk
Os gráficos que usam tracinhos em certos pontos pra indicar
coeficientes angulares naqueles pontos são gráficos de
{\sl campos de direções}.
\msk
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m211edovsp 5 "exercicio-1")
% (c2m211edovs "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
Represente graficamente os campos de direções abaixo desenhando
tracinhos com os coeficientes angulares adequados nos pontos com
$x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$; ou seja, em cada item você vai ter que desenhar
25 tracinhos. Quando $\frac{dy}{dx} = ∞$ desenhe o tracinho na
vertical.
\msk
\begin{tabular}[t]{rl}
a) & $\dydx = -1$ \\
b) & $\dydx = x$ \\
c) & $\dydx = 2x$ \\
d) & $\dydx = -x/y$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}[t]{rl}
e) & $\dydx = 1/y$ \\
f) & $\dydx = 2/y$ \\
g) & $\dydx = -y/x$ \\
% d) & $ $ \\
\end{tabular}
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m211edovsp 6 "exercicio-2")
% (c2m211edovs "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Tente imaginar o resto de cada um dos 7 campos de direções que você
desenhou no exercício 1. Para cada um dos campos tente imaginar as
curvas que você obteria se ligasse todos os tracinhos, e tente
interpretar essas curvas como o conjunto de soluções da EDO que
representamos graficamente como o campo de direções. Neste exercício
você vai tentar encontrar soluções para EDOs no olhômetro a partir dos
campos de direções delas.
Para cada uma das funções abaixo diga quais das 7 EDOs do exercício 1
podem ter aquela função como solução.
\msk
a) $y=x^2$
b) $y=\sqrt{x}$
c) $y=1/x$
d) $y=\sqrt{1-x^2}$
\newpage
Na página seguinte temos o método geral para resolver EDOs
com variáveis separáveis. Vou chamá-lo de $\pfo{EDOVSG}$ pra
podermos discutir como obter casos particulares dele usando
a operação `$[:=]$', ao invés de termos que escrever coisas
como ``substituindo $f(x)$ por $▁▁$ acima obtemos...''.
\ssk
O método \pfo{EDOVSG} usa algumas gambiarras --- veja o
vídeo pra explicações.
\newpage
$\pfo{EDOVSG} =
\left(
% (find-latexscan-links "C2" "20210416_edovs_caso_geral")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210416_edovs_caso_geral.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=7.5cm]{2020-2-C2/20210416_edovs_caso_geral.pdf}
}
\right)
$
\newpage
Digamos que queremos resolver esta EDO:
%
$$\dydx = -\frac{x}{y}$$
Aparentemente dá pra resolvê-la usando
%
$$\pfo{EDOVSG}\bmat{f(x):=-x \\ g(y):=y}\;,$$
mas também precisamos das primitivas $F(x)$ e $G(y)$,
e da inversa $G^{-1}(y)$... a substituição certa é:
%
$$\pfo{EDOVSG}
\bmat{f(x):=-x \\
g(y):=y \\
F(x) := -\frac{x^2}{2} \\
G(y) := \frac{y^2}{2} \\
G^{-1}(z) := \sqrt{2z} \\
}
$$
\newpage
$\text{...que dá isto:}
\qquad
% (find-latexscan-links "C2" "20210416_edovs_circulos")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210416_edovs_circulos.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=7cm]{2020-2-C2/20210416_edovs_circulos.pdf}
}
$
(As últimas linhas têm passos extras.)
\newpage
% «como-testar-uma-sol» (to ".como-testar-uma-sol")
% (c2m211edovsp 11 "como-testar-uma-sol")
% (c2m211edovs "como-testar-uma-sol")
{\bf Como testar uma solução}
Digamos que estamos tentando resolver a EDO
%
$$\begin{array}{rcll}
f'(x) &=& \D -\frac{x}{f(x)}, & \qquad\text{ou:} \\[10pt]
\D \dydx &=& \D -\frac{x}{y} \\
\end{array}
$$
e queremos ver se estas duas funções são solução dela:
$f_1(x) = x^2 + 3$, $f_2(x) = \sqrt{25-x^2}$.
\newpage
{\bf Como testar uma solução (2)}
Basta fazer:
%
$$\scalebox{0.85}{$
\begin{array}{rcll}
\left( f'(x) = \D -\frac{x}{f(x)} \right)
\; \bmat{ f(x) := x^2 + 3 \\ f'(x) = 2x }
&=&
\left( 2x = \D -\frac{x}{x^2+3} \right)
\\[15pt]
\left( f'(x) = \D -\frac{x}{f(x)} \right)
\; \bmat{ f(x) := \sqrt{25-x^2} \\ f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} }
&=&
\left( \D \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = \D -\frac{x}{\sqrt{25-x^2}} \right)
\\
\end{array}
$}
$$
e ver se as igualdades da direita são verdadeiras para todo $x$
no domínio de cada função --- aliás, nos pontos em que a função
é derivável...
\msk
A função $f_1(x)=x^2$ está definida em todo $\R$ e é derivável
em $\R$, e a função $f_2(x) = \sqrt{25-x^2}$ está definida no intervalo
fechado $[-5,5]$ e é derivável no intervalo aberto $(-5,5)$.
\msk
Também dá pra testar soluções gerais, basta tratar os `$C$'s
delas como constantes.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m211edovsp 13 "exercicio-3")
% (c2m211edovs "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
No exercício 1g você desenhou o campo de direções desta EDO:
%
$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x} \qquad (**)$$
e pelo campo de direções você deve ter conseguido ter uma noção
de quais são as soluções dela... (dica: hipérboles!)
\msk
a) Resolva a EDO $(**)$ fazendo isto aqui:
%
$$\pfo{EDOVSG}
\bmat{f(x) = -1/x \\
g(y) = 1/y \\
F(x) = \Rd{?} \\
G(y) = \Rd{?} \\
G^{-1}(y) = \Rd{?} \\
}
$$
(Dica: preencha os `$\Rd{?}$'s corretamente)
\newpage
{\bf Exercício 3.}
b) Diga qual é a solução geral.
c) Teste a sua solução geral.
d) Obtenha a solução que passa pelo ponto $(2,3)$.
e) Obtenha a solução que passa pelo ponto $(2,-2)$.
\newpage
% «funcoes-inversas» (to ".funcoes-inversas")
% (c2m212edovsp 15 "funcoes-inversas")
% (c2m212edovsa "funcoes-inversas")
% (c2m211edovsp 15 "funcoes-inversas")
% (c2m211edovsa "funcoes-inversas")
{\bf Funções inversas por chutar e testar}
Digamos que
%
$$\begin{array}{rcl}
y &=& 3 + \sqrt{x+4}, \quad \text{isto é}, \\
f(x) &=& 3 + \sqrt{x+4},
\end{array}
$$
e sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
g(y) &=& (y-3)^2 + 4, \\
h(y) &=& (y-4)^2 + 3. \\
\end{array}
$$
Eu acho difícil ver só fazendo contas de cabeça se $f^{-1}(y) = g(y)$
ou se $f^{-1}(y) = h(y)$... então é bom a gente saber testar se as
inversas que a gente obteve de cabeça estão certas. O teste é:
%
$$\begin{array}{rcl}
(f^{-1}(f(x)) = x) \bsm{ f(x) := 3 + \sqrt{x+4} \\ f^{-1}(y) := (y-3)^2 + 4 } &=& \ColorRed{?} \\
(f^{-1}(f(x)) = x) \bsm{ f(x) := 3 + \sqrt{x+4} \\ f^{-1}(y) := (y-4)^2 + 3 } &=& \ColorRed{?} \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf Funções inversas por chutar e testar (2)}
O modo tradicional de obter inversas é por
uma série de passos, como:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& 3 + \sqrt{x+4} \\
y &=& 3 + \sqrt{x+4} \\
y - 3 &=& \sqrt{x+4} \\
(y - 3)^2 &=& x+4 \\
(y - 3)^2 - 4 &=& x \\
(y - 3)^2 - 4 &=& f^{-1}(y) \\
\end{array}
$$
...mas é importante a gente saber testar se
chegou na inversa certa.
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m211edovsp 17 "exercicio-4")
% (c2m211edovs "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Obtenha inversas para as seguintes funções:
%
$$\begin{array}{rcl}
f_1(x) &=& 2 + 3 \sqrt {5x+6} \\
f_2(x) &=& 2 + 3 \sqrt[4]{5x+6} \\
f_3(x) &=& 2 + 3 (4x+5)^6 \\
f_4(x) &=& 2 + 3 \ln(4x + 5) \\
f_5(x) &=& 2 + 3 e^{4x + 5} \\
f_6(x) &=& \sqrt{2 + 3 e^{4x + 5}} \\[10pt]
f_7(x) &=& \ln x \\
f_8(x) &=& \ln -x\\
f_9(x) &=& |x|\\
f_{10}(x) &=& \ln |x|\\
\end{array}
$$
\msk
Porque é que $f_9^{-1}(x)$ e $f_{10}^{-1}(x)$ não existem?
\newpage
{\bf Resolvendo ``direto''}
No segundo vídeo sobre esta parte da matéria -- este aqui:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2020-2-C2-edovs-2.mp4}
}
\ssk
eu comecei mostrando como resolver a EDO $$\frac{dy}{dx} = - \frac xy,$$
depois passei pro caso geral, $$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)},$$
e aí defini o ``método'' $\pfo{EDOVSG}$... e nos exercícios
que vieram depois disso nós usamos o $\pfo{EDOVSG}$
e a operação `$[:=]$'.
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m211edovsp 18 "exercicio-5")
% (c2m211edovs "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
a) Tente resolver esta EDO ``direto'',
como no início do vídeo:
%
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$$
E pare quando você chegar neste ponto:
%
$$y^2 = x + C_4$$
O passo seguinte, se seguirmos o método do vídeo, é
%
$$y = \ColorRed{±}\sqrt{x + C_4}...$$
\newpage
{\bf Exercício 5 (cont.)}
Podemos considerar que temos duas soluções gerais:
%
$$\begin{array}{rcl}
f_1(x) &=& \ColorRed{+}\sqrt{x + C_4}, \quad \text{e} \\
f_2(x) &=& \ColorRed{-}\sqrt{x + C_4}. \\
\end{array}
$$
b) Encontre o valor que $C_4$ que faz com que $f_1(2)=3$.
c) Encontre o valor que $C_4$ que faz com que $f_2(4)=-5$.
d) Encontre a solução que passa pelo ponto $(-3,-4)$.
\newpage
% «duas-formulas» (to ".duas-formulas")
% (c2m211edovsp 21 "duas-formulas")
% (c2m211edovsa "duas-formulas")
{\bf Duas fórmulas. Sejam:}
%
$$\begin{array}{rcl}
\pfo{EDOVSG1} &=& \scalebox{0.8}{$\EDOVSGone$} \\
\\[-5pt]
\pfo{EDOVSG2} &=& \scalebox{0.8}{$\EDOVSGtwo$} \\
\end{array}
$$
\newpage
% «coisas-implicitas» (to ".coisas-implicitas")
% (c2m211edovsp 22 "coisas-implicitas")
% (c2m211edovsa "coisas-implicitas")
Lembre que eu expliquei nos vídeos que à medida que a
matéria dos Cálculos avança cada vez mais coisas passam
a ser implícitas ao invés de explícitas...
\msk
A linha de cima do \pfo{S2I} dizia ``Se $F'(u) = f(u)$ então:''...
\msk
No \pfo{EDOVSG1} e no \pfo{EDOVSG2} vai ficar \ColorRed{implícito}
que temos que ter $F'(x) = f(x)$, $G'(y) = g(y)$,
$C_3 = C_2 - C_1$, $G^{-1}(G(y))$, e \ColorRed{todos} os domínios
também são omitidos...
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m211edovsp 23 "exercicio-6")
% (c2m211edovsa "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
\def\SubstExSix{
\bmat{ f(x) := 2x \\
g(y) := y^4 \\
G(y) := e^y \\
G^{-1}(x) := \ln x \\
}
}
a) Escreva o resultado da substituição
%
$$\pfo{EDOVSG1} \; \SubstExSix
$$
e escreva ``$= \pfo{E6}$'' à direita do seu resultado
pra indicar que nós vamos usar a expressão $\pfo{E6}$
pra nos referir a essa expressãozona.
\msk
b) Nessa substituição nós não obedecemos a condição
$G'(y) = g(y)$, e isso deve ter feito com que alguns dos
`$=$'s na sua \pfo{E6} sejam falsos. Quais?
\newpage
% «exercicio-6-dica» (to ".exercicio-6-dica")
% (c2m211edovsp 24 "exercicio-6-dica")
% (c2m211edovsa "exercicio-6-dica")
{\bf Dica pro exercício 6}
O resultado da 6a deve ser algo desta forma:
%
$$\scalebox{0.55}{$
\EDOVSGone \SubstExSix
\;\;=\;\;
\left(
\begin{array}{c} \ph{mmmmmmmmmmmmmmm} \\[150pt] \\ \ph{a} \end{array}
\right)
\;\; = \;\;
\pfo{E6}
$}
$$
\bsk
{\footnotesize
Outra dica...
Faça um retângulo de papel com a \pfo{EDOVSG1}, como este:
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/retangulo_de_papel.jpg}
}
\newpage
% «numeracao» (to ".numeracao")
% (c2m211edovsp 25 "numeracao")
% (c2m211edovsa "numeracao")
{\bf Tipos de `$=$'s}
Vamos numerar os `$=$'s da \pfo{EDOVSG1}:
$$\scalebox{0.8}{$\EDOVSGone$}
\qquad
\left(
\myvcenter{
% (find-latexscan-links "C2" "20210916_EDOVSG1_numeracao")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C2/20210916_EDOVSG1_numeracao.pdf")
\includegraphics[height=5.15cm]{2021-1-C2/20210916_EDOVSG1_numeracao.pdf}
}
\right)
$$
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-edovs veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-edovs pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2ev"
% ee-tla: "c2m212edovs"
% End: