% (find-LATEX "2023-2-C2-justificativas.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C2-justificativas.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C2-justificativas.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2023-2-C2-justificativas.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C2-justificativas.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-justificativas.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-justificativas.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C2-justificativas"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C2-justificativas.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2023-2-C2-justificativas")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2023-2-C2-justificativas.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-justificativas.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-justificativas.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C2-justificativas.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C2-justificativas.pdf
%               file:///tmp/2023-2-C2-justificativas.pdf
%           file:///tmp/pen/2023-2-C2-justificativas.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2-justificativas.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C2-justificativas" "C2" "c2m232just" "c2ju")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.como-estudar»	(to "como-estudar")
% «.example-6»		(to "example-6")
% «.por-com-1»		(to "por-com-1")
% «.por-com-2»		(to "por-com-2")
% «.integracao-1»	(to "integracao-1")
% «.integracao-2»	(to "integracao-2")
%
% «.djvuize»		(to "djvuize")



% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c2m232just" "2023-2-C2-justificativas")
% (code-eevvideo      "c2m232just" "2023-2-C2-justificativas")
% (code-eevlinksvideo "c2m232just" "2023-2-C2-justificativas")
% (find-c2m232justvideo "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima}              % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L V = nil                           -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L dofile "Piecewise1.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

\sa {[RPot]}{\CFname{RPot}{}}
\sa{[RProd]}{\CFname{RProd}{}}
\sa   {[RC]}{\CFname{RC}{}}
\sa  {[RMC]}{\CFname{RMC}{}}
\sa{[RSoma]}{\CFname{RSoma}{}}
\sa {[TFC2]}{\CFname{TFC2}{}}
\sa{[TFC2?]}{\CFname{TFC2?}{}}
\sa{[TFC2L]}{\CFname{TFC2L}{}}
\def\P#1{\left( #1 \right)}

%L run_options("-test", "StewPtCap3p5")
\pu


\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m232justp 1 "title")
% (c2m232justa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2023.2}

\bsk

Aulas 3, 4 e 5: contas com justificativas

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

%  _     _       _        
% | |   (_)_ __ | | _____ 
% | |   | | '_ \| |/ / __|
% | |___| | | | |   <\__ \
% |_____|_|_| |_|_|\_\___/
%                         
% «links»  (to ".links")

{\bf Links}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

\par \Ca{2hQ5} Quadros da aula 3 (4a 30/ago)
\par \Ca{2hQ7} Quadros da aula 4 (2a 04/set)
\par \Ca{2hQ10} Quadros da aula 5 (3a 05/set)

\msk

\par \Ca{CalcEasy11:35} até 12:47: vídeo sobre o macaco derivador

\msk

\par \Ca{StewPtCap3p5} (p.158) Derivada de uma função constante
\par \Ca{StewPtCap3p5} (p.158) A Regra da Potência
\par \Ca{StewPtCap3p7} (p.160) A Regra da Potência (versão geral)
\par \Ca{StewPtCap3p8} (p.161) A Regra da Multiplicação por Constante
\par \Ca{StewPtCap3p8} (p.161) A Regra da Soma
\par \Ca{StewPtCap3p14} (p.167) A Regra do Produto
\par \Ca{Stew2p31} (p.131) Example 6

\msk

\par \Ca{Visaud01:00} até 02:52 ``é óbvio sim''
\par \Ca{Visaud37:17} até 46:06 reduzir e aumentar o nível de detalhe
\par \Ca{Visaud48:53} até o final: vários níveis de detalhe lado a lado

\msk

}\anothercol{

Links da aula 4 (2023sep04):
\par \Ca{CalcEasy11:35} até 20:22: o macado derivador
\par \Ca{2gT33} Material do semestre passado
\par \Ca{StewPtCap3p26} (p.179) 3.4 A regra da cadeia
\par \Ca{StewPtCap5p33} (p.354) O TFC2
\par \Ca{StewPtCap5p36} (p.357) Exercícios sobre TFC2 (fazer do 19 ao 28)

\msk

Links da aula 6 (2023sep06):
\par \Ca{StewPtCap5p23} (p.344) Propriedades da integral definida
\par \Ca{StewPtCap5p39} (p.360) Integral indefinida
\par \Ca{StewPtCap5p40} (p.361) Propriedades da integral indefinida
\par \Ca{StewPtCap5p44} (p.365) Faça os exercícios 2 e 5 daqui
\par \Ca{StewPtCap7p5} (p.420) Integração por partes




}}


\newpage

%   ____                                  _             _            
%  / ___|___  _ __ ___   ___     ___  ___| |_ _   _  __| | __ _ _ __ 
% | |   / _ \| '_ ` _ \ / _ \   / _ \/ __| __| | | |/ _` |/ _` | '__|
% | |__| (_) | | | | | | (_) | |  __/\__ \ |_| |_| | (_| | (_| | |   
%  \____\___/|_| |_| |_|\___/   \___||___/\__|\__,_|\__,_|\__,_|_|   
%                                                                    
% «como-estudar»  (to ".como-estudar")
% (c2m232justp 3 "como-estudar")
% (c2m232justa   "como-estudar")

{\bf Como estudar funções}

\scalebox{0.42}{\def\colwidth{13.5cm}\firstcol{

Você lembra de quando você aprendeu a fazer ``contas com letras'' na
escola? Você levou centenas de horas de estudo e desespero -- né? --
pra entender como é que letras como $x$ e $y$ podiam fazer o papel de
números desconhecidos cujos valores você quer descobrir e como é que
letras como $a$ e $b$ podiam fazer o papel de números quaisquer... e
você teve que reler muitas vezes tudo que você já tinha visto sobre
soma, multiplicação, etc, pra entender essas operações de um jeito
novo -- antes elas eram operações que somavam e multiplicavam números
conhecidos e concretos, depois elas passaram a ser operações que
também eram capazes de somar e multiplicar expressões com letras...

Agora a gente vai ter que fazer algo parecido, mas agora pra funções.
Em algumas situações as letras $f$ e $g$ vão representar funções que a
gente quer descobrir, em outras situações $f$ e $g$ vão representar
funções ``quaisquer'' (abstratas), em outras situações $f$ e $g$ vão
representar funções que a gente conhece os gráficos delas mas que a
gente não tem uma expressão ``algébrica'' que calcule os valores
delas... e pra entender isso direito você vai ter que reler tudo que
você já viu sobre operações com funções pra entender aquelas operações
de um jeito novo, como operações que funcionam tanto pra expressões em
que $f$ e $g$ são funções ``concretas'' como nos casos em que $f$ e
$g$ são funções ``abstratas''...

Muita gente acha que essa coisa de lidar com funções abstratas ``é
simples'', no sentido de que um dia você vai ler a explicação certa ou
assistir o vídeo certo e {\sl plim}, de um momento pro outro você vai
se transformar em outra pessoa, vai deixar de ser a pessoa que achava
isso difícil e vai virar a pessoa que acha isso fácil. NÃO É ASSIM...
pra lidar com funções ``abstratas'' você vai ter que aprender centenas
de detalhes, vai ter que aprender eles aos poucos, e eu nem sei quais
são os livros que têm explicações mais ou menos completas sobre isso
-- eu tentei perguntar pra vários amigos matemáticos, por exemplo
nessa série de reuniões onlines aqui, \Ca{Sapt}, e ninguém sabe onde
tem material sobre isso... em teoria isso é algo anterior a
Pré-Cálculo/Cálculo 0, que as pessoas deveria aprender no Ensino Médio
mas que hoje em dia não aprendem mais.

}\anothercol{

Dicas:

\begin{enumerate}

\item Os músculos mentais que você exercita quando você lê algo ou
  assiste alguém falando são diferentes dos que você exercita quando
  você escreve as suas idéias, quando você relê o que você escreveu, e
  quando você reescreve de um jeito melhor o que você escreveu. O
  slogan/historinha sobre isto está aqui: \Ca{2gT22}.

\item O melhor modo de estudar é escrever todas as suas hipóteses --
  até porque na maior parte dos casos só quem vai ler elas são os
  personagens (a) e (b) da Dica 7: \Ca{2gT4}.

\item Leia o post da Ana Letícia de Fiori: \Ca{2gT18}.

\item Tem um trecho do vídeo sobre slogans que é sobre indicar graus
  de certeza -- leia as legendas dele. Ele vai de \Ca{Slogans33:35}
  até 36:36.

\item Os livros de Cálculo 2 não definem precisamente a notação
  matemática que eles usam -- você vai ter que aprender a notação
  certa por tentativa e erro, escrevendo as suas idéias do melhor modo
  que você conseguir e depois comparando a sua notação com as dos
  livros. Veja o slide \Ca{2gT7} sobre ``A linguagem formal de Cálculo
  2'' e depois leia todos os slides de \Ca{2gT5} até \Ca{2gT10}.

\item Pra muitas as pessoas a parte mais difícil do curso de C2 é a
  parte é que elas têm que aprender a usar ``partículas em
  português'', como ``se'', ``então'', ``queremos que'', ``vamos
  testar se'', etc... e se elas não souberem usar essas partículas
  direito as contas delas vão ficar não só ambíguas como também
  erradas. Não deixe pra aprender isso na última hora, porque NÃO DÁ!
  Comece a prestar atenção nas partículas em português desde agora!!!
  As dicas pra P2 do semestre passado estão aqui, \Ca{2gT126}, e tem
  um exemplo de uso dessas partículas no anexo da P2, aqui:
  \Ca{2gT138}.

\end{enumerate}

}}


\newpage

%  _____                           _         __   
% | ____|_  ____ _ _ __ ___  _ __ | | ___   / /_  
% |  _| \ \/ / _` | '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \ | '_ \ 
% | |___ >  < (_| | | | | | | |_) | |  __/ | (_) |
% |_____/_/\_\__,_|_| |_| |_| .__/|_|\___|  \___/ 
%                           |_|                   
%
% «example-6»  (to ".example-6")
% (c2m232justp 4 "example-6")
% (c2m232justa   "example-6")

\def\veja#1{\text{Veja \Ca{#1}}}
\def\porcom#1#2{\text{Por \ga{#1} com $#2$}}

{\bf ``Example 6''}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{

De: \Ca{Stew2p31} (p.131)

$$\begin{array}{rcl}
  % Versão do Example 6, sem detalhes:
  F(x)  &=& (6x^3)(7x^4) \\
  F'(x) &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3) \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
        &=& 168x^6 + 126x^6 \\
        &=& 294x^6 \\
  \end{array}
$$

$$\begin{array}{rcll}
  \ga{[RC]}    &=& \P{\ddx c = 0}                                       & \veja{StewPtCap3p5} \\
  \ga{[RPot]}  &=& \P{\ddx x^n = nx^{n-1}}                              & \veja{StewPtCap3p7} \\
  \ga{[RMC]}   &=& \P{\ddx(cf(x)) = c\ddx f(x)}                         & \veja{StewPtCap3p8} \\
  \ga{[RSoma]} &=& \P{\ddx(f(x)+g(x)) = \ddx f(x) + \ddx g(x)}          & \veja{StewPtCap3p5} \\
  \ga{[RProd]} &=& \P{\ddx(f(x)g(x)) = f(x) \ddx g(x) + g(x) \ddx f(x)} & \veja{StewPtCap3p14} \\
  \end{array}
$$

$$\begin{array}{rcll}
  F(x)  &=& (6x^3)(7x^4) \\
  F'(x) &=& ((6x^3)(7x^4))' \\
        &=& \ddx((6x^3)(7x^4)) \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3) & \porcom{[RProd]}{f(x)=6x^3, g(x)=7x^4} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6\ddx x^3 & \porcom{[RMC]}{c=6, f(x)=x^3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6·3 x^2   & \porcom{[RPot]}{n=3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)(18x^2)    \\
        &=& (6x^3)·7\ddx x^4 + (7x^4)(18x^2)    & \porcom{[RMC]}{c=7, f(x)=x^4}  \\
        &=& (6x^3)·7·4x^3 + (7x^4)(18x^2)       & \porcom{[RPot]}{n=4} \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + 126x^6 \\
        &=& 168x^6 + 126x^6 \\
        &=& 294x^6 \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}


\newpage

%  ____                                    _ 
% |  _ \ ___  _ __    ___ ___  _ __ ___   / |
% | |_) / _ \| '__|  / __/ _ \| '_ ` _ \  | |
% |  __/ (_) | |    | (_| (_) | | | | | | | |
% |_|   \___/|_|     \___\___/|_| |_| |_| |_|
%                                            
% «por-com-1»  (to ".por-com-1")
% (c2m232justp 5 "por-com-1")
% (c2m232justa    "por-com-1")

\def\steq{\standout{$=$}}
\def\st#1{\standout{$#1$}}
\def\St#1{\standout{$\mathstrut#1$}}

{\bf O que quer dizer ``Por $\ldots$ com $\ldots$''?}

\scalebox{0.48}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$$\begin{array}{rcll}
  F(x)  &=& (6x^3)(7x^4) \\
  F'(x) &=& ((6x^3)(7x^4))' \\
        &=& \st{\ddx((6x^3)(7x^4))} \\
    &\steq& \st{(6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3)} & \porcom{[RProd]}
                                                    {\st{f(x)}=\st{6x^3}, \st{g(x)}=\st{7x^4}} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6\ddx x^3 & \porcom{[RMC]}{c=6, f(x)=x^3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6·3 x^2   & \porcom{[RPot]}{n=3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)(18x^2)    \\
        &=& (6x^3)·7\ddx x^4 + (7x^4)(18x^2)    & \porcom{[RMC]}{c=7, f(x)=x^4}  \\
        &=& (6x^3)·7·4x^3 + (7x^4)(18x^2)       & \porcom{[RPot]}{n=4} \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + 126x^6 \\
        &=& 168x^6 + 126x^6 \\
        &=& 294x^6 \\
  \end{array}
$$

Compare: nós definimos $\ga{[RProd]}$ como esta igualdade,
%
$$\ga{[RProd]} \;\;=\;\; \P{\ddx(f(x)g(x)) = f(x) \ddx g(x) + g(x) \ddx f(x)}$$

e se substituirmos $f(x)$ por $6x^3$ e $g(x)$ por $7x^4$ na igualdade
$\ga{[RProd]}$ nós obtemos isto aqui,
%
$$\begin{array}{lcll}
  \ga{[RProd]}         &=& \P{\D \ddx(f(x)g(x)) = f(x) \ddx g(x) + g(x) \ddx f(x)} \\
  \ga{[RProd]} \bmat{\st{f(x)} := \st{6x^3} \\
                     \st{g(x)} := \st{7x^4} \\
                    }
                       &=& \P{\st{\D \ddx((6x^3)(7x^4))}
                              \;\st{=}\;
                              \st{(6x^3) \ddx (7x^4) + (7x^4) \ddx (6x^3)}} \\
  \end{array}
$$

que é exatamente a igualdade que eu marquei lá em cima...

}\anothercol{
}}



\newpage

%  ____                                    ____  
% |  _ \ ___  _ __    ___ ___  _ __ ___   |___ \ 
% | |_) / _ \| '__|  / __/ _ \| '_ ` _ \    __) |
% |  __/ (_) | |    | (_| (_) | | | | | |  / __/ 
% |_|   \___/|_|     \___\___/|_| |_| |_| |_____|
%                                                
% «por-com-2»  (to ".por-com-2")
% (c2m232justp 7 "por-com-2")
% (c2m232justa   "por-com-2")

{\bf O que quer dizer ``Por $\ldots$ com $\ldots$''? (2)}


\scalebox{0.48}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$$\begin{array}{rcll}
  F(x)  &=& (6x^3)(7x^4) \\
  F'(x) &=& ((6x^3)(7x^4))' \\
        &=& \ddx((6x^3)(7x^4)) \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)\ddx(6x^3) & \porcom{[RProd]}
                                                    {f(x)=6x^3, g(x)=7x^4} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6\ddx x^3 & \porcom{[RMC]}{c=6, f(x)=x^3} \\
        &=& (6x^3)\ddx(7x^4) + (7x^4)·6·3 x^2   & \porcom{[RPot]}{n=3} \\
        &=& (6x^3)\st{\ddx(7x^4)} + (7x^4)(18x^2) \\
    &\steq& (6x^3)·\st{7\ddx x^4} + (7x^4)(18x^2) & \porcom{[RMC]}{\st{c}=\st{7},\st{f(x)}=\st{x^4}} \\
        &=& (6x^3)·7·4x^3 + (7x^4)(18x^2)       & \porcom{[RPot]}{n=4} \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + (7x^4)(18x^2) \\
        &=& (6x^3)(28x^3) + 126x^6 \\
        &=& 168x^6 + 126x^6 \\
        &=& 294x^6 \\
  \end{array}
$$

Lembre que a ``regra da multiplicação por constante'' é esta igualdade
aqui,
%
$$\ga{[RMC]} \;\;=\;\; \P{\ddx(cf(x)) = c\ddx f(x)}$$

e se substituirmos $c$ por 7 e $f(x)$ por $x^4$ nela nós obtemos isto
aqui,
%
$$\begin{array}{lcll}
  \ga{[RMC]}                 &=& \P{\D \ddx(cf(x)) = c\ddx f(x)} \\
  \ga{[RMC]} \bmat{\st{c} := \st{7} \\
                   \st{f(x)} := \st{x^4} \\
                    }
                       &=& \P{\st{\D\ddx(7x^4)}
                              \;\st{=}\;
                              \st{\D 7 \ddx x^4}} \\
  \end{array}
$$

O `$\steq$' logo acima desta frase justifica a parte que muda no
`$\steq$' lá de cima!

}\anothercol{
}}

\newpage

%  ___       _                                         _ 
% |_ _|_ __ | |_ ___  __ _ _ __ __ _  ___ __ _  ___   / |
%  | || '_ \| __/ _ \/ _` | '__/ _` |/ __/ _` |/ _ \  | |
%  | || | | | ||  __/ (_| | | | (_| | (_| (_| | (_) | | |
% |___|_| |_|\__\___|\__, |_|  \__,_|\___\__,_|\___/  |_|
%                    |___/                               
%
% «integracao-1»  (to ".integracao-1")
% (c2m232justp 7 "integracao-1")
% (c2m232justa   "integracao-1")

{\bf Integração por chutar-e-testar}

\def\eqnp      {\eqnpfull}

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

Por exemplo, digamos que queremos resolver isto aqui:
%
$$\Intx{0}{\pi/2}{\cos 4x} = \ColorRed{?}$$

Eu começaria por estes chutes,
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[TFC2]} &=& \P{\D\Intx{a}{b}{f'(x)} = \difx{a}{b}{f(x)}} \\
  \ga{[TFC2]}\bmat{f (x):=42} &=& \P{\D\Intx{a}{b}{f'(x)} = \difx{a}{b}{42}} \\
  \ga{[TFC2]}\bmat{f'(x):=99} &=& \P{\D\Intx{a}{b}{99} = \difx{a}{b}{f(x)}} \\
  \ga{[TFC2]}\bmat{f(x):=\sen x \\ f'(x):=\cos x}
    &=& \P{\D\Intx{a}{b}{\cos x} = \difx{a}{b}{(\sen x)}} \\
  \ga{[TFC2]}\bmat{f(x):=\sen 4x \\ f'(x):=4\cos 4x}
    &=& \P{\D\Intx{a}{b}{4\cos 4x} = \difx{a}{b}{(\sen 4x)}} \\
  \ga{[TFC2]}\bmat{f(x):=\frac14 \sen 4x \\ f'(x):=\cos 4x}
    &=& \P{\D\Intx{a}{b}{\cos 4x} = \difx{a}{b}{\P{\frac14 \sen 4x}}} \\
  \ga{[TFC2]}\bmat{f(x):=\frac14 \sen 4x \\ f'(x):=\cos 4x \\ a:=0 \\ b:=π/2}
    &=& \P{\D\Intx{0}{π/2}{\cos 4x} = \difx{0}{\pi/2}{\P{\frac14 \sen 4x}}} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

...e depois eu faria isto aqui:

$$\begin{array}{lcl}
  \D\Intx{0}{π/2}{\cos 4x}
    &\eqnp1& \difx{0}{\pi/2}{\P{\D\frac14 \sen 4x}} \\
    &=& \P{\D\frac14 \sen 4\frac{π}{2}} - \P{\D\frac14 \sen 4·0} \\
    &=& \P{\D\frac14 \sen 2π} - \P{\D\frac14 \sen 0} \\
    &=& \P{\D\frac14 · 0} - \P{\D\frac14 · 0} \\
    &=& 0 \\
  \end{array}
$$

A justificativa pra igualdade `$\eqnp1$' acima é a última substituição

da coluna da esquerda. Eu raramente escrevo todas as substituições

da coluna da esqueda explicitamente, mas elas são {\sl praticamente}

o método que eu uso pra encontrar a substituição certa de cabeça...

}}



\newpage

%  ___       _                                         ____  
% |_ _|_ __ | |_ ___  __ _ _ __ __ _  ___ __ _  ___   |___ \ 
%  | || '_ \| __/ _ \/ _` | '__/ _` |/ __/ _` |/ _ \    __) |
%  | || | | | ||  __/ (_| | | | (_| | (_| (_| | (_) |  / __/ 
% |___|_| |_|\__\___|\__, |_|  \__,_|\___\__,_|\___/  |_____|
%                    |___/                                   
%
% «integracao-2»  (to ".integracao-2")
% (c2m232justp 8 "integracao-2")
% (c2m232justa   "integracao-2")

{\bf Integração por chutar-e-testar (2)}

\def\eqnp{\eqnpfull}
\def\rq{\ColorRed{?}}

\scalebox{0.4}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

Na verdade o método que eu uso pra encontrar a substituição

que resolve esta integral definida,
%
$$\Intx{0}{\pi/2}{\cos 4x} = \ColorRed{?}$$

é este aqui...
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[TFC2]}  &=& \P{\D\Intx{a}{b}{f'(x)} = \difx{a}{b}{f(x)}} \\
  \ga{[TFC2L]} &=& \P{\D\Intx{a}{b}{f'(x)} } \\
  \ga{[TFC2L]}\bmat{f (x):=42} &=& \P{\D\Intx{a}{b}{f'(x)} } \\
  \ga{[TFC2L]}\bmat{f'(x):=99} &=& \P{\D\Intx{a}{b}{99} } \\
  \ga{[TFC2L]}\bmat{f(x):=\sen x \\ f'(x):=\cos x}
    &=& \P{\D\Intx{a}{b}{\cos x} } \\
  \ga{[TFC2L]}\bmat{f(x):=\sen 4x \\ f'(x):=4\cos 4x}
    &=& \P{\D\Intx{a}{b}{4\cos 4x} } \\
  \ga{[TFC2L]}\bmat{f(x):=\frac14 \sen 4x \\ f'(x):=\cos 4x}
    &=& \P{\D\Intx{a}{b}{\cos 4x} } \\
  \ga{[TFC2L]}\bmat{f(x):=\frac14 \sen 4x \\ f'(x):=\cos 4x \\ a:=0 \\ b:=π/2}
    &=& \P{\D\Intx{0}{π/2}{\cos 4x} } \\
  \ga{[TFC2]}\bmat{f(x):=\frac14 \sen 4x \\ f'(x):=\cos 4x \\ a:=0 \\ b:=π/2}
    &=& \P{\D\Intx{0}{π/2}{\cos 4x} = \difx{0}{\pi/2}{\P{\frac14 \sen 4x}}} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

...ou seja, eu começo encontrando a substituição certa.

Tem vários jeitos de definir o que é a ``substituição certa''.

Um jeito é dizer que a substituição que resolve esta problema aqui
%
$$\Intx{0}{\pi/2}{\cos 4x} = \ColorRed{?}$$

é a que obedece isto:
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[TFC2L]}\bmat{f(x):=\rq \\ f'(x):=\rq \\ a:=\rq \\ b:=\rq}
    &=& \P{\D\Intx{0}{π/2}{\cos 4x} } \\
  \end{array}
$$

Um outro jeito é a gente começar aprendendo os métodos que o Stewart

ensina, e depois a gente escrever isto aqui:
%
$$\Intx{0}{π/2}{\cos 4x} \;=\; \difx{0}{\pi/2}{\P{\frac14 \sen 4x}}
$$

\msk

A ``substituição certa'' é a que a gente usa pra justificar essa igualdade.

A justificativa dessa igualdade ``Pelo \ga{[TFC2]}, com $\ldots$'', e a

``substituição certa'' é o que vem depois do ``com''.

\bsk

Todos os livros de Cálculo 2 que eu conheço supõem que os leitores

são muito bons em ``aplicar fórmulas complicadas em casos complicados''...

Esse método super passo-a-passo de encontrar a substituição certa e

aplicá-la é algo que eu inventei pra ajudar pessoas que tinham dificuldade

com problemas de ``aplicar fórmulas complicadas em casos complicados'' --

e eu só tive que inventar ele porque eu não encontrei nenhum livro que

ensinasse como ``aplicar fórmulas complicadas em casos complicados''.

Se você conhecer algum livro ou vídeo que ensine técnicas pra isso,

\standout{PELAMORDEDEUS ME MOSTRE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!}

}}


\newpage













\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2023.2-C2/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C2/
       cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}

f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   <  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% <make>

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-justificativas veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-justificativas pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2ju"
% ee-tla: "c2m232just"
% End:
