% (find-angg "LATEX/2019-1-C3-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-1-C3-P1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-1-C3-P1.tex" :end))
% (defun d () (interactive) (find-pdf-page  "~/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdft-page "~/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-1-C3-P1.tex"))
% (defun ed () (interactive) (find-2a '(e) '(g)))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-1-C3-P1"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf
%               file:///tmp/2019-1-C3-P1.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-1-C3-P1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-1-C3-P1.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu



{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.1
\par P1 - 31/maio/2019 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar


% \bsk
% \bsk

% (c3qe)

1) \T(Total: 2.0 pts) Sejam $f(x)=\sqrt{x}$ e $x_0=4$.

a) \B(0.3 pts) Encontre uma aproximação de 1ª ordem para $f$ em torno
de $x_0$.

b) \B(0.7 pts) Encontre uma aproximação de 2ª ordem para $f$ em torno
de $x_0$.

c) \B(1.0 pts) Represente graficamente as três funções.

\bsk
\bsk


2) \T(Total: 3.0 pts) Seja $F(x,y) = 2 + 3x + 4x^2 + 5xy + 6x^3 +
7x^2y + 8x^3$.

% Era 8x^3y

a) \B(1.0 pts) Seja $G(x,y)$ uma aproximação 1ª ordem para $F$ em
torno do ponto $(x_0,y_0) = (10,10)$. Dê a equação de $G$.

b) \B(1.0 pts) Seja $H(x,y)$ uma aproximação 2ª ordem para $F$ em
torno do ponto $(x_0,y_0) = (0,0)$. Dê a equação de $H$.

c) \B(1.0 pts) Seja $M(x,y) = F(x,y) - H(x,y)$. Dê a equação de $M$ e
calcule $M$, $M_x$, $M_y$, $M_{xx}$, $M_{xy}$, $M_{yy}$ no ponto
$(0,0)$.





\bsk
\bsk

% (c3qe)
% (c3q191  8 "20190411" "Cicloide")

3) \T(Total: 4.0 pts) Sejam $f(t) = (\cos t, \sen t)$, $g(t) = (t,0)$,
$h(t) = (t+\cos t, \sen t)$.

a) \B(1.0 pts) Calcule $h(t)$, $h'(t)$ e $h''(t)$ no caso geral e para
$t=k\fracπ2$ para $k=-2,-1,0,1,2,3,4$.

b) \B(1.0 pts) Use os resultados do item anterior para fazer um esboço
da trajetória $h(t)$.

c) \B(1.0 pts) Encontre um valor de $t$ para o qual $h'(t)=0$.

d) \B(1.0 pts) Seja $t_0$ o valor de $t$ que você encontrou no item
anterior. Obtenha uma aproximação de segunda ordem para a função $h$
em torno de $t_0$ e use-a para calcular aproximações para $h(t_0+0.1)$
e $h(t_0-0.1)$.


\bsk
\bsk

4) \T(Total: 1.0 pts) Calcule as derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem
de:

a) \B(0.5 pts) $e^2 \sen(xy)$,

b) \B(0.5 pts) $(x-y)/(x+y)$.




\newpage

{\bf Gabarito (MUITO incompleto)}

1) $f(x) = x^{1/2}$

   $f'(x) = \frac12 x^{-1/2}$

   $f''(x) = -\frac12 \, \frac12 x^{-3/2} = -\frac14 x^{-3/2}$

   $f(4) = 2$

   $f'(4) = \frac14$

   $f''(4) = -\frac1{32}$

1a) $g(x_0+ε) = f(x_0) + εf'(x_0)$

    $g(4+ε) = f(4) + εf'(4) = 2 + \frac14 ε$

1b) $h(x_0+ε) = f(x_0) + εf'(x_0) + \frac12 ε^2 f''(x_0)$

    $h(4+ε) = f(4) + εf'(4) + \frac12 ε^2 f''(4)$

           $= 1 + \frac14 ε + -\frac1{64} ε^2$




\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End: