|
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% (find-LATEX "2020-1-C2-TFC2-2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-1-C2-TFC2-2.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-TFC2-2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-1-C2-TFC2-2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-1-C2-TFC2-2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-1-C2-TFC2-2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)) (g))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-TFC2-2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-TFC2-2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-TFC2-2.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-1-C2-TFC2-2.pdf
% file:///tmp/2020-1-C2-TFC2-2.pdf
% file:///tmp/pen/2020-1-C2-TFC2-2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-TFC2-2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-C2-aula-links "2020-1-C2-TFC2-2" "11" "tfc22")
% «.title» (to "title")
% «.intro» (to "intro")
% «.integral-indefinida» (to "integral-indefinida")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.subst-defs» (to "subst-defs")
% «.TFC2-TFC2I-S3-S3I» (to "TFC2-TFC2I-S3-S3I")
% «.S1» (to "S1")
% «.dica-importantissima» (to "dica-importantissima")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
%
% «.exerc-jose-victor» (to "exerc-jose-victor")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\Subst#1{\bmat{#1}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m201tfc22p 1 "title")
% (c2m201tfc22a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2020.1}
\bsk
Aula 11: Integração por TFC2 e chutar e testar
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «integral-indefinida» (to ".integral-indefinida")
% (c2m201tfc22p 2 "integral-indefinida")
% (c2m201tfc22a "integral-indefinida")
{\bf A integral indefinida}
\ssk
Na aula passada nós vimos que pra dá pra calcular integrais de uma
função $f(x)$ usando uma antiderivada contínua de $f(x)$. Se $F(x)$ é
uma antiderivada contínua de $f(x)$ então:
%
$$\Intx{a}{b}{f(x)} \;\; = \;\; F(b) - F(a)$$
Nós vamos interpretar a notação da integral indefinida, que é
$\intx{\ldots}$ sem os limites de integração, como uma espécie de
inversa da operação $\frac{d}{dx}$: pra nós as duas expressões abaixo
vão ser exatamente equivalentes:
%
$$\begin{array}{ccr}
\displaystyle \int {f(x)} \, dx &=& F(x) \\
f(x) &=& \frac{d}{dx} F(x) \\
\end{array}
$$
\newpage
Depois eu vou explicar porque é que a maioria dos livros prefere
escrever sempre o `$+\;C$' em
%
$$\int {f(x)} \, dx \;\; = \;\; F(x) \ColorRed{\;+\;C}$$
%
e porque é que eu prefiro não usá-lo.
\msk
Outra coisa: a partir de agora \ColorRed{quase} todas as nossas
funções vão ser contínuas e deriváveis, e por isso eu \ColorRed{em
geral} vou falar só de ``antiderivadas'' ao invés de ``antiderivadas
contínuas''.
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m201tfc22p 4 "exercicio-1")
% (c2m201tfc22a "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
\ssk
Encontre as seguintes antiderivadas por chutar \ColorRed{e testar}:
\ssk
a) $\intx {\cos x}$
b) $\intx {\sen x}$
c) $\intx {\cos 3x}$
d) $\intx {\cos (3x+4)}$
e) $\intx {2 \cos (3x+4)}$
f) $\intx {a \cos (bx+c)}$
g) $\intx {\sen x + 2 \cos (3x+4)}$
h) $\intx {e^x}$
i) $\intx {e^{x+4}}$
j) $\intx {e^{3x+4}}$
k) $\intx {2e^{3x+4}}$
l) $\intx {ae^{bx+c}}$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m201tfc22p 5 "exercicio-2")
% (c2m201tfc22a "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
\ssk
Calcule:
\bsk
$$\begin{array}{rl}
a) & \displaystyle \Intx{10}{20}{2\cos(3x+4)} \\[25pt]
b) & \displaystyle \Intx{d}{e}{a\cos(bx+c)} \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf Integração por substituição}
\ssk
\def\und#1#2{#1}
A fórmula mais útil pra encontrar antiderivadas difíceis é exatamente
uma das mais difíceis de entender... ela é fácil de decorar na versão
com integrais indefinidas, que é:
%
$$\displaystyle \intx{
f(\und{g(x)}{u}) \und{g'(x)}{\frac{du}{dx}}
} = \intu {f(u)}
$$
\def\und#1#2{\underbrace{\textstyle #2}_{#1}}
Se definirmos que à direita do `$=$' o $u$ é uma variável mas à esquerda ele é uma abreviação para $g(x)$ então podemos reescrever a fórmula acima como:
%
$$\displaystyle \intx{
f(u) \frac{du}{dx}
} = \intu {f(u)}
$$
\newpage
{\bf Integração por substituição (2)}
\ssk
...só que a fórmula da página anterior tem várias gambiarras
brabíssimas que nós só vamos conseguir formalizar daqui a bastante
tempo, então nós vamos começar entendendo a versão dela que usa
integrais definidas, que é:
%
$$\displaystyle \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} = \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}
$$
\newpage
% (c2mo)
% (c2mop)
% «subst-defs» (to ".subst-defs")
% (c2m192p 2 "subst-defs-formulas")
% (c2m192 "subst-defs-formulas")
\def\pfo#1{\mathsf{[#1]}}
\def\D{\displaystyle}
% Difference with mathstrut
\def\Difms #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{s=#1}^{s=#2}}
\def\Difmu #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{u=#1}^{u=#2}}
\def\Difmx #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{x=#1}^{x=#2}}
\def\Difmth#1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{θ=#1}^{θ=#2}}
\def\iequationbox#1#2{
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
\end{array}
\right)
}
\def\isubstbox#1#2#3#4#5{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxT#1#2#3#4#5#6{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
% Definição das fórmulas para integração por substituição.
% Algumas são pmatrizes 3x3 usando isubstbox.
\def\TFCtwo{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{F'(x)}}
{\Difmx{a}{b}{F(x)}}
}
\def\TFCtwoI{
\iequationbox {\intx{F'(x)}}
{F(x)}
}
\def\Sone{
\isubstbox
{\Difmx{a}{b}{f(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{f(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)}}
}
\def\SoneI{
\isubstbox
{f(g(x))} {\intx{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{f(u)} {\intu{f'(u)}}
}
\def\Stwo{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
{Se $F'(x)=f(x)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(x)=f(x)$ então:}
}
\def\Sthree{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
}
\def\SthreeI{
\iequationbox {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\intu{f(u)}
\qquad [u=g(x)]
}
% [u=g(x)]
}
% \newpage
% «TFC2-TFC2I-S3-S3I» (to ".TFC2-TFC2I-S3-S3I")
% (c2m201tfc22p 8 "TFC2-TFC2I-S3-S3I")
% (c2m201tfc22a "TFC2-TFC2I-S3-S3I")
{\bf Integração por substituição (3)}
\ssk
Vamos dar nomes para algumas estas fórmulas:
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
%\text{Fórmulas}: \\[5pt]
\pfo{TFC2} &=& \TFCtwo \\
\pfo{TFC2I} &=& \TFCtwoI \\
%\pfo{S1} &=& \Sone \\
%\pfo{S2} &=& \Stwo \\
\pfo{S3} &=& \Sthree \\
%\pfo{S1I} &=& \SoneI \\
%\pfo{S2I} &=& \StwoI \\
\pfo{S3I} &=& \SthreeI
\end{array}
$$
A notação ``$\Difmx{a}{b}{F(x)}$'' se pronuncia ``a diferença do valor
de $F(x)$ entre $x=a$ e $x=b$'' e é definida por: $\Difmx{a}{b}{F(x)}
= F(b) - F(a)$.
\newpage
% «S1» (to ".S1")
% (c2m201tfc22p 9 "S1")
% (c2m201tfc22a "S1")
{\bf Integração por substituição (4)}
\ssk
As fórmulas com ``I'' no nome usam integrais indefinidas e são mais
abstratas do que as sem ``I''. A fórmula $\pfo{S3}$ é consequência
desta aqui, que é uma demonstração composta de três igualdades fáceis
de provar:
$$\begin{array}[t]{rcl}
\pfo{S1} &=& \Sone \\
%\pfo{S2} &=& \Stwo \\
\end{array}
$$
\newpage
% «dica-importantissima» (to ".dica-importantissima")
% (c2m201tfc22p 10 "dica-importantissima")
% (c2m201tfc22a "dica-importantissima")
{\bf Dica importantíssima:}
Se estivermos fazendo as coisas bem passo a passo,
isto está certo:
%
$$(f(2+3)) \Subst{f(x):=\sen x} = \sen(2+3)$$
e isto está \ColorRed{errado},
%
$$(f(2+3)) \Subst{f(x):=\sen x} = \sen(5)$$
porque aqui além da substituição indicada no ``$\Subst{f(x):=\sen
x}$''
a gente substituiu o $2+3$ por $5$.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m201tfc22p 11 "exercicio-3")
% (c2m201tfc22a "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Encontre o resultado das substituições:
\msk
a) $\pfo{TFC2}\Subst{F(x) := f(g(x))}$
b) $\pfo{TFC2}\Subst{x:=u}$
c) $\pfo{TFC2}\Subst{x:=u}\subst{a:=g(a) \\ b:=g(b) \\ F(u):=f(u)\\}$
E verifique que os itens (a) e (c) provam
as duas igualdades horizontais da $\pfo{S1}$.
\msk
Além disso verifique que:
%
$$\Difmx{a}{b}{f(g(x))}
\;\;=\;\; f(g(b)) - f(g(a))
\;\;=\;\;
\Difmu{g(a)}{g(b)}{f(u)}
$$
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m201tfc22p 12 "exercicio-4")
% (c2m201tfc22a "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
\ssk
Encontre o resultado das substituições:
\msk
a) $\pfo{S1} \Subst{a:=10 \\ b:=20}$
b) $\pfo{S1} \Subst{f(u) := \sen(u) \\ g(x) := 3x+4 \\ a:=10 \\ b:=20}$
\bsk
Obs: em cada uma delas o resultado da substituição é uma série de três
igualdades arrumada num formato bem parecido com o da $\pfo{S1}$
original.
\newpage
No exercício 1 você encontrou um monte de antiderivadas, e
algumas delas servem como {\sl fórmulas de integração.}
Por exemplo:
$$\begin{array}{ccr}
a \cos(bx+c) &=& \frac{d}{dx} (\frac{a}{b}\sen(bx+c)) \\
\displaystyle \int {a \cos(bx+c)} \, dx &=& \frac{a}{b}\sen(bx+c) \\
\end{array}
$$
Em geral pra resolver integrais a gente vai ter que encontrar alguma
substituição que transforme uma fórmula de integração que conhecemos
em numa fórmula que resolve a integral que queremos resolver... por
exemplo, sabemos que $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ sempre
vale, e portanto:
%
$$ \intx {f'(g(x))g'(x)} \;\; = \;\; f(g(x)) $$
% exemplo, sabemos que $\frac{d}{dx}(a \, f(g(x))) = a \, f'(g(x))g'(x)$, e
% portanto
% %
% $$ \intx {a f'(g(x))g'(x)} \;\; = \;\; a \, f(g(x)) $$
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m201tfc22p 14 "exercicio-5")
% (c2m201tfc22a "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
\ssk
\def\rq{\ColorRed{?}}
Descubra como completar a substituição abaixo pra
que os dois `$=$'s sejam verdade. O primeiro `$=$' é uma
substituição bem passo a passo, como na
``Dica Importantíssima'' do slide 10.
$$\begin{array}{rcl}
\left( f'(g(x))g'(x) \right)
\Subst{f(u) := \rq \\ f'(u) := \rq \\ g(x) := 3x+4 \\ g'(x) := \rq}
&=& \rq \\
&=& 2 \cos(3x+4) \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf Dica:} as linhas ``$f'(u) := \rq$'' e ``$g'(x) := \rq$'' na
substituição
da página anterior são um truque pra ajudar a gente a se
enrolar menos... a gente usou isso na primeira aula, no
slide 12. Dê uma olhada! Link:
\ssk
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-intro.pdf}
% (c2m201introp 12 "acrescentamos")
% (c2m201intro "acrescentamos")
% (find-apexcalculuspage (+ 924 43) "Integration")
% Exercícios de somatório pro José Victor:
% «exerc-jose-victor» (to ".exerc-jose-victor")
%
% Digamos que $g(x)=6-x$.
%
% \msk
%
% a) Calcule BEM passo a passo:
%
% $$\sum_{i=2}^{4} \left( \frac{g(4)+g(2)}{2} · (g(4)-g(2)) \right)$$
%
% \bsk
%
% b) Calcule BEM passo a passo:
%
% $$\sum_{i=2}^{4} \left( \frac{g(a_i)+g(b_i)}{2} · (b_i - a_i) \right)$$
%\printbibliography
\end{document}
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-TFC2-2 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-TFC2-2 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m201tfc22"
% End: