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% (find-LATEX "2020-2-C2-escadas.tex") % (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-2-C2-escadas.tex" :end)) % (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2020-2-C2-escadas.tex" "Success!!!")) % (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf")) % (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf")) % (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-escadas.tex")) % (defun o () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-escadas.tex")) % (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-2-C2-escadas")) % (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d))) % (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2020-2-C2-escadas.pdf")) % (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g)) % (code-eec-LATEX "2020-2-C2-escadas") % (find-pdf-page "~/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf") % (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf /tmp/") % (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf /tmp/pen/") % (find-xournalpp "/tmp/2020-2-C2-escadas.pdf") % file:///home/edrx/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf % file:///tmp/2020-2-C2-escadas.pdf % file:///tmp/pen/2020-2-C2-escadas.pdf % http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf % (find-LATEX "2019.mk") % (find-CN-aula-links "2020-2-C2-escadas" "2" "c2m202escadas" "c28") % «.videos» (to "videos") % % «.defs» (to "defs") % «.title» (to "title") % «.funcoes-escada» (to "funcoes-escada") % «.exercicio-1» (to "exercicio-1") % «.exercicio-2» (to "exercicio-2") % «.exercicio-4» (to "exercicio-4") % «.exercicio-5» (to "exercicio-5") % «.exercicio-6» (to "exercicio-6") % «.exercicio-7» (to "exercicio-7") % «.exercicio-8» (to "exercicio-8") % «.primitivas-como-usar» (to "primitivas-como-usar") % «.exercicio-9» (to "exercicio-9") % % «.djvuize» (to "djvuize") % «videos» (to ".videos") % (find-ssr-links "c2m202escadas" "2020-2-C2-escadas") % (code-eevvideo "c2m202escadas" "2020-2-C2-escadas") % (code-eevlinksvideo "c2m202escadas" "2020-2-C2-escadas") % (find-c2m202escadasvideo "0:00") % (find-ssr-links "c2m202escadasb" "2020-2-C2-escadas-b") % (code-eevvideo "c2m202escadasb" "2020-2-C2-escadas-b") % (code-eevlinksvideo "c2m202escadasb" "2020-2-C2-escadas-b") % (find-c2m202escadasbvideo "0:00") \documentclass[oneside,12pt]{article} \usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref") \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{pict2e} \usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor") \usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb") %\usepackage{tikz} % % (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0") \usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines) \input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines) \xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams % \usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty") \input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex") \input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex") \input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex") \input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex") % %\usepackage[backend=biber, % style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber") %\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib") % % (find-es "tex" "geometry") \usepackage[a6paper, landscape, top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot ]{geometry} % \begin{document} \catcode`\^^J=10 \directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua") %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua") %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua") \pu % «defs» (to ".defs") % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019") \long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}} \long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}} \long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}} \long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}} \long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}} \long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}} \long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}} \long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}} \long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}} \long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}} \long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}} \long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}} \long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}} \def\frown{\ensuremath{{=}{(}}} \def\True {\mathbf{V}} \def\False{\mathbf{F}} \def\D {\displaystyle} \def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2.pdf} \def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.2-C2.html} \def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}} % (find-LATEX "2020-2-C2-somas-2.tex" "intover-intunder") \def\Intover #1#2{\overline {∫}_{#1}#2\,dx} \def\Intunder#1#2{\underline{∫}_{#1}#2\,dx} \def\Intoverunder#1#2{\Intover{#1}{#2} - \Intunder{#1}{#2}} % \def\Intxover #1#2#3{\overline {∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx} \def\Intxunder#1#2#3{\underline{∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx} % _____ _ _ _ % |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___ % | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \ % | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/ % |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___| % |_| |___/ % % «title» (to ".title") % (c2m202escadasp 1 "title") % (c2m202escadas "title") \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace*{1.2cm} {\bf \Large Cálculo 2 - 2020.2} \bsk Aula 8: integrais de funções escada \bsk Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF \url{http://angg.twu.net/2020.2-C2.html} \end{center} \newpage Dê uma olhada nas propriedades da integral que o Pierluigi Beneveri demonstra (!!!) nas páginas 5 a 8 das notas dele: \msk % (find-books "__analysis/__analysis.el" "beneveri") % {\footnotesize \url{https://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT121-15.pdf} \url{http://angg.twu.net/2020.2-C2/pierluigi_beneveri_MAT121-15.pdf} } \msk As demonstrações {\sl formais}, como ele faz, com estimativas e somatórios, não nos interessam neste curso... mas todas as demonstrações dele podem ser ``traduzidas'' pra argumentos visuais como os que você deve ter entendido fazendo os exercícios da aula passada. \msk Nos exercícios de hoje nós vamos usar principalmente o Exercício 18 da página 5 das notas do Pierluigi e a Proposição 8/Propriedade 4 da página 7. % (find-pierluigipage 5 "Exercício 18") % (find-pierluigitext 5 "Exercício 18") % (find-pierluigipage 7 "Proposição 8 (Propriedade 4") % (find-pierluigitext 7 "Proposição 8 (Propriedade 4") % (find-pierluigipage 8 "Definição 9") % (find-pierluigitext 8 "Definição 9") \ColorRed{Leia também a Definição 9 na página 8}, principalmente os comentários (1) e (2)... hoje nós vamos começar a ter que lidar com ``áreas negativas''! \newpage % «funcoes-escada» (to ".funcoes-escada") % (c2m202escadasp 3 "funcoes-escada") % (c2m202escadas "funcoes-escada") % (c2m201escadasp 2 "funcoes-escada") % (c2m201escadas "funcoes-escada") {\bf Funções escada} Uma {\bf função escada} é uma cujo gráfico é composto por um número finito de segmentos horizontais e um número finito -- talvez zero -- de pontos isolados. Por exemplo: % $$ f(x) \;\; = \;\; \vcenter{\hbox{% \unitlength=10pt \beginpicture(0,-2)(6,5) \pictgrid% \pictpiecewise{(0,3)--(1,3)o (1,4)c (1,2)o--(3,2)c (3,-1)o--(6,-1)}% \pictaxes% \end{picture}% }} $$ \vspace{-20pt} % «exercicio-1» (to ".exercicio-1") % (c2m202escadasp 3 "exercicio-1") % (c2m202escadas "exercicio-1") {\bf Exercício 1.} Calcule: a) $\Intx01 {f(x)}$ b) $\Intx13 {f(x)}$ c) $\Intx34 {f(x)}$ d) $\Intx04 {f(x)}$ \quad (veja o exercício 3) \newpage % «exercicio-2» (to ".exercicio-2") % (c2m202escadasp 4 "exercicio-2") % (c2m202escadas "exercicio-2") {\bf Exercício 2.} \ssk Agora vamos tentar integrar a $f(x)$ da página anterior usando as definições dos slides que usamos nas últimas aulas... Seja $[a,b]$ o intervalo $[0,3]$. Seja $\{P_0, P_1, P_2, \ldots\}$ a nossa sequência preferida de partições do intervalo $[a,b]$. \ssk a) Quantos intervalos tem $P_{10}$? b) Quantos pontos tem $P_{10}$? c) Qual é a largura de cada intervalo de $P_{10}$? d) Represente graficamente $\Intoverunder{P_{10}}{f(x)}$. e) A resposta do item anterior é um retângulo. Qual é a sua base? \phantom{e) }Qual é a sua altura? Qual é a sua área? f) Calcule $\Intoverunder{P_{10}}{f(x)}$. g) Calcule $\Intoverunder{P_{1000}}{f(x)}$. \newpage {\bf Exercício 3.} Seja $f$ esta função (a mesma do slide 3): $$ \unitlength=7.5pt % f(x) \;\; = \;\; \vcenter{\hbox{% \beginpicture(0,-2)(6,5) \pictgrid% \pictpiecewise{(0,3)--(1,3)o (1,4)c (1,2)o--(3,2)c (3,-1)o--(6,-1)}% \pictaxes% \end{picture}% }} $$ \msk Dá pra calcular $\Intx{0}{4}{f(x)}$ assim: % $$\begin{array}{rcl} \Intx{0}{4}{f(x)} &=& \Intx{0}{1}{f(x)} + \Intx{1}{3}{f(x)} + \Intx{3}{4}{f(x)} \\ &=& 3·(1-0) + 2·(3-1) + (-1)·(4-3) \\ &=& 3 + 4 - 1 \;\; = \;\; 6 \\ \end{array} $$ Descubra quais propriedades/proposições/exercícios/etc do Pierluigi nós usamos em cada `$=$' acima. \newpage % «exercicio-4» (to ".exercicio-4") % (c2m202escadasp 6 "exercicio-4") % (c2m202escadas "exercicio-4") {\bf Exercício 4.} Sejam $f$ e $g$ estas funções: $$ \unitlength=7.5pt % f(x) \;\; = \;\; \vcenter{\hbox{% \beginpicture(0,-2)(6,5) \pictgrid% \pictpiecewise{(0,3)--(1,3)o (1,4)c (1,2)o--(3,2)c (3,-1)o--(6,-1)}% \pictaxes% \end{picture}% }} % \qquad % g(x) \;\; = \;\; \vcenter{\hbox{% \beginpicture(0,-2)(6,5) \pictgrid% \pictpiecewise{(0,3)--(1,3)o (1,1)c (1,2)o--(3,2)c (3,-1)o--(6,-1)}% \pictaxes% \end{picture}% }} % $$ \msk Elas são integráveis no intervalo $[0,4]$ e só diferem no ponto $x=1$, $1∈[0,4]$... \ColorRed{Então} $\Intx{0}{4}{f(x)} = \Intx{0}{4}{g(x)}$. \msk Acho que o Pierluigi não explica explicitamente porque esse ``então'' é verdade. Vamos ver isto passo a passo. \msk a) Seja $h(x) = f(x) - g(x)$. \;\; \ColorGray{(Fica implícito que é ``$∀x$''.)} Faça o gráfico da $h(x)$. \newpage {\bf Exercício 4 (cont.)} \ssk b) Calcule $\Intoverunder{P_{10}}{h(x)}$. c) Calcule $\Intoverunder{P_{1000}}{h(x)}$. d) Conclua que $\Intx{0}{4}{h(x)} = 0$. \bsk Dá pra provar que $\Intx{0}{4}{f(x)} = \Intx{0}{4}{g(x)}$ assim: % $$\begin{array}{rcl} \Intx{0}{4}{f(x)} &=& \Intx{0}{4}{g(x) + h(x)} \\ &=& \Intx{0}{4}{g(x)} + \Intx{0}{4}{h(x)} \\ &=& \Intx{0}{4}{g(x)} + 0 \\ &=& \Intx{0}{4}{g(x)} \\ \end{array} $$ e) Descubra quais propriedades/proposições/exercícios/etc do Pierluigi nós usamos em cada `$=$' acima. \newpage Até agora eu dei muito poucas dicas sobre como vocês devem escrever as soluções dos exercícios... isso foi de propósito. O nível de detalhe esperado varia de acordo com o contexto, e até agora vocês só precisavam de soluções que vocês mesmos entendessem e tivessem certeza de cada passo, e que os colegas de vocês entendessem quando vocês fossem discutir com eles. Leia a ``dica 7'' daqui: \msk \url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf\#page=5} \msk Aliás, leia as páginas 4 e 5 inteiras. \bsk Depois leia este texto que mandei pras turmas de C2 depois da P1 do semestre passado: \msk \url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-P1.pdf\#page=10} \newpage % «exercicio-5» (to ".exercicio-5") % (c2m202escadasp 9 "exercicio-5") % (c2m202escadas "exercicio-5") {\bf Exercício 5.} \ssk Seja $F(b) = \Intx{0}{b}{f(x)}$. \msk a) Calcule $F(0)$, $F(0.5)$, $F(1)$, $F(1.5)$, $\ldots$, $F(6)$ e represente os valores que você obteve num gráfico. No gráfico à direita abaixo eu representei os pontos $(0,F(0))$, $(1,F(1))$ e $(2,F(2))$ --- faça os outros. $$ f(x) \;\; = \;\; \vcenter{\hbox{% \unitlength=10pt \beginpicture(0,-2)(6,5) \pictgrid% \pictpiecewise{(0,3)--(1,3)o (1,4)c (1,2)o--(3,2)c (3,-1)o--(6,-1)}% \pictaxes% \end{picture}% }} \qquad F(b) \;\; = \;\; \vcenter{\hbox{% \unitlength=10pt \beginpicture(0,0)(6,7) \pictgrid% \pictpiecewise{(0,0)c (1,3)c (2,5)c}% \pictaxes% \end{picture}% }} $$ \bsk b) Represente graficamente $\Intx{0}{1.5}{f(x)} - \Intx{0}{0.5}{f(x)}$ como \phantom{b) }uma área no gráfico da $f$. c) Represente graficamente $F(1.5) - F(0.5)$ no gráfico da $F$. \newpage {\bf Exercício 5 (cont.)} \ssk Nos itens (b) e (c) do slide anterior nós vimos que uma diferença % $$F(d) - F(c) = \Intx{0}{d}{f(x)} - \Intx{0}{c}{f(x)}$$ pode ser interpretada tanto como uma área no gráfico à esquerda quanto como uma diferença de altura no gráfico à direita. Nos próximos itens você vai ter que usar essa dupla interpretação em todo lugar. \msk d) Verifique que $F(1.3)-F(1.2)$, $F(1.4)-F(1.3)$, $F(1.5)-F(1.4)$ e $F(1.6)-F(1.5)$ são retângulos com a mesma área --- e verifique que isto quer dizer que os pontos $(1.2, F(1.2))$, $(1.3, F(1.3))$, $(1.4, F(1.4))$, $(1.5, F(1.5))$ e $(1.6, F(1.6))$ estão na mesma reta. Qual é base e a altura de cada um desses retângulos? Qual é o coeficiente angular dessa reta? e) Faça o mesmo para estes valores de $x$: 3.2, 3.3, 3.4 e 3.5 --- as alturas e o coeficiente angular vão mudar. \newpage {\bf Exercício 5 (cont.)} \ssk A $F(b)$ vai ser contínua, e o gráfico dela vai ser formado por três segmentos de reta. Pense sozinho em porque isto é verdade --- nós vamos demonstrar isto em breve. \msk f) Complete o gráfico da $F(b)$ (do item a). g) Em que pontos a $F(b)$ é derivável? h) Em que pontos a $F(b)$ não é derivável? i) Seja $g(b) = \frac{d}{db} F(b)$. Faça o gráfico da $g(b)$. j) Qual é o domínio da $g(b)$? k) Em que pontos $f(x)$ e $g(b)$ coincidem? \newpage % «exercicio-6» (to ".exercicio-6") % (c2m202escadasp 12 "exercicio-6") % (c2m202escadas "exercicio-6") {\bf Exercício 6.} \ssk Agora que você entendeu a relação entre a $f(x)$ e $F(b) = \Intx{0}{b}{f(x)}$ num caso específico você vai tentar fazer um outro caso. Seja $f(x)$ a função à esquerda abaixo, e desenhe o gráfico da $F(b)$ --- o ``gráfico da integral de $f(x)$'' --- à direita. Obs: depois que a gente tem prática dá pra resolver problemas assim sem nenhum erro em poucos segundos! Sério!!! % $$ f(x) \;\; = \;\; \vcenter{\hbox{% \unitlength=10pt \beginpicture(0,-3)(8,4) \pictgrid% \pictpiecewise{(0,2)--(1,2)o (1,1)c--(2,1)o (2,0)c--(3,0)o (3,-1)c--(4,-1)o (4,-2)o--(6,-2)o (6,-1)c--(7,-1)c (7,0)o--(8,0)}% \pictaxes% \end{picture}% }} \qquad F(b) = \Intx{0}{b}{f(x)} = \;\; \vcenter{\hbox{% \unitlength=10pt \beginpicture(0,-3)(8,4) \pictgrid% %\pictpiecewise{(0,0)c (1,3)c (2,5)c}% \pictaxes% \end{picture}% }} $$ \newpage % «exercicio-7» (to ".exercicio-7") % (c2m202escadasp 11 "exercicio-7") % (c2m202escadas "exercicio-7") {\bf Exercício 7.} \ssk No exercício 6 você fez o gráfico de $F(b) = \Intx{0}{b}{f(x)}$. b) Agora faça o gráfico de $G(b) = \Intx{\ColorRed{1}}{b}{f(x)}$, c) ...e o gráfico de $H(b) = \Intx{\ColorRed{2}}{b}{f(x)}$. \msk Você provavelmente desenhou o gráfico da sua $G(b)$ como se ela só estivesse definida a partir de $b=1$, e o gráfico da $H(b)$ como se ela só estivesse definida a partir de $b=2$. Isso pode ser melhorado. Dê uma olhada na página 10 das notas do Pierluigi, onde ele \ColorRed{define} ``integrais com extremos na ordem inversa'' por esta regra aqui: % $$\Intx{b}{a}{f(x)} = - \Intx{a}{b}{f(x)}$$ % (find-pierluigipage 10 "integral com extremos na ordem inversa") % (find-pierluigitext 10 "integral com extremos na ordem inversa") d) Calcule $G(0.5)$. \newpage {\bf Exercício 7 (cont.)} \ssk e) Agora que você aprendeu a calcular $G(b)$ para $b<1$ usando o truque da ``integral com extremos na ordem inversa'' faça uma versão melhorada do gráfico do item (b) na qual o seu gráfico da $G(b)$ inclua os valores de $G(b)$ para $b∈[0,1]$. f) Faça o mesmo para o item (c): faça uma versão melhorada do gráfico da $H(b)$. \msk g) (Importantíssimo!) Verifique que tanto $F(b)$ quanto $G(b)$ e $H(b)$ são funções contínuas que obedecem % $$F'(b) = G'(b) = H'(b) = f(b)$$ % em todos os pontos em que essas derivadas fazem sentido --- que são exatamente os pontos em que a $f(b)$ é contínua. \newpage {\bf Primitivas} \ssk As funções $F(x)$, $G(x)$ e $H(x)$ que você obteve no exercícios 6 e 7 são ``\ColorRed{primitivas}'' da função $f(x)$. A definição usual de primitiva que você vai encontrar nos livros é esta aqui: \begin{quote} Seja $f:[a,b]→\R$ uma função contínua. Dizemos que uma função $F:[a,b]→\R$ é uma {\sl primitiva de $f$} quando $∀x∈(a,b).\;F'(x)=f(x)$. \end{quote} \newpage {\bf Primitivas (2)} \ssk Nós vamos usar uma definição um pouco mais complicada de primitiva... esta aqui: \begin{quote} Seja $f:[a,b]→\R$, seja $P$ uma partição de $[a,b]$, e digamos que a função $f$ seja contínua em cada intervalo aberto $(a_i,b_i)$ da partição --- ou seja, $f$ não precisa ser contínua nos pontos de $P$. Uma função $F:[a,b]→\R$ é uma {\sl primitiva de $f$} se: 1) $F$ é contínua em $[a,b]$, 2) $F$ é derivável em todos os pontos de $[a,b]∖P$, 3) $∀x∈[a,b]∖P. \; F'(x)=f(x)$. \end{quote} \msk % «exercicio-8» (to ".exercicio-8") % (c2m202escadasp 16 "exercicio-8") % (c2m202escadas "exercicio-8") {\bf Exercício 8.} Verifique que as funções $F(x)$, $G(x)$ e $H(x)$ dos exercícios 6 e 7 são primitivas para a função $f(x)$ do slide 12. Dica: você vai ter que escolher $[a,b]$ e $P$ da forma certa. \newpage % «primitivas-como-usar» (to ".primitivas-como-usar") % (c2m202escadasp 17 "primitivas-como-usar") % (c2m202escadas "primitivas-como-usar") {\bf Primitivas: como usar} \ssk Se a função $F:[a,b]→\R$ é uma primitiva da função $f:[a,b]→\R$ e $c,d∈[a,b]$, então podemos usar a $F$ pra calcular integrais da $f$: % $$\Intx{c}{d}{f(x)} = F(d) - F(c)$$ Isto é exatamente o que você fez nos exercício 5b e 5c, mas lá estávamos olhando pra um caso particular muito simples... Isto vale em geral, mesmo quando a nossa função $f(x)$ não é uma função escada... ...por exemplo, isto vale pra ``nossa função preferida'' das primeiras aulas, $f(x) = 4 - (x-2)^2$, cujo gráfico é um pedaço de parábola. \newpage % «exercicio-9» (to ".exercicio-9") % (c2m202escadasp 18 "exercicio-9") % (c2m202escadasa "exercicio-9") {\bf Exercício 9.} Sejam $f(x) = 4 - (x-2)^2$ e $F(x) = -\frac13 x^3 + 2x^2$. a) Verifique que a função $F$ é uma primitiva para a $f$. b) Verifique que a função $G(x) = F(x) + 200$ é uma outra primitiva para a $f$. c) Calcule $\Intx{0}{4}{f(x)}$ usando isto aqui: % $$\Intx{0}{4}{f(x)} = F(4) - F(0)$$ d) Relembre os modos de obter aproximações para integrais que você aprendeu muitas aulas atrás... por exemplo, o método dos trapézios dá resultados bastante bons. Compare os resultados dessas aproximações com o resultado exato da área $\Intx{0}{4}{f(x)}$ que você acabou de obter. % (find-pierluigipage 10 "teorema fundamental do cálculo integral") % (find-pierluigitext 10 "teorema fundamental do cálculo integral") % (find-pierluigipage 12 "Teorema 15 (Teorema fundamental do cálculo integral)") % (find-pierluigitext 12 "Teorema 15 (Teorema fundamental do cálculo integral)") \msk %\printbibliography \GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv' \end{document} % ____ _ _ % | _ \(_)_ ___ _(_)_______ % | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \ % | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/ % |____// | \_/ \__,_|_/___\___| % |__/ % % «djvuize» (to ".djvuize") % (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex") * (eepitch-shell) * (eepitch-kill) * (eepitch-shell) # (find-fline "~/2020.2-C2/") # (find-fline "~/LATEX/2020-2-C2/") # (find-fline "~/bin/djvuize") cd /tmp/ for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf } f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0" $1.pdf; xpdf $1.pdf } f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf } f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf } f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2020.2-C2/ cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2020-2-C2/ cat <<%%% % (find-latexscan-links "C2" "$1") %%% } f 20201213_area_em_funcao_de_theta f 20201213_area_em_funcao_de_x f 20201213_area_fatias_pizza % __ __ _ % | \/ | __ _| | _____ % | |\/| |/ _` | |/ / _ \ % | | | | (_| | < __/ % |_| |_|\__,_|_|\_\___| % % <make> * (eepitch-shell) * (eepitch-kill) * (eepitch-shell) # (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk") make -f 2019.mk STEM=2020-2-C2-escadas veryclean make -f 2019.mk STEM=2020-2-C2-escadas pdf % Local Variables: % coding: utf-8-unix % ee-tla: "c2m202escadas" % End: