% (find-angg "LATEX/2016-1-GA-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2016-1-GA-VS.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-GA-VS.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2016-1-GA-VS.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2016-1-GA-VS"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-GA-VS.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-1-GA-VS.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-1-GA-VS.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2016-1-GA-VS.pdf
%               file:///tmp/2016-1-GA-VS.pdf
%           file:///tmp/pen/2016-1-GA-VS.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-GA-VS.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-dn4ex "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

% \catcode`\^^J=10
% \directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
% \directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
% \directlua{texfile(tex.jobname)}
% \directlua{verbose()}
% %\directlua{output(preamble1)}
% \def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
% \def\eval#1{\directlua{#1}}
% \def\pu{\directlua{pu()}}
% 
% \directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end

%   ____      _                    _ _           
%  / ___|__ _| |__   ___  ___ __ _| | |__   ___  
% | |   / _` | '_ \ / _ \/ __/ _` | | '_ \ / _ \ 
% | |__| (_| | |_) |  __/ (_| (_| | | | | | (_) |
%  \____\__,_|_.__/ \___|\___\__,_|_|_| |_|\___/ 
%                                                

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Geometria Analítica
\par PURO-UFF - 2016.1
\par VS - 3/ago/2016 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.
\par A correção será implacável com erros de conta --
\par porque uma das coisas que você deve ter aprendido
\par no curso é a testar seus resultados.
\par Links importantes:
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-GA.html} (página do curso)
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-GA/2016.1-GA.pdf} (quadros)
\par \url{http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-GA-P2.pdf} (esta prova, com gabarito)
\par {\tt eduardoochs@gmail.com} (meu e-mail)
}

\bsk
\bsk



\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar

1) \T(Total: 2.0 pts) Sejam $r:y=1$, $s:y=2x$, $A$ um ponto que queremos descobrir, $B$ o
ponto de $r$ mais próximo de $A$, $C$ o ponto de $s$ mais próximo de
$A$. Digamos que $B$ seja $(4,1)$ e $C$ seja $(2,4)$.

a) \B(1.0 pts) Descubra $A$.

b) \B(1.0 pts) Verifique {\sl algebricamente}, com explicações em
português e gráficas onde necessário, que a sua resposta está certa.


\bsk

2) \T(Total: 3.0 pts) Represente graficamente, com detalhes:

a) \B(0.5 pts) $S: (\frac x2)^2 - (\frac y3)^2 = 0$

b) \B(0.5 pts) $S: (\frac {x-2}2)^2 - (\frac {y-3}3)^2 = 0$

c) \B(1.0 pts) $S: (\frac {x-2}2)^2 - (\frac {y-3}3)^2 = 1$

d) \B(1.0 pts) $S: (\frac {x-2}2)^2 - (\frac {y-3}3)^2 = -1$


\bsk


3) \T(Total: 2.5 pts) Sejam $A=(2,0,0)$, $B=(0,3,0)$, $C=(0,0,4)$,
$D_t=(t,t,t)$, $r$ a reta que passa por $A$ e $B$, $s_t$ a reta que
passa por $C$ e $D_t$.

a) \B(1.0 pts) Encontre o valor de $t$ que faz as retas $r$ e $s_t$
serem coplanares.

b) \B(1.5 pts) Calcule a distância do plano do item acima ao ponto
$(1,1,1)$.


\bsk

4) \T(Total: 2.5 pts) Sejam $A=(0,0,4)$, $B=(1,2,3)$, $C=(3,4,5)$ os
vértices de um triângulo em $\R^3$. Em qual destes vértices está o
ângulo mais agulo? Explique o que você fizer.



\newpage

Mini-gabarito:

(não revisado, contém erros!)

\bsk

1) $A$ é o ponto $(4,3)$. Sejam $\vv_r = \VEC{1,0}$ e $\vv_s =
\VEC{1,2}$ vetores diretores de $r$ e $s$ -- então temos $\Vec{BA} =
\VEC{0,2} ⊥ \vv_r$ e $\Vec{CA} = \VEC{2,-1} ⊥ \vv_s$.

\bsk

2a) $H_a$ é a união de duas retas que passam por $(0,0)$, com
coeficientes angulares $\frac32$ e $-\frac32$.

2b) $H_b$ é a união de duas retas que passam por $(2,3)$, com
coeficientes angulares $\frac32$ e $-\frac32$.

2c) $H_c$ é uma hipérbole que tem $H_b$ como assíntotas e passa por
$(0,3)$ e $(4,3)$.

2d) $H_d$ é uma hipérbole que tem $H_b$ como assíntotas e passa por
$(2,0)$ e $(6,0)$.

\bsk

3a) Seja $π:\frac x2 + \frac y3 + \frac z4 = 1$. Temos $A, B, C∈π$,
$r⊂π$, e $D_t∈π$ quando $1 =\frac t2 + \frac t3 + \frac t4 =
\frac6{12} t + \frac4{12} t + \frac3{12}t = \frac{13}{12}t$, ou seja,
quando $t=\frac{12}{13}$ e $D_t = (\frac{12}{13}, \frac{12}{13},
\frac{12}{13})$.

3b) Sejam $\nn=\VEC{6,4,3}$ um vetor normal a $π$,
$r'=\setofexpron{(1,1,1)+t\nn}{t}$ uma reta que passa por $(1,1,1)$ e
é ortogonal a $π$. $r'$ e $π$ se cruzam quando $t$ obedece $1 =
\frac{1+6t}2 + \frac{1+4t}3 + \frac{1+3t}4 = \frac{6+36t}{12} +
\frac{4+16t}{12} + \frac{3+9t}{12} = \frac{13+61t}{12}$, $13+61t =
12$, $61t=-1$, $t=-\frac{1}{61}$; $||t\nn|| = \frac{1}{61} ||\nn|| =
\frac{1}{61} \sqrt{36+16+9} = \frac{1}{61} \sqrt{61} =
\frac{1}{\sqrt{61}}$.

\bsk

\def\myangv #1#2{\frac{\Vec{#1}·\Vec{#2}}{||\Vec{#1}||\,||\Vec{#2}||}}
\def\myangss#1#2#3{\frac{#1}{\sqrt{#2}\sqrt{#3}}}
\def\myangs #1#2{\frac{#1}{\sqrt{#2}}}

4) $\cos A\hat B C = \myangv{BA}{BC} = \myangv{(-1,-2,1)}{(2,2,2)} = \myangss{-4}{6}{12} = \myangs{-4}{72} = \myangs{-2}{18}$

$\cos B\hat A C = \myangv{AB}{AC} = \myangv{(1,2,-1)}{(3,4,1)} = \myangss{10}{6}{26} = \myangs{10}{156} = \myangs{5}{39}$

$\cos A\hat C B = \myangv{CA}{CB} = \myangv{(-3,-4,-1)}{(-2,-2,-2)} = \myangss{16}{26}{12} = \myangs{16}{312} = \myangs{8}{78}$

$\cos A\hat B C = \myangs{-2}{18} < 0 \;\;\; ⇒$ o ângulo em $B$ é obtuso;

$\cos 90° = 0 < \cos B\hat A C = \myangs{5}{39} < \myangs{8}{78} = \cos A\hat C B < 1 = \cos 0°$

O ângulo mais agudo é $A\hat C B$.

\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End: