|
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% (find-LATEX "2019-2-C3-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C3-material.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C3-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C3-material"))
% (setq revert-without-query '("pdf$"))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C3-material.pdf
% file:///tmp/2019-2-C3-material.pdf
% file:///tmp/pen/2019-2-C3-material.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C3-material.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% «.outros-cortes» (to "outros-cortes")
% «.mini-teste-1» (to "mini-teste-1")
% «.revisao-P1» (to "revisao-P1")
% «.ponto-base» (to "ponto-base")
% «.ponto-base-MT» (to "ponto-base-MT")
% «.cobb-douglas» (to "cobb-douglas")
% «.taylor-2D» (to "taylor-2D")
% «.lagrange» (to "lagrange")
% «.cortes-derivadas-parciais» (to "cortes-derivadas-parciais")
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
\def\ovl{\overline}
% (c3qe)
% «outros-cortes» (to ".outros-cortes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "outros cortes")
% (c3m192p 1 "outros-cortes")
% (c3m192 "outros-cortes")
{\setlength{\parindent}{0pt}
{\bf Exercícios sobre ``outros cortes''}
{Versão preliminar -- data no rodapé}
O mini-teste sobre esta lista de exercícios ia ser na quinta, 15/set/2019,
mas algumas pessoas pediram pra adiá-lo...
% {Isto aqui {\sl complementa} o início da seção 6.1 do APEX Calculus!}
}
\bsk
Sejam:
$ F(x,y) =
\begin{cases}
\sqrt{5^2 - x^2 - y^2} & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2≥0$}, \\
0 & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2<0$.} \\
\end{cases}
$
e $(x_0,y_0)=(2,4)$.
\bsk
1) O que são os conjuntos abaixo? Desenhe-os e/ou descreva-os em
Português.
$$\begin{array}{ccl}
S &=& \setofxyzst{z = F(x,y)} \\
A_3 &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=3} \\
A_4 &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=4} \\
A_5 &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=5} \\
A_0 &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=0} \\
A_{-1} &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=-1} \\
B &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; x=x_0} \\
B' &=& \setofst {(y,z)∈\R^3} {z=F(x_0,y)} \\
C &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; y=y_0} \\
C' &=& \setofst {(x,z)∈\R^3} {z=F(x,y_0)} \\
D_3 &=& \setofxyst {F(x,y) = 3} \\
D_4 &=& \setofxyst {F(x,y) = 4} \\
\end{array}
$$
a) Quais deles são funções de $\R$ em $\R$?
b) Quais deles são curvas de nível?
c) Dê dois pontos de cada um destes conjuntos: $B$, $B'$, $C$, $C'$,
$D_3$, $D_4$.
\msk
2a) Qual é a derivada da função $z=F(x_0,y)$ em $y=y_0$?
b) Qual é a derivada da função $z=F(x,y_0)$ em $x=x_0$?
c) Como as derivadas que você obteve nos itens 2a e 2b nos ajudam a
encontrar um vetor tangente à curva $B'$ e um à curva $C'$? Eles são
tangentes a estas curvas em que pontos? Dicas: nós fizemos exercícios
sobre isso em 16/agosto (reveja a foto do quadro, e note que no final
eu sugeri que usássemos aproximações numéricas pra fazer os
desenhos!); leia a seção 2.2 do APEX Calculus; os vetores vão ter a
forma $\VEC{1,\_}$.
d) Como os vetores tangentes que você obteve no item 2c podem ser
usados pra obter vetores tangentes às curvas $B$ em $C$, que são em
$\R^3$? Dica: estes vetores vão ser da forma $\VEC{1,0,\_}$ e
$\VEC{0,1,\_}$.
\newpage
% __ __ _ _ _ _ _
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% |_| |_|_|_| |_|_|\__\___||___/\__\___| |_|
%
% «mini-teste-1» (to ".mini-teste-1")
% (find-angg ".emacs" "c3q192")
% (find-angg ".emacs" "c3q192" "mini-teste 1")
{%\setlength{\parindent}{0pt}
{\bf
Primeiro mini-teste
Aplicado no final de aula de 19/set/2019
}
}
\bsk
Sejam:
$ F(x,y) =
\begin{cases}
\sqrt{5^2 - x^2 - y^2} & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2≥0$}, \\
0 & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2<0$,} \\
\end{cases}
$
$(x_0,y_0)=(2,4)$,
$E = \setofxyzst{z = F(x,y), \; y=y_0}$.
\msk
Represente graficamente o conjunto $E$ e mostre como
usá-lo para calcular $\frac{∂}{∂x} F(x,y)$ no ponto $(x_0,y_0)$.
\newpage
% ____ _ ____ _
% | _ \ _____ _(_)___ __ _ ___ | _ \/ |
% | |_) / _ \ \ / / / __|/ _` |/ _ \ | |_) | |
% | _ < __/\ V /| \__ \ (_| | (_) | | __/| |
% |_| \_\___| \_/ |_|___/\__,_|\___/ |_| |_|
%
% «revisao-P1» (to ".revisao-P1")
{\bf Problemas de revisão para a P1}
(Adaptados do quadro de 2019oct17)
\msk
1) Vamos reusar uma função lá do início:
$ F(x,y) =
\begin{cases}
\sqrt{5^2 - x^2 - y^2} & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2≥0$}, \\
0 & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2<0$.} \\
\end{cases}
$
a) Represente graficamente as curvas de nível abaixo:
$\begin{array}{rcl}
F(x,y) &=& F(4,0), \\
F(x,y) &=& F(3,0), \\
F(x,y) &=& F(2,0), \\
F(x,y) &=& F(1,0) \\
\end{array}
$
b) Descubra o vetor gradiente de $F$ nos pontos $(4,0)$, $(3,0)$,
$(2,0)$, $(1,0)$.
c) Use esses vatores pra desenhar sobre cada uma das suas curvas de
nível do item (a) oito vetores gradientes {\sl sem fazer conta
nenhuma}.
\msk
2) O Bortolossi leva várias páginas pra definir abertos, fechados,
interior, fecho, fronteira, compacto, etc --- ele faz isso das páginas
142 até 146.
As nossas definições são:
$\begin{array}{rcl}
B_ε(P) &=& \setofxyst{d(P,(x,y))<ε} \\
\ovl B_ε(P) &=& \setofxyst{d(P,(x,y))≤ε} \\
𝐬{Int}(A) &=& \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, B_ε(P)⊂A} \\
\ovl A &=& \setofst{P∈\R^2}{∀ε>0.\, B_ε(P)∩A≠∅} \\
\text{($A$ é aberto)} &=& (A = 𝐬{Int}(A)) \\
\text{($A$ é fechado)} &=& (A = \ovl A) \\
\text{($A$ é limitado)} &=& (∃R>0.\, A⊆B_R((0,0))) \\
\end{array}
$
\msk
a) Seja $C=\{1, \frac12, \frac13, \frac14, \ldots\}$.
Mostre que $C≠\ovl C$.
\msk
3) Sejam
$\begin{array}{rcl}
A &=& \setofxyst{0<x≤2 \text{ e } 1≤x<3}, \\
B &=& \setofst{(x,2)}{ x∈[0,4]}, \\
C &=& A∪B. \\
\end{array}
$
Represente graficamente $C$.
\msk
4) Seja $A = \setofxyst{0<x^2+y^2≤1}$.
Descreva uma função contínua $F:A→\R$ que tenha mínimo global em $A$
mas não tenha máximo global em $A$.
\msk
5) Seja $f(t) = (\cos t, \sen t)$ e seja $g(t)$ uma aproximação de
segunda ordem para $f(t)$ em $t_0=π$; ou seja, $g(t)$ é da forma
%
$$ g(t) = P + t \vec u + t^2 \vec v \qquad\qquad (*)$$
%
e obedece $g(t_0) = f(t_0)$, $g'(t_0) = f'(t_0)$, $g''(t_0) =
f''(t_0)$,
a) Relembre o truque do ponto base: se $t=t_0+Δt$, $Δt=t-t_0$,
%
$$ g(t+Δt) = \_\_ + Δt \_\_ + (Δt)^2 \_\_ \qquad\qquad (**)$$
%
a expressão $(**)$ pode ser convertida para $(*)$ e é fácil descobrir
como preencher os ``$\_\_$''s pra que as condições $g(t_0) = f(t_0)$,
$g'(t_0) = f'(t_0)$, $g''(t_0) = f''(t_0)$ sejam obedecidas.
b) Encontre uma função $g(t)$ que seja uma aproximação de segunda
ordem para $f(t)$ em $t_0=π$.
c) Verifique usando uma calculadora que $g(π+0.1)$ é muito próximo de
$f(π+0.1)$; idem para $g(π-0.1)$ é muito próximo de $f(π-0.1)$.
d) Seja $h(t) = (\cos (πt^2), \sen (πt^2))$. Encontre uma aproximação
de segunda ordem para $h(t)$ em $t_0=1$.
% \end{document}
\newpage
% ____ _ _
% | _ \ ___ _ __ | |_ ___ | |__ __ _ ___ ___
% | |_) / _ \| '_ \| __/ _ \ | '_ \ / _` / __|/ _ \
% | __/ (_) | | | | || (_) | | |_) | (_| \__ \ __/
% |_| \___/|_| |_|\__\___/ |_.__/ \__,_|___/\___|
%
% «ponto-base» (to ".ponto-base")
% (c3m192p 5 "ponto-base")
% (c3m192 "ponto-base")
% (find-angg ".emacs" "c3q192")
% (find-angg ".emacs" "c3q192" "base")
% (c3q192 7 "20190822" "Movimento uniformemente acelerado; parábolas parametrizadas; ponto base")
% (c3q192 17 "20190919" "Mais sobre gradientes; plano tangente; mini-teste 1")
% (c3q192 24 "20191017" "Revisão para a prova")
% (find-bortolossi5page (+ -162 172) "omitir os pontos onde as parciais são calculadas")
{\setlength{\parindent}{0pt}
{\bf Exercícios sobre ponto base}
{Versão preliminar -- data no rodapé}
Contas fora do ponto base zeram a questão!
}
\bsk
1) Seja:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
F(x,y) &=& a_{00} &+& a_{10} (x-x_0) &+& a_{20} (x-x_0)^2 \\
&+& a_{01} (y-y_0) &+& a_{11} (x-x_0) (y-y_0) &+& a_{21} (x-x_0)^2 (y-y_0) \\
&+& a_{02} (y-y_0)^2 &+& a_{12} (x-x_0) (y-y_0)^2 &+& a_{22} (x-x_0)^2 (y-y_0)^2. \\
\end{array}
$
\ssk
Calcule:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
F(x_0,y_0), & F_x(x_0,y_0), & F_{xx}(x_0,y_0), \\
F_y(x_0,y_0), & F_{xy}(x_0,y_0), & F_{xxy}(x_0,y_0), \\
F_{yy}(x_0,y_0), & F_{xyy}(x_0,y_0), & F_{xxyy}(x_0,y_0), \\
\end{array}
$
% (c3q192 30 "20191108" "Exercícios sobre ponto base; regra da cadeia no Bortolossi")
\bsk
2) Seja
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
G(x,y) &=& 4 &+& 5 (x-2) &+& 6 (x-2)^2 \\
&+& 7 (y-3) &+& 8 (x-2) (y-3) &+& 9 (x-2)^2 (y-3) \\
&+& 10 (y-3)^2 &+& 11 (x-2) (y-3)^2 &+& 12 (x-2)^2 (y-3)^2. \\
\end{array}
$
\ssk
Calcule:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
G(2,3), & G_x(2,3), & G_{xx}(2,3), \\
G_y(2,3), & G_{xy}(2,3), & G_{xxy}(2,3), \\
G_{yy}(2,3), & G_{xyy}(2,3), & G_{xxyy}(2,3), \\
\end{array}
$
(Dica: qual é o ponto base aqui?)
\bsk
3) Leia a seção sobre Teorema de Young no Bortolossi. Dá pra aplicar o
teorema de Young nas funções $F$ e $G$?
\msk
4) Calcule todas as derivadas de 2ª ordem da função $F$. (Dica:
procure no Bortolossi a definição de "derivadas de 2ª ordem!)
\msk
5) Calcule todas as derivadas de 3ª ordem da função $H(x,y) = x^2 y_2$.
\msk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-bortolossi7page (+ -238 253) "Funções vetoriais: o caso geral")
% (find-bortolossi7page (+ -238 256) "matriz jacobiana")
% (find-bortolossi7page (+ -238 266) "Teorema 7.7")
6) Especialize o Teorema 7.7 do Bortolossi para o caso $l=1$, $m=2$,
$n=1$. Obs: o livro tem alguns erros de digitação nesse teorema, e às
vezes ele troca `$l$'s por `$k$'s e `$k$'s por `$l$'s; considere que
todas as funções são de classe $C^k$. {\sl Escreva o seu resultado
como um corolário.} Dica: leia as páginas 252 a 263 se precisar
tirar dúvidas sobre matriz jacobiana.
\msk
7) Use o seu corolário para calcular $\frac{d}{dt} F(g(t),h(t))$.
\msk
8) Use o que você obteve no (7) para calcular $\frac{d}{dt}
F(g(t),h(t))$ no caso em que $F(x,y) = x^2y^3$, $g(t) = \sen t$, $h(t)
= e^{4t}$.
\msk
9) Calcule $\frac{d}{dt} ((\sen t)^2(e^{4t})^3)$ usando métodos de
Cálculo 1.
\newpage
% __ __ _____ ____ _ _
% | \/ |_ _| | _ \ ___ _ __ | |_ ___ | |__ __ _ ___ ___
% | |\/| | | | | |_) / _ \| '_ \| __/ _ \ | '_ \ / _` / __|/ _ \
% | | | | | | | __/ (_) | | | | || (_) | | |_) | (_| \__ \ __/
% |_| |_| |_| |_| \___/|_| |_|\__\___/ |_.__/ \__,_|___/\___|
%
% «ponto-base-MT» (to ".ponto-base-MT")
% (c3m192p 6 "ponto-base")
% (c3m192 "ponto-base")
{% \setlength{\parindent}{0pt}
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2
\par 28/nov/2019 - Eduardo Ochs
\par {\bf Mini-teste sobre ponto base (MT2)}
\par Contas fora do ponto base zeram a questão!
}
\bsk
\bsk
Seja
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
G(x,y) &=& 4 &+& 5 (x-2) &+& 6 (x-2)^2 \\
&+& 7 (y-3) &+& 8 (x-2) (y-3) &+& 9 (x-2)^2 (y-3) \\
&+& 10 (y-3)^2 &+& 11 (x-2) (y-3)^2 &+& 12 (x-2)^2 (y-3)^2. \\
&+& 13 (y-3)^3 &+& 14 (x-2) (y-3)^3 &+& 15 (x-2)^2 (y-3)^3. \\
\end{array}
$
\ssk
1) Calcule $F_{xyy}$.
2) Calcule $F_{yxx}(2,3)$.
\bsk
Obs: o ideal é que você saiba fazer contas destes tipos de cabeça.
\newpage
% ____ _ _ ____ _
% / ___|___ | |__ | |__ | _ \ ___ _ _ __ _| | __ _ ___
% | | / _ \| '_ \| '_ \ _____| | | |/ _ \| | | |/ _` | |/ _` / __|
% | |__| (_) | |_) | |_) |_____| |_| | (_) | |_| | (_| | | (_| \__ \
% \____\___/|_.__/|_.__/ |____/ \___/ \__,_|\__, |_|\__,_|___/
% |___/
%
% «cobb-douglas» (to ".cobb-douglas")
% (c3m192p 7 "cobb-douglas")
% (c3m192 "cobb-douglas")
% (find-es "lua5" "cobb-douglas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "Cobb-Douglas")
% (find-bortolossi5page (+ -162 167) "Exemplo 5.1: Cobb-Douglas")
{\setlength{\parindent}{0pt}
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2
\par 5/dez/2019 - Eduardo Ochs
\par {\bf Mini-teste sobre curvas de nível (MT3)}
\par Vale 0.5 pontos a mais na questão 1d da P1.
\par (Quem acertou a 1d toda não precisa fazer)
}
\bsk
\bsk
A minha intenção com a questão 1d da P1 ---
%
\begin{quote}
``Represente graficamente a curva de nível da função $G=(\cos x)(\cos
y)$ para $z=\frac12$. Dica: represente como você acha que ela deve
ser''
\end{quote}
%
era fazer vocês
verem que dá pra gente visualizar funções complicadas sem fazer muitas
contas e sem precisar usar programas gráficos.
O livro do Bortolossi menciona algumas vezes a ``função de
Cobb-Douglas'' $F(x,y) = x^{1/4} y^{3/4}$, mas nós ainda não vimos
como visualizá-la...
Sabendo um pouquinho de C ou de planilhas dá pra fazer um diagrama de
numerozinhos como o abaixo. Use-o para esboçar as curvas de nível
$z=0$, $z=0.5$, $z=1$ e $z=1.5$, onde $z=F(x,y)$.
\msk
\begin{verbatim}
2.00 _|_ 0.00 0.42 0.71 0.96 1.19 1.41 1.61 1.81 2.00
1.75 _|_ 0.00 0.41 0.68 0.93 1.15 1.36 1.56 1.75 1.93
1.50 _|_ 0.00 0.39 0.66 0.89 1.11 1.31 1.50 1.68 1.86
1.25 _|_ 0.00 0.37 0.63 0.85 1.06 1.25 1.43 1.61 1.78
1.00 _|_ 0.00 0.35 0.59 0.81 1.00 1.18 1.36 1.52 1.68
0.75 _|_ 0.00 0.33 0.55 0.75 0.93 1.10 1.26 1.42 1.57
0.50 _|_ 0.00 0.30 0.50 0.68 0.84 0.99 1.14 1.28 1.41
0.25 _|_ 0.00 0.25 0.42 0.57 0.71 0.84 0.96 1.08 1.19
0.00 _|_ 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
y -+----+----+----+----+----+----+----+----+---
x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
\end{verbatim}
\newpage
% _____ _ ____ ____
% |_ _|_ _ _ _| | ___ _ __ |___ \| _ \
% | |/ _` | | | | |/ _ \| '__| __) | | | |
% | | (_| | |_| | | (_) | | / __/| |_| |
% |_|\__,_|\__, |_|\___/|_| |_____|____/
% |___/
%
% «taylor-2D» (to ".taylor-2D")
% (c3m192p 8 "taylor-2D")
% (c3m192 "taylor-2D")
{\setlength{\parindent}{0pt}
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2
\par 5/dez/2019 - Eduardo Ochs
\par {\bf Mini-teste sobre polinômios de Taylor (MT4)}
}
\bsk
\bsk
1) Calcule $\frac{d}{dt} \frac{d}{dt} F(g(t),h(t))$.
2) Calcule $\frac{d}{dt} \frac{d}{dt} F(g(t_0),h(t_0))$ no caso em que:
$\begin{array}{rcl}
t_0 &=& 6, \\
g(6) &=& 7, \\
h(6) &=& 8, \\
g'(6) &=& 1, \\
g''(t) &=& 0, \\
h''(t) &=& 0, \\
F(x,y) &=& a(x-7)^2 - b(x-7)(y-8) + c(y-8)^2. \\
\end{array}
$
% (c3q192 35 "20191205" "Dt Dt F(g(t),h(t))")
% (find-es "lua5" "cobb-douglas")
% «lagrange» (to ".lagrange")
% Exercícios de multiplicadores de Lagrange
% https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_212_Calculus_III/Chapter_13%3A_Functions_of_Multiple_Variables_and_Partial_Derivatives/13.A%3A_Lagrange_Multipliers/13.10E%3A_Exercises_for_Lagrange_Multipliers
% http://tutorial.math.lamar.edu/Problems/CalcIII/LagrangeMultipliers.aspx
% http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LagrangeMultipliers.asxp
% http://www.math.harvard.edu/archive/21a_spring_09/PDF/11-08-Lagrange-Multipliers.pdf
% https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/constrained-optimization/a/lagrange-multipliers-examples
% introdução a multiplicadores de Langrange
% (c3q192 19 "20190926" "Abertos e fechados; imagem inversa; Teorema de Weierstrass; triangulo e xy")
% (c3q192 20 "20190927" "Mais imagem inversa e Teorema de Weierstrass")
\end{document}
\bsk
% (find-angg ".emacs" "c3q192")
% (find-angg ".emacs" "c3q192" "retas tangentes")
% (c3q192 5 "20190816" "Derivadas e retas tangentes visualmente")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 75) "2.2 Interpretations of the Derivative")
e) Use a derivadas que você obteve no item anterior pra obter:
\begin{itemize}
\item um vetor da forma $\VEC{1,\_}$ tangente ao conjunto $B$ no ponto
$(y_0,F(x_0,y_0))$,
\item um vetor da forma $\VEC{1,\_}$ tangente ao conjunto $B$ no ponto
$(y_0,F(x_0,y_0))$,
\end{itemize}
encontrar um vetor da forma $\VEC{1,\_\_}$ que seja tangente ao
conjunto $B$ no ponto
$G(x,y) = (\sen x)(\sen y)$,
$H(x,y) = \sen x + \sen y$,
$M(x,y) = xy$,
Faltam: mínimo, áximo
\bsk
Nós vimos em sala como fazer as interseções de uma superfície
$z=f(x,y)$ com os planos da forma $x=x_0$ e $y=y_0$... por exemplo, o
corte com o plano $x=42$ dá um gráfico em que o eixo horizontal
representa os valores de $y$ e o eixo vertical representa $z=f(42,y)$.
\msk
1) Nos subitens deste exercício vamos usar a função $F$ definida lá em
cima --- a semi-esfera --- e $(x_0,y_0) = (2,4)$.
a) Desenhe o gráfico da interseção de $z=F(x,y)$ com o plano $x=x_0$ (é um gráfico ``$yz$'').
b) Desenhe o gráfico da interseção de $z=F(x,y)$ com o plano $y=y_0$ (é um gráfico ``$xz$'').
c) Descubra a derivada do gráfico do item 1a no ponto $y=y_0$.
d) Descubra a derivada do gráfico do item 1c no ponto $x=x_0$.
e) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
S &=& \setofxyzst{z = F(x,y)} \\
A &=& \setofxyzst{z = F(x,y), x=x_0} \\
B &=& \setofxyzst{z = F(x,y), y=y_0} \\
\end{array}
$$
% z = F(x,y_0)
%
e) Visualize as interseções de $z=F(x,y)$ com os planos $x=x_0$ e
$y=y_0$ em $\R^3$
e) Use os itens anteriores para encontrar um vetor da forma
$\VEC{1,0,a}$ que seja tangente à superfície $z=F(x,y)$.
e) Use os itens anteriores para encontrar um vetor da forma
$\VEC{0,1,b}$ que seja tangente à superfície $z=F(x,y)$.
f) Leia o início do cap.5 do Bortolossi, sobre derivadas parciais. As
derivadas que você obteve nos itens 1c e 1d são exatamente as
derivadas parciais de $F(x,y)$ no ponto $(2,4)$, mas nós obtivemos
elas usando uma abordagem bem diferente --- nós ainda nem usamos retas
secantes! Entenda o suficiente do livro pra
\bsk
e $y=y_0$ usando $(x_0,y_0) = (2,4)$.
2) Descubra as derivadas dos gráficos do item anterior em $x_0=2$ e
$y_0=4$.
3) Visualize em 3D as
\msk
Em cada um dos casos abaixo represente
1) Em cada um dos casos abaixo desenhe os cortes do superfDesenhe os
gráficos dos cortes da superfície $z=F(x,y)$ em
Seja $(x_0,y_0) = (2,4)$
% «cortes-derivadas-parciais» (to ".cortes-derivadas-parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "plano tangente")
% (find-angg ".emacs" "c3q191")
% (find-angg ".emacs" "c3q191" "abertos e fechados")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "nussenzveig")
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3m192"
% End: