Bem-vindos a mais um vídeo do Mathologer. As pessoas sempre falam que Cálculo é algo horrivelmente
difícil, complicado e avançado. Isto é só parcialmente verdade. Quando você olha pro Cálculo
exatamente do jeito certo, você vê que o núcleo é algo bem simples,
e não muito mais difícil que álgebra básica.... e na verdade, quando eu tinha só 13 or 14 anos
eu fui apresentado ao Cálculo lendo o livro "Calculus made easy", do Silvanus P. Thompson, um livro que é
todo dedicado a mostrar quão fácil Cálculo pode ser. É um livro incrível e funcionou super bem pra mim.
E eu não sou o único. Ele foi publicado em 1910, viralizou imediatamente,
ainda está em catálogo depois de mais de um século, e vendeu mais de um milhão de cópias.
"Terrifying names" - "nomes aterradores" não é algo que você esperaria ler na capa de um livro de Cálculo.
É um livro atípico em muitos aspectos, e o modo como Cálculo é explicado nesse livro é bem diferente
do modo como ele é explicado em livros-texto "normais", tanto da época quanto de agora. Eu vou pôr um link pra
uma versão online dele na descrição do vídeo. Bem, eu mesmo passei boa parte da minha vida explicando
Cálculo, e o que eu pretendo fazer hoje neste vídeo é mostrar a minha própria versão do "Calculus
Made Easy". Claro que tem um monte de vídeos de Cálculo por aí, mas nos vídeos do Mathologer
sobre coisas que já foram apresentadas mil vezes eu sempre tento apresentá-las de jeito novo e
"otimizado" que vá ser útil tanto pra novatos quanto pra especialistas.
Ok, aqui está o que eu planejei pra hoje.
Na primeira parte do vídeo eu vou mostrar que o seu carro é uma máquina de Cálculo,
e vou mostrar como esses dois métodos do Cálculo com nomes terríveis - diferenciação
e integração - podem ser executados simplesmente dirigindo e interpretando o velocímetro e o
odômetro da forma certa.
Na segunda parte do vídeo nós vamos ver que o núcleo do Cálculo Diferencial
é algo tão simples que dá pra ensinar pra um macaco - é quase que milagrosamente simples.
Por outro lado, o núcleo do Cálculo Integral está bem longe de ser algo tipo "macaco vê, macaco faz"...
mas tem um monte de idéias do Cálculo Integral que são bem simples e poderosas, e que a gente obtém
simplesmente fazendo diferenciação ao contrário. Nós vamos ver isso na parte 3 do vídeo. E eu vou
terminar com algo que eu venho querendo apresentar há um tempão, que é uma animação de 5 minutos em que
eu derivo todas as fórmulas mais importantes do Cálculo mais ou menos da mesma forma que o
"Calculus Made Easy" faz. 5 minutos pra tudo que é mais importante!
Esse milagre é possível por um modo super engenhoso de representar Cálculo por símbolos...
que é cortesia do grande Gottfried Wilhelm Leibniz, um dos inventores do Cálculo.
Vão ser aqueles truques com dy/dx e infinitesimais, mas com anabolizantes.
Este vídeo foi feito a pedido dos meus filhos Lara e Karl, e é dedicado a eles.
Você está pronto pra dar um passeio bem grande?
Ok, vamos lá. Hmm, passeio - de carro.
Vamos imaginar que nós estamos dando uma volta
no Mathologermóvel numa auto-estrada na Alemanha. Vamos dar uma olhada no velocímetro.
Velocidade aumenta, velocidade diminui, velocidade indo até o máximo. Mas lembre que
as auto-estradas na Alemanha não têm limite de velocidade, então 260 km/h não é um problema. :)
Em algum momento a gente começa a fazer um gráfico da velocidade no tempo. Aqui: velocidade aumenta, diminui,
fica máxima. Como é que a gente traduz esse gráfico de velocidade no tempo num gráfico de distância que diga
o quanto a gente andou desde que começou? É uma pergunta bem natural, não é? Basicamente
o que nós estamos perguntando é: como traduzir do que o velocímetro diz pro que o odômetro diz.
O carro faz essa tradução automaticamente, mas como essa tradução funciona?
Se você nunca viu isso antes não tem problema se você disser "Não faço idéia". Bom, pra gente
começar a ter alguma idéia de como isso funciona, vamos olhar pro caso mais simples, em que estamos andando com
uma velocidade constante, v.
Velocidade constante v corresponde a uma linha horizontal com altura v no nosso
gráfico de velocidade no tempo. Aqui, velocidade constante, Nesse gráfico bem simples de velocidade no tempo a gente
sabe como o gráfico de distância no tempo deve ser - ele é dado por aquela fórmula do Jardim de Infância:
distância = velocidade vezes tempo. Então o gráfico correspondente de distância no tempo vai ter esta cara,
com v sendo a inclinação da linha azul. Super fácil!
E aí a distância percorrida até o instante t é simplesmente o comprimento desse segmento amarelo.
Por outro lado, e essa é uma idéia crucial, a nossa distância também é igual à "área"
desse retângulo laranja. Péra, como assim? Bom,
esse retângulo tem altura v e largura t, então a sua área é v vezes t, que é igual à distância.
Então, qual é a resposta pra nossa pergunta original? Como a gente extrai a distância percorrida, acima,
do diagrama de velocidade no tempo de baixo? Bom, como nós vimos, no caso de velocidade constante a resposta é:
A distância percorrida é simplesmente a área sob a curva. Muito legal! E, na verdade,
isso acaba sendo verdade sempre. Pegue qualquer gráfico de velocidade por tempo,
e a distância percorrida vai ser exatamente a área sob a curva. Bom, qual é a resposta naquele caso simples
da linha reta que a gente acabou de analisar? Como eu disse antes, aqui a velocidade no instante t
é simplesmente a inclinação da linha, que é claramente a mesma pra todo valor de t. Mas e em geral?
Qual é a velocidade no instante t? Bom, ao contrário da reta, uma curva genérica como essa aqui não tem só
uma inclinação - a sua inclinação é diferente em instantes diferentes. E de fato, no instante t a
inclinação é igual à inclinação da reta tangente, que é essa linha que toca a curva neste ponto.
E a inclinação da reta tangente é diferente em pontos diferentes.
Bom, pra ir do gráfico de cima pro de baixo a gente simplesmente calcula a inclinação. Bacana.
Resumindo: o gráfico de cima mostra o que o odômetro do carro indica em cada instante, com o odômetro
marcando zero no instante inicial, e o gráfico de baixo mostra o que velocímetro diz em cada instante.
Além disso, o Mathologermóvel é um carro esporte antigo, com um velocímetro mecânico que indica velocidades negativas
quando o carro anda de ré, e o odômetro dele também pode andar pra trás, e pode indicar distâncias negativas
quando o Mathologermóvel anda de ré pra além da posição inicial - lembrem que ele marcava 0 no instante inicial.
Então: quando o Mathologermóvel anda de ré, a velocidade é negativa -
como aqui. Com essas convenções eu posso - pelo menos em teoria -
desenhar qualquer curva embaixo movendo o carro do jeito certo.
Legal, né? E com isso eu posso fazer o Matholorgemóvel fazer uns truques matemáticos bem impressionantes.
Por exemplo, eu posso mover o Mathologermóvel de forma que a função de baixo seja t ao quadrado.
Aqui, ó, a curva vermelha é t^2, e a curva azul indica a distância correspondente.
E aí eu posso calcular essa área sob t^2 simplesmente parando o carro em tempo t...
E nesse ponto aqui o odômetro vai indicar essa área. Fantástico, né? Dá pra calcular áreas
com um carro! O primeiro cálculo preciso dessa área complicada sob t^2
foi feito por Arquimedes, e naquela época isso foi uma grande descoberta.
Com esse mecanismo a gente pode fazer muito mais do que simplesmente calcular a área sob uma curva.
Em teoria isso serve pra qualquer curva - super poderoso! :) E essas coisas com as quais nós estamos brincando
têm aplicações além de traduzir entre velocidade e distância. Aqui está outro exemplo de
aplicação bacana desse brinquedo. Vamos traçar outra curva, mas dessa vez a de cima.
Agora quando eu movo o meu carro de forma que a distância percorrida seja a da curva de cima
o gráfico da velocidade de baixo vai ter essa cara aqui. A curva de cima pode vir de alguma
situação em que é importante identificar onde a curva tem picos e vales, ou mais precisamente,
onde estão os máximos e mínimos do gráfico. O Mathologermóvel pode simplificar essa tarefa.
Repare que cada pico no diagrama de cima corresponde a um zero na função de baixo, e a mesma coisa com os
vales. Por quê? Bom, porque nesses pontos específicos as tangentes são horizontais, e as inclinações são
zero. Em outras palavras: nesses momentos o carro não vai estar se movendo. Isso de traduzir a
função de cima na função de baixo e usar a tradução pra fazer coisas como encontrar picos e vales
da curva de cima encontrando os zeros da curva de baixo é o que é chamado de Cálculo Diferencial,
que é a primeira das coisas aterradores que o Silvanus P. Thompson menciona na capa do livro dele.
Traduzir funções de baixo pra funções de cima e usar essa tradução pra fazer coisas como medir áreas
sob a curva de baixo é chamado de Cálculo Integral, a segunda coisa aterradora no título do livro.
E a nossa fórmula do Jardim de Infância ali de cima mostra exatamente como traduzir entre
cima e baixo, entre distância e velocidade... né? Distância = velocidade vezes tempo,
uma coisa VEZES outra - isso é área, a nossa distância é a área sob a curva da velocidade! Por outro lado
velocidade = distância dividida por t, uma coisa DIVIDIDA por outra... isso é a inclinação, nossa velocidade
é a inclinação do gráfico da distância. De novo: distância é a área sob o gráfico da velocidade e velociade é
a inclinação do gráfico da distância. De cima pra baixo: inclinação. De baixo pra cima: área. Cima pra baixo: inclinação.
Baixo pra cima: área. Grave isso na sua memória. Essa relação tem um nome pomposo: é o
Teorema Fundamental do Cálculo. Fundamental no sentido de "A idéia mais importante
do Cálculo", "a alma do Cálculo". E é isso que ela é. Se você acompanhou tudo até agora você meio que já
pode dizer "Eu sei Cálculo". Bom, mais ou menos. :)
Nada do que eu disse até agora era especialmente aterrador, né? Claro que Cálculo tem bem mais coisas.
Em particular, pra tudo isso ser realmente útil a gente precisa ser capaz de fazer essas traduções,
de prefência sem precisar se preocupar com limites de velocidade, sinais vermelhos e motoristas idiotas. Né?
Se a função de cima for o seno qual vai ser a de baixo? Como a gente descobre isso? Bom, em
Cálculo Diferencial ir de cima pra baixo é super fácil pra um monte de famílias de
funções. Isso inclui todas as nossas funções favoritas como potências,
exponenciais, funções trigonométricas, e outras assim. Vamos ver isso com mais de perto.
Vamos nos afastar um pouco da idéia do carro e vamos chamar os eixos de x e y. Com isso todas as
funções que estamos considerando vão ser na variável x, como costumam fazer na escola.
Segundo, começando com uma função f em cima a função correspondente em baixo vai ser chamada
de a derivada de f, ou f'. O processo de traduzir a funcão de cima pra
função correspondente de baixo vai ser chamado de diferenciação... lembra de "Cálculo Diferencial"?
Agora vamos começar considerando que a função f é alguma das nossas funções favoritas. A f pode ser
uma função constante, ou alguma potência de x, uma função trigonométrica, coisas assim. Quais são
as derivadas dessas funções? Bom, vamos ver.
A derivada de uma função constante, ou seja, a sua inclinação, é 0, obviamente.
A derivada de uma potência de x é basicamente x elevado àquele expoente menos um.
Por exemplo pra n=5 a gente tem isso aqui. A derivada de x^5 é 5 vezes x^4. 5, 4, expoente menos um.
A derivada do seno é o cosseno. E a derivada do cosseno é menos seno. Bem limpinho.
E agora vem uma coisa bem surpreendente. O logaritmo natural, ln, parece uma função bem complicada,
mas ln'(x)=1/x, que é bem simples. A derivada da exponencial é a própria exponencial. São fórmulas super curtas!
E, como eu avisei lá atrás, a gente vai ver deduções dessas fórmulas numa animação no fim do vídeo.
Uma observação importante aqui é que essencialmente TODAS as funções na nossa lista têm
derivadas que também estão na nossa lista, com no máximo uma constante acrescentada na frente. Ou seja,
a gente vê mais ou menos as menos funções no alto e embaixo. Agora, começando com a nossa lista de "funções
simples" a gente pode construir mais um zilhão de funções mais complicadas adicionando, subtraindo,
multiplicando, dividindo... E compondo funções.
Claro que em Cálculo a gente também tem outros modos importantes e complicados de montar funções novas
a partir de funções mais básicas - por exemplo, podemos construir inversas de funções. Mas não
vamos nos preocupar com esses outros modos por enquanto, vamos nos concentrar nos mais básicos.
Os nossos modos básicos de montar funções novas a partir das antigas vão ser soma, subtração,
multiplicação, divisão e composição. Aqui tem um exemplo. A gente vai chamar essas funções
atômicas aqui, e mais as funções mais complicadas que podem ser construídas a partir delas, de
"funções elementares". É, eu sei, essa coisa aqui não parece muito elementar, mas ela
é elementar no sentido de que é construída a partir de funções atômicas usando só
os cinco modos elementares de combinar funções. Um dos motivos pelos quais Cálculo é um assunto
tão terrivelmente bonito e útil é que a derivada de qualquer função elementar também é uma função elementar,
e - e isso vai ser incrivelmente importante - não é difícil encontrar as derivadas delas...
é só um pouquinho mais difícil do que Álgebra básica. Dá pra ensinar um macaco a
encontrar derivadas de funções elementares! Como assim? Porquê?
Bom, digamos que a gente multiplica duas funções. Eu vou mostrar nas animações do final
que a derivada do produto delas tem que ser isso aqui.
Essa fórmula tem muito ruído, então vamos tirar os "x"s. Bem melhor, né?
Então, as duas funções f e g e as suas derivadas f' e g' são combinadas
usando duas das nossas operações básicas, soma e multiplicação.
E já que as funções f, g, f' e g' são todas elementares, essa combinação delas, essa soma de produtos aqui,
também é elementar. Certo? De novo:
se f e g e as suas derivadas são elementares então a derivada do produto f vezes g também é elementar.
Isso também é verdade pras derivadas da soma, da diferença, do quociente de duas funções, e pra composta delas.
Aqui estão as fórmulas, ou regras, correspondentes. Aqui: +, -, *, /, e composição.
Ok, agora deixa eu mostrar como tudo isso se traduz em que toda função elementar tem uma derivada elementar,
e em como encontrar essa derivada. Pra isso nós vamos primeiro criar uma outra
função elementar a partir desses quatro átomos. Primeiro a gente multiplica essas últimas duas funções,
depois a gente soma as duas primeiras, e finalmente a gente divide a função à esquerda pela função
à direita. Repara, nós usamos três operações pra criar essa função elementar aqui: primeira uma multiplicação,
depois uma adição, depois uma divisão. Agora a gente quer encontrar a derivada dessa função nova.
Pra isso nós vamos usar as regras que correspondem a essas três operações, mas em ordem inversa...
Primeiro a regra pro "/", depois a regra pro "+", depois e regra por "*". E à medida que a gente for
fazendo isso a gente também vai ter que inserir as derivadas dos quatro átomos à medida que a gente
passar por eles... e assim que o último átomo tiver sido processado, acabou. É realmente automático.
Agora pegue um copo de alguma coisa pra beber e aprecie a álgebra sendo feita no piloto automático e a música. :)
Você consegue ver como isso funciona em geral? O resultado é complicado, mas, e isso é que é importante,
você só precisa seguir sempre em frente! É totalmente automático.
Então, a gente começou com uma função elementar, foi aplicando as nossas regras,
que só envolviam operações elementares, e a gente gerou uma sequência de funções elementares,
que terminou numa derivada elementar. E, como eu falei, dá pra ensinar um macaco a calcular derivadas.
E lembra pra que isso servia? Derivar a distância como uma função do tempo
dá a velocidade como uma função do tempo. E derivar de novo dá a aceleração.
Se você encontrar uma função feroz numa floresta você pode reduzir a tarefa de encontrar os
máximos e mínimos da função a encontrar os zeros da derivada dela, e muito, muito mais.
Super útil, e super poderoso.
Ok, agora que eu demonstrei pra vocês que as derivadas dos nossos átomos e essas regras pra
encontrar derivadas se comportam como deveriam, então o Cálculo Diferencial, que é ir de cima pra
baixo, parece estar sob controle. E o Cálculo Integral, que é ir de baixo pra cima? Ou seja,
todos aqueles problemas de encontrar áreas? Bom, usando o Teorema Fundamental do Cálculo a gente ganha uma parte
da solução de graça. Péra, como assim?
Bom, digamos que a função de baixo é x^2. Qual é a função no topo?
Fácil! A gente só precisa encontrar a anti-derivada de x^2,
ou seja, a função cuja derivada é x^2. Pra isso vamos dar uma olhada na lista das derivadas
das nossas funções mais básicas - talvez a gente dê sorte.
A gente estava lendo lendo essa lista de cima pra baixo, mas a gente também pode ler ela de baixo pra cima, né?
Será que tem x^2 em alguma das caixinhas de baixo? Bom, sim, aqui.
Se a gente escolhe n=3 a gente consegue um x^2 na parte vermelha...
3 x^2, que é quase o que a gente quer. Bom, pra obter x^2 é só dividir
por 3 tanto em cima quanto embaixo - a gente pode fazer isso! :)
E aí, ok, a anti-derivada de x^2 is 1/3 x^3. E, se, por exemplo, nós estivermos interessados em
obter a área sob x^2 entre 0 e 1, essa área é simplesmente 1/3 x^3 calculado em 1, ou seja,
1/3 vezes 1^3, que dá 1/3. Em outras palavras: essa área é simplesmente 1/3 vezes a área desse quadrado 1x1.
Bem bonitinho - e bem surpreendente pra quem está vendo isto pela primeira vez. Porque é que uma área com uma forma
tão complicada teria uma valor tão simples? Então, idéia importantíssima: lendo a nossa tabela de derivadas
de baixo pra cima nos dá imediatamente as anti-derivadas de um monte de funções importantes - de graça.
Isso é super legal - e super útil. Mas você viu que tem umas lombadas no caminho?
Não? São lombadas pequenas, mas a gente vai ter que tomar cuidado com elas.
Vamos dar uma olhada nelas. Qual é a lombada número 1? Bom, vamos ver a primeira entrada da nossa tabela.
Qual é o problema com ela? Você consegue ver? Bom, a derivada da função constante é 0...
e isso quer dizer que TODA função constante é a anti-derivada da função constante 0.
0 não tem só uma anti-derivada - tem um número infinito de anti-derivadas! E, da mesma forma que a função
constante 0 tem um número infinito de anti-derivadas todas as outras funções também têm. Isso é bem óbvio
se você pensar um pouco... aqui, olha, a função azul é uma anti-derivada da função vermelha.
De novo, o que isso quer dizer é que pra todo valor de x a inclinação em cima
é igual ao valor embaixo. Mas e a função azul tem essa propriedade,
então toda translação vertical da função azul também tem. Óbvio, né? Todas essas funções são
anti-derivadas da função vermelha - todas elas têm as mesmas inclinações nos mesmos pontos.
De novo, a função azul é uma anti-derivada da função vermelha... E toda translação vertical da função azul também é.
Vamos conferir as contas. Por exemplo, essa entrada da tabela diz que a derivada do seno é o cosseno.
Transladar pra cima ou pra baixo que dizer adicionar alguma constante ao seno. Você consegue ver que o que
a gente vê aqui continua sendo verdade se a gente adiciona uma constante ao seno? Óbvio, né? É só
invocar a regra da soma, que diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Ta-daaaa, mesma derivada, legal! :) Ok, isso foi a lombada número 1, o fato de que funções têm um número infinito
de anti-derivadas, e que todas essas anti-derivadas são essencialmente a mesma função exceto por uma
constante aditiva que desloca o gráfico delas pra cima e pra baixo. Não foi muito difícil.
E a lombada número 2? Bom, pra esse cálculo da anti-derivada funcionar a função de cima tem que ser 0 em x=0.
Certo? Tem que ser 0 aqui. Porquê? Bom, se a gente desloca o limite direito da nossa área
de 1 pra 0, a área vai pra 0 e portanto a função do topo tem que ser 0 em 0. Ok...
mas nós temos todas essas outras anti-derivadas. Como é que a gente pode usar uma dessas anti-derivadas
pra obter a área? Não é difícil. Nós sabemos que a área é o comprimento desse segmento vertical amarelo...
mas esse comprimento é fácil de calcular - é só calcular a nossa antiderivada nas extremidadas esquerda e
direita da nossa área. Certo? O segmento amarelo é simplesmente a nossa anti-derivada calculada em 1
menos a anti-derivada calculada em 0. E aliás é bem fácil ver que isso funciona mesmo
quando a extremidade esquerda não é 0. Aqui a área entre 3/4 e 1 é simplesmente
a anti-derivada calculada em 1 menos a anti-derivada calculada em 3/4. E isso funciona
pra todas as anti-derivadas, incluindo a com que a gente começou. E aí essa área aqui é essa diferença,
que se a gente fizer as contas a gente vê que é 37/192. Se a sua vida dependesse de você conseguir
calcular essa área você estaria super feliz! :)
Voltando, ler a nossa tabela de baixo pra cima nos dá as anti-derivadas de algumas funções importantes de graça.
Em teoria a gente deveria conseguir muito mais aumentando a nossa tabela
até a gente obter uma tabela monstruosamente grande em cima com todas as funções elementares...
e como todas as funções elementares têm derivadas elementares,
as entradas correspondentes embaixo também vão ser funções elementares.
Lembra que nós estamos considerando que a tabela de cima tem infinitas entradas... e aí, quem sabe, talvez
a gente consiga ter TODAS as funções elementares na tabela de baixo.
Isso seria fantástico - porque aí se você me desafiasse a encontrar a antiderivada de alguma função f elementar
diabolicamente complicada ("f" de "fiendish") :) aí eu poderia procurar a f na parte da baixo da tabela
e encontrar a sua anti-derivada na parte de cima. Fácil, né? Bom, tem alguns "pequenos" problemas aí...
primeiro, acontece que existem algumas funções elementares que não aparecem na parte de baixo
da nossa tabela de derivadas - como essa função super famosa aqui, e^(-x^2), que é a função
que aparece na distribuição normal. Porque não? Esse f é só -x^2 composta
com a exponencial... praticamente um átomo composto com outro átomo.
Simples. Não é difícil derivar essa função elementar usando a nossa quinta regra, que é a regra da cadeia.
O nosso macaco não tem problema nenhum com isso. Mas não existe nenhuma inversa "elementar" da regra da cadeia
quando a gente precisa calcular antiderivadas. Putz! :) Existem inversas "elementares" pra regra da soma e da regra
da diferença, mas não pra regra da cadeia, pra regra do produto e pra regra do quociente...
E a ausência dessas "inversas elementares" faz com que algumas funções elementares não apareçam
na parte de baixo da nossa tabela, como essa nossa função maligna.
E na verdade, se a gente gerar aleatoriamente uma função elementar é quase certo que ela não vai aparecer
na parte da baixo da tabela, e que ela não vai ter uma antiderivada elementar. E tem um outro problema...
Por não termos essas três "inversas" também não é fácil determinar quais funções elementares
têm antiderivadas elementares a quais não tem.
Por exemplo, demonstrar que essa função elementar super famosa e importante não tem uma antiderivada elementar
é bizarramente difícil. E os problemas não terminam aí...
Mesmo que alguém garanta pra você que uma certa função elementar tem uma antiderivada elementar
geralmente não é nada fácil encontrar a antiderivada dela.
De qualquer forma, a técnica de usar a tabela ao contrário é incrivelmente útil e poderosa.
Esses problemas que eu acabei de descrever são reais, mas existem um monte de truques
pra contorná-los e pra encontrar antiderivadas. Mas isso vai ser assunto pra outro vídeo.
O núcleo "elementar" do Cálculo é essa lista de derivadas aí em cima e essa lista de regras
pra calcular derivadas à esquerda. Deixa eu passar um desafio pra pras pessoas que já sabem um pouco mais:
descubram que ajustes precisam ser feitos no que eu apresentei até agora se a gente incluir
tomar inversas de funções como uma sexta operação pra criar funções elementares novas.
Voltando, Cálculo tem um aspecto em especial que faz com que ele seja especialmente "user-friendly",
e esse aspecto é a notação, o jeito como a gente expressa o Cálculo em símbolos.
Essa notação quase milagrosa for introduzida por Gottfried Willhelm Leibniz e foi otimizada ao longo
de décadas. Essa notação nos permite ver o núcleo do Cálculo como uma extensão simples da Álgebra que a gente
aprende na escola, e o motivo pelo qual esse livro de Cálculo de mais de 100 anos ainda faz tanto sucesso é
o modo como ele usa a notação de Leibniz pra demonstrar as regras do Cálculo e pra calcular coisas.
Pra terminar, deixa eu fazer uma introdução breve aos elementos mais básicos da notação de Leibniz e
mostrar como ela é poderosa replicando o que o livro faz, como umas variações extras.
Demonstrar tudo aqui a partir do zero em 5 minutos. Lá vai. Calcular a derivada de uma função num ponto
significa calcular a inclinação dessa linha que toca, ou melhor, tangencia, a curva. À primeira vista
não é claro como a gente pode calcular essa inclinação só olhando pra nossa função... MAS é fácil
calcular a inclinação da linha que também corta o gráfico num segundo ponto.
E quando a gente a gente move o segundo ponto na direção do primeiro, como aqui... a inclinação da reta
que nós estamos considerando se aproxima da inclinação da reta tangente cada vez mais. E desse modo a gente
consegue ir se aproximando do valor que a gente realmente quer, que é o da inclinação da reta tangente. E, como sempre, a gente
calcula a inclinação como subida dividida pelo deslocamente horizontal. O que é o deslocamente horizontal? O incremento em x.
E a subida? O incremento em f. À medida que a gente faz o incremento em x tender a 0 o incremento em f também tenda a 0.
Nós queremos o limite da inclinação, e a gente escreve isso como df/dx. Numa primeira abordagem esse df/dx é só uma
abreviação pro limite que eu acabei de descrever, e o df em cima e o dx embaixo não parecem fazer sentido por si mesmos...
Mas esse limite funciona de tal forma que em muitos contextos
nós podemos fazer contas com essas d-diferenças como se elas fossem números
ou variáveis algébricas... e fazendo isso a gente consegue todas as nossas regras pra derivadas.
Seria natural começar pela regra da soma, que é bem simples, mas acho que vai ser mais divertido e impressionante
começar direto pela regra do produto, que é bem mais complicada. O que é esta derivada? Bom, em termos
dessas d-diferenças esquisitas ela é isso aqui. E qual é a diferença d(fg) em cima? Bom, começando pelo produto fg
quando a gente aumenta x por dx, f vai ser aumentado por df... e g vai ser aumentado de dg.
E aí a diferença em laranja vai ser simplesmente a diferença entre estes dois produtos. Ok,
é agora é só deixar a álgebra funcionar no piloto automático. Expandir o produto, essas coisas. Assista e se maravilhe.
Agora lembre que no processo de fazer o limite o dg faz o papel da diferença do g, que
vai pra 0, e aí a gente pode terminar as nossas contas assim...
Ta-daaa, eu acabei de mostrar a regra do produto! Legal, né? E agora, como eu prometi, eu vou mostrar pra vocês
uma animação com as demonstrações de todas as outras regras do Cálculo Diferencial e as derivadas de todas as funções atômicas.
E depois disso eu vou terminar mostrando alguns outros casos em que a notação de Leibniz
faz milagres que muitos de vocês vão achar familiares, mas que eu não vou poder abordar direito hoje.
Esses outros cases vão incluir o segundo ingrediente principal da notação de Leibniz, que é
o sinal de integral, aquele S esticado que é o símbolo que o Leibniz usa pra antiderivada. Divirtam-se! :)
A derivada de uma função composta com outra. O que é isso?
Quando a variável x varia dx a função g varia dg. E dg é igual a isso aqui, certo? Agora,
quando g varia dg, a função f varia df. E df? Bom, por um lado f é isto aqui, e por outro lado
df is a variação total que nós estamos querendo calcular. Vamos ligar o piloto automático de novo.
Lindo, né? Agora vamos colocar os sinais de "linha", ou "primo",
pra obter a fórmula no formato que eu mostrei antes.