Oi! Hoje é 17/dez/2021, a data tá aqui
no cantinho, e
eu tou fazendo esse vídeo aqui pra
explicar um detalhe que pode ser
importante para várias pessoas. A gente
está trabalhando nesse PDF daqui,
chamado "Diagramas de numerozinhos",
e uma das primeiras coisas que ele
explica é que a gente vai fazer
diagramas de numerozinhos
interpretando cada numerozinho como
a altura de um poste, e a gente vai ligar
o topo de cada poste aos topos dos
postes vizinhos usando cabos que são
segmentos de reta.
Deixa eu explicar o que isso quer
dizer. Peraí, deixa eu ver... eu vou
pegar um outro PDF antigo que a gente tá
usando nos exercícios, e a gente tá
tratando os problemas dele que têm figuras
e gabarito como exercícios. Então tem
alguns exercícios que a gente tá fazendo
que têm gabarito com figura e outros que
não têm, e que vocês vão ter que descobrir
a cara deles sozinhos.
Então, a gente tá usando
exercícios desse PDF aqui, do semestre
passado...
e dois dos exercícios dão essas figuras
daqui, ó: um dá uma pirâmide e o outro dá
uma cruz. Essa pirâmide daqui o diagrama
de numerozinhos dela é o seguinte...
aqui tá o eixo x, aqui tá o eixo y...
o eixo x tá aqui, aqui tá o y...
aqui tá o eixo z, e
aqui a altura é 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0...
e aqui começa a pirâmide. Em
todos esses lugares daqui a altura é 1,
e aqui no topo da pirâmide a altura é 2.
Esse zeros a gente pode interpretar como
querendo dizer que os postes aqui têm altura
0, aqui também tá cheio de postes de altura 0,
ó...
esse 1 quer dizer que tem um poste de altura
1 aqui, aqui também, aqui também, aqui
também, etc, e esse 2 quer dizer que
aqui tem um poste de altura 2. E depois
a gente liga os postes nos postes vizinhos,
então por exemplo esse ponto daqui, esse
poste de altura 0, o topo dele, que tá no chão,
é ligado nesses quatro outros topos
daqui... esses três aqui tão no chão e
esse aqui tá na altura 1.
E
em geral se a gente só fizer isso, só
ligar cada poste nos postes vizinhos a
gente consegue bastante informação útil...
e vocês vão ver que muitas vezes os
programas que fazem gráficos usam essas
aproximações por quadradinhos - deixa eu
mostrar uma figura pra vocês...
cadê? cadê? Ah, aqui.
Aqui a gente tem uma figura bem maior,
com um monte de coisa que eu não
conseguiria calcular na mão, porque tem
umas exponenciais, talvez tenha uma raiz
quadrada, sei lá... e isso aqui é um
diagrama de numerozinhos com os
postes ligados uns nos outros, e os
quadrados coloridos de acordo com a
altura deles... então se eu
mudar a perspectiva pra cá vocês vão
ver que todo mundo que tem altura 0...
aliás, desculpa, altura -10, é preto, depois
eles vão ficando azuis até esse ponto
daqui, em que eles ficam vermelhos, e aí
quando a gente segue para cá, até aqui, a
gente vê que os quadradinhos que têm
altura 10 tão amarelos. Então tem um
espectro de cores aqui, que é um bom modo de
visualizar a altura de cada coisa, só que
seria impossível desenhar isso que na mão,
né, a gente teria que ter, sei lá, uma caixa
de lápis de cor caríssima que ocuparia uma
estante inteira e nenhum de nós tem
dinheiro para isso. Então, reparem que
que a gente consegue
ver os quadradinhos aqui, a gente
consegue ver as curvas que eles fazem...
por exemplo, aqui a gente vê que a curva
sobe, depois desce, não sei que... dá pra
gente ver um bocado de coisa com isso.
Nos exercícios que a gente tá
fazendo
a gente vai ter um problema, que é o
seguinte...
se a gente ligar
esse poste aqui...
qdz, não, desculpa, dxô falar
de outro jeito... a gente não sabe
direito o que que tem no miolo desse
quadrado, e tem duas escolhas naturais pra
gente desenhar o que tem aí dentro,
e elas vão fazer muita diferença...
então, se eu ligo
esse poste a esse eu vou ter
um cabo na diagonal, na diagonal desse
quadrado daqui, que vai da altura 0 pra
altura 1, e
gente consegue ver que no ponto médio
desse cabo a altura é 0.5.
mas se eu tivesse escolhido ligar a
a outra diagonal - ao invés de ligar essa
diagonal se eu tivesse escolhido ligar essa,
poste daqui estaria todo no chão...
ele vai de um poste... desculpa, esse
cabo estaria todo no chão, ele vai de um
poste de altura 0 para um outro poste de
altura 0, e aí o ponto médio desse
cabo tem altura 0 também, porque
a média de 0 e 0 é 0...
então a altura do ponto médio
dessa diagonal daqui é 1/2 e a altura do
ponto médio dessa diagonal daqui é 0 -
uma tá bém mais alta que a outra.
E isso vai fazer diferença nas
nossas figuras.
Eu consegui fazer um desenho do que
acontece quando a gente faz uma pirâmide
parecida com essa, só que eu pouco maior,
e em um dos lugares ao invés da gente
desenhar o cabo do meio nessa direção -
o cabo na diagonal nessa direção -
a gente desenha ele
nessa direção aqui. Deixa eu tentar
mostrar o desenho para vocês.
Desenho nada, é uma figura 3D chiquérrima.
Então, tá aqui, e se a gente puser ela
nessa posição a gente vê, peraí...
que esse é o ponto (0,0) - vamos
tentar ignorar a coordenada z um
pouquinho... Esse é o ponto (1,0), esse
é o ponto (2,0), etc, esse é o ponto (1,1),
esse é o ponto (2,2), etc...
e essas diagonais daqui são os
cabos extras que eu vou desenhar...
e eu escolhi desenhar eles aqui porque em
todos os outros lugares
os quadrados vão virar retângulos em 3D
que são planos, e aqui eles virariam umas
coisas tortas... virariam tetraedros,
na verdade.
Então, se a gente começa a mudar o
ângulo dessa curva pra a gente ver ela
desse jeito a gente vê que nesse
pedaço dela em que eu desenhei o
cabo na diagonal num sentido "errado"
o que tá acontecendo aqui é que
tem um trecho...
metade desse quadrado daqui virou um
triângulo horizontal e metade virou um
outro triângulo que sobe bem rápido pra cá.
Tá, então isso faz bastante diferença, se
a gente olhar pra pirâmide de perfil
a gente vê que tem algo bem errado aí,
que ela não tem cara de pirâmide, tem um
degrau onde não deveria estar...
E... deixa eu voltar aqui pras figuras...
Então lembrem que a gente está
calculando as alturas só nos pontos com
coordenadas inteiras. Então a gente sabe
que todo mundo aqui tem altura 0, todo
mundo aqui tem altura 1... não, desculpa,
todo mundo aqui tem altura 1...
aqui tem altura 2... e a gente
poderia calcular as alturas nos outros
pontos
usando as fórmulas, porque quando
eu dei essa pirâmide daqui eu disse:
a fórmula que dá a altura dessa superfície
é essa aqui, é uma fórmula complicada com
mínimos e máximos... façam desenhos
de determinadas sub-funções,
tentem visualizar que que isso
quer dizer, e aí façam um diagrama de
numerozinhos e tentam desenhar a pirâmide.
Algumas pessoas devem ter conseguido
desenhar as funções mais básicas,
como essa daqui, que daria isso...
algumas pessoas devem ter conseguido
desenhar isso com facilidade, e elas
devem ter prática suficiente nessas
coisas pra saber que aqui a gente tá
subindo com...
bom, isso aqui tem coeficiente angular
constante, isso aqui também tem, aqui a gente
tá subindo a 45 graus, aqui a gente tá
descendo a 45 graus, etc... então algumas
pessoas sabem visualizar tudo isso
mais ou menos rápido,
e conseguem ver rapidamente que...
sem nem precisar fazer muita conta, no
olhômetro mesmo, que aqui a altura é 0.5,
aqui também é 0.5, aqui também é 0.5, etc...
então elas conseguem ver que todo mundo
aqui tem altura 1,
esse é o único ponto com altura 2,
todos esses pontos aqui têm altura 0,
e esses pontos aqui têm altura 0.5, tá...
no computador a gente pode pedir pra ele
pra calcular todos os pontos e
fazer uma figura bem mais precisa, mas
como a gente tá fazendo tudo à mão e
de cabeça a gente não pode fazer isso, a
gente tem que otimizar os nossos esforços
de alguma forma.
Então em princípio vocês tem que tentar
"adivinhar", entre aspas, qual é o
comportamento dessa figura, da
pirâmide, dentro desse quadrado
daqui, que é um dos quadrados complicados,
e dentro desse daqui, e aí tem vários
métodos possíveis... ou vocês calculam
a altura desses pontos do meio, pra aí
deduzir qual é o comportamento, ou vocês
de alguma outra forma deduzem que todo
mundo nessa reta daqui tem altura z=0.5,
ou vocês simplesmente pensam: que que
acontece se eu chutar? Então, tem dois
chutes naturais, um é imaginar que eu pus
um cabo na diagonal vindo daqui para cá,
ou eu pus um cabo na diagonal vindo daqui
para cá, e eu vou escolher qual os
dois é o meu preferido...
Então vamos ver o que acontece quando a
gente faz os dois chutes diferentes.
Então vamos ao Grande Truque de Chutar e
Testar, que é o que eu sempre recomendo em
Cálculo 2 e Cálculo 3...
façam os dois chutes, primeiro suponham
que o cabo é nessa direção, depois suponham
que ele é nessa direção, vejam com que
cara a figura fica... ou seja: testem...
e aí vejam se algum deles é mais razoável
que o outro...
e aí talvez vocês consigam fazer tudo
isso de cabeça, visualizando a coisa de
cabeça, talvez precisem de papel
quadriculado, uns palitos, sei lá,
umas coisas pra fazer um 3D improvisado
na mesa de vocês...
sei lá, tem todos esses métodos, mas
é isso, né, a gente tá tentando, como
sempre, descobrir superfícies a partir de
pouca informação, e aí tem vários chutes
razoáveis e a gente quer testar esses
chutes e ver qual dos dois é mais razoável...
se vocês fizerem o teste com o
cabo em diagonal aqui e outro
cabo em diagonal aqui vocês vão ter uma
figura bem esquisita - vocês vão ter
uma figura em que aqui a gente anda na
horizontal, aqui a gente sobe bem rápido,
aqui a gente anda na horizontal de novo,
aqui a gente sobe bem rápido, e ao invés
dela ser uma pirâmide
ela é feita de um monte de outras faces
mais complicadas... sei lá, tentem
imaginar isso, tá, eu não fiz a figura no
computador, é algo parecido com essa figura
que eu mostrei aqui...
cadê? Deixa eu ver...
parecido com essa,
só que a gente vai ter vários lugares
com essas coisas esquisitas em que uma
parte do quadrado tá horizontal e a
outra parte sobe bem rápido.
Então é isso. Tentem imaginar... e
imaginação é que nem músculo, à medida que
a gente vai exercitando ela fica mais
poderosa...
e assim que vocês tiverem mais prática
com esse tipo de figura vai ficar muito
mais fácil entender umas coisas de
derivadas parciais,
visualizar umas fórmulas do Bortolossi,
umas fórmulas do Silvanus Thompson, etc...
entre treinem, façam figuras,
mandem, etc. É isso por enquanto.