|
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% (find-angg "LATEX/2017-2-GA-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2017-2-GA-material.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-GA-material.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2017-2-GA-material; makeindex 2017-2-GA-material"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2017-2-GA-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2017-2-GA-material"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-GA-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2017-2-GA-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2017-2-GA-material.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2017-2-GA-material.pdf
% file:///tmp/2017-2-GA-material.pdf
% file:///tmp/pen/2017-2-GA-material.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2017-2-GA-material.pdf
% (gam172i)
% TODO:
% como provar: exemplos
% (gam172p 11 "propriedades-2")
% pontos e vetores graficamente
% pitágoras, norma, ortogonalidade
% vetores normais
% equação da reta usando vetores normais
% truques com projeção e vetores unitários
% distância de ponto a reta usando vetores normais
% exercícios de cônicas com gabarito:
% (ga171p2) (ga171p2p 2)
% (ga171vr) (ga171vrp 2)
% «.picturedots» (to "picturedots")
% «.pictOuv» (to "pictOuv")
% «.pictABCDE» (to "pictABCDE")
% «.cells» (to "cells")
% «.tikz-defs» (to "tikz-defs")
%
% «.coisas-muito» (to "coisas-muito")
% «.dicas» (to "dicas")
% «.matrizes» (to "matrizes")
% «.comprehension» (to "comprehension")
% «.comprehension-tables» (to "comprehension-tables")
% «.comprehension-ex123» (to "comprehension-ex123")
% «.comprehension-prod» (to "comprehension-prod")
% «.comprehension-gab» (to "comprehension-gab")
% «.pontos-e-vetores» (to "pontos-e-vetores")
% «.propriedades» (to "propriedades")
% «.propriedades-2» (to "propriedades-2")
% «.retas» (to "retas")
% «.pontos-vetores-graf» (to "pontos-vetores-graf")
%
% «.Fxy» (to "Fxy")
% «.parametrizadas» (to "parametrizadas")
%
% «.coordenadas» (to "coordenadas")
% «.O+au+bv» (to "O+au+bv")
% «.O+au+bv-2» (to "O+au+bv-2")
% «.sistemas» (to "sistemas")
% «.sistemas-2» (to "sistemas-2")
%
% «.sistemas-3» (to "sistemas-3")
% «.sistemas-3-exercs» (to "sistemas-3-exercs")
% «.projecoes» (to "projecoes")
% «.notacao-:» (to "notacao-:")
% «.construcoes» (to "construcoes")
% «.distancia-ponto-reta» (to "distancia-ponto-reta")
% «.propriedades-do-Pr» (to "propriedades-do-Pr")
% «.vetores-unitarios» (to "vetores-unitarios")
%
% «.R3-retas-e-planos» (to "R3-retas-e-planos")
% «.R3-retas-e-planos-2» (to "R3-retas-e-planos-2")
% «.determinantes-em-R3» (to "determinantes-em-R3")
% «.determinantes-em-R3-2» (to "determinantes-em-R3-2")
% «.cross-prod» (to "cross-prod")
% «.alguns-usos-do-x» (to "alguns-usos-do-x")
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color} % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
\usepackage{tikz}
\usepackage{boxedminipage}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}
\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end
\def\erro{\operatorname{erro}}
\def\setofpt #1 #2 #3 #4 {\setofet{(#1,#2)+t\VEC{#3,#4}}}
\def\setofpu #1 #2 #3 #4 {\setofeu{(#1,#2)+u\VEC{#3,#4}}}
% (find-LATEXfile "2016-1-GA-material.tex" "setofet")
\def\setofet #1{\setofst{#1}{t∈\R}}
\def\setofeu #1{\setofst{#1}{u∈\R}}
\def\setofpt #1 #2 #3 #4 {\setofet{(#1,#2)+t\VEC{#3,#4}}}
\def\setofpu #1 #2 #3 #4 {\setofeu{(#1,#2)+u\VEC{#3,#4}}}
\unitlength=5pt
% «picturedots» (to ".picturedots")
% (find-LATEX "edrxpict.lua" "pictdots")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
% (to "comprehension-gab")
%
\def\beginpicture(#1,#2)(#3,#4){\expr{beginpicture(v(#1,#2),v(#3,#4))}}
\def\pictaxes{\expr{pictaxes()}}
\def\pictdots#1{\expr{pictdots("#1")}}
\def\picturedots(#1,#2)(#3,#4)#5{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(#1,#2)(#3,#4)%
\pictaxes%
\pictdots{#5}%
\end{picture}%
}}%
}
\unitlength=5pt
%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end
%L -- «pictOuv» (to ".pictOuv")
%L pictOOuuvv = function (OO, xx, yy, OOtext, xxtext, yytext, vtextdist, Otextdist)
%L local bprint, out = makebprint()
%L local xxpos = OO + xx/2 + xx:rotright():unit(vtextdist)
%L local yypos = OO + yy/2 + yy:rotleft() :unit(vtextdist)
%L local OOpos = OO + (-xx-yy):unit(Otextdist or vtextdist)
%L local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L bprint("\\Vector%s%s", OO, OO+xx)
%L bprint("\\Vector%s%s", OO, OO+yy)
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", OOpos, f(OOtext))
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", xxpos, f(xxtext))
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", yypos, f(yytext))
%L return out()
%L end
%L -- sysco = pictOOuuvv
\def\pictOuv(#1,#2){
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(0,0,4,4)}}
\pictaxes
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(O, uu, vv, "O", "!uu", "!vv", #1, #2)}
}
}
%L -- «pictABCDE» (to ".pictABCDE")
%L tt = v(1, 0)
%L pictABCDE = function (aang, bang, cang, dang, eang)
%L local bprint, out = makebprint()
%L local AA, BB, CC, DD, EE = p(1,1), p(1,3), p(3,3), p(1,2), p(2,2)
%L local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L bprint("\\Line%s%s", AA, BB)
%L bprint("\\Line%s%s", BB, CC)
%L bprint("\\Line%s%s", DD, EE)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", AA)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", BB)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", CC)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", DD)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", EE)
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", AA + tt:rot(aang), "A")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", BB + tt:rot(bang), "B")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", CC + tt:rot(cang), "C")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", DD + tt:rot(dang), "D")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", EE + tt:rot(eang), "E")
%L return out()
%L end
\def\pictABCDE(#1,#2,#3,#4,#5){
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictABCDE(#1,#2,#3,#4,#5)}
}
}
\pu
% «cells» (to ".cells")
% (find-es "tex" "fbox")
\def\cellhr#1{\hbox to 0pt {\cellfont${#1}$\hss}}
\def\cellhc#1{\hbox to 0pt{\hss\cellfont${#1}$\hss}}
\def\cellhl#1{\hbox to 0pt{\hss\cellfont${#1}$}}
\def\cellva#1{\setbox0#1\raise \dp0 \box0}
\def\cellvm#1{\setbox0#1\lower \celllower \box0}
\def\cellvb#1{\setbox0#1\lower \ht0 \box0}
\def\cellnw #1{\cellva{\cellhl{#1}}}
\def\celln #1{\cellva{\cellhc{#1}}}
\def\cellne#1{\cellva{\cellhr{#1}}}
\def\cellw #1{\cellvm{\cellhl{#1}}}
\def\celle #1{\cellvm{\cellhr{#1}}}
\def\cellsw #1{\cellvb{\cellhl{#1}}}
\def\cells #1{\cellvb{\cellhc{#1}}}
\def\cellse#1{\cellvb{\cellhr{#1}}}
\newdimen\cellsep
\cellsep=4pt
\def\addcellsep{%
\setbox0=\hbox{\kern\cellsep\box0\kern\cellsep}%
\ht0=\ht0 plus \cellsep%
\dp0=\dp0 plus \cellsep%
\box0%
}
\def\cellsp#1{%
\setbox0=\hbox{#1}%
\addcellsep%
\box0%
}
% «tikz-defs» (to ".tikz-defs")
%
% \mygrid and \myaxes
% (find-es "tikz" "mygrid")
\tikzset{mycurve/.style=very thick}
\tikzset{axis/.style=semithick}
\tikzset{tick/.style=semithick}
\tikzset{grid/.style=gray!20,very thin}
\tikzset{anydot/.style={circle,inner sep=0pt,minimum size=1.2mm}}
\tikzset{opdot/.style={anydot, draw=black,fill=white}}
\tikzset{cldot/.style={anydot, draw=black,fill=black}}
%
\def\mygrid(#1,#2) (#3,#4){
\clip (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
\draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid (#3+0.2, #4+0.2);
\draw[axis] (-10,0) -- (10,0);
\draw[axis] (0,-10) -- (0,10);
\foreach \x in {-10,...,10} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
\foreach \y in {-10,...,10} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}
\def\myaxes(#1,#2) (#3,#4){
\clip (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
%\draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid (#3+0.2, #4+0.2);
\draw[axis] (-20,0) -- (20,0);
\draw[axis] (0,-20) -- (0,20);
\foreach \x in {-20,...,20} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
\foreach \y in {-20,...,20} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}
% Grid color
\tikzset{grid/.style=gray!50,very thin}
\def\tikzp#1{\mat{\begin{tikzpicture}#1\end{tikzpicture}}}
\def\mydraw #1;{\draw [mycurve] \expr{#1};}
\def\mydot #1;{\node [cldot] at \expr{#1} [] {};}
\def\myldot #1 #2 #3;{\node [cldot] at \expr{#1} [label=#2:${#3}$] {};}
\def\myseg #1 #2;{\draw [mycurve] \expr{#1} -- \expr{#2};}
\def\mylabel #1 #2 #3;{\node [] at \expr{#1} [label=#2:${#3}$] {};}
\def\myseggrid #1 #2;{\draw [grid] \expr{#1} -- \expr{#2};}
% \myvgrid, for things like this:
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-GA-material.pdf" 6)
\def\myvgrid{
\myseggrid p(0,0) p(0,4);
\myseggrid p(1,0) p(1,4);
\myseggrid p(2,0) p(2,4);
\myseggrid p(3,0) p(3,4);
\myseggrid p(4,0) p(4,4);
\myseggrid p(0,0) p(4,0);
\myseggrid p(0,1) p(4,1);
\myseggrid p(0,2) p(4,2);
\myseggrid p(0,3) p(4,3);
\myseggrid p(0,4) p(4,4);
\draw [->] \expr{p(0,0)} -- \expr{p(0,1)};
\draw [->] \expr{p(0,0)} -- \expr{p(1,0)};
}
% «pictureFxy» (to ".pictureFxy")
\def\tcell#1{\lower\celllower\hbox to 0pt{\hss\cellfont#1\hss}}
\def\pictureFxy(#1,#2)(#3,#4)#5{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpictureb(#1,#2)(#3,#4){.7}%
{\color{GrayPale}%
\Line(#1,0)(#3,0)%
\Line(0,#2)(0,#4)%
}
\expr{pictFxy("#5")}
\end{picture}%
}}%
}
% ____ _ _ _
% / ___|___ (_)___ __ _ ___ _ __ ___ _ _(_) |_ ___
% | | / _ \| / __|/ _` / __| | '_ ` _ \| | | | | __/ _ \
% | |__| (_) | \__ \ (_| \__ \ | | | | | | |_| | | || (_) |
% \____\___/|_|___/\__,_|___/ |_| |_| |_|\__,_|_|\__\___/
%
% «coisas-muito» (to ".coisas-muito")
% (gam172p 1 "coisas-muito")
\label{coisas-muito}
{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Geometria Analítica - material para exercícios
\par PURO-UFF - 2017.2 - Eduardo Ochs
\par Links importantes:
\par \url{http://angg.twu.net/2017.2-GA.html} (página do curso)
\par \url{http://angg.twu.net/2017.2-GA/2017.2-GA.pdf} (quadros)
\par \url{http://angg.twu.net/LATEX/2017-2-GA-material.pdf} (isto aqui)
\par {\tt eduardoochs@gmail.com} (meu e-mail)
\par Dá pra chegar na página do curso googlando por ``Eduardo Ochs'',
\par indo pra qualquer subpágina do angg.twu.net, e clicando em ``GA''
\par na barra de navegação à esquerda.
}
\bsk
\bsk
{
\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Coisas {\bf MUITO} importantes sobre Geometria Analítica}
}
\msk
A matéria é sobre duas linguagens diferentes: a
%
\begin{itemize}
\item ``Geometria'', que é sobre coisas gráficas como pontos, retas e
círculos, e a
\item ``Analítica'', que é sobre ``álgebra'', sobre coisas matemáticas
``formais'' como contas, conjuntos e equações;
\end{itemize}
%
além disso Geometria Analítica é também sobre a TRADUÇÃO entre essas
duas linguagens.
\msk
Lembre que boa parte do que você aprendeu sobre álgebra no ensino
médio era sobre {\sl resolver equações}.
{\sl Encontrar soluções} de equações é difícil --- são muitos métodos,
e dá pra errar bastante no caminho --- mas {\sl testar} as soluções é
fácil.
\msk
Boa parte do que você aprendeu (ou deveria ter aprendido) sobre
geometria no ensino médio envolvia construções gráficas; por exemplo,
a partir de pontos $A$, $B$, $C$,
Seja $A'$ o ponto médio entre $B$ e $C$,
Seja $B'$ o ponto médio entre $A$ e $C$,
Seja $C'$ o ponto médio entre $A$ e $B$,
Seja $r_a$ a reta que passa por $A'$ e é ortogonal a $BC$,
Seja $r_b$ a reta que passa por $B'$ e é ortogonal a $AC$,
Seja $r_c$ a reta que passa por $C'$ e é ortogonal a $AB$,
Seja $D$ o ponto de interseção das retas $r_a$, $r_b$ e $r_c$,
então $D$ é o centro do círculo que passa por $A$, $B$ e $C$.
\msk
Você {\bf VAI TER QUE} aprender a definir seus objetos --- pontos, retas,
conjuntos, círculos, etc... isso provavelmente vai ser algo novo pra
você e é algo que precisa de MUITO treino. Dá pra passar em Cálculo 1
e em Prog 1 só aprendendo a ``ler'' as definições que o professor e os
livros mostram, mas em Geometria Analítica NÃO DÁ, em GA você vai ter
que aprender a ler {\bf E A ESCREVER} definições.
\newpage
% ____ _
% | _ \(_) ___ __ _ ___
% | | | | |/ __/ _` / __|
% | |_| | | (_| (_| \__ \
% |____/|_|\___\__,_|___/
%
% «dicas» (to ".dicas")
% (gam172p 2 "dicas")
\label{dicas}
{\bf Dicas MUITO IMPORTANTES e pouco óbvias:}
\ssk
1) Aprenda a testar tudo: contas, possíveis soluções de equações,
representações gráficas de conjuntos...
2) Cada ``seja'' ou ``sejam'' que aparece nestas folhas é uma
definição, e você pode usá-los como exemplos de definições
bem-escritas (ééé!!!!) pra aprender jeitos de escrever as suas
definições.
3) Em ``matematiquês'' a gente quase não usa termos como ``ele'',
``ela'', ``isso'', ``aquilo'' e ''lá'' --- ao invés disso a gente dá
nomes curtos pros objetos ou usa expressões matemáticas pra eles cujo
resultado é o objeto que a gente quer (como nas pags
\pageref{comprehension-ex123} e \pageref{projecoes})... mas {\sl
quando a gente está discutindo problemas no papel ou no quadro} a
gente pode ser referir a determinados objetos apontando pra eles com o
dedo.
4) Se você estiver em dúvida sobre o que um problema quer dizer tente
escrever as suas várias hipóteses --- a prática de escrever as suas
idéias é o que vai te permitir aos poucos conseguir resolver coisas de
cabeça.
5) Muitas coisas aparecem nestas folhas escritas primeiro de um jeito
detalhado, e depois aos poucos de jeitos cada vez mais curtos. Você
vai ter que aprender a completar os detalhes.
6) Alguns exercícios destas folhas têm muitos subcasos. Nos primeiros
subcasos você provavelmente vai precisar fazer as contas com todos os
detalhes e verificá-las várias vezes pra não errar, depois você vai
aprender a fazê-las cada vez mais rápido, depois vai poder fazê-las de
cabeça, e depois você vai começar a visualizar o que as contas
``querem dizer'' e vai conseguir chegar ao resultado graficamente, sem
contas; e se você estiver em dúvida se o seu ``método gráfico'' está
certo você vai poder conferir se o ``método gráfico'' e o ``método
contas'' dão aos mesmos resultados. Exemplo: p.\pageref{coordenadas}.
7) Uma solução bem escrita pode incluir, além do resultado final,
contas, definições, representações gráficas, explicações em português,
testes, etc. Uma solução bem escrita é fácil de ler e fácil de
verificar. Você pode testar se uma solução sua está bem escrita
submetendo-a às seguinte pessoas: a) você mesmo logo depois de você
escrevê-la --- releia-a e veja se ela está clara; b) você mesmo, horas
depois ou no dia seguinte, quando você não lembrar mais do que você
pensava quando você a escreveu; c) um colega que seja seu amigo; d) um
colega que seja menos seu amigo que o outro; e) o monitor ou o
professor. Se as outras pessoas acharem que ler a sua solução é um
sofrimento, isso é mau sinal; se as outras pessoas acharem que a sua
solução está claríssima e que elas devem estudar com você, isso é bom
sinal. {\sl GA é um curso de escrita matemática:} se você estiver
estudando e descobrir que uma solução sua pode ser reescrita de um
jeito bem melhor, não hesite --- reescrever é um ótimo exercício.
8) Estas notas {\sl vão ser} uma versão ampliada e melhorada destas
notas aqui, do semestre passado:
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2017-1-GA-material.pdf}
\newpage
% __ __ _ _
% | \/ | __ _| |_ _ __(_)_______ ___
% | |\/| |/ _` | __| '__| |_ / _ \/ __|
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% |_| |_|\__,_|\__|_| |_/___\___||___/
%
% «matrizes» (to ".matrizes")
% (gam172p 3 "matrizes")
\label{matrizes}
{\bf Alguns ``tipos'' de objetos matemáticos familiares}
\ssk
Multiplicação de matrizes:
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
$\und{\pmat{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}}{3×3}
\und{\pmat{1000 \\ 100 \\ 10}}{3×1}
= \und{\pmat{1230 \\ 4560 \\ 7890}}{3×1}
$
$\und{\pmat{a & b \\ c & d \\ e & f}}{3×2}
\und{\pmat{g & h & i & j \\ k & l & m & n}}{2×4}
= \und{\pmat{ag+bk & ah+bl & ai+bm & aj+bn \\
cg+dk & ch+dl & ci+dm & cj+dn \\
eg+fk & eh+fl & ei+fm & ej+fn \\}}{3×4}
$
$\und{\pmat{g & h & i & j \\ k & l & m & n}}{2×4}
\und{\pmat{a & b \\ c & d \\ e & f}}{3×2}
= \; \text{erro \qquad (porque $4≠3$)}
$
$\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} \pmat{100 & 0 \\ 10 & 0} = \pmat{120 & 0 \\ 340 & 0}$
\ssk
$\pmat{100 & 0 \\ 10 & 0} \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} = \pmat{100 & 200 \\ 10 & 20}$
\ssk
$\pmat{2 \\ 3 \\ 4}^T \pmat{100 \\ 10 \\ 1} = \pmat{2 & 3 & 4} \pmat{100 \\ 10 \\ 1} = (234) = 234$
\bsk
Soma de matrizes:
$\pmat{10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60} + \pmat{2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7} = \pmat{12 & 23 & 34 \\ 45 & 56 & 67}$
$\pmat{10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60} + \pmat{2 & 3 \\ 5 & 6 } = \; \text{erro}$
\bsk
Multiplicação de número por matriz:
$10 \pmat{2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7} = \pmat{20 & 30 & 40 \\ 50 & 60 & 70}$
\bsk
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}
Operações lógicas:
\ssk
$\begin{array}[t]{rcl}
\text{``E'':} \\
\F\&\F &=& \F \\
\F\&\V &=& \F \\
\V\&\F &=& \F \\
\V\&\V &=& \V \\
\end{array}
%
\quad
%
\begin{array}[t]{rcl}
\text{``Ou'':} \\
\F∨\F &=& \F \\
\F∨\V &=& \V \\
\V∨\F &=& \V \\
\V∨\V &=& \V \\
\end{array}
%
\quad
%
\begin{array}[t]{rcl}
\text{``Implica'':}\hss \\
\F→\F &=& \V \\
\F→\V &=& \V \\
\V→\F &=& \F \\
\V→\V &=& \V \\
\end{array}
%
\quad
%
\begin{array}[t]{rcl}
\text{``Não'':} \\
¬\F &=& \V \\
¬\V &=& \F \\
\end{array}
$
\bsk
Se $x=6$,
$\und{\und{2<\und{x}{6}}{\V} \&
\und{\und{x}{6}<5}{\F}
}{\F}
$
\newpage
% ____ _ _
% / ___|___ _ __ ___ _ __ _ __ ___| |__ ___ _ __ ___(_) ___ _ __
% | | / _ \| '_ ` _ \| '_ \| '__/ _ \ '_ \ / _ \ '_ \/ __| |/ _ \| '_ \
% | |__| (_) | | | | | | |_) | | | __/ | | | __/ | | \__ \ | (_) | | | |
% \____\___/|_| |_| |_| .__/|_| \___|_| |_|\___|_| |_|___/_|\___/|_| |_|
% |_|
%
% «comprehension» (to ".comprehension")
% (gam172p 4 "comprehension")
\label{comprehension}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
\def\ug#1{\und{#1}{ger}}
\def\uf#1{\und{#1}{filt}}
\def\ue#1{\und{#1}{expr}}
{\bf ``Set comprehensions''}
\ssk
Notação explícita, com geradores, filtros,
e um ``;'' separando os geradores e filtros da expressão final:
$\begin{array}{lll}
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{10a}\} &=& \{10,20,30,40\} \\
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{a}\} &=& \{1,2,3,4\} \\
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{a}\} &=& \{3,4\} \\
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{10a}\} &=& \{30,40\} \\
\{\ug{a∈\{10,20\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{a+b}\} &=& \{13,14,23,24\} \\
\{\ug{a∈\{1,2\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{(a,b)}\} &=& \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} \\
\end{array}
$
% (setq last-kbd-macro (kbd "C-w \\ uf{ C-y }"))
% (setq last-kbd-macro (kbd "C-w \\ ue{ C-y }"))
\msk
\msk
Notações convencionais, com ``$|$'' ao invés de ``;'':
Primeiro tipo --- expressão final, ``$|$'', geradores e filtros:
$\begin{array}{lll}
\setofst{10a}{a∈\{1,2,3,4\}} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{10a}\} \\
\setofst{10a}{a∈\{1,2,3,4\}, a≥3} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{10a}\} \\
\setofst{a}{a∈\{1,2,3,4\}} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{a}\} \\
% \{\ug{a∈\{1,2\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{(a,b)}\} \\
\end{array}
$
\msk
O segundo tipo --- gerador, ``$|$'', filtros ---
pode ser convertido para o primeiro...
o truque é fazer a expressão final ser a variável do gerador:
$\begin{array}{lll}
\setofst{a∈\{1,2,3,4\}}{a≥3} &=& \\
\setofst{a}{a∈\{1,2,3,4\}, a≥3} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{a}\} \\
% \{\ug{a∈\{10,20\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{a+b}\} \\
\end{array}
$
\msk
O que distingue as duas notacões ``$\{\ldots|\ldots\}$'' é
se o que vem antes da ``$|$'' é ou não um gerador.
\bsk
Observações:
$\setofst{\text{gerador}}{\text{filtros}} =
\{\text{gerador},\text{filtros};\ue{\text{variável do gerador}}\}$
$\setofst{\text{expr}}{\text{geradores e filtros}} =
\{\text{geradores e filtros}; \text{expr}\}
$
\msk
As notações ``$\{\ldots|\ldots\}$'' são padrão e são usadas em muitos livros de matemática.
A notação ``$\{\ldots;\ldots\}$'' é bem rara; eu aprendi ela em
artigos sobre linguagens de programação, e resolvi apresentar ela aqui
porque acho que ela ajuda a explicar as duas notações
``$\{\ldots|\ldots\}$''.
\newpage
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%
% «comprehension-tables» (to ".comprehension-tables")
% (gam172p 5 "comprehension-tables")
% (find-es "tex" "vrule")
\label{comprehension-tables}
{\bf ``Set comprehensions'': como calcular usando tabelas}
\ssk
\def\tbl#1#2{\fbox{$\begin{array}{#1}#2\end{array}$}}
\def\tbl#1#2{\fbox{$\sm{#2}$}}
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}
% "Stop":
\def\S{\omit$|$\hss}
\def\S{\omit\vrule\hss}
\def\S{\omit\vrule$($\hss}
\def\S{\omit\vrule$\scriptstyle($\hss}
\def\S{\omit\vrule\phantom{$\scriptstyle($}\hss} % stop
Alguns exemplos:
\msk
\def\s{\mathstrut}
\def\s{\phantom{$|$}}
\def\s{\phantom{|}}
\def\s{}
Se $A := \{x∈\{1,2\}; (x,3-x)\}$
então $A = \{(1,2), (2,1)\}$:
\tbl{ccc}{
\s x & (x,3-x) \\\hline
\s 1 & (1,2) \\
\s 2 & (2,1) \\
}
\msk
Se $I := \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}, x+y<6; (x,y)\}$
então $I = \{(1,3),(1,4),(1,5)\}$:
\tbl{ccc}{
\s x & y & x+y<6 & (x,y) \\\hline
\s 1 & 3 & \V & (1,3) \\
\s 1 & 4 & \V & (1,4) \\
\s 2 & 3 & \V & (2,3) \\
\s 2 & 4 & \F & \S \\
\s 3 & 3 & \F & \S \\
\s 3 & 4 & \F & \S \\
}
\msk
Se $D := \setofst{(x,2x)}{x∈\{0,1,2,3\}}$
então $D = \{x∈\{0,1,2,3\}; (x,2x)\}$,
$D = \{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)\}$:
\tbl{ccc}{
\s x & (x,2x) \\\hline
\s 0 & (0,0) \\
\s 1 & (1,2) \\
\s 2 & (2,4) \\
\s 3 & (3,6) \\
}
\msk
Se $P := \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {x≥y}$
então $P = \{(x,y)∈\{1,2,3\}^2, x≥y; (x,y)\}$,
$P = \{(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)\}$:
\tbl{ccc}{
\s (x,y) & x & y & x≥y & (x,y) \\\hline
\s (1,1) & 1 & 1 & \V & (1,1) \\
\s (1,2) & 1 & 2 & \F & \S \\
\s (1,3) & 1 & 3 & \F & \S \\
\s (2,1) & 2 & 1 & \V & (2,1) \\
\s (2,2) & 2 & 2 & \V & (2,2) \\
\s (2,3) & 2 & 3 & \F & \S \\
\s (3,1) & 3 & 1 & \V & (3,1) \\
\s (3,2) & 3 & 2 & \V & (3,2) \\
\s (3,3) & 3 & 3 & \V & (3,3) \\
}
\bsk
Obs: os exemplos acima correspondem aos
exercícios 2A, 2I, 3D e 5P das próximas páginas.
\newpage
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%
% «comprehension-ex123» (to ".comprehension-ex123")
% (gam172p 6 "comprehension-ex123")
\label{comprehension-ex123}
{\bf Exercícios de ``set comprehensions''}
\ssk
1) Represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A & := & \{(1,4), (2,4), (1,3)\} \\
B & := & \{(1,3), (1,4), (2,4)\} \\
C & := & \{(1,3), (1,4), (2,4), (2,4)\} \\
D & := & \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} \\
E & := & \{(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)\} \\
\end{array}
$
\msk
2) Calcule e represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A & := & \{x∈\{1,2\}; (x,3-x)\} \\
B & := & \{x∈\{1,2,3\}; (x,3-x)\} \\
C & := & \{x∈\{0,1,2,3\}; (x,3-x)\} \\
D & := & \{x∈\{0,0.5,1, \ldots, 3\}; (x,3-x)\} \\
E & := & \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}; (x,y)\} \\
F & := & \{x∈\{3,4\}, y∈\{1,2,3\}; (x,y)\} \\
G & := & \{x∈\{3,4\}, y∈\{1,2,3\}; (y,x)\} \\
H & := & \{x∈\{3,4\}, y∈\{1,2,3\}; (x,2)\} \\
I & := & \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}, x+y<6; (x,y)\} \\
J & := & \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}, x+y>4; (x,y)\} \\
K & := & \{x∈\{1,2,3,4\}, y∈\{1,2,3,4\}; (x,y)\} \\
L & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}; (x,y)\} \\
M & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=3; (x,y)\} \\
N & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, x=2; (x,y)\} \\
O & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, x+y=3; (x,y)\} \\
P & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=x; (x,y)\} \\
Q & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=x+1; (x,y)\} \\
R & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=2x; (x,y)\} \\
S & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=2x+1; (x,y)\} \\
\end{array}
$
\msk
3) Calcule e represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A & := & \setofst{(x,0)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
B & := & \setofst{(x,x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
C & := & \setofst{(x,x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
D & := & \setofst{(x,2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
E & := & \setofst{(x,1)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
F & := & \setofst{(x,1+x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
G & := & \setofst{(x,1+x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
H & := & \setofst{(x,1+2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
I & := & \setofst{(x,2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
J & := & \setofst{(x,2+x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
K & := & \setofst{(x,2+x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
L & := & \setofst{(x,2+2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
M & := & \setofst{(x,2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
N & := & \setofst{(x,2-x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
O & := & \setofst{(x,2-x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
P & := & \setofst{(x,2-2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
\end{array}
$
\newpage
% ____ _ _
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%
% «comprehension-prod» (to ".comprehension-prod")
% (gam172p 7 "comprehension-prod")
\label{comprehension-prod}
{\bf Produto cartesiano de conjuntos}
\ssk
$A×B:=\{a∈A,b∈B;(a,b)\}$
Exemplo: $\{1,2\}×\{3,4\} = \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$.
\ssk
Uma notação: $A^2 = A×A$.
Exemplo: $\{3,4\}^2 = \{3,4\}×\{3,4\} = \{(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)\}$.
\msk
Sejam:
$A = \{1,2,4\}$,
$B = \{2,3\}$,
$C = \{2,3,4\}$.
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
4) Calcule e represente graficamente:
\begin{tabular}{lll}
a) $A×A$ & d) $B×A$ & g) $C×A$ \\
b) $A×B$ & e) $B×B$ & h) $C×B$ \\
c) $A×C$ & f) $B×C$ & i) $C×C$ \\
\end{tabular}
\msk
5) Calcule e represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\};(x,y)\} \\
B &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\}, y=2; (x,y)\} \\
C &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\}, x=1; (x,y)\} \\
D &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\}, y=x; (x,y)\} \\
E &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=2x; (x,y)\} \\
F &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=2x; (x,y)\} \\
G &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=x; (x,y)\} \\
H &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=x/2; (x,y)\} \\
I &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=x/2+1; (x,y)\} \\
J &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=2x} \\
K &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x} \\
L &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x/2} \\
M &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x/2+1} \\
N &:=& \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {0x+0y=0} \\
O &:=& \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {0x+0y=2} \\
P &:=& \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {x≥y} \\
\end{array}
$
\msk
6) Represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
J' &:=& \setofst {(x,y)∈\R^2} {y=2x} \\
K' &:=& \setofst {(x,y)∈\R^2} {y=x} \\
L' &:=& \setofst {(x,y)∈\R^2} {y=x/2} \\
M' &:=& \setofst {(x,y)∈\R^2} {y=x/2+1} \\
N' &:=& \setofst {(x,y)∈\R^2} {0x+0y=0} \\
O' &:=& \setofst {(x,y)∈\R^2} {0x+0y=2} \\
P' &:=& \setofst {(x,y)∈\R^2} {x≥y} \\
\end{array}
$
\newpage
% ____ _ _ _
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%
% «comprehension-gab» (to ".comprehension-gab")
% (gam172p 8 "comprehension-gab")
% (to "picturedots")
\label{comprehension-gab}
{\bf Gabarito dos exercícios de set comprehensions}
\ssk
% \bhbox{$\picturedots(-1,-2)(5,5){ 3,1 3,2 3,3 }$}
1)
$
A = B = C = \picturedots(0,0)(3,4){ 1,4 2,4 1,3 }
\quad
D = \picturedots(0,0)(3,4){ 1,4 2,4 1,3 2,3 }
\quad
E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
$
\bsk
2)
$ A = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,1 }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,1 3,0 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 .5,2.5 1,2 1.5,1.5 2,1 2.5,.5 3,0 }
$
\msk
$
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 }
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,1 4,1 3,2 4,2 3,3 4,3 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,2 4,2 }
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 1,4 }
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 }
$
\msk
$
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,4 2,4 3,4 4,4
1,3 2,3 3,3 4,3
1,2 2,2 3,2 4,2
1,1 2,1 3,1 4,1 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,4 1,4 2,4 3,4 4,4
0,3 1,3 2,3 3,3 4,3
0,2 1,2 2,2 3,2 4,2
0,1 1,1 2,1 3,1 4,1
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 }
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,3 2,3 3,3 4,3 }
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 }
\quad O = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
\quad P = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
$
\msk
$
\quad Q = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,2 2,3 3,4 }
\quad R = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
\quad S = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,3 }
$
\bsk
3)
$ A = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,0 2,0 3,0 }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,.5 2,1 3,1.5 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,7){ 0,0 1,2 2,4 3,6 }
$
$
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,1 2,1 3,1 }
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,1.5 2,2 3,2.5 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,2 2,3 3,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,7){ 0,1 1,3 2,5 3,7 }
$
$
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2 2,2 3,2 }
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2.5 2,3 3,3.5 }
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,3 2,4 3,5 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,8){ 0,2 1,4 2,6 3,8 }
$
$
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2 2,2 3,2 }
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,1.5 2,1 3,.5 }
\quad O = \picturedots(0,-1)(4,4){ 0,2 1,1 2,0 3,-1 }
\quad P = \picturedots(0,-5)(4,3){ 0,2 1,0 2,-2 3,-4 }
$
\bsk
4)
$ A×A = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,1 2,1 4,1 1,2 2,2 4,2 1,4 2,4 4,4 }
\quad B×A = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,1 3,1 2,2 3,2 2,4 3,4 }
\quad C×A = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,1 3,1 4,1 2,2 3,2 4,2 2,4 3,4 4,4 }
$
\msk
$
\quad A×B = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,2 4,2 1,3 2,3 4,3 }
\quad B×B = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 2,3 3,3 }
\quad C×B = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 4,2 2,3 3,3 4,3 }
$
\msk
$
\quad A×C = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,2 4,2 1,3 2,3 4,3 1,4 2,4 4,4 }
\quad B×C = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 2,3 3,3 2,4 3,4 }
\quad C×C = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 4,2 2,3 3,3 4,3 2,4 3,4 4,4 }
$
\bsk
5)
$ A = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,3 2,3 3,3
0,2 1,2 2,2 3,2
0,1 1,1 2,1 3,1
0,0 1,0 2,0 3,0 }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2 2,2 3,2 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,0 1,1 1,2 1,3 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 }
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
$
\msk
$
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 2,1 4,2 }
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 2,2 4,3 }
$
\msk
$
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 2,1 4,2 }
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 2,2 4,3 }
$
\msk
$
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3
1,2 2,2 3,2
1,1 2,1 3,1 }
\quad O = \picturedots(0,0)(4,4){ }
\quad P = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,3
2,2 3,2
1,1 2,1 3,1 }
$
\newpage
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% | '_ \ / _ \| '_ \| __/ _ \/ __| / _ \ \ \ / / _ \ __/ _ \| '__/ _ \/ __|
% | |_) | (_) | | | | || (_) \__ \ | __/ \ V / __/ || (_) | | | __/\__ \
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% |_|
%
% «pontos-e-vetores» (to ".pontos-e-vetores")
% (gam172p 9 "pontos-e-vetores")
\label{pontos-e-vetores}
{\bf Pontos e vetores}
\ssk
Se $a,b,c$ são números então
$(a,b)$ é um ponto de $\R^2$,
$\VEC{a,b}$ é um vetor em $\R^2$,
$(a,b,c)$ é um ponto de $\R^3$,
$\VEC{a,b,c}$ é um vetor em $\R^3$.
\msk
Por enquanto nós só vamos usar $\R^2$ --
a {\sl terceira parte do curso} vai ser sobre $\R^3$.
\msk
Se $A$ é um ponto (de $\R^2$) e $\vv$ é um vetor (em $\R^2$)
então $A_1$, $A_2$, $\vv_1$, $\vv_2$ são números
e $A=(A_1,A_2)$, $\vv=\VEC{\vv_1,\vv_2}$
(as operações $(\_,\_)$, $\VEC{\_,\_}$, $\__1$, $\__2$ ``montam'' e ``desmontam''
pontos e vetores; $(3,4)_1=3$, $(3,4)_2=3$, $\VEC{3,4}_1=3$, $\VEC{3,4}_2=4$).
\msk
Operações com pontos e vetores (obs: $a,b,c,d,k∈\R$):
\ssk
% (gaq161 1)
1) $(a,b) + \VEC{c,d} = (a+c,b+d)$
2) $\VEC{a,b} + \VEC{c,d} = \VEC{a+c,b+d}$
3) $(a,b) - (c,d) = \VEC{a-c,b-d}$
4) $(a,b) - \VEC{c,d} = (a-c,b-d)$
5) $\VEC{a,b} - \VEC{c,d} = \VEC{a-c,b-d}$
6) $k·\VEC{a,b} = \VEC{ka,kb}$
7) $\VEC{a,b}·\VEC{c,d} = ac+bd$ \quad (!!!!)
\ssk
As outras operações dão erro. Por exemplo:
$\VEC{a,b}+(c,d) = \erro$
$(a,b)+(c,d) = \erro$
$(a,b)·k = \erro$
\bsk
{\bf Exercícios}
\ssk
\def\V(#1){\VEC{#1}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\unds#1#2#3{\und {#1} {\sm{ \text{[regra #2]} \\ #3 }} }
% (find-es "tex" "boxedminipage")
6) Calcule:
\begin{minipage}[t]{2.25in}
a) $(2,3)+(\V(4,5)+\V(10,20))$
b) $((2,3)+\V(4,5))+\V(10,20)$
c) $4·((20,30)-(5,10))$
d) $\V(2,3)·\V(5,10)$
e) $\V(5,10)·\V(2,3)$
f) $(\V(2,3)·\V(5,10))·\V(10,100)$
g) $\V(2,3)·(\V(5,10)·\V(10,100))$
h) $(\V(5,10)·\V(10,100))·\V(2,3)$
i) $(\V(10,100)·\V(5,10))·\V(2,3)$
j) $(\V(10,100)·\V(2,3))·\V(5,10)$
\end{minipage}
%
\begin{minipage}[t]{2in}
Obs: dois modos de resolver o 6a:
(o segundo é o modo padrão)
\msk
a)
$\unds {(2,3)+(\unds {\V(4,5)+\V(10,20)}
2
{=\;\V(14,25)} )}
1
{=\;(16,28)}
$
\msk
a) $\begin{array}[t]{l}
(2,3)+(\V(4,5)+\V(10,20)) \\
= (2,3)+\V(14,25) \\
= (16,28) \\
\end{array}
$
\end{minipage}
\newpage
% _ _ _
% _ __ _ __ ___ _ __ _ __(_) ___ __| | __ _ __| | ___ ___
% | '_ \| '__/ _ \| '_ \| '__| |/ _ \/ _` |/ _` |/ _` |/ _ \/ __|
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% |_| |_|
%
% «propriedades» (to ".propriedades")
% (gam172p 10 "propriedades")
\label{propriedades}
{\bf Propriedades}
\ssk
Será que $\V(2,3)·\V(5,10) = \V(5,10)·\V(2,3)$ ``vale sempre''? Isto é,
será que $\V(a,b)·\V(c,d) = \V(c,d)·\V(a,b)$ vale $∀a,b,c,d∈\R$?
\ssk
{\sl Que propriedades as operações sobre pontos e vetores obedecem?}
\msk
Podemos começar pelas propriedades com nomes famosos...
\ssk
$\begin{array}{ll}
\text{Comutatividade:} & A·B=B·A \\
& A+B=B+A \\
& A-B=B-A \\
\text{Associatividade:} & (A·B)·C=A·(B·C) \\
& (A+B)+C=A+(B+C) \\
& (A-B)-C=A-(B-C) \\
\text{Distributividade:} & A·(B+C)=A·B+A·C \\
& A·(B-C)=A·B-A·C \\
& (A+B)·C=A·C+B·C \\
& (A-B)·C=A·C-B·C \\
\end{array}
$
\msk
{\bf Exercícios}
7) V/F/Justifique:
C1) (\;\;) $(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+(a,b)$
C2) (\;\;) $\V(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+\V(a,b)$
C3) (\;\;) $(a,b)-(c,d) = (c,d)-(a,b)$
C4) (\;\;) $(a,b)-\V(c,d) = \V(c,d)-(a,b)$
C5) (\;\;) $\V(a,b)-\V(c,d) = \V(c,d)-\V(a,b)$
C6) (\;\;) $k·\V(a,b) = \V(a,b)·k$
C7) (\;\;) $\V(a,b)·\V(c,d) = \V(c,d)·\V(a,b)$
A11) (\;\;) $((a,b)+\V(c,d))+\V(d,e) = (a,b)+(\V(c,d)+\V(d,e))$
A12) (\;\;) $(\V(a,b)+\V(c,d))+\V(d,e) = \V(a,b)+(\V(c,d)+\V(d,e))$
D6) \, (\;\;) $(a+b)·\V(u_1,u_2) = a·\V(u_1,u_2) + b·\V(u_1,u_2)$
D62) (\;\;) $k·(\V(u_1,u_2)+\V(v_1,v_2)) = k·\V(u_1,u_2) + k·\V(v_1,v_2)$
\msk
\newpage
% _ _ _ ____
% _ __ _ __ ___ _ __ _ __(_) ___ __| | __ _ __| | ___ ___ |___ \
% | '_ \| '__/ _ \| '_ \| '__| |/ _ \/ _` |/ _` |/ _` |/ _ \/ __| __) |
% | |_) | | | (_) | |_) | | | | __/ (_| | (_| | (_| | __/\__ \ / __/
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% |_| |_|
%
% «propriedades-2» (to ".propriedades-2")
% (gam172p 11 "propriedades-2")
\label{propriedades-2}
{\bf Propriedades: como provar?}
\ssk
Quando a gente diz
\msk
\qquad
\begin{tabular}{l}
V/J/Justifique: \\
(\;\;) $(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+(a,b)$ \\
\end{tabular}
\msk
Esta pergunta quer dizer: será que $(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+(a,b)$
é verdade {\sl sempre}, isto é, $∀a,b,c,d∈\R$?
Se a gente encontrar {\sl um caso} no qual $(a,b)+\V(c,d)$ e
$\V(c,d)+(a,b)$
dão resultados diferentes, a gente sabe que a resposta é ``F''...
``$(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+(a,b)$ é sempre verdade?'' ``Não''.
\msk
Por exemplo,
se $a=2$, $b=3$, $c=4$, $d=5$, então
$(a,b)+\V(c,d) = (2,3)+\V(4,5) = (6,8)$ e
$\V(c,d)+(a,b) = \V(4,5)+(2,3) = \text{erro}$,
portanto {\sl neste caso} temos $(a,b)+\V(c,d) ≠ \V(c,d)+(a,b)$.
\msk
Provar que uma afirmação do exercício 7 é ``F'' é fácil ---
a justificative é um contra-exemplo.
Provar que uma afirmação do exercício 7 é ``V'' é difícil...
(dica: improvisem por enquanto, depois vamos ver um método
de demonstrar esses ``V''s).
\newpage
% _
% _ __ ___| |_ __ _ ___
% | '__/ _ \ __/ _` / __|
% | | | __/ || (_| \__ \
% |_| \___|\__\__,_|___/
%
% «retas» (to ".retas")
% (gam172p 12 "retas")
\label{retas}
{\bf Retas}
\ssk
{\bf Exercícios}
\ssk
% (find-LATEXfile "2016-1-GA-material.tex" "em sala em 16/dez/2015")
8) Represente graficamente as retas abaixo.
Dica: encontre dois pontos de cada reta e marque-os no gráfico.
Nas parametrizadas indique no gráfico os pontos associados a $t=0$ e $t=1$.
$r_a = \setofxyst{ x+2y=0 }$
$r_b = \setofxyst{ x+2y=4 }$
$r_c = \setofxyst{ x+2y=2 }$
$r_d = \setofxyst{ 2x+3y=0 }$
$r_e = \setofxyst{ 2x+3y=6 }$
$r_f = \setofxyst{ 2x+3y=3 }$
$r_l = \setofxyst{ y=4 }$
$r_m = \setofxyst{ y=4+x }$
$r_n = \setofxyst{ y=4-2x }$
$r_g = \setofpt 3 -1 -1 1 $
$r_h = \setofpt 3 -1 -2 1 $
$r_i = \setofpt 3 -1 1 -1 $
$r_j = \setofpt 0 3 2 0 $
$r_k = \setofpt 2 0 0 1 $
$s_a = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(1,2)=0 }$
$s_b = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(1,2)=4 }$
$s_c = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(1,2)=2 }$
$s_d = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=0 }$
$s_e = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=6 }$
$s_f = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=3 }$
$r'_l = \setofxyst{ 0x+1y=4 }$
$r'_m = \setofxyst{ (-1)x+1y=4 }$
$r'_n = \setofxyst{ 2x+1y=4 }$
$s_l = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(0,1)=4 }$
$s_m = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(-1,1)=4 }$
$s_n = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,1)=4 }$
\newpage
% _ __
% / \ _ __ __ __ _ _ __ __ _ / _|
% / _ \ _| |\ \ / / / _` | '__/ _` | |_
% / ___ \_ _\ V / | (_| | | | (_| | _|
% /_/ \_\|_| \_/ \__, |_| \__,_|_|
% |___/
% «pontos-vetores-graf» (to ".pontos-vetores-graf")
% (gam172p 13 "pontos-vetores-graf")
% (gaq171 4 "20170329" "Representações gráficas de pontos e vetores")
% (gaq172 6 "20170904" "Representação gráfica de pontos e vetores; propriedades; norma e perp")
\label{pontos-vetores-graf}
{\bf Pontos e vetores graficamente}
\ssk
A regra 1 da p.\pageref{pontos-e-vetores} diz: $(a,b)+\VEC{c,d} = (a+c,b+d)$.
Pra representá-la graficamente num caso concreto ---
por exemplo, $(a,b)=(2,1)$ e $\VEC{c,d}=\VEC{0,3}$ (e daí $(a,b)+\VEC{c,d}=(2,4)$),
a gente desenha o ponto $(2,1)$ escreve ``$(2,1)$'' do lado dele,
desenha o ponto $(2,4)$ escreve ``$(2,4)$'' do lado dele,
e desenha uma seta indo do $(2,1)$ pro $(2,4)$ e escreve $\VEC{0,3}$ do lado dela.
\newpage
% ____ _ _ _
% | _ \ __ _ _ __ __ _ _ __ ___ ___| |_ _ __(_)______ _ __| | __ _ ___
% | |_) / _` | '__/ _` | '_ ` _ \ / _ \ __| '__| |_ / _` |/ _` |/ _` / __|
% | __/ (_| | | | (_| | | | | | | __/ |_| | | |/ / (_| | (_| | (_| \__ \
% |_| \__,_|_| \__,_|_| |_| |_|\___|\__|_| |_/___\__,_|\__,_|\__,_|___/
%
% «parametrizadas» (to ".parametrizadas")
% (gam172p 14 "parametrizadas")
% (gaap162 14 "parametrizadas")
\label{parametrizadas}
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Interseções de retas parametrizadas}
\ssk
%L r0, rv = v(2,3), v(1,1)
%L s0, sw = v(2,3), v(2,-1)
%L rt = function (t) return r0 + t*rv end
%L su = function (u) return s0 + u*sw end
\pu
\def\rt#1{\expr{rt(#1):xy()}}
\def\su#1{\expr{su(#1):xy()}}
% \rt 0 \rt 1 \rt 2
% \su 0 \su 1 \su 2
Se $r = \setofpt 3 3 2 -1 $
e $s = \setofpu 4 1 -1 1 $,
então $r$ e $s$ se intersectam no ponto $P=(1,4)$,
que está associado a $t=-1$ (em $r$) e a $u=3$ (em $s$).
Graficamente,
\msk
%L inter = v(1,4)
%L r0, rv = v(3,3), v(2,-1)
%L s0, sw = v(4,1), v(-1,1)
\pu
% (find-pgfmanualpage 44 "3.9 Adding Labels Next to Nodes")
% (find-pgfmanualtext 44 "3.9 Adding Labels Next to Nodes")
$\tikzp{[scale=0.5,auto]
\mygrid (-1,-1) (7,5);
\draw[mycurve] \rt{-2} -- \rt{5};
\draw[mycurve] \su{-2} -- \su{5};
\node [cldot] at \rt{0} [label=60:${t{=}0}$] {};
\node [cldot] at \rt{1} [label=60:${t{=}1}$] {};
\node [cldot] at \su{0} [label=200:${u{=}0}$] {};
\node [cldot] at \su{1} [label=200:${u{=}1}$] {};
\node [cldot] at \su{3} [label=60:$P$] {};
}
$
\msk
Algebricamente, podemos convencer alguém do nosso resultado assim:
$(1,4) = (3,3)+(-1)\VEC{2,-1} ∈ r$,
$(1,4) = (4,1)+3\VEC{-1,1} ∈ s$,
$(1,4) ∈ r∩s$.
\ssk
Repare que poderíamos ter encontrado $(x,y)=P∈r∩s$ usando um sistema:
$(x,y) = (3+2t, 3-t)$
$(x,y) = (4-u, 1+u)$
Primeiro encontramos $t$ e $u$ tais que $(3+2t, 3-t) = (4-u, 1+u)$,
depois encontramos $(x,y) = (3+2t, 3-t) = (4-u, 1+u)$.
\msk
{\bf Exercício}
\ssk
14) Em cada um dos casos abaixo represente graficamente $r$ e $s$,
encontre $P∈r∩s$, e verifique algebricamente que o seu $P$ está certo.
a) $r = \setofpt 1 0 0 3 $, $s = \setofpu 0 4 2 0 $
b) $r = \setofpt 1 0 3 1 $, $s = \setofpu 0 2 2 3 $
c) $r = \setofet{ (1+3t,t) }$, $s = \setofeu{ (2u,2+3u) } $
d) $r = \setofpt 0 3 2 -1 $, $s = \setofpu 1 0 1 3 $
\ssk
Obs: no (d) o olhômetro não basta, você vai precisar resolver um sistema.
}
\newpage
% _____ __ __
% | ___| / / __ __ _ _ \ \
% | |_ | | \ \/ / | | | | | |
% | _| | | > < _ | |_| | | |
% |_| | | /_/\_( ) \__, | | |
% \_\ |/ |___/ /_/
%
% «Fxy» (to ".Fxy")
% (gam172p 15 "Fxy")
% (find-LATEX "2016-2-C2-integral.tex" "pict2e")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
\label{Fxy}
{\bf Visualizando $F(x,y)$}
\ssk
\unitlength=8pt
\celllower=3pt
\def\cellfont{\scriptsize}
Um bom modo de começar a entender visualmente o comportamento de uma
função $F(x,y):\R^2→\R$ é fazendo diagramas como os abaixo, em que a
gente escreve sobre cada ponto $(x,y)$ o valor de $F(x,y)$ naquele
ponto... por exemplo, se $F(x,y)=x^2+y^2$ então $F(3,4)=9+16=25$, e a
gente escreve ``25'' no ponto $(3,4)$. Exemplos:
\msk
$\sm{F(x,y)\\\;\;\;\;=\,x} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){x}
\quad
\sm{F(x,y)\\\;\;\;\;=\,y} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){y}
\quad
\sm{F(x,y)\\=\,x+y} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){x+y}
$
\msk
\noindent Repare que dá pra usar o diagrama de $F(x,y)=x+y$ pra ver onde
$x+y=0$, onde $x+y=3$, etc.
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
9) Faça diagramas como os acima para as funções:
a) $F(x,y) = \V(x,y)·\V(2,3)$
b) $F(x,y) = \V(x,y)·\V(3,1)$
c) $F(x,y) = \V(x,y)·\V(2,-1)$
d) $F(x,y) = x^2+y^2$ \qquad ($x,y∈\{-5,-4,\ldots,5\}^2$)
e) $F(x,y) = x^2-y$
f) $F(x,y) = y^2-x$
g) $F(x,y) = xy$
\msk
10) Use os diagramas do exercício anterior para esboçar os conjuntos abaixo
(que vão ser retas ou curvas):
a0) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=0 }$
a2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=2 }$
a4) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=4 }$
a-2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=-2 }$
b0) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=0 }$
b3) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=3 }$
b6) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=6 }$
% b-3) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=-3 }$
c0) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=0 }$
c2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=2 }$
c4) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=4 }$
% c-2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=-2 }$
d25) $\setofxyst{ x^2+y^2=25 }$
d4) $\setofxyst{ x^2+y^2=4 }$
d1) $\setofxyst{ x^2+y^2=1 }$
d0) $\setofxyst{ x^2+y^2=0 }$
e0) $\setofxyst{ x^2-y=0 }$
e1) $\setofxyst{ x^2-y=1 }$
f0) $\setofxyst{ y^2-x=0 }$
f1) $\setofxyst{ y^2-x=1 }$
g0) $\setofxyst{ xy=0 }$
% g4) $\setofxyst{ xy=4 }$
\newpage
% ___
% / _ \ _ _ __ __
% | | | | | | | | \ \ / /
% | |_| | | |_| |_ \ V /
% \___( ) \__,_( ) \_/
% |/ |/
%
% «coordenadas» (to ".coordenadas")
% (gam172p 16 "coordenadas")
% (gaap162 11 "coordenadas")
\label{coordenadas}
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Sistemas de coordenadas}
\ssk
Em cada uma das figuras abaixo vamos definir o sistema de coordenadas
$Σ$ por:
$Σ=(O,\uu,\vv)$,
$(a,b)_Σ = O+a\uu+b\vv$.
\msk
{\bf Exercício}
\ssk
11) Sejam:
$B = (1,3)_Σ$, \phantom{$E = (2,2)_Σ$} $C = (3,3)_Σ$,
$D = (1,2)_Σ$, $E = (2,2)_Σ$,
$A = (1,1)_Σ$.
Em cada um dos casos abaixo desenhe a figura formada pelos pontos $A$,
$B$, $C$, $D$ e $E$ e pelos segmentos de reta $\overline{AB}$,
$\overline{BC}$ e $\overline{DE}$.
(O item (a) já está feito.)
}
\msk
{
\unitlength=12pt
\def\closeddot{\circle*{0.4}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
a)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(11,9)%
\eval{O,uu,vv = v(3,1), v(2,1), v(-1,1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\pictABCDE(180, 180, 0, 180, 0)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
b)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(6,6)
\eval{O, uu, vv = v(2, 2), v(1, 0), v(0, 1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
c)
$\unitlength=10pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-6,-1)(3,6)
\eval{O, uu, vv = v(-5, 1), v(2, 0), v(0, 1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
d)
$\unitlength=10pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(5,9)
\eval{O, uu, vv = v(1, 1), v(1, 0), v(0, 2)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
e)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(6,6)
\eval{O, uu, vv = v(2, 2), v(0, 1), v(1, 0)}
\pictOuv(-0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
f)
$\unitlength=10pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-8,-4)(6,8)
\eval{O, uu, vv = v(4, 4), v(-2, 1), v(-1, -2)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
g)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-4,-1)(5,6)
\eval{O, uu, vv = v(-3, 1), v(1, 0), v(1, 1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
}
\newpage
% ___ _
% / _ \ _ __ _ _ _ _ | |____ __
% | | | |_| |_ / _` | | | |_| |_| '_ \ \ / /
% | |_| |_ _| (_| | |_| |_ _| |_) \ V /
% \___/ |_| \__,_|\__,_| |_| |_.__/ \_/
%
% «O+au+bv» (to ".O+au+bv")
% (gam172p 17 "O+au+bv")
% (find-angg ".emacs.papers" "delgado")
% (gaq171 6 "20170403" "Coordenadas")
\label{O+au+bv}
{\bf Resolvendo $O+a\uu+b\vv = P$ (visualmente)}
\ssk
Vários livros, como por exemplo o do CEDERJ, preferem trabalhar com
figuras nas quais os eixos e as coordenadas não estão indicados...
vamos ver como conectar a nossa abordagem com a deles.
Lembre que um vetor $\vv$ pode ser desenhado em qualquer lugar do
plano, mas que todas as representações de $\vv$ vão ter o mesmo {\sl
comprimento}, {\sl direção} e {\sl sentido}, e que quando queremos
representar graficamente $A+\vv$ nós desenhamos $\vv$ como um
deslocamento que vai do ponto $A$ para outro ponto --- a cauda do
$\vv$ toca no ponto $A$.
\msk
Exercícios:
1) Sejam $A=(1,1)$, $\uu=(-2,2)$, $\vv=(1,2)$.
a) Represente $A+\uu$ e $A+\vv$ no plano.
b) Faça uma cópia desses $A+\uu$ e $A+\vv$ em outro lugar do papel,
agora sem desenhar os eixos, e desenhe {\sl no olho} $(A+\uu)+\uu$,
$(A+\vv)+\vv$, $(A+\uu)+\vv$, $(A+\vv)+\uu$, $A+(\uu+\vv)$. Indique ao
lado de cada ponto quem ele é, e faça o mesmo para cada seta.
c) Faça uma cópia dos seus $A+\uu$ e $A+\vv$ em outro lugar do papel
sem desenhar os eixos e represente graficamente $A+3\uu$, $A-2\vv$,
$(A+3\uu)-2\vv$, $(A-2\vv)+3\uu$ (o ``paralelogramo gerado por $A$,
$3\uu$ e $-2\vv$).
d) Seja $B=A+2\uu$. Represente graficamente $B+t\vv$ para $t=0$,
$t=1$, $t=2$ e $r=\setofst{B+t\vv}{t\R}$.
\msk
2) Sejam $A=(0,2)$, $\uu=(1,1)$, $\vv=(2,-1)$, $P=(4,5)$.
a) Represente graficamente $A+\uu$, $A+\vv$ e $P$ num gráfico com
eixos e depois copie esses $A+\uu$, $A+\vv$ e $P$ para uma parte do
papel sem eixos.
b) Represente graficamente:
$\setofst{A+t\uu}{t∈\R}$ (e escreva ``$A+t\uu$'' do lado dessa reta),
$\setofst{A+t(-\uu)}{t∈\R}$ (``$A+t(-\uu)$''),
$\setofst{A+t\vv}{t∈\R}$ (``$A+t\vv$''),
$\setofst{P-t\uu}{t∈\R}$,
$\setofst{P+t\vv}{t∈\R}$.
\msk
3) Os livros às vezes usam notações mais compactas que as nossas para
retas, como ``$r: A+t\uu$'' e ``a reta $A+t\uu$''... nós evitamos
essas notações até agora porque elas às vezes são ambíguas, mas vamos
vê-las em detalhes depois.
a) Sejam $O=(2,0)$, $\uu=(1,1)$, $\vv=(-1,1)$, $P=(3,5)$, $Q=(-2,0)$.
Represente-os num gráfico sem eixos.
b) Represente graficamente as retas:
$r:O+t\uu$, $s:O+t\vv$,
$r':P+t\uu$, $s':P+t\vv$,
$r''':Q+t\uu$, $s''':Q+t\vv$.
c) Sejam $A=r∩s'$, $B=s∩r'$, $C=r∩s''$, $D=s∩r''$. Represente-os graficamente.
(Repare que $OAPB$ é um paralelogramo, e que $ACQD$ também).
d) Existe um $a∈\R$ tal que $A=O+a\uu$. Quanto vale $a$? Estime no olho.
e) Faça o mesmo para $B=O+b\vv$. Quanto vale $b$?
f) Faça o mesmo para $C=O+c\uu$. Quanto vale $c$?
g) Faça o mesmo para $D=O+d\vv$. Quanto vale $d$?
\newpage
% ___ _ ________
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% \_\ /_/
%
% «O+au+bv-2» (to ".O+au+bv")
% (gam172p 17 "O+au+bv-2")
% (find-angg ".emacs.papers" "delgado")
% (gaq171 6 "20170403" "Coordenadas")
\label{O+au+bv-2}
{\bf Resolvendo $O+a\uu+b\vv = P$ (visualmente, 2)}
\ssk
Mais exercícios:
\ssk
4) Sejam $O=(2,0)$, $\uu=(1,1)$, $\vv=(1,0)$, $P=(3,5)$, $Q=(-2,0)$.
Represente-os num gráfico sem eixos.
a) Represente graficamente o paralelogramo que tem lados paralelos a
$\uu$ e $\vv$ e que tem $O$ e $P$ como dois dos seus vértices ($O$ e
$P$ vão ser ``vértices opostos'' do paralelogramo).
b) Escreva ``$O+a\uu$'' e ``$O+b\vv$'' nos outros vértices do
parelelogramo. Note que nós {\sl ainda não sabemos os valores de $a$ e
$b$}!
c) Represente graficamente $O+a\uu$ e $O+b\vv$; lembre que isto quer
dizer que vamos desenhar uma seta indo do ponto $O$ para o ponto
$O+a\uu$ e escrever ``$a\uu$'' do lado dela, e fazer algo similar para
$O+b\vv$.
d) Represente graficamente $(O+a\uu)+b\vv$ e $(O+b\vv)+a\uu$.
e) Estime no olho, comparando os vetores $\uu$ e $a\uu$, quanto vale
$a$. Escreva $a \approx \text{(valor)}$ à direita do diagrama todo.
f) Estime no olho, comparando os vetores $\vv$ e $b\vv$, quanto vale
$b$. Escreva $b \approx \text{(valor)}$ à direita do diagrama todo.
g) Faça o mesmo para o ponto $Q$: use-o para traçar um paralelogramo
de vértices $O$, $O+c\uu$, $Q$, $O+d\vv$. Estime no olho $c$ e $d$ e
escreva ``$c \approx \text{(valor)}$'' e ``$d \approx
\text{(valor)}$'' à direita do diagrama todo.
\msk
5) Sejam $O=(2,0)$, $\uu=(1,1)$, $\vv=(1,-1)$, $P=(3,5)$, $Q=(-2,0)$.
Represente-os num gráfico sem eixos. Vamos fazer algo como no item
anterior, mas agora usando a notação $(a,b)_Σ = O+a\uu+b\vv$. Escreva
``$=(a,b)_Σ$'' ao lado do ponto $P$, ``$=(c,d)_Σ$'' ao lado do ponto
$Q$, e ``$=(0,0)_Σ$'' ao lado do ponto $O$.
(...)
\newpage
% ____ _ _
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%
% «sistemas» (to ".sistemas")
% (gam172p 17 "sistemas")
% (gaap162 12 "sistemas")
\label{sistemas}
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Sistemas de equações e}
{\bf sistemas de coordenadas}
\ssk
%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end
\begin{minipage}[t]{2.5in}
No item (f) da página anterior temos:
\ssk
$\unitlength=8pt
\def\cellfont{}
\def\cellfont{\footnotesize}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-8,-4)(6,8)
\eval{O, uu, vv = v(4, 4), v(-2, 1), v(-1, -2)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
\quad
{\footnotesize
\begin{array}{l}
O = (4,4) \\
\uu = \V(-2,1) \\
\vv = \V(-1,-2) \\
\end{array}
}
$
% \ssk
$(a,b)_Σ = (4,4) + a\V(-2,1) + b\V(-1,-2)$
$(a,b)_Σ = (4-2a-b, 4+a-2b) \quad\; (*)$
\ssk
$\begin{array}[t]{rcl}
(a,b)_Σ &=& (x,y) \\\hline
%----------------
(0,0)_Σ &=& (4,4) \\
(1,0)_Σ &=& (2,5) \\
(0,1)_Σ &=& (3,2) \\
A=(1,1)_Σ &=& ?_a \\
B=(1,3)_Σ &=& ?_b \\
C=(3,3)_Σ &=& ?_c \\
D=(1,2)_Σ &=& ?_d \\
E=(2,2)_Σ &=& ?_e \\
?_f &=& (0,6) \\
?_g &=& (-1,4) \\
?_h &=& (5,1) \\
?_i &=& (1,2) \\
?_j &=& (1,1) \\
?_k &=& (2,1) \\
\end{array}
%
$
\ssk
Os itens (a) até (h) acima (``$?_a$'' a ``$?_h$'') são fáceis de
resolver ``no olhômetro'' usando o gráfico, e é fácil conferir os
resultados algebricamente usando a fórmula $(*)$.
\msk
No item (i) dá pra ver pelo gráfico que os valores de $a$ e $b$ em
$(a,b)_Σ = (1,2)$ vão ser fracionários e difíceis de chutar -- mas
podemos obtê-los {\sl algebricamente}, resolvendo um {\sl sistema de
equações}.
\end{minipage}
%
\qquad
%
\begin{minipage}[t]{2.25in}
\begin{boxedminipage}[t]{2.25in}
\footnotesize
Solução do ``$?_i$'':
\ssk
$\begin{array}{rcl}
(a,b)_Σ &=& (1,2) \\
(4-2a-b, 4+a-2b) &=& (1,2) \\
4-2a-b &=& 1 \\
4+a-2b &=& 2 \\
-2a-b &=& -3 \\
a-2b &=& -2 \\
-2a+3 &=& b \\
a &=& -2+2b \\
-2(-2+2b)+3 &=& \color{red}{b} \\
4-4b+3 &=& b \\
7 &=& 5b \\
b &=& \frac 7 5 \\
a &=& -2 + 2 \frac 7 5 \\
&=& \frac{-10}{5} + \frac{14}{5} \\
&=& \frac{4}{5} \\
(\frac{4}{5}, \frac{7}{5})_Σ &=& (1,2) \\
\end{array}
%
$
\end{boxedminipage}
\bsk
\begin{boxedminipage}[t]{2.25in}
\footnotesize
Uma generalização:
\ssk
$\begin{array}{rcl}
(a,b)_Σ &=& (x,y) \\
(4-2a-b, 4+a-2b) &=& (x,y) \\
4-2a-b &=& x \\
4+a-2b &=& y \\
4-2a-x &=& b \\
\end{array}
$
\ssk
$\begin{array}{rcl}
a &=& y+2b-4 \\
&=& y+2(4-2a-x)-4 \\
&=& y+8-4a-2x-4 \\
&=& y-2x+4-4a \\
5a &=& y-2x+4 \\
a &=& (y-2x+4)/5 \\
&=& \frac15 y - \frac25 x + \frac45 \\
&=& \frac45 - \frac25 x + \frac15 y \\
% b &=& 4-2(\frac15 y - \frac25 x + \frac45)-x \\
b &=& 4-2(\frac45 - \frac25 x + \frac15 y)-x \\
&=& \frac{20}5 - \frac85 + \frac45 x - \frac25 y -\frac55 x \\
&=& \frac{12}5 - \frac15 x - \frac25 y \\
\end{array}
%
$
\ssk
$(\frac45 - \frac25 x + \frac15y,
\frac{12}5 - \frac15 x - \frac25 y)_Σ = (x,y)
$
\ssk
Vamos chamar a fórmula acima de $(**)$.
\end{boxedminipage}
\end{minipage}
\bsk
{\bf Exercícios}
12a) Resolva ``$?_j$'' pelo sistema.
12b) Resolva ``$?_k$'' pelo sistema.
12c) Verifique que as suas soluções de ``$?_a$'' até ``$?_k$'' obedecem
$(*)$ e $(**)$.
12d) Resolva ``$?_j$'' e ``$?_k$'' por $(**)$.
}
\newpage
% ____ _ _ ____
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%
% «sistemas-2» (to ".sistemas-2")
% (gam172p 18 "sistemas-2")
% (gaap162 13 "sistemas-2")
\label{sistemas-2}
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Sistemas de equações e}
{\bf sistemas de coordenadas (2)}
\ssk
Um outro modo de organizar os problemas da página anterior é o
seguinte.
Temos as equações $[x]$, $[y]$, $[a]$, $[b]$ abaixo,
\ssk
$\begin{array}{crcl}
{}[x] & x &=& 4-2a-b \\
{}[y] & y &=& 4+a-2b \\
{}[a] & a &=& \frac45 -\frac25 x + \frac15 y \\
{}[b] & b &=& \frac{12}5 -\frac15 x - \frac25 y \\
\end{array}
$
\ssk
e queremos preencher a tabela abaixo de tal forma que em cada linha
as equações $[x]$, $[y]$, $[a]$, $[b]$ sejam obedecidas:
$\begin{array}{rrrr}
a & b & x & y \\\hline
%----------------
0 & 0 & 4 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 5 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & · & · \\
1 & 3 & · & · \\
3 & 3 & · & · \\
1 & 2 & · & · \\
2 & 2 & · & · \\
· & · & 0 & 6 \\
· & · &-1 & 4 \\
· & · & 5 & 1 \\
· & · & 1 & 2 \\
· & · & 1 & 1 \\
· & · & 2 & 1 \\
\end{array}
%
$
\msk
Note que:
1) quando as lacunas são em $x$ e $y$ é mais rápido usar as equações
$[x]$ e $[y]$,
2) quando as lacunas são em $a$ e $b$ é mais rápido usar as equações
$[a]$ e $[b]$,
3) as equações $[a]$ e $[b]$ são {\sl consequências} das $[x]$ e $[y]$,
4) $[x]$ e $[y]$ são consequências de $(a,b)_Σ = (4-2a-b, 4+a-2b) = (x,y)$,
5) $\psm{x\\ y\\}
= \psm{4-2a-b\\ 4+a-2b\\}
= \psm{4\\ 4\\} + \psm{-2a-b\\ a-2b\\}
= \psm{4\\ 4\\} + \psm{-2 & -1\\ 1 & -2\\} \psm{a\\ b\\}
$
6) $\psm{x\\ y\\}
= \psm{O_1 +au_1 +bv_1 \\ O_2 + au_2 + bv_2\\}
= \psm{O_1\\ O_2\\} + \psm{u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\} \psm{a\\ b\\}
$
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
13a) No item (g) duas páginas atrás temos $O=(-3,1)$, $\uu=\V(1,0)$,
$\vv=\V(1,1)$, $(a,b)_Σ = (-3+a+b, 1+b)$. Obtenha as equações $[x]$,
$[y]$, $[a]$, $[b]$ para este caso.
13b) Faça o mesmo para o item (a), onde $O=(3,1)$, $\uu=\V(2,1)$,
$\vv=\V(-1,1)$.
}
\newpage
% ____ _ _ _____
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%
% «sistemas-3» (to ".sistemas-3")
% (gam172p 19 "sistemas-3")
% (gaap162 15 "sistemas-3")
\label{sistemas-3}
{\bf Sistemas de corrdenadas (3)}
\def\xx{\vec x}
\def\yy{\vec y}
\def\aa{\vec a}
\def\bb{\vec b}
\def\cc{\vec c}
\def\dd{\vec d}
\def\ee{\vec e}
\def\ff{\vec f}
\def\gg{\vec g}
\def\hh{\vec h}
\ssk
Há muitas notações possíveis para lidar com situações em que temos
vários sistemas de coordenadas ao mesmo tempo -- vamos ver {\sl uma}
delas.
Vamos ter:
$\bullet$ as coordenadas $x,y$ e os eixos $x$ e $y$,
$\bullet$ as coordenadas $a,b$ e os eixos $a$ e $b$,
$\bullet$ as coordenadas $c,d$ e os eixos $d$ e $d$,
$\bullet$ as coordenadas $e,f$ e os eixos $e$ e $f$,
\noindent e além disso vamos ter as origens $O_{xy}$, $O_{ab}$,
$O_{cd}$, $O_{ef}$ de cada um dos sistemas de coordenadas e os vetores
$\xx$, $\yy$, $\aa$, $\bb$, $\cc$, $\dd$, $\ee$, $\ff$.
\msk
Um exemplo concreto:
$\unitlength=15pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-2)(6,6)%
\pictgrid%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(v(0,0), v(1,0), v(0,1), "!;!;O_{xy}", "!xx", "!yy", 0.5, 0.7)}
\expr{pictOOuuvv(v(2,-1), v(1,0), v(0,1), "!;!;O_{ab}", "!aa", "!bb", 0.5, 0.7)}
\expr{pictOOuuvv(v(5,5), v(-2,0), v(0,-2), "!;!;O_{cd}", "!cc", "!dd", 0.5, 0.5)}
\expr{pictOOuuvv(v(1,5), v(-1,-1), v(1,-1), "!;!;O_{ef}", "!ee", "!ff", 0.5, 0.5)}
}
\put(1,1){\closeddot}
\put(3,1){\closeddot}
\put(5,1){\closeddot}
\put(1,3){\closeddot}
\put(3,3){\closeddot}
\end{picture}%
}}%
%
\qquad
%
\begin{array}{l}
\begin{array}{lll}
O_{xy}=(0,0) & \xx=\V(1,0) & \yy=\V(0,1) \\
O_{ab}=(2,-1) & \aa=\V(1,0) & \bb=\V(0,1) \\
O_{cd}=(5,5) & \cc=\V(-2,0) & \dd=\V(0,-2) \\
O_{ef}=(1,5) & \ee=\V(-1,-1) & \ff=\V(1,-1) \\
\end{array}
%
\\[5pt]
\\
%
\begin{array}{lllll}
(x,y)_{xy} & = & O_{xy} + x\xx + y\yy & = & (x,y) \\
(a,b)_{ab} & = & O_{ab} + a\aa + b\bb & = & (a+2,b-1) \\
(c,d)_{cd} & = & O_{cd} + c\cc + d\dd \\
(e,f)_{ef} & = & O_{ef} + e\ee + f\ff \\
\end{array}
\end{array}
$
\bsk
Um ponto $P$ do plano tem coordenadas $P_x$ e $P_y$ no sistema $x,y$,
coordenadas $P_a$ e $P_b$ no sistema $a,b$, e assim por diante, e em
situações em que estamos falando das coordenadas de um ponto só --
como nos problemas das páginas 13 e 14 -- nós vamos nos referir às
coordenadas deste ponto como $x$, $y$, ..., $e$, $f$.
Usando as definições de $(\_,\_)_{xy}$, $(\_,\_)_{ab}$,
$(\_,\_)_{cd}$, $(\_,\_)_{ef}$ acima temos:
\msk
$(P_x,P_y)_{xy} = (P_a,P_b)_{ab} = (P_c,P_d)_{cd} = (P_e,P_f)_{ef}$
$(x,y)_{xy} = (a,b)_{ab} = (c,d)_{cd} = (e,f)_{ef}$
\bsk
{\bf Exercícios}
\ssk
15a) Complete, usando o diagrama acima e olhômetro:
$\begin{array}{cllll}
\text{ponto} & (\_,\_)_{xy} & (\_,\_)_{ab} & (\_,\_)_{cd} & (\_,\_)_{ef} \\\hline
P & (1,1)_{xy} & (-1,2)_{ab} & (2,2)_{cd} & \\
Q & (3,1)_{xy} & (1,2)_{ab} & (1,2)_{cd} & (1,3)_{ef} \\
R & (5,1)_{xy} \\
S & (1,3)_{xy} \\
T & (3,3)_{xy} \\
\end{array}
$
\ssk
15b) Calcule as seguintes distâncias {\sl em cada sistema de
coordenadas:} $d(P,Q)$, $d(P,R)$, $d(P,S)$, $d(S,T)$, $d(P,T)$.
Dica: $d_{ef}(Q,R) = \sqrt{(R_e-Q_e)^2 + (R_f-Q_f)^2}$.
15c) Calcule os seguintes vetores em cada sistema de coordenadas:
$\Vec{PP}$, $\Vec{PQ}$, $\Vec{PR}$, $\Vec{PS}$, $\Vec{PT}$. Dica:
$(\Vec{PQ})_{ef} = \Vec{(Q_e-P_e,Q_f-P_f)}_{ef}$.
\newpage
% ____ _ _ _____
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___ __ _ ___ |___ / _____ __
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __| |_ \ / _ \ \/ /
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%
% «sistemas-3-exercs» (to ".sistemas-3-exercs")
% (gam172p 20 "sistemas-3-exercs")
% (gaap162 16 "sistemas-3-exercs")
\label{sistemas-3-exercs}
(Exercícios, cont.)
\ssk
15d) Calcule os seguintes produtos escalares em cada sistema de
coordenadas: $\Vec{PQ}·\Vec{PS}$ e $\Vec{PQ}·\Vec{PT}$. Dica:
$\V(α,β)_{ef} ·_{ef} \V(γ,δ)_{ef} = αγ+βδ$.
15e) Verifique em cada um dos sistemas de coordenadas se estas
afirmações são verdadeiras: $\Vec{PQ}⊥\Vec{PS}$, $\Vec{PQ}⊥\Vec{PT}$.
Dica: $\uu_{ef} ⊥_{ef} \vv_{ef}$ se e só se $\uu_{ef} ·_{ef} \vv_{ef}
= 0$.
\ssk
15f) Leia as páginas 9-14 e 16-19 do livro do CEDERJ. Note que ele não
começa usando coordenadas desde o início como a gente fez... ele
começa supondo que os pontos já estão desenhados num papel, e só
quando se estabelece um sistema de coordenadas esses pontos passam a
ter coordenadas.
15g) Leia as páginas 16-17 do Reis/Silva.
\bsk
\bsk
{\bf Coordenadas ``tortas''}
\ssk
Em todos os sistemas de coordenadas da página anterior os dois vetores
da ``base'' têm o mesmo comprimento e são (geometricamente) ortogonais
um ao outro... mas quando definimos precisamente ``ortogonalidade'' no
curso nós usamos uma definição {\sl algébrica}, isto é, uma {\sl
conta}: $\uu⊥\vv$ é verdade se e só se $\uu·\vv=0$ -- e nós vimos no
exercício 15d que o resultado de $\uu·\vv=0$ depende do sistema de
coordenadas...
Quando usamos coordenadas ``tortas'', como no sistema $O_{gh}$, $\gg$,
$\hh$ abaixo, a noção de ortogonalidade {\sl pode} mudar.
$\unitlength=15pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-2)(6,6)%
\pictgrid%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(v(0,0), v(1,0), v(0,1), "!;!;O_{xy}", "!xx", "!yy", 0.5, 0.7)}
\expr{pictOOuuvv(v(1,5), v(0,-1), v(1,-1), "!;!;O_{gh}", "!gg", "!hh", 0.5, 0.5)}
}
\put(1,1){\closeddot}
\put(3,1){\closeddot}
\put(5,1){\closeddot}
\put(1,3){\closeddot}
\put(3,3){\closeddot}
\end{picture}%
}}%
%
\qquad
%
\begin{array}{l}
\begin{array}{lll}
O_{xy}=(0,0) & \xx=\V(1,0) & \yy=\V(0,1) \\
O_{gh}=(1,5) & \gg=\V(0,-1) & \hh=\V(1,-1) \\
\end{array}
%
\\[5pt]
\\
%
\begin{array}{lllll}
(x,y)_{xy} & = & O_{xy} + x\xx + y\yy & = & (x,y) \\
(g,h)_{gh} & = & O_{gh} + g\gg + h\hh \\
\end{array}
\end{array}
$
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
16a) Encontre as coordenadas $(\_,\_)_{gh}$ dos pontos $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$.
16b) Calcule $d_{gh}(S,P)$, $d_{gh}(S,Q)$, $d_{gh}(S,T)$.
16c) Calcule $d_{gh}(S,P)$, $d_{gh}(S,Q)$, $d_{gh}(S,T)$.
16d) Calcule $\Vec{SP} ·_{gh} \Vec{SQ}$ e $\Vec{SP} ·_{gh} \Vec{ST}$.
16e) Calcule $\Vec{SP} ⊥_{gh} \Vec{SQ}$ e $\Vec{SP} ⊥_{gh} \Vec{ST}$.
\bsk
{\sl Aviso importante: nós vamos usar ``coordenadas tortas''
\underline{pouquíssimo} em GA!!!}
\newpage
% ____ _
% | _ \ _ __ ___ (_) ___ ___ ___ ___ ___
% | |_) | '__/ _ \| |/ _ \/ __/ _ \ / _ \/ __|
% | __/| | | (_) | | __/ (_| (_) | __/\__ \
% |_| |_| \___// |\___|\___\___/ \___||___/
% |__/
%
% «projecoes» (to ".projecoes")
% (gam172p 25 "projecoes")
% (gaap162 17 "projecoes")
\label{projecoes}
{\bf Projeções}
\ssk
Até agora nós só vimos ``decomposições'' da seguinte forma: tínhamos
$O$, $\uu$, $\vv$, $P$, e queríamos $a$ e $b$ tais que $O + a\uu +
b\vv = P$ -- note que isto é equivalente a encontrar $a$ e $b$ tais
que $a\uu + b\vv = \Vec{OP}$, ou seja vimos como decompor o vetor
$\Vec{OP}$ em um múltiplo do vetor $\uu$ e um do vetor $\vv$...
Agora vamos partir de vetores $\uu$ e $\ww$ e ver como decompor o
vetor $\ww$ em $λ\uu+\vv = \ww$ tais que isto forme um triângulo
retângulo. Mais precisamente: se $λ\uu+\vv = \ww$ então $\vv =
-λ\uu+\ww$, e queremos que estes $λ\uu$ e $\vv$ sejam ortogonaisa,
aliás, que $\uu$ e $\vv$ sejam ortogonais: $\uu⊥\vv$, ou seja,
$\uu⊥(-λ\uu+\ww)$.
\ssk
{\sl Definição:} a {\sl projeção sobre $\uu$ de $\ww$}, $\Pr_{\uu}
\ww$, é o vetor $λ\uu$ tal que $\uu⊥(-λ\uu+\ww)$.
\bsk
{\bf Exercícios}
17a) Sejam $\ww = \V(3,4)$, $\uu = \V(0,1)$, $A=(2,0)$, $B=A+\ww$.
Represente graficamente $A$, $B$, $\uu$, $\ww$, e para cada
$λ∈\{0,1,2,3,4,5\}$ desenhe no seu gráfico o triângulo $\ww =
λ\uu+\vv$ correspondente e calcule $\vv$ e $\uu·\vv$. Qual o $λ$ que
faz com que $\uu⊥\vv$?
17b) Faça a mesma coisa que no 17a, mas mudando o $\uu$ para
$\uu=\V(1,1)$.
\ssk
17c) Digamos que $\Pr_{\uu} \ww_1 = λ_1 \uu_1$, $\Pr_{\uu} \ww_2 = λ_1
\uu_2$, etc. Determine $λ_1$, $λ_2$, etc na figura abaixo à esquerda.
17d) Digamos que $\Pr_{\uu} \ww_1 = λ_1 \uu_1$, $\Pr_{\uu} \ww_2 = λ_1
\uu_2$, etc. Determine $λ_1$, $λ_2$, etc na figura abaixo à direita.
%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end
%L O, uu, vv = v(1, 1), v(2, 0), v(0, 2)
%L myvec = function (a, b, label)
%L local bprint, out = makebprint()
%L local AA, BB = p(0,0), p(a,b)
%L local AB = BB-AA
%L local CC = BB + AB:unit(0.7)
%L local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L bprint("\\Vector%s%s", AA, BB)
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", CC, f(label))
%L return out()
%L end
\pu
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
$\unitlength=10pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-7,-7)(9,9)%
%\pictgrid%
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-3,-3,3,3)}}%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{myvec(2, 0, "!uu")}
\expr{myvec(3, 1, "!ww_1")}
\expr{myvec(3, 2, "!ww_2")}
\expr{myvec(3, 3, "!ww_3")}
\expr{myvec(2, 3, "!ww_4")}
\expr{myvec(1, 3, "!ww_5")}
\expr{myvec(0, 3, "!ww_6")}
\expr{myvec(-1, 3, "!ww_7")}
\expr{myvec(-2, 3, "!ww_8")}
\expr{myvec(-3, 3, "!ww_9")}
\expr{myvec(-3, 2, "!ww_{10}")}
\expr{myvec(-3, 1, "!ww_{11}")}
\expr{myvec(-3, 0, "!ww_{12}")}
\expr{myvec(-3, -1, "!ww_{13}")}
\expr{myvec(-3, -2, "!ww_{14}")}
\expr{myvec(-3, -3, "!ww_{15}")}
\expr{myvec(-2, -3, "!ww_{16}")}
\expr{myvec(-1, -3, "!ww_{17}")}
\expr{myvec(-0, -3, "!ww_{18}")}
}
\end{picture}%
}}%
\quad
%
%L O, uu, vv = v(1, 1), v(1, 1), v(-1, 1)
\pu
%
\unitlength=12pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-7,-6)(7,8)%
%\pictgrid%
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-3,-3,3,3)}}%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{myvec(2, 0, "!uu")}
\expr{myvec(3, 1, "!ww_1")}
\expr{myvec(3, 2, "!ww_2")}
\expr{myvec(3, 3, "!ww_3")}
\expr{myvec(2, 3, "!ww_4")}
\expr{myvec(1, 3, "!ww_5")}
\expr{myvec(0, 3, "!ww_6")}
\expr{myvec(-1, 3, "!ww_7")}
\expr{myvec(-2, 3, "!ww_8")}
\expr{myvec(-3, 3, "!ww_9")}
\expr{myvec(-3, 2, "!ww_{10}")}
\expr{myvec(-3, 1, "!ww_{11}")}
\expr{myvec(-3, 0, "!ww_{12}")}
\expr{myvec(-3, -1, "!ww_{13}")}
\expr{myvec(-3, -2, "!ww_{14}")}
\expr{myvec(-3, -3, "!ww_{15}")}
\expr{myvec(-2, -3, "!ww_{16}")}
\expr{myvec(-1, -3, "!ww_{17}")}
\expr{myvec(-0, -3, "!ww_{18}")}
}
\end{picture}%
}}%
$
\bsk
\bsk
17e) Leia a p.55 do livro do CEDERJ.
17f) Leia as págs 35 a 38 do Reis/Silva.
% (find-reissilvapage (+ -14 35) "2.7 Projeção de vetores")
% (find-GA1page (+ -2 55) "Projecao ortogonal")
\newpage
% _ _ _ _ _
% | \ | | ___ | |_ __ _ ___ __ _ ___ ( ) _ ( )
% | \| |/ _ \| __/ _` |/ __/ _` |/ _ \ \| (_) |/
% | |\ | (_) | || (_| | (_| (_| | (_) | _
% |_| \_|\___/ \__\__,_|\___\__,_|\___/ (_)
%
% «notacao-:» (to ".notacao-:")
% (gam172p 22 "notacao-:")
% (gaap162 18 "notacao-:")
\label{notacao-:}
\def\camat#1{\left\{\begin{array}{llll}#1\end{array}\right.}
{\bf Notação com `:'}
\ssk
Em vários lugares -- por exemplo, nas páginas 35-41 do livro do
CEDERJ, e na lista 3 da Ana Isabel -- a notação preferida para retas e
outros conjuntos usa `:':
%
$$\begin{array}{rcl}
r_a &:& 2x+3y=4 \\
r_b &:& \camat{x = 2+3t \\ y = 4+5t} \\
r_c &:& (2+3t, 4+5t) \\
r_d &:& (2,4) + u\V(3,5) \\
\end{array}
\quad
⇒
\quad
\begin{array}{rcl}
r_a &=& \setofxyst{2x+3y=4} \\
r_b &=& \setofexprt{(2+3t, 4+5t)} \\
r_c &=& \setofexprt{(2+3t, 4+5t)} \\
r_d &=& \setofexpru{(2,4) + u\V(3,5)} \\
\end{array}
$$
Essas notações com `:' são bem compactas mas elas deixam implícito
quais são os geradores.
\msk
% (reparametrizações):
{\bf Exercícios}
Em cada um dos casos abaixo represente graficamente $r$ e $s$ e os
pontos de $r$ e $s$ que correspondem a $t=0$, $t=1$, $u=0$, $u=1$.
18a) $r: (2,4)+t\V(1,0)$, $s: (2,4)+u(2·\V(1,0))$
18b) $r: (2,2)+t\V(2,1)$, $s: (2,4)+u(2·\V(2,1))$
18c) $r: (2,4)+t\V(1,0)$, $s: ((2,4)+2·\V(1,0))+u\V(1,0)$
18d) $r: (2,2)+t\V(2,1)$, $s: ((2,2)+2·\V(2,1))+u\V(2,1)$
{\sl Importante:} muitas pessoas da sala já sabem desenhar cada uma
das retas acima em segundos e quase sem fazer contas. Se você ainda
não sabe como fazer isso descubra quem são essas pessoas e aprenda com
elas!
\ssk
18e) Traduza cada uma das retas $r_a$, ..., $r_k$ da p.\pageref{retas}
para a notação com `:'.
\ssk
Às vezes o nome das retas é suprimido e dizemos só ``a reta com
equação $2x+3y=4$'' ou ``a reta $2x+3y=4$'', e quando precisamos
escrever o nome dessa reta no gráfico nós escrevemos ``$2x+3y=4$'' do
lado da reta ao invés de escrevermos `$r$' ou `$s$'.
Na p.\pageref{parametrizadas} nós encontramos a interseção de duas
retas $r:(3+2t,3-t)$ e $s:(4-u,1+u)$ da seguinte forma: primeiro
encontramos os valores de $t$ e $u$ que resolviam $(3+2t,3-t) =
(4-u,1+u)$, depois fizemos $(x,y) = (3+2t,3-t)$.
18f) Se $s':(4-t,1+t)$ então $s=s'$, e este método deveria funcionar
para encontrarmos $r∩s'$: primeiro encontramos o valor de $t$ que
resolve $(3+2t,3-t) = (4-t,1+t)$, depois fazemos $(x,y) = (3+2t,3-t)$.
O que dá errado?
18g) Se $r:(2t,t)$ e $s:(2u,u+3)$ então $r$ e $s$ são paralelas. O que
dá errado se tentamos resolver o sistema $(2t,t)=(2u,u+3)$?
18h) Se $r:(2t,t)$ e $s:(2u+2,u+1)$ então $r$ e $s$ são coincidentes.
O que dá errado se tentamos resolver o sistema $(2t,t)=(2u+2,u+1)$?
18i) Represente graficamente as retas $r:y=4-2x$, $x=0$, $x=1$, $y=0$,
$y=1$, $y=2$ e encontre a interseção de $r$ com cada uma das outras
retas algebricamente e no gráfico.
18j) Sejam $r:y=4-2x$, $A$ a interseção de $r$ com $x=0$, $B$ a
interseção de $r$ com $x=1$, $s:A+t\Vec{AB}$. Expresse $r$ na forma
$r:(\_+\_t, \_+\_t)$ e compare o resultado com $s:(x,4-2x)$.
\newpage
% ____ _
% / ___|___ _ __ ___| |_ _ __ _ _ ___ ___ ___ ___
% | | / _ \| '_ \/ __| __| '__| | | |/ __/ _ \ / _ \/ __|
% | |__| (_) | | | \__ \ |_| | | |_| | (_| (_) | __/\__ \
% \____\___/|_| |_|___/\__|_| \__,_|\___\___/ \___||___/
%
% «construcoes» (to ".construcoes")
% (gam172p 25 "construcoes")
% (gaap162 19 "construcoes")
\label{construcoes}
{\bf Construções}
Você deve se lembrar que na Geometria do ensino médio tudo era feito
com ``construções'' com régua, compasso, esquadro, etc, e nessas
construções cada objeto novo era feito apoiado nos mais antigos...
agora vamos fazer algo parecido, mas ``construindo'' (definindo) novos
pontos, vetores, conjuntos, números, etc, a partir dos anteriores.
\msk
Exemplos:
a)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Sejam $B$ e $C$ dois pontos diferentes de $r$. \\
Seja $D = B + \Pr_{\Vec{BC}} \Vec{BA}$. \\
Então $D$ é o ponto de $r$ mais próximo de $A$. \\
\end{tabular}
\ssk
b)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Sejam $B$ e $C$ dois pontos diferentes de $r$. \\
Sejam $\uu=\Vec{BC}$ e $\vv=\Vec{BA}$. \\
Sejam $D=B+\Pr_{\uu} \vv$, $\ww=\Vec{DA}$, $s:D+t\ww$, $r':D+t\uu$. \\
Então $r⊥s$, $r=r'$, e \\
o ponto de $r'$ mais próximo de $A$ é o que tem $t=0$. \\
\end{tabular}
\ssk
c)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r:B+t\uu$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Seja $\ww$ um vetor não-nulo ortogonal a $\uu$. \\
Seja $s:A+t\ww$. \\
Seja $D∈r∩s$. \\
Então $r⊥s$ e $D$ é o ponto de $r$ mais próximo de $A$. \\
\end{tabular}
\msk
Você vai precisar se familiarizar com a linguagem dessas construções.
A coisa mais básica é aprender a aplicá-las em casos particulares.
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
19a) Sejam $A=(2,0)$, $r:y=2+x$, $B=(-2,0)$, $C=(0,2)$ na construção
(a). Represente todos os objetos graficamente.
19b) Faça o mesmo na (b), mas agora $r:y=2+\frac{x}{2}$, $A=(3,1)$, e
você escolhe $B$ e $C$. Verifique se as afirmações do ``Então $r⊥s$,
$r=r'$...'' são verdade neste caso. Repare que ainda não sabemos ver
se elas serão verdadeiras {\sl sempre!}
\ssk
A construção (c) tem um passo, o ``seja $D∈r∩s$'', que é bem curto em
português e bem simples graficamente, mas que é trabalhoso
matematicamente. Faça o mesmo que no item anterior, mas em três casos:
19c) $\uu=\V(2,0)$, e escolha $A$, $B$, $\ww$, etc.
19c') idem, mas com $\uu=\V(1,3)$.
19c'') idem, ainda com $\uu=\V(1,3)$, mas agora escolha $A$, $B$,
$\ww$, etc para que as contas sejam simples e todos os números sejam
inteiros.
\newpage
% _ __ ____ __
% __| | / / | _ \ _ __ \ \
% / _` | | | | |_) | | '__| | |
% | (_| | | | | __/ | | | |
% \__,_| | | |_| ( ) |_| | |
% \_\ |/ /_/
%
% «distancia-ponto-reta» (to ".distancia-ponto-reta")
% (gam172p 26 "distancia-ponto-reta")
{\bf Distância entre ponto e reta em $\R^2$}
\ssk
Sejam $A∈\R^2$ e $r:y=mx+b$.
Seja $C$ o ponto de $r$ mais próximo de $A$. {\sl Então $d(A,r)=d(A,C)$.}
Sejam $r_v=\setofst{(A_x,y)}{y∈\R}$ uma reta vertical passando por $A$.
Sejam $r_h=\setofst{(x,C_y)}{x∈\R}$ uma reta vertical passando por $C$.
Sejam $B∈r_v∩r$ e $D∈r_v∩r$. Então $B=(A_x,mA_x+b)$ e $D=(A_x,C_y)$.
A figura -- no caso em que $r:y=\frac x 2 +1$ e $A=(2,7)$ -- é:
%L
%L -- (find-LATEX "edrxtikz.lua" "Line")
%L C = v(4,3)
%L A = C + v(-2,4)
%L B = C + v(-2,-1)
%L D = C + v(-2,0)
%L r = Line.new(B, v(2,1), -2.2, 2.2)
%L pute = function (P) return formatt("\\put%s", P) end
%L seg0 = function (P, Q) return Line.new(P, Q-P, 0, 1) end
%L seg = function (P, Q) return Line.new(P, Q-P, 0, 1):pict() end
\pu
$$
\unitlength=10pt
\def\closeddot{\circle*{0.25}}
\def\closeddot{\circle*{0.3}}
\def\pute#1{\expr{pute(#1)}}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-2,-1)(8,8)%
\pictaxes%
\pute{A}{\closeddot} \pute{A+v(-.3, 0)}{\cellw {A}}
\pute{B}{\closeddot} \pute{B+v( .2,-.2)}{\cellse{B}}
\pute{C}{\closeddot} \pute{C+v( .2,-.2)}{\cellse{C}}
\pute{D}{\closeddot} \pute{D+v(-.3, 0)}{\cellw {D}}
\pute{r:t(2.5)}{\cell{r}}
\expr{r:pict()}
\expr{seg(A,B)}
\expr{seg(A,C)}
\expr{seg(C,D)}
\end{picture}%
}}%
$$
Note que $C\hat DB = A\hat D C = A\hat CB = 90^∘$ e que os triângulos
$ΔCDB$, $ΔADC$ e $ΔACB$ são semelhantes; além disso,
$d(D,B) = |m|d(D,C)$, \; $d(D,C) = |m|d(D,A)$, \; $d(C,B) = |m|d(C,A)$,
$d(A,B) = √{1+m^2} \, d(A,C)$,
$$\begin{array}{rcl}
d(A,r) &=& d(A,C) \\
&=& d(A,B) / √{1+m^2} \\
&=& d((A_x,A_y),(A_x,mA_x+b)) / √{1+m^2} \\
&=& |mA_x+b-A_y| / √{1+m^2} \\
\end{array}
$$
\msk
{\bf Exercício}
\ssk
1) Em cada um dos casos abaixo represente $r$, $A$, $B$, $C$, $D$
graficamente,
des\-cu\-bra as coordenadas de $B$, $C$ e $D$, calcule $d(A,B)$ e
$d(A,C)$ e
verifique que $d(A,C) = d(A,B)/√{1+m^2}$.
Dica: escreva os ``$d(A,C)$''s e ``$d(A,B)$''s na forma $√{\ldots}$
--- por exemplo, se $d(A,B)=4$ escreva isto como $√{16}$, e se
$d(A,C)=2√2$ escreva isto como $√8$.
\ssk
a) $r:y=x+1$, $A=(1,6)$
b) $r:y=x+1$, $A=(3,6)$
c) $r:y=x+1$, $A=(3,2)$
d) $r:y=x+1$, $A=(3,0)$
e) $r:y=x+1$, $A=(3,4)$
f) $r:y=2x$, $A=(1,7)$
g) $r:y=-2x$, $A=(2,1)$
h) $r:y=3$, $A=(2,5)$
\newpage
% _ ____
% _ __ _ __ ___ _ __ _ __ ___ __| | ___ | _ \ _ __
% | '_ \| '__/ _ \| '_ \| '__/ __| / _` |/ _ \ | |_) | '__|
% | |_) | | | (_) | |_) | | \__ \ | (_| | (_) | | __/| |
% | .__/|_| \___/| .__/|_| |___/ \__,_|\___/ |_| |_|
% |_| |_|
%
% «propriedades-do-Pr» (to ".propriedades-do-Pr")
% (gam172p 27 "propriedades-do-Pr")
% (gaq171 14 "20170426" "Propriedades do Pr")
{\bf Propriedades do $\Pr$ (e coisas sobre demonstrações)}
\ssk
Lembre que vimos em sala (em 19/abril) que se $\ww = λ\uu + \vv$ e
$\uu⊥\vv$ então $λ=\frac{\uu·\ww}{\uu·\uu}$,
e isto nos levou a uma fórmula para o `$\Pr$': $\Pr_\uu \ww =
\frac{\uu·\ww}{\uu·\uu} \uu$.
{\sl Você sabe reconstruir a demonstração disso você mesmo?}
\ssk
Na demonstração que vimos em sala nós usamos duas idéias importantes
com as quais muita gente não tem prática:
1) a gente trabalhou com vetores ``sem abrí-los'' (sem reescrever $\uu = \VEC{u_1,u_2}$),
2) a gente trabalhou com ``hipóteses'' --- $\ww = λ\uu + \vv$ e $\uu⊥\vv$ .
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
1) V/F/Justifique:
\begin{tabular}[t]{l}
a) (\;\;) $\Pr_\uu(\vv+\ww) = \Pr_\uu \vv + \Pr_\uu \ww$ \\
b) (\;\;) $\Pr_(\uu+\vv) \ww = \Pr_\uu \ww + \Pr_\vv \ww$ \\
c) (\;\;) $\Pr_\uu \ww = \Pr_\ww \uu$ \\
d) (\;\;) $\Pr_(k\uu) \ww = k \, \Pr_\uu \ww$ \\
e) (\;\;) $\Pr_(k\uu) \ww = |k| \, \Pr_\uu \ww$ \\
f) (\;\;) $\Pr_(k\uu) \ww = \Pr_\uu \ww$ \\
g) (\;\;) $\Pr_\uu (k\ww) = k \, \Pr_\uu \ww$ \\
h) (\;\;) $\Pr_\uu (k\ww) = |k| \, \Pr_\uu \ww$ \\
i) (\;\;) $\Pr_\uu (k\ww) = \Pr_\uu \ww$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}[t]{l}
j) (\;\;) $||k\vv|| = k||\vv||$ \\
k) (\;\;) $||k\vv|| = |k|\,||\vv||$ \\
l) (\;\;) $||k\vv|| = ||\vv||$ \\
m) (\;\;) Se $ab = ac$ então $b=c$ \\
n) (\;\;) Se $a\uu = b\uu$ então $a=b$ \\
o) (\;\;) Se $a\uu = a\vv$ então $\uu=\vv$ \\
p) (\;\;) Se $\uu·\vv = \uu·\ww$ então $\vv=\ww$ \\
\end{tabular}
\msk
2) Demonstre (estes são mais difíceis, mas são bem importantes):
Se $\vv⊥\ww$ e $\vv$ e $\ww$ são não-nulos então:
a) $\Pr_\vv (k\ww) = 0$
b) $\Pr_\vv (k\vv) = k\vv$
c) $\Pr_\vv (a\vv+b\ww) + \Pr_\ww (a\vv+b\ww) = a\vv+b\ww$
\msk
3) Demonstre:
a) Se $\uu⊥\vv$ então $||\uu+\vv||=||\uu-\vv||$
b) Se $\uu⊥\vv$ então $||\uu+\vv||^2=||\uu||^2+||\vv||^2$
c) Se $||\uu+\vv||=||\uu-\vv||$ então $\uu⊥\vv$
d) Se $||\uu+\vv||^2=||\uu||^2+||\vv||^2$ então $\uu⊥\vv$
\ssk
e) Se $\uu⊥\vv$ então $||\vv+t\uu||≤||\vv+t\uu||$
f) Se $\uu⊥\vv$ e $\uu≠\VEC{0,0}$ então $||\vv+0\uu||<||\vv+t\uu||$
g) Se $r:A+t\uu$ é uma reta e $\Vec{AB}⊥\uu$ então o ponto de $r$ mais próximo de $B$ é o ponto $A$
h) $||\, ||\vv|| \ww \, || = || \, ||\ww|| \vv \, ||$
\bsk
\bsk
4) Demonstre (este é {\sl bem} trabalhoso, pus como curiosidade):
Sejam $P=(0,b)$, $\uu=\VEC{1,m}$, $r:P+t\uu$ e $A$ um ponto de de $\R^2$.
Sejam $B:=(A_x,b+mA_x)$ e $C:=P+\Pr_\uu \Vec{PA}$.
Então $C$ é o ponto de $r$ mais próximo de $A$,
e $d(A,C) = d(A,B) / \sqrt{1+m^2} = |b+mA_x-A_y| / \sqrt{1+m^2}$.
\newpage
% _ _ _ _ _
% | | | |_ __ (_) |_ __ _ _ __(_) ___ ___
% | | | | '_ \| | __/ _` | '__| |/ _ \/ __|
% | |_| | | | | | || (_| | | | | (_) \__ \
% \___/|_| |_|_|\__\__,_|_| |_|\___/|___/
%
% «vetores-unitarios» (to ".vetores-unitarios")
% (gam172p 28 "vetores-unitarios")
{\bf Vetores unitários}
\ssk
Um vetor $\vv$ é {\sl unitário} se $||\vv||=1$.
Para cada vetor $\ww$ não-nulo podemos obter um vetor $\uu$ com a
mesma direção e sentido que $\ww$, mas tal que $\uu$ seja unitário --
por exemplo, se $\ww=\V(4,0)$ então $\uu=\V(1,0)$. O truque é este:
$\uu = \frac{1}{||\ww||}\ww$.
Vamos usar (temporariamente!) a seguinte notação para a
``unitarização'' de um vetor:
%
$$\vv' := \frac{1}{||\vv||}\vv$$
\msk
{\bf Exercícios}
25a) calcule $\V(3,0)'$, $\V(2,0)'$, $\V(0,2)'$, $\V(0,1)'$,
$\V(0,-2)'$, $\V(3,4)'$, $\V(1,1)'$, $\V(\frac{1}{10},0)'$,
$\V(\frac{1}{100},0)'$, $\V(0,0)'$.
25b) Se $||\vv||=234$ então $||5\vv||=5·234$, e, como regra geral,
esperaríamos que $||k\vv||=k||\vv||$ fosse verdade para todo $k∈\R$ e
todo vetor $\vv$... mas isso {\sl não é verdade!} Verifique que
$||(-2)\V(3,0)|| \neq (-2)||\V(3,0)||$.
\msk
25c) A ``demonstração'' abaixo está errada -- se ela estiver certa
então, por exemplo, $||(-2)·\V(3,0)|| = (-2)·||\V(3,0)||$. Descubra qual
é o passo dela que está errado. Dica: faça $k=-2$, $a=3$, $b=0$ e
calcule cada uma das expressões entre `$=$'s.
%
$$\begin{array}{rclcl}
||k·\V(a,b)|| &=& ||\V(ka,kb)|| \\
&=& √{\V(ka,kb)·\V(ka,kb)} \\
&=& √{(ka)^2 + (kb)^2} \\
&=& √{k^2a^2 + k^2b^2} \\
&=& √{k^2(a^2 + b^2)} \\
&=& k√{a^2 + b^2} \\
&=& k√{\V(a,b)·\V(a,b)} \\
&=& k·||\V(a,b)|| \\
\end{array}
$$
25d) Demonstre que $||k·\V(a,b)|| = |k|·||\V(a,b)||$ ($∀k,a,b∈\R$).
25e) Demonstre que $\vv = ||\vv||\vv'$ (para $\vv$ não-nulo).
25f) Demonstre que $\uu·\vv = ||\uu||·||\vv||·(\uu'·\vv')$ (para $\uu$
e $\vv$ não-nulos).
25g) Sejam $\uu$ e $\vv$ dois vetores unitários ortogonais entre si, e
$\ww=a\uu + b\vv$. Demonstre que $\Pr_{\uu} \ww = \Pr_{\uu} (a\uu +
b\vv)= \Pr_{\uu} (a\uu) = a\uu$ e que $||\Pr_{\uu} \ww|| = a$.
\def\ang{\operatorname{ang}}
25h) (Re)leia a páginas 54 e 55 do livro do CEDERJ, e dê uma olhada
nas páginas seguintes até a 58. Agora você já deve ser capaz de
entender tudo ou quase tudo da ``regra do cosseno'',
%
$$\uu·\vv = ||\uu|| · ||\vv|| · \cos(\ang(\uu,\vv))$$
%
que pra gente é um {\sl teorema} e pra ele é uma {\sl definição}.
Vamos ver a demonstração completa em sala em breve, mas ela é
complicada e quem estiver mais preparado vai entendê-la melhor.
% (find-GA1page (+ -2 54) "Projecao ortogonal")
% (find-GA1page (+ -2 55) "Projecao ortogonal")
\newpage
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% «R3-retas-e-planos» (to ".R3-retas-e-planos")
% (gam172p 29 "R3-retas-e-planos")
{\bf Retas e planos em $\R^3$}
\ssk
Obs: adaptado da aula de 4/jul/2016:
\url{http://angg.twu.net/2016.1-GA/2016.1-GA.pdf}
\msk
% {\bf Retas em $\R^3$}
Sejam:
$r_1 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,-1,0)}$
$r_2 = \setofexprt{(2,2,1)+t\V(0,-1,0)}$
$r_3 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,1,1)}$
$r_4 = \setofexprt{(0,2,1)+t\V(1,0,0)}$
$r_4 = \setofexprt{(1,2,1)+t\V(2,0,0)}$
Quais destas retas se interceptam?
Em que pontos? Em que `$t$'s?
Quais destas retas são paralelas?
Quais destas retas são coincidentes?
A terminologia para retas que não se interceptam e não são
paralelas é estranha -- ``retas {\sl reversas}''.
\msk
As retas acima são {\sl parametrizadas}.
O que é uma {\sl equação de reta} em $\R^3$?
$\setofxyst{4x+5y=6}$ é uma reta em $\R^2$;
$\setofxyzst{4x+5y+6z=7}$ é um {\sl plano} em $\R^3$...
\msk
Exercício: encontre
três pontos não colineares de $\setofxyzst{z=0}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{z=2}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{x=1}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{y=3}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{\frac x2 + \frac y3 + \frac z4 = 1}$,
e visualize cada um destes planos.
\msk
Alguns dos nossos planos preferidos:
$π_{xy} = \setofxyzst{z=0}$ ($x$ e $y$ variam, $z=0$)
$π_{xz} = \setofxyzst{y=0}$ ($x$ e $z$ variam, $y=0$)
$π_{yz} = \setofxyzst{x=0}$ ($y$ e $z$ variam, $x=0$)
\ssk
Notação (temporária):
$[\text{equação}] = \setofxyzst{\text{equação}}$
Obs: $π_{xy} = [z=0]$, $π_{xz} = [y=0]$, $π_{yz} = [x=0]$.
\msk
Exercício: visualize:
$π_1 = [x=1]$, \qquad $π_8 = [y=x]$,
$π_2 = [y=1]$, \qquad $π_9 = [y=2x]$,
$π_3 = [z=1]$, \qquad $π_{10} = [z=x]$,
$π_4 = [z=4]$, \qquad $π_{11} = [z=x+1]$,
$π_5 = [z=2]$,
Quais deles planos são paralelos?
Quais deles planos se cortam? Onde?
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% «R3-retas-e-planos-2» (to ".R3-retas-e-planos-2")
% (gam172p 32 "R3-retas-e-planos-2")
{\bf Retas e planos em $\R^3$ (2)}
\ssk
Dá pra parametrizar planos em $\R^3$...
Sejam
$π_6 = \setofst{\und{(2,2,0) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
{(a,b)_{Σ_6}}
}{a,b∈\R}$,
$π_7 = \setofst{\und{(3,2,1) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
{(a,b)_{Σ_7}}
}{a,b∈\R}$.
Calcule e visualize:
$(0,0)_{Σ_6}$, $(1,0)_{Σ_6}$, $(0,1)_{Σ_6}$, $(1,1)_{Σ_6}$,
$(0,0)_{Σ_7}$, $(1,0)_{Σ_7}$, $(0,1)_{Σ_7}$, $(1,1)_{Σ_7}$,
e resolva:
$(a,b)_{Σ_6} = (0,3,0)$,
$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,1)$,
$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,0)$.
\msk
Nossos três modos preferidos de descrever planos em $\R^3$ (por equações) são:
$[z = ax+by+c]$ (``$z$ em função de $x$ e $y$''),
$[y = ax+bz+c]$ (``$y$ em função de $x$ e $z$''),
$[x = ay+bz+c]$ (``$x$ em função de $y$ e $z$'').
% (find-LATEX "2016-2-GA-algebra.tex" "Fxy")
\msk
Na p.10 nós vimos este tipo de diagrama aqui, que nos ajuda a visualizar
as curvas de nível de funções de $x$ e $y$:
$\sm{F(x,y)\\=\,x+2y} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){x+2*y}
$
Use diagramas deste tipo para visualizar
$[z=x+y]$,
$[z=x+y+2]$,
$[z=x-y+4]$.
\msk
Sejam:
$π_{12} = [z = x+y]$,
$π_{13} = [z = x-y+4]$
Exercício: encontre pontos de $r=π_{12}∩π_{13}$ tais que
a) $x=0$, b) $x=1$, c) $x=3$; depois
d) encontre uma parametrização para $r$,
e) encontre uma parametrização para $r$ na qual $t=x$.
\msk
Alguns dos nossos modos preferidos de descrever retas em $\R^3$:
$[y=ax+b, z=cx+d]$ (``$y$ e $z$ em função de $x$''),
$[x=ay+b, z=cy+d]$ (``$x$ e $z$ em função de $y$''),
$[x=az+b, y=cz+d]$ (``$x$ e $y$ em função de $z$'').
Encontre uma descrição da forma $[y=ax+b, z=cx+d]$ para a $r$ acima.
(Dica: use o ``chutar e testar''!)
\newpage
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% «determinantes-em-R3» (to ".determinantes-em-R3")
% (gam172p 31 "determinantes-em-R3")
{\bf Determinantes em $\R^3$}
\ssk
Lembre que o determinante em $\R^2$ mede {\sl áreas} (de paralelogramos),
e às vezes ele responde números negativos:
%
$$\vsm{a&b\\c&d\\}
= ac-bd \qquad
\vsm{c&d\\a&b\\} = bd-ac = -\vsm{a&b\\c&d\\}
$$
Vamos usar a seguinte notação (temporária):
$[\uu,\vv]
= [\V(u_1, u_2), \V(v_1, v_2)]
= \vsm{u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\}
\qquad \text{(em $\R^2$)}
$
$[\uu,\vv,\ww]
= [\V(u_1, u_2, u_3), \V(v_1, v_2, v_3), \V(w_1, w_2, w_3)]
= \vsm{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
\qquad \text{(em $\R^3$)}
$
``$[\uu,\vv]$'' e ``$[\uu,\vv,\ww]$'' querem dizer
``empilhe os vetores numa matriz quadrada e tire o determinante dela''.
\msk
A definição de determinante em $\R^3$ -- como conta -- é:
$$\begin{array}{rcl}
\vmat{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
&=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_4 + u_3v_4w_5 \\
-u_3v_2w_1 - u_4v_3w_2 - u_5v_4w_3 \\
} \\
&=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_1 + u_3v_1w_2 \\
-u_3v_2w_1 - u_1v_3w_2 - u_2v_1w_3 \\
}
\end{array}
$$
\def\ii{\vec{\mathbf{i}}}
\def\jj{\vec{\mathbf{j}}}
\def\kk{\vec{\mathbf{k}}}
As seguintes definições são padrão:
$$\ii=\V(1,0,0) \qquad \jj=\V(0,1,0) \qquad \kk=\V(0,0,1)$$
Exercício: calcule
a) $[\ii,\jj,\kk]$
b) $[\ii,\kk,\jj]$
c) $[\jj,\ii,\kk]$
d) $[\jj,\kk,\ii]$
e) $[\kk,\ii,\jj]$
f) $[\kk,\jj,\ii]$
g) $[\ii,\jj,\ii]$
g) $[2\ii,3\jj,4\kk]$
h) $[a\ii,b\jj,c\kk]$
i) $[a\ii+b\jj+c\kk,d\jj+e\kk,f\kk]$
j) $[a\ii, b\ii+c\jj, d\ii+e\jj+f\kk]$
% (find-angg ".emacs" "gaq161")
% (gaq161 58 "20160704" "Visualizar R^3")
\newpage
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% «determinantes-em-R3-2» (to ".determinantes-em-R3-2")
% (gam172p 32 "determinantes-em-R3-2")
{\bf Determinantes em $\R^3$ (2)}
\ssk
Lembre que o determinante em $\R^2$ mede áreas, que são ``base vezes altura'',
e que a gente pode deslizar um lado ($\vv$) do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$
``numa direço paralela a $\uu$'', sem alterar nem a ``base'' nem a ``altura''...
Algebricamente: $[\uu,\vv] = [\uu,\vv+a\uu]$.
E deslizando o $\uu$, temos $[\uu,\vv] = [\uu+a\vv,\vv]$.
\msk
Em $\R^3$ podemos pensar que o determinante $[\uu,\vv,\ww]$ mede
a área da base --- a área do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ ---
vezes a altura.
Se $\uu$, $\vv$ e $\ww$ são ortogonais entre si então
a ``área da base'' é $||\uu||·||\vv||$, e a ``altura'' é $||\ww||$.
\ssk
(Obs: em $\R^3$, $\V(a,b,c)·\V(d,e,f) = ad+be+cf$, $||\vv|| = \sqrt{\uu·\vv}$,
$\uu⊥\vv = (\uu·\vv=0)$, $\Pr_{\uu}\vv = \frac{\uu·\vv}{\uu·\uu}\uu$.)
\msk
Propriedades mais importantes dos determinantes em $\R^3$:
$[a\uu,b\vv,c\ww] = abc[\uu,\vv,\ww]$
$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$
$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv+a\uu+b\ww,\ww]$
$[\uu,\vv,\ww] = [\uu+a\vv+b\ww,\vv,\ww]$
\msk
Quase todas as idéias sobre determinantes em $\R^3$ que a gente vai
ver agora ficam mais fáceis de entender se a gente as entende em três
etapas: 1) com $\uu$, $\vv$, $\ww$ ortogonais entre si, e todos com
comprimento 1; 2) usando vetores $\uu'=a\uu$, $\vv'=b\vv$, $\ww'=c\ww$
construídos a partir dos anteriores; estes $\uu'$, $\vv'$ e $\ww'$ são
ortogonais entre si, mas podem ter qualquer comprimento, 3) usando
vetores $\uu''=\uu'$, $\vv''=\vv'+d\uu'$ e $\ww'=\ww'+e\uu'+f\vv'$.
\msk
{\bf Exercício importantíssimo} (encontrar coeficientes):
a) Encontre $a,b,c$ tais que $\V(a,b,c)·\V(x,y,z) = 2x+3y+4z$
b) Encontre $a,b,c,d$ tais que $\V(a,b,c)·\V(x,y,z)+d = 2x+3y+4z+5$
c) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{1&2&3 \\ 4&5&6 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)·\V(x,y,z)$
d) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)·\V(x,y,z)$
e) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \\}
= \V(a,b,c)·\V(w_1,w_2,w_3)$
% (find-fline "/tmp/33.jpg")
\newpage
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% «cross-prod» (to ".cross-prod")
% (gam172p 33 "cross-prod")
{\bf O produto cruzado ($×$) em $\R^3$}
\ssk
\def\area{\textsf{área}}
O ``produto cruzado'' (ou ``produto vetorial'') $\uu×\vv$ é definido como
se ele fosse ``uma parte da conta do determinante'': $(\uu×\vv)·\ww = [\uu,\vv,\ww]$.
Exercício: verifique que no item (e) acima temos
$\uu×\vv = \V(\uu_2\vv_3-\uu_3\vv_2, \uu_3\vv_1-\uu_1\vv_3, \uu_1\vv_2-\uu_2\vv_1)$.
\msk
{\sl Idéia importantíssima:}
1) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,\ww]$ é exatamente a área do
paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo sinal);
2) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$ é exatamente a
área do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo
sinal);
3) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,a\uu+b\vv+c\ww]$ é
$c·\area(\uu,\vv)$ (exceto talvez pelo sinal);
4) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então $(\uu×\vv)·(a\uu+b\vv+c\ww)$ é $c·\area(\uu,\vv)$
(exceto talvez pelo sinal);
5) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então $\uu×\vv = \area(\uu,\vv)·\ww$ (exceto talvez
pelo sinal).
\msk
{\bf Exercício:}
Use o (5) acima para tentar descobrir quais são as duas respostas
possíveis para $\uu×\vv$ nos casos a e b abaixo, e depois compare as
suas respostas com resposta ``algébrica'' dada pela fórmula lá no alto
da página.
a) $\uu=\V(3,0,0)$, $\vv=\V(0,4,0)$, $\ww=\V(0,0,1)$
b) $\uu=\V(0,3,0)$, $\vv=\V(0,3,3)$, $\ww=\V(1,0,0)$
\newpage
% (find-fline "/tmp/34.jpg")
% ___
% / _ \ _ __ ___ __ __
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% \___/| .__/|___/ /_/\_\
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%
% «alguns-usos-do-x» (to ".alguns-usos-do-x")
% (gam172p 36 "alguns-usos-do-x")
% (gaq 31)
{\bf Alguns usos do `$×$'}
\ssk
1) $||\uu×\vv|| = \area(\uu,\vv)$
2) $\uu×\vv$ sempre dá um vetor ortogonal a $\uu$ e $\vv$
3) $\uu×\vv=\V(0,0,0)$ se e só se $\area(\uu,\vv)=0$, ou seja, se
$\uu$ e $\vv$ são colineares
(i.e., paralelos).
4) Digamos que
$r = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,
$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,
$B = A+\ww$.
Então $r$ e $r'$ são reversas se e só se $[\uu,\vv,\ww] \neq 0$.
(Se $[\uu,\vv,\ww]=0$ então $r$ e $r'$ são ou paralelas, ou coincidentes, ou se cortam).
5) Pra testar se quatro pontos $A,B,C,D∈\R^3$ são coplanares,
encontre $\uu,\vv,\ww$ tais que $A+\uu=B$, $A+\vv=C$, $A+\ww=D$;
temos $[\uu,\vv,\ww]=0$ se e só se $A,B,C,D$ forem coplanares.
6) (Difícil!) Sejam
$r = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,
$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,
$B = A+\ww$.
\def\ut#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
Então: $d(r,r') = \ut{\ut{|[\uu,\vv,\ww]|}{volume} / \ut{\area(\uu,\vv)}{área da base}}{altura}$.
7) (Difícil!) Sejam
$r = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,
$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,
$B = A+\ww$.
Como a gente encontra uma reta $s$ que corte $r$ e $r'$ e seja ortogonal a ambas?
Sejam $C_t = A+t \uu$ e $D_{t'} = B+t' \vv$.
Queremos que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja ortogonal a $\uu$ e $\vv$,
ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja paralelo a $\uu×\vv$,
ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
ou seja, que $(D_{t'}-C_t)×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
ou seja, que $((B+t'\vv)-(A+t \uu))×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
ou seja, que $(t'\vv - t\uu + \Vec{AB})×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
o que dá um sistema que nos permite encontrar $t$ e $t'$ com poucas contas...
Sabendo $t$ e $t'$ sabemos $C_t$ e $D_{t'}$, e a reta $s$ passa por $C_t$ e $D_{t'}$.
\bsk
{\sl Agora você deve ser capaz de resolver os exercícios 1 a 20 da lista 9 da}
{\sl Ana Isabel! Yaaaaay!} $=)$ $=)$ $=)$
% (gaq161 8 "20160427" "||kv|| = |k| ||v||")
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: