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% (find-angg "LATEX/2019-1-C3-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-1-C3-material.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2019-1-C3-material; makeindex 2019-1-C3-material"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-1-C3-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-1-C3-material"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf /tmp/pen/")
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% file:///tmp/2019-1-C3-material.pdf
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% http://angg.twu.net/LATEX/2019-1-C3-material.pdf
% «.exercicios-1234» (to "exercicios-1234")
% «.exercicio-D» (to "exercicio-D")
% «.sqrt» (to "sqrt")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
\documentclass[oneside,twocolumn]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
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%
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% (find-LATEXfile "2016-2-GA-VR.tex" "{geometry}")
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\usepackage[%paperwidth=11.5cm, paperheight=9cm,
%total={6.5in,4in},
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top=2.5cm, bottom=2.5cm, left=2.5cm, right=2.5cm,
columnsep=1cm,
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]{geometry}
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% (find-xpdfpage "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 19 "16 de maio")
% (find-xpdfpage "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 20 "17 de maio")
% (find-pdftools-page "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 20 "17 de maio")
\pagestyle{empty}
{\setlength\parindent{0pt}
{\bf Quadro da aula de C3 de 16/maio/2019}
{\bf Eduardo Ochs, PURO/UFF}
{\bf Versão: 2019May22 19:34}
}
\msk
No final da aula passada nós revimos uma fórmula para aproximação de
primeira ordem...
Se $f:\R→\R$,
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x_0+a) &≅& f(x_0) + af'(x_0) \\
f(x) &≅& f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) \\
&=& (f(x_0) + -x_0f'(x_0)) + xf'(x_0) \\
\end{array}
$$
As três são equivalentes.
Às vezes alguma delas é mais conveniente que as outras.
Na aula passada eu pedi pra vocês encontrarem fórmulas como (1), (2),
(3) para funções $F:\R^2→\R$ --- e que vocês experimentassem usar
notações que vocês aprenderam no vídeo --- em especial ``$\Vec∇$''...
A notação mais adequada faz as contas ficarem mais claras e mais
curtas.
\bsk
\bsk
{\bf Hoje:
Aproximações de segunda ordem!
}
\msk
Lembre que:
$F_x = \frac{∂}{∂x} F$
$F_y = \frac{∂}{∂y} F$
$F_{xy} = (F_x)_y = \frac{∂}{∂y} (\frac{∂}{∂x} F)$
\msk
% «exercicios-1234» (to ".exercicios-1234")
{\bf Exercícios:}
Seja $F(x,y) = x^2 y^3$.
1) Calcule:
\begin{tabular}{rlrl}
a) & $F(3,4)$ \\
b) & $F_x (x,y)$ \qquad & b') & $F_x (3,4)$ \\
c) & $F_y (x,y)$ \qquad & c') & $F_y (3,4)$ \\
d) & $F_{xx}(x,y)$ \qquad & d') & $F_{xx}(3,4)$ \\
e) & $F_{xy}(x,y)$ \qquad & e') & $F_{xy}(3,4)$ \\
f) & $F_{yx}(x,y)$ \qquad & f') & $F_{yx}(3,4)$ \\
g) & $F_{yy}(x,y)$ \qquad & g') & $F_{yy}(3,4)$ \\
\end{tabular}
2) Encontre uma função $G:\R^2→\R$ que seja uma aproximação de
primeira ordem para $F$ no ponto $(3,4)$.
3) Seja $H:\R^2→\R$ uma função suave qualquer. Encontre uma
aproximação de primeira ordem para a $H$ no ponto $(3,4)$.
4) Seja $\vec u = \VEC{a,b}$. Encontre uma aproximação de primeira
ordem para:
\begin{tabular}{rlrl}
a) & $F((3,4) + t\VEC{5,6})$ \\
b) & $G((3,4) + t\VEC{5,6})$ \\
c) & $H((x_0,y_0) + t\vec u)$ \\
\end{tabular}
\bsk
O grande tema da aula de hoje é: o que a aproximação de segunda ordem
para $H((x_0,y_0) + t\vec u)$ ``enxerga''? Isto é: quais das derivadas
parciais de $H$ importam para o resultado?
\bsk
\bsk
{\bf Trabalho pra casa, valendo 1.0 ponto na P1:}
Façam os exercícios de hoje pra entregar.
Ordem sugerida (do mais fácil pro mais difícil): (2), (Da), (3), (4a),
(4b), (4c), (Db), (Dc).
\bsk
\bsk
{\bf Dica:}
% «exercicio-D» (to ".exercicio-D")
% (c3m191p 99 "exercicio-D")
% (c3m191 "exercicio-D")
O problema (d) da aula passada era:
(d) Seja $F(x,y) = \sen x + \sen y$. Use $F(\fracπ2,π)$ e
$\Vec∇F(\fracπ2,π)$ pra calcular uma aproximação para $F(\fracπ2+0.1,
π+0.2)$.
Nesse problema é bem fácil distinguir o ponto onde sabemos calcular
tudo sem calculadors --- $(x_0,y_0) = (\fracπ2,π)$ --- da ``variação''
deste ponto: $(\fracπ2,π) + \VEC{0.1,0.2} = (\fracπ2+0.1, π+0.2)$
Se você estiver se enrolando nos problemas de hoje tente fazer os
exercícios abaixo usando $F(x,y) = \sen x + \sen y$ (obs: vamos chamar
isto de ``{\bf Exercício D}''):
\msk
a) Encontrar uma aproximação de primeira ordem para $F((\fracπ2,π) +
t\VEC{0.1,0.2})$,
b) Encontrar uma aproximação de {\sl segunda} ordem para
$F((\fracπ2,π) + t\VEC{0.1,0.2})$,
c) Encontrar uma aproximação de {\sl segunda} ordem para
$F((\fracπ2,π) + t\VEC{a,b})$.
\msk
{\sl Itens extras que eu não pus no quadro:}
Seja $S=\setofst{(x,y,F(x,y))}{(x,y)∈\R^2}$.
d) Visualize as superfície $S$ ao redor do ponto $(x_0,y_0) =
(\fracπ2,π)$ e tente representá-la graficamente.
e) Represente graficamente a aproximação que você montou no exercício
(Da).
f) Idem para o exercício (Db).
g) Idem para o exercício (Dc), com $\VEC{a,b}=\VEC{1,0}$.
h) Idem para o exercício (Dc), com $\VEC{a,b}=\VEC{0,1}$.
i) Idem para o exercício (Dc), com $\VEC{a,b}=\VEC{1,1}$.
% ____ _ ____
% | _ \ __ _ __ _(_)_ __ __ _ |___ \
% | |_) / _` |/ _` | | '_ \ / _` | __) |
% | __/ (_| | (_| | | | | | (_| | / __/
% |_| \__,_|\__, |_|_| |_|\__,_| |_____|
% |___/
\newpage
{\bf Mais dicas:}
O exercício (d) da aula passada pedia pra calcular uma aproximação
para $F(\fracπ2+0.1, π+0.2)$ e {\sl implicitamente} pedia pra vocês
compararem o resultado disso com $\sen(π2+0.1) + \sen(π+0.2)$, que dá
pra calcular com calculadora...
Você pode dar {\sl nomes} para as suas expressões --- por exemplo,
$E=\sen(π2+0.1) + \sen(π+0.2)$ (valor exato) e $A=\ldots$ (valor
aproximado), calcular ambas numericamente e comparar os resultados.
\msk
(Re)leia os exemplos 2.2.2, 2.2.4 e 2.2.5 do APEX Calculus.
\msk
% «sqrt» (to ".sqrt")
% (c3m191p 2 "sqrt")
% (c3m191 "sqrt")
O exemplo mais comum de aproximação linear --- vááários livros começam
por ele --- é $f(x) = \sqrt x$ em torno de $x_0=4$. Faça a figura para
este exemplo, encontre uma fórmula para a aproximação de primeira
ordem em $x_0=4$, e use uma calculadora para comparar o resultado
exato e o resultado da aproximação em $x=4$, $x=5$, $x=4.1$, $x=3.9$ e
$x=1$.
\msk
Obtenha uma aproximação de {\sl segunda} ordem para esta $f(x)$ em
$x_0=4$. Teste-a em $x=4$, $x=5$, $x=4.1$, $x=3.9$ e $x=1$.
\msk
Leia a seção 4.4 do APEX Calculus.
\msk
Relembre a notação de substituição que usamos na aula de 3/maio.
Exemplos:
$(F(g(t),h(t))) \subst{ F(x,y) := x/y \\
g(t):=\sen t \\
h(t):= \cos t
} = \frac{\sen t}{\cos t}
$
\ssk
$(F(g(t),h(t))) \subst{ F(x,y) := x/y \\
g(t):=\sen t \\
h(t):= \cos t
}
\subst{ t:=π
} = \frac{\sen π}{\cos π}
$
Use-a pra escrever como você está testando as suas fórmulas. Se você
escrever claramente fica bem mais fácil discutir com colegas!
\msk
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3mp 2 "exercicio-5")
% (c3m "exercicio-5")
{\bf Mais uma dica/exercício} (``Exercício 5'', acrescentado em
22/maio):
a) Calcule $\frac{d}{dx} (\frac{d}{dx} f(g(x)))$.
b) Calcule $\frac{d}{dt} (\frac{d}{dt} F(g(t),h(t)))$.
\msk
Quando eu dava Geometria Analítica eu sempre distribuía no início do
curso uma texto com dicas de como estudar. Uma das dicas era:
\begin{quote}
7) Uma solução bem escrita pode incluir, além do resultado final,
contas, definições, representações gráficas, explicações em
português, testes, etc. Uma solução bem escrita é fácil de ler e
fácil de verificar. Você pode testar se uma solução sua está bem
escrita submetendo-a às seguinte pessoas: a) você mesmo logo depois
de você escrevê-la --- releia-a e veja se ela está clara; b) você
mesmo, horas depois ou no dia seguinte, quando você não lembrar mais
do que você pensava quando você a escreveu; c) um colega que seja
seu amigo; d) um colega que seja menos seu amigo que o outro; e) o
monitor ou o professor. Se as outras pessoas acharem que ler a sua
solução é um sofrimento, isso é mau sinal; se as outras pessoas
acharem que a sua solução está claríssima e que elas devem estudar
com você, isso é bom sinal. {\sl GA é um curso de escrita
matemática:} se você estiver estudando e descobrir que uma solução
sua pode ser reescrita de um jeito bem melhor, não hesite ---
reescrever é um ótimo exercício.
\end{quote}
% (find-xpdfpage "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 18)
% (find-apexcalculuspage (+ 10 78) "Example 2.2.3 Understanding the derivative: the rate of change")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 79) "Example 2.2.4 Understanding the graph of the derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 79) "Example 2.2.5 Approximation with the derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 82) "2.3 Basic Differentiation Rules")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 89) "2.4 The Product and Quotient Rules")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 100) "2.5 The Chain Rule")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 111) "2.6 Implicit Differentiation")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 122) "2.7 Derivatives of Inverse Functions")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 129) "3 The Graphical Behavior of Functions")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 129) "3.1 Extreme Values")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 137) "3.2 The Mean Value Theorem")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 142) "3.3 Increasing and Decreasing Functions")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 151) "3.4 Concavity and the Second Derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 159) "3.5 Curve Sketching")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 167) "4 Applications of the Derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 167) "4.1 Newton's Method")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 174) "4.2 Related Rates")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 181) "4.3 Optimization")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 188) "4.4 Differentials")
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3m191"
% End: