% (find-LATEX "2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C2-mudanca-de-variaveis"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2024-2-C2-mudanca-de-variaveis")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
%               file:///tmp/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C2-mudanca-de-variaveis" "2" "c2m242mv" "c2mv")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.defs-mv»		(to "defs-mv")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.links-cederj»	(to "links-cederj")
% «.links-leithold»	(to "links-leithold")
% «.links-miranda»	(to "links-miranda")
% «.links-thomas»	(to "links-thomas")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-mv»  (to ".defs-mv")
\input 2023-2-C2-mv-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-mv-defs.tex")



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m242mvp 1 "title")
% (c2m242mva   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.2}

\bsk

Aulas 20 a 23: mais mudanças de variáveis

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m242mvp 2 "links")
% (c2m242mva   "links")
% (c2m241mvp 2 "links")
% (c2m241mva   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.35}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% «links-cederj»  (to ".links-cederj")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj-c1v1" "17" "17." "substituição simples")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj-c1v1" "25" "18." "substituição simples - continuação")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj-c1v1" "29"       "ou escrevemos todo o integrando com a variável t")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj-c1v1" "43" "20." "de funções trigonométricas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj-c1v1" "66" "Os três casos típicos")
\par \Ca{CederjC2V2p19}  (p.17) 17. Substituição simples
\par \Ca{CederjC2V2p27}  (p.25) 18. Substituição simples - continuação
\par \Ca{CederjC2V2p31}  (p.29) ou escrevemos todo o integrando com a variável $t$...
\par \Ca{CederjC2V2p35}  (p.33) 19. Integração por partes
\par \Ca{CederjC2V2p45}  (p.43) 20. Integração de potências e produtos de funções trigonométricas
\par \Ca{CederjC2V2p55}  (p.53) 21. Integração de potências e produtos de funções trigonométricas
\par \Ca{CederjC2V2p65}  (p.63) 22. Substituição trigonométrica
\par \Ca{CederjC2V2p68}  (p.66) Os três casos típicos
\par \Ca{CederjC2V2p103} (p.101) 25. Aulas de exercícios

\msk

Links da aula 8:
\par \Ca{2hQ21} Quadros da aula 8 (4a, 12/set/2023)
\par \Ca{StewPtCap5p39} (p.360) 5.4 Integrais Indefinidas
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição
\par \Ca{StewPtCap7p5} (p.420) 7.1 Integração por Partes
\par \Ca{2gT45} (2023.1) Mudança de variável: exemplo
\par \Ca{2gT46} (2023.1) Mudança de variável: caixinhas

\msk

Mudança de variável na integral definida (MVD):

% (c2m221atisp 12 "substituicao-figura")
% (c2m221atisa    "substituicao-figura")
\Ca{2eT131} (t-ints, p.12) Uma figura pra mudança de variável

\Ca{2fT49} Meu PDF de 2022.2 sobre mudança de variáveis

\bsk

Mudança de variável na integral indefinida (MVI):

% (c2m221atisp 14 "exemplo-contas")
% (c2m221atisa    "exemplo-contas")
\par \Ca{2eT133} (t-ints, p.14) Um exemplo com contas

% (c2m221atisp 16 "exemplo-contas-2")
% (c2m221atisa    "exemplo-contas-2")
\par \Ca{2eT135} (t-ints, p.16) Outro exemplo com contas

% «links-leithold»  (to ".links-leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "296" "5.2.1. Regra da cadeia para a antidif")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "537" "9.2. Integração de potências de seno e")
\par \Ca{Leit5p13} (p.296) A regra da cadeia para a antidiferenciação
\par \Ca{Leit9p10} (p.537) Integração de potências de sen e cos

% «links-miranda»  (to ".links-miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "189" "6.2 Integração por Substituição")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "192" "Exemplo 6.6")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "193" "Não podemos")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "196" "Exercícios")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "255" "8.3 Integrais Trigonométricas")
\par \Ca{Miranda189} 6.2. Integração por substituição
\par \Ca{Miranda192} Exemplo 6.6
\par \Ca{Miranda193} Não podemos
\par \Ca{Miranda196} Exercícios
\par \Ca{Miranda255} 8.3 Integrais Trigonométricas

\msk

% «links-thomas»  (to ".links-thomas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "370" "Theorem 5: The substitution rule")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "371" "Example 3")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "376" "Substitution in definite integrals")
\par \Ca{Thomas55p11} (p.376) Theorem 5: Substitution in definite integrals
\par \Ca{Thomas55p3} (p.370) Theorem 5: The substitution rule

\msk

Vídeo do Reginaldo:

\url{https://www.youtube.com/watch?v=PTCUjrEBc4g}


}\anothercol{
}}

\newpage

% «introducao»  (to ".introducao")
% (c2m232mvp 3 "introducao")
% (c2m232mva   "introducao")

{\bf Introdução}

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}

\scalebox{0.525}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{

O Stewart explica o truque da mudança de variável na integral usando
{\sl variáveis dependentes} e {\sl diferenciais}. Por exemplo, se $x$
é a variável independente, $u$ é a variável dependente, e a relação
entre elas é $u=g(x)=2x$, então temos
%
$$\textstyle
  \frac{du}{dx}
  \;=\; \ddx u
  \;=\; \ddx g(x)
  \;=\; \ddx 2x
  \;=\; 2
$$

e:
%
$$\sa  {2x}{\und{2x}{u}}
  \sa   {2}{\und{2}{\frac{du}{dx}}}
  \sa{2 dx}{\und{\ga{2}dx}{du}}
  \int \sen(\ga{2x}) \ga{2 dx}
  \;=\;
  \intu{\sen(u)}
$$

Dê uma olhada:

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27  10" "variável dependente")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 228" "Diferenciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 360" "5.4 Integrais Indefinidas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 369" "5.5 A Regra da Substituição")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 372" "para as Integrais Definidas\")")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 420" "7.1 Integração por Partes")
\par \Ca{StewPtCap1p5} (p.10) variável dependente
\par \Ca{StewPtCap3p75} (p.228) Diferenciais
\par \Ca{StewPtCap5p39} (p.360) 5.4 Integrais Indefinidas
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição

\msk

Só que contas com variáveis dependentes e diferenciais são difíceis de
justificar formalmente! A gente viu como expandir contas curtas em que
certos passos têm justificativas complicadas em contas maiores mas em
que cada passo tem uma justificativa bem simples... se a gente tenta
fazer isso com a igualdade entre integrais acima a gente acaba
descobrindo que as regras pra variáveis dependentes e diferenciais são
bem complicadas.



}\anothercol{

Então eu vou fazer o seguinte. A regra da mudança de variável na
integral definida, que o Stewart explica nesta página,

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 372" "para as Integrais Definidas\")")
\par \Ca{StewPtCap5p51} (p.372) ...para as integrais definidas

\ssk

é bem fácil de demonstrar usando só o \ga{[TFC2]}.

\msk

Eu vou usar estas
quatro definições aqui -- onde \ga{[MVD]} é a fórmula pra mudança de
variável na integral definida, \ga{[MVI]} é a fórmula pra mudança de
variável na integral indefinida, \ga{[MVD4]} é uma demonstração da
\ga{[MVD]} com 4 igualdades \ga{[MVI3]} é uma demonstração da
\ga{[MVI]} com 3 igualdades,
%
$$\scalebox{0.8}{$
  \begin{array}{lcl}
    \ga{[MVD]}  &=& \P{\ga{MVD}} \\
    \ga{[MVI]}  &=& \P{\ga{MVI}} \\
    \ga{[MVD4]} &=& \P{\ga{MVD4}} \\ \\[-9pt]
    \ga{[MVI3]} &=& \P{\ga{MVI3}} \\ \\[-9pt]
  \end{array}
  $}
$$

e a gente vai ver que dá pra tratar algumas destas fórmulas e
demonstrações como abreviações pras outras, e que dá pra expandir as
versões mais abreviadas em outras em que os passos são mais fáceis de
justificar.


}}


\newpage

%  _   _                                           _       
% | | | |_ __ ___     _____  _____ _ __ ___  _ __ | | ___  
% | | | | '_ ` _ \   / _ \ \/ / _ \ '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \ 
% | |_| | | | | | | |  __/>  <  __/ | | | | | |_) | | (_) |
%  \___/|_| |_| |_|  \___/_/\_\___|_| |_| |_| .__/|_|\___/ 
%                                           |_|            
% «um-exemplo»  (to ".um-exemplo")
% (c2m232mvp 5 "um-exemplo")
% (c2m232mva   "um-exemplo")

% (c2m231mvp 5 "um-exemplo")
% (c2m231mva   "um-exemplo")
% (c2m221atisp 14 "exemplo-contas")
% (c2m221atisa    "exemplo-contas")
% (c2m221atisp 16 "exemplo-contas-2")
% (c2m221atisa    "exemplo-contas-2")
% \Ca{2eT133} (t-ints, p.14) Um exemplo com contas
% \Ca{2eT135} (t-ints, p.16) Outro exemplo com contas

{\bf Um exemplo}

\sa{2 cos(3x+4) full}{
  \begin{array}{l}
  \D \Intx{a}{b}{2 \cos(3x+4)}                                 \\[8pt]
  = \;\; \D \Intu{3a+4}{3b+4} {2 (\cos u) · \frac13}           \\[8pt]
  = \;\; \D \frac23 \Intu{3a+4}{3b+4} {\cos u}                 \\[8pt]
  = \;\; \D \frac23 \left(\difu{3a+4}{3b+4} {(\sen u)} \right) \\[8pt]
  = \;\; \D \frac23 \left(\difx{a}{b} {(\sen (3x+4))} \right)  \\
  \end{array}
}
\sa{2 cos(3x+4) thin}{
  \begin{array}{l}
  \D \intx{2 \cos(3x+4)}                 \\[8pt]
  = \;\; \D \intu {2 (\cos u) · \frac13} \\[8pt]
  = \;\; \D \frac23 \intu{\cos u}        \\[8pt]
  = \;\; \D \frac23 \sen u               \\[8pt]
  = \;\; \D \frac23 \sen (3x+4)          \\
  \end{array}
}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{

Isto aqui é um exemplo de como contas com mudança
de variável costumam ser feitas na prática:
%
$$\scalebox{0.95}{$
  \ga{2 cos(3x+4) thin}
  $}
$$

É necessário indicar em algum lugar que a relação
entre a variável nova e a antiga é esta: $u=3x+4$.

\msk

Compare as contas acima, que não têm nem os limites de integração nem
as barras de diferença, com as da coluna da direita:

}\anothercol{

  % 
  $$\scalebox{0.8}{$
    \ga{2 cos(3x+4) full}
    $}
  $$

\bsk

Nós vamos tratar a versão à esquerda como uma abreviação pra versão da
direita. Note que pra ir da versão ``completa'' pra ``abreviada'' é
super fácil, é só apagar os limites de integração e as barras de
diferença -- mas pra ir da versão ``abreviada'' pra ``completa'' a
gente precisa reconstruir os limites de integração e as barras de
diferença, o que é bem mais difícil.

}}

\newpage

% «caixinhas»  (to ".caixinhas")
% (c2m231mvp 6 "caixinhas")
% (c2m231mva   "caixinhas")

{\bf Caixinhas de anotações}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{

  O meu truque preferido pra não me enrolar nas contas de uma mudança
  de variável é fazer uma caixinha de anotações como essa aqui,
  %
  $$\bmat{
    u = 3x+4 \\
    \frac{du}{dx} = \ddx(3x+4) = 3 \\
    \frac{du}{dx} = 3 \\
    \ColorRed{du = 3 \, dx} \\
    \ColorRed{dx = \frac13 \,du} \\
    }
  $$

  na qual: a) a primeira linha diz a relação entre a variável antiga e
  a variável nova -- que nesse exemplo é $u=3x+4$, b) todas as outras
  linhas da caixinha são consequências dessa primeira, e c) dentro da
  caixinha a gente permite gambiarras como:
  %
  $$\ColorRed{dx = 42\,du}$$

}\anothercol{

  Durante quase todo o curso de C2 a gente vai tratar esse tipo de
  coisa como uma igualdade entre expressões incompletas -- mais ou
  menos como se a gente estivesse dizendo isso aqui:
  %
  $$+20) = /99]$$

  Na caixinha à esquerda eu colori as linhas que são gambiarras em
  vermelho.

  \msk

  Repare que se a gente soubesse usar diferenciais a gente saberia dar
  um sentido pras igualdades que envolvem diferenciais, e que eu
  marquei em vermelho... mas a gente não sabe, então a gente vai
  considerar que elas são gambiarras que a gente só vai entender
  direito em Cálculo 3.

  \bsk

  Aqui tem um exemplo grande:

  \Ca{2fT112} (C2-P1, p.5) Questão 1: gabarito


}}


\newpage

% «horriveis-1»  (to ".horriveis-1")
% (c2m231mvp 7 "horriveis-1")
% (c2m231mva   "horriveis-1")

{\bf Os detalhes horríveis}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

    Nesta página aqui -- \Ca{Miranda193} -- o Miranda diz ``Não
    podemos calcular uma integral que possui tanto um $x$ e um $u$
    nela'', mas ele não explica porquê... se em
    % 
    $$\Intx{a}{b}{2 \cos(u)}$$
    % 
    esse $u$ fosse uma abreviação para $3x+4$ essa integral acima
    seria equivalente à do início do slide anterior, né?... \frown

    \msk

    Neste slide eu vou tentar contar o que eu sei sobre como o método
    da substituição funciona -- {\sl pra convencer vocês de que não
      vale a pena vocês tentarem entender os detalhes agora}.

    \msk

    Toda mudança de variável numa integral definida é consequência da
    igualdade (13) do slide ``Contas (2)''. Por exemplo, compare:
    %
    $$\begin{array}{rcl}
      \D \Intx{a}{b}{g (h(x))h'(x)} &\eqnp{13}& \D \Intu{h(a)}{h(b)}{g (u)} \\
      \D \Intx{a}{b}{2 \cos(3x+4)}  & =       & \D \Intu{3a+4}{3b+4}{2(\cos u)·\frac13} \\
      \end{array}
    $$

}\anothercol{

  A gente pode tentar descobrir qual é a substituição certa passo a
  passo, começando pelas funções mais simples.... eu faria assim:
  olhando pra parte direita eu chuto que $g(u) = 2(\cos u)·\frac13$;
  olhando pra parte esquerda eu chuto que $h(x) = 3x+4$, e daí
  $h'(x) = 3$; aí eu testo esta substituição aqui,
  %
  $$(13) \bmat{g(u):=2(\cos u)·\frac13 \\
               h(x):=3x+4 \\
               h'(x):=3 \\
              }
  $$

  e vejo que o resultado dela é {\sl equivalente} (mas não igual!!!) à
  última igualdade da coluna da esquerda -- não preciso nem substituir
  o $a$ e o $b$.

  \bsk

  \standout{Preciso reescrever este slide!}

}}

\newpage

% «horriveis-2»  (to ".horriveis-2")
% (c2m231mvp 8 "horriveis-2")
% (c2m231mva   "horriveis-2")

{\bf Os detalhes horríveis (2)}

\scalebox{0.62}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

Estas contas aqui,
%
$$\begin{array}{rcl}
  u &=& x^4 \\
  \frac{du}{dx} &=& 4x^3 \\
  du &=& \frac{du}{dx} dx \\
     &=& 4x^3 \, dx \\
  \end{array}
$$

fazem sentido se a gente considerar que:

\msk

1. $x$ é uma variável independente,

2. $u$ é uma variável dependente, com $u=u(x)=x^4$,

3. $dx$ é uma variável independente,

4. $du$ é uma variável dependente, com $du=\frac{du}{dx}dx$,

5. estas regras sobre diferenciais valem: \Ca{Leit4p61} (p.275),

6. estas regras sobre variáveis dependentes valem: \Ca{Stew14p53} (p.951),

7. o $dx$ num $\intx{f(x)}$ funciona como uma diferencial.

\msk

Eu já perguntei pra vários matemáticos fodões que eu conheço --
incluindo os desenvolvedores do Maxima, na mailing list -- onde eu
posso encontrar alguma formalização das regras de como lidar com
variáveis dependentes, diferenciais e mudança de variável na integral
indefinida, e todos eles me responderam a mesma coisa: ``{\sl não faço
  a menor idéia! Eu sei algumas das regras mas não todas, e não sei
  onde você pode procurar...}'' \frown

\msk

Moral: \standout{é melhor a gente tratar o $du = 4x^3 \, dx$ como uma
  gambiarra...}

}\anothercol{
}}

\newpage

% «mais-anotacoes»  (to ".mais-anotacoes")
% Sem Tudo: (c2m241mvp 9 "mais-anotacoes")
%           (c2m241mva   "mais-anotacoes")
% 2hT73: (c2m232mvp 8 "mais-anotacoes")
%        (c2m232mva   "mais-anotacoes")
% 2gT49: (c2m231mvp 9 "mais-anotacoes")
%        (c2m231mva   "mais-anotacoes")

\def\S{\senθ}
\def\C{\cosθ}

{\bf Caixinhas com mais anotações}

\scalebox{0.8}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{

$$\begin{array}{rcl}
  \intth{(\S)^4(\C)^7} &=& \intth{(\S)^4(\C)^6\C}       \\
                       &=& \intth{(\S)^4((\C)^2)^3\C}   \\
                       &=& \intth{(\S)^4(1-(\S)^2)^3\C} \\
                       &=& \ints {   s^4(1-   s^2)^3  } \\
  \end{array}
$$

$$\begin{array}{rcl}
  \intth{(\S)^4(\C)^7} &=& \intth{(\S)^4(\C)^6\C}       \\
                       &=& \ints {   s^4(1-   s^2)^3  } \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

\vspace*{0.25cm}

$$\bmat{\senθ = s \\
        \frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
        ds = \cosθ \,dθ \\
        \cosθ \,dθ = ds \\
       }
$$

\bsk

$$\bmat{\senθ = s \\
        \frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
        ds = \cosθ \,dθ \\
        \cosθ \,dθ = ds \\
        (\C)^2 = 1-(\S^2) \\
        (\C)^2 = 1-s^2 \\
        (\C)^6 = (1-s^2)^3 \\
       }
$$

}}


\newpage

% «mais-anotacoes-2»  (to ".mais-anotacoes-2")
% (c2m231mvp 10 "mais-anotacoes-2")
% (c2m231mva    "mais-anotacoes-2")

{\bf Caixinhas com mais anotações (2)}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{7.5cm}\firstcol{

$$\begin{array}{rcl}
  \D \ints{s \sqrt{1-s^2}} &=& \D \intth{(\S) \sqrt{1-(\S)^2} \C} \\
                           &=& \D \intth{(\S) \sqrt{(\C)^2} \C} \\
                           &=& \D \intth{(\S) (\C) \C} \\
                           &=& \D \intth{(\S) (\C)^2} \\
  \end{array}
$$

$$\begin{array}{rcl}
  \D \ints{s \sqrt{1-s^2}} &=& \D \intth{(\S) (\C) \C} \\
                           &=& \D \intth{(\S) (\C)^2} \\
  \end{array}
$$

$$\begin{array}{rcl}
  \D \ints{\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}} &=& \D \intth{\frac{1}{\C} \C} \\
                                   &=& \D \intth{1} \\
                                   &=& θ \\
                                   &=& \arcsen s \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

\vspace*{0.25cm}

$$\bmat{s = \senθ \\
        \frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
        ds = \cosθ \,dθ \\
       }
$$

\vspace*{3cm}

$$\bmat{s = \senθ \\
        \frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
        ds = \cosθ \,dθ     \\
        s^2 = (\S)^2        \\
        1 - s^2 = 1-(\S)^2  \\
        1 - s^2 = (\C)^2    \\
        \sqrt{1 - s^2} = \C \\
        \arcsen s = \arcsen \sen θ \\
        \arcsen s = θ \\
        θ = \arcsen s \\
       }
$$

}}


\newpage

%   ____                  _   __  ____     ______  
%  / ___|__ _ ___  ___   / | |  \/  \ \   / /  _ \ 
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%                                                  
% «caso-1-MVD»  (to ".caso-1-MVD")
% (c2m232mvp 10 "caso-1-MVD")
% (c2m232mva    "caso-1-MVD")
% (c2m232mvda   "caso-1")

{\bf Caso particular 1 (MVD)}

\ga{reset}
\ga{caso sen(2x)*2}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$\ga{expand MVD}$

}\anothercol{
}}

\newpage

%   ____                  _   __  ____     _____ 
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%                                                
% «caso-1-MVI»  (to ".caso-1-MVI")
% (c2m232mvp 11 "caso-1-MVI")
% (c2m232mva    "caso-1-MVI")
% (c2m232mvda   "caso-1")

{\bf Caso particular 1 (MVI)}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{

\vspace*{-0.2cm}

$\ga{expand MVI}$

}\anothercol{
}}



\newpage

%   ____                  ____    __  ____     ______  
%  / ___|__ _ ___  ___   |___ \  |  \/  \ \   / /  _ \ 
% | |   / _` / __|/ _ \    __) | | |\/| |\ \ / /| | | |
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%  \____\__,_|___/\___/  |_____| |_|  |_|  \_/  |____/ 
%                                                      
% «caso-2-MVD»  (to ".caso-2-MVD")
% (c2m232mvp 12 "caso-2-MVD")
% (c2m232mva    "caso-2-MVD")
% (c2m232mvda   "caso-2")

{\bf Caso particular 2 (MVD)}

\ga{reset}
\ga{caso sen(x^2)*2x}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$\ga{expand MVD}$

}\anothercol{
}}


\newpage

%   ____                  ____    __  ____     _____ 
%  / ___|__ _ ___  ___   |___ \  |  \/  \ \   / /_ _|
% | |   / _` / __|/ _ \    __) | | |\/| |\ \ / / | | 
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%                                                    
% «caso-2-MVI»  (to ".caso-2-MVI")
% (c2m232mvp 13 "caso-2-MVI")
% (c2m232mva    "caso-2-MVI")
% (c2m232mvda   "caso-2")

{\bf Caso particular 2 (MVI)}

\ga{reset}
\ga{caso sen(x^2)*2x}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$\ga{expand MVI}$

}\anothercol{
}}



\newpage

%   ____                  _____   __  ____     _____ 
%  / ___|__ _ ___  ___   |___ /  |  \/  \ \   / /_ _|
% | |   / _` / __|/ _ \    |_ \  | |\/| |\ \ / / | | 
% | |__| (_| \__ \ (_) |  ___) | | |  | | \ V /  | | 
%  \____\__,_|___/\___/  |____/  |_|  |_|  \_/  |___|
%                                                    
% «caso-3-MVI»  (to ".caso-3-MVI")
% (c2m232mvp 14 "caso-3-MVI")
% (c2m232mva    "caso-3-MVI")
% (c2m232mvda   "caso-3")

{\bf Caso particular 3 (MVI)}

\ga{reset}
\ga{caso senth^3 costh^5}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$\ga{expand MVI-}$

}\anothercol{
}}




\newpage

% (c2m231mvp 3 "contas-1")
% (c2m231mva   "contas-1")

% (c2m231mvp 4 "contas-2")
% (c2m231mva   "contas-2")



\newpage

% «macaco-de-novo»  (to ".macaco-de-novo")
% (c2m231mvp 11 "macaco-de-novo")
% (c2m231mva    "macaco-de-novo")

{\bf O macaco, de novo}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{

Estas duas igualdades são falsas
%
$$\begin{array}{rcl}
  \sqrt{1-(\S)^2} &=& \cos θ \\
  \arcsen \sen θ  &=& θ \\
  \end{array}
$$

quando $θ=π$... confira!

\msk

Mas elas são verdadeiras para $θ=0$, e para todo $θ$ num certo
intervalo em torno do 0 que eu não quero contar qual é.

\msk

Lembre quem em Cálculo 2 a gente vai primeiro fazer as contas como o
macaco que faz todas as contas como se tudo funcionasse, e a gente vai
deixar pra checar os detalhes, como se $θ$ está no intervalo certo, só
no final, depois de termos feito as contas todas.

}\anothercol{

  O Leithold é super cuidadoso nas contas e nesses detalhes como os
  domínios da funções e o intervalo onde mora o $θ$, mas a maioria dos
  outros livros de Cálculo 2 que eu conheço não são -- eles são meio
  porcalhões com esses detalhes... e a gente também vai ser, senão não
  vai dar tempo de cobrir o suficiente da matéria.

}}



\newpage

% «intervalos»  (to ".intervalos")
% (c2m231mvp 13 "intervalos")
% (c2m231mva    "intervalos")

{\bf O truque dos intervalos}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

    Dê uma olhada nas primeiras páginas daqui:

    \ssk

    \Ca{Leit5p3} 5.1. Antidiferenciação

    \msk

    O Leithold usa expressões como ``num intervalo $I$'', ``para todo
    $x∈I$'' e ``definidas no mesmo intervalo'' um montão de vezes. O
    truque de usar sempre intervalos resolve esse esse problema daqui
    super bem:

    \ssk

    \Ca{2fT24} Meme: expanding brain, versão ln

    \bsk

    A minha definição preferida pra integral indefinida,

    \ssk

    \Ca{2fT23} Outra definição pra integral indefinida

    \ssk

    também resolve o problema -- de um modo bem mais simples, e que é
    suficiente pro tipo de conta que a gente tem que treinar em
    Cálculo 2.


}\anothercol{
}}



\newpage

%  __  ____     _____ 
% |  \/  \ \   / /_ _|
% | |\/| |\ \ / / | | 
% | |  | | \ V /  | | 
% |_|  |_|  \_/  |___|
%                     
% «MVI»  (to ".MVI")
% (c2m232mvp 17 "MVI")
% (c2m232mva    "MVI")
% (c2m231mvp 14 "MVI")
% (c2m231mva    "MVI")

{\bf MVI}

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\P#1{\left(#1\right)}
\sa{MVA H short}{
   \D \intx{f'(g(x))g'(x)}
   \;=\;
   \D \intu{f'(u)}
  }
\sa{MVA H}{
   \D \intx{f'(g(x))g'(x)}
   \;=\;
   f(g(x))
   \;=\;
   f(u)
   \;=\;
   \D \intu{f'(u)}
  }
\sa{MVA Hund}{
   \und{ \D\ddx\P{ \intx{f'(g(x))g'(x)}} }{f'(g(x))g'(x)}
   \;=\;
   \und{ \D\ddx f(g(x)) }{f'(g(x))g'(x)}
   \;=\;
   \und{ \D\ddx \und{f(u)}{f(g(x))} }{f'(g(x))g'(x)}
   \;=\;
   \und{ \D\ddx \und{\und{\intu{f'(u)}}{f(u)}}{f(g(x))} }{f'(g(x))g'(x)}
  }


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{

% (c2m222mvp 4 "justificando-cada")
% (c2m222mva   "justificando-cada")
% \Ca{2fT52} Justificando cada igualdade

    A nossa fórmula pra mudança de variável na integral indefinida vai
    ser esta aqui:
    %
    $$\ga{MVI} \;=\; \P{\ga{MVA H short}}$$

    Dá pra demonstrar ela deste jeito,
    %
    $$\ga{MVA H}$$

    onde a primeira e a terceira igualdades são consequências do
    $\ga{II}$, e a igualdade do meio só vale se tivermos $u=g(x)$.

    \msk

    Os livros demonstram a $\ga{MVI}$ de um jeitos que eu nunca achei
    muito convincentes -- ou fingindo que tudo é óbvio, ou ``derivando
    tudo em $x$''. As contas abaixo me ajudaram a entender o que
    acontece quando a gente ``deriva tudo em $x$'':

    % \Ca{Miranda189} 6.2: Integração por substituição

    $$\ga{MVA Hund}$$

}\anothercol{
}}


\newpage

% (c2m222strigp 3 "exercicio-1")
% (c2m222striga   "exercicio-1")
% (c2m241mvp 19 "MVI")
% (c2m241mva    "MVI")

{\bf Simplificando raizes quadradas}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Na aula de 16/maio/2023 você aprendeu -- na prática, não vendo uma
definição formal -- o que é transformar uma integral mais difícil
numa integral mais fácil, que nós sabemos integrar...

\ssk

a) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}}$.

Transforme $\intx{\sqrt{1-(5x)^2}}$ em algo que você sabe integrar.

\ssk

b) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}}$ em algo que você sabe integrar.

\ssk

c) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}^{\,k}}$ para
qualquer valor de $k$.

Transforme $\intx{{\sqrt{1-(5x)^2}}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.

\ssk

d) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.

\ssk

e) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.

\ssk

f) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.

}\anothercol{

\ssk

g) Entenda este truque aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \sqrt{3^2 - x^2} &=& \sqrt{3^2 - 3^2 \frac{1}{3^2} x^2} \\
                   &=& \sqrt{3^2 - 3^2(\frac x3)^2} \\
                   &=& \sqrt{3^2(1 - (\frac x3)^2)} \\
                   &=& \sqrt{3^2}\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
                   &=& 3\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
  \end{array}
$$

Use ele -- com adaptações, óbvio -- pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}}$ em algo que você sabe integrar.

\ssk

h) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe integrar.

\ssk

i) Use ele pra transformar $\intx{\sqrt{a^2-x^2}}$ em algo que você
sabe integrar.

\ssk

j) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.

\ssk

j) Use ele pra transformar $\intx{x^{20} \sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em
algo que você sabe integrar.


}}





\newpage

{\bf Exercício 3}


\scalebox{0.54}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Slogan:

\begin{quote}

  {\sl Toda integral que pode ser resolvida por uma sequência de mudanças
  de variável pode ser resolvida por uma mudança de variável só.}

\end{quote}

Durante a quarentena eu dei algumas questões de prova sobre este
slogan. Dê uma olhada:

\ssk

{\footnotesize

% (c2m202p1p 4 "questao-2")
% (c2m202p1a   "questao-2")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=4}

% (c2m202p1p 9 "gabarito-2")
% (c2m202p1a   "gabarito-2")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=9
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=9}

% (c2m211p1p 15 "gabarito-2-2020.2")
% (c2m211p1a    "gabarito-2-2020.2")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf#page=15
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf\#page=15}

}

\msk

a) Resolva a integral abaixo usando uma mudança de variável só (dica:
$u=g(h(x))$):
%
$$\intx{f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)} = \Rq$$

b) Resolva a integral acima usando duas mudanças de variável. Dica:
comece com $u=h(x)$.

\bsk
\bsk

O Miranda e o Leithold preferem fazer em um passo só certas mudanças
de variáveis que eu prefiro fazer em dois ou três passos. Entenda o
exemplo 8.1 do Miranda -- o da seção 8.4, na página 264...

\ssk

{\scriptsize

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "8.4 Substituição Trigonométrica")
% (find-dmirandacalcpage 263 "8.4 Substituição Trigonométrica")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#263
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#263}

}

}\anothercol{

% a

  c) ...e descubra como resolver a integral dele fazendo duas mudanças
  de variáveis ao invés de uma só. A segunda mudança de variável vai
  ser $s = \sen θ$, e a primeira eu prefiro não contar qual é -- tente
  usar as idéias do exercício 1 pra descobrir qual ela tem que ser.


\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

\standout{Ainda não atualizei este slide!}


}}



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