% (find-angg "LATEX/2018-2-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2018-2-C2-P2.tex" :end))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-2-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2018-2-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2018-2-C2-P2"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-2-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-2-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-2-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2018-2-C2-P2.pdf
%               file:///tmp/2018-2-C2-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2018-2-C2-P2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2018-2-C2-P2.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}





{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2018.2
\par P2 - 12/dez/2018 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar



\def\ov{\overline}




% (find-angg "LATEX/2015-2-GA-P2.tex")

1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $f''+3f'-18f=0$.

a) \B(0.5 pts) Expresse $(*)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.

b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(*)$.

c) \B(1.0 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=1$, $f'(0)=0$.

\bsk
\bsk

2) \T(Total: 2.5 pts) Seja $(**)$ a seguinte EDO: $f''-6f'+25f=0$.

a) \B(0.5 pts) Expresse $(**)$ na forma $(D-α)(D-\ovα)f=0$.

b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(**)$.

c) \B(1.0 pts) Encontre as soluções básicas {\sl reais} de $(**)$.

d) \B(0.5 pts) Teste uma das soluções que você encontrou no item anterior.

\bsk
\bsk

3) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(***)$ a seguinte EDO: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+3}{y^4}$.

a) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(***)$ por variáveis separáveis.

b) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(***)$ que passa pelo ponto $(6,7)$.

c) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral.


\bsk
\bsk

4) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(****)$ a seguinte EDO: $(2xy^3) \, dx + 3(x^2+3)y^2 \, dy = 0$.

%         3         2 / 2    \
% 2*dx*x*y  + 3*dy*y *\x  + 3/
%

a) \B(0.5 pts) Verifique que $(****)$ é exata.

b) \B(1.0 pts) Encontre a solução geral de $(****)$.

c) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(****)$ que passa pelo ponto $(a,b)$.


\bsk
\bsk

5) \T(Total: 1.5 pts) Sejam $C$ e $π_z$ os seguintes conjuntos:
%
$$\begin{array}{rcl}
    C &=& \setofxyzst{0≤x≤4, y^2+z^2≤x} \\
  π_z &=& \setofxyzst{z=0} \\
  \end{array}
$$

a) \B(0.5 pts) Represente graficamente $C∩π_z$.

b) \B(1.0 pts) Calcule o volume de $C$.




\newpage

{\bf Mini-gabarito (não revisado)}

\bsk

1a) $(D-3)(D+6)f=0$

1b) $f_1 = e^{3x}$, $f_2 = e^{-6x}$, 

1c) Seja $f=αf_1+βf_2$. Então $f(0)=α+β=1$ e $f'(0)=3α-6β=0$; $α=2β$,
$α=\frac23$, $β=\frac13$, $f = \frac23 e^{3x} + \frac13 e^{-6x}$.

\bsk

2a) $(D-(3+4i))(D-\ov{(3+4i)})f=0$

2b) $f_1 = e^{(3+4i)x}$, $f_2 = e^{(3-4i)x}$

2c) $f_3 = e^{3x}\cos 4x$, $f_4 = e^{3x} \sen 4x$

2d) Sejam $F=e^{3x}$, $C=\cos 4x$, $S=\sen 4x$.

Então $F'=3F$, $C'=-4S$, $S'=4C$,
$(FC)'=3FC-4FS$, $(FS)' = 3FS+4FC$.

Seja $f=FC$, Então $f'=3FC-4FS$,

$f'' = 3(FC)'-4(FS)' = 3(3FC-4FS) - 4(3FS+4FC) = -7FC - 24FS$,

$f''-6f'+25f = (-7FC-24FS) -6(3FC-4FS) +25(FC) = 0$.

% (find-es "ipython" "2018.2-C2-P2-q2")


\bsk

\def\imp{\;\;\;⇒\;\;\;}

3a) $(x^2+3)dx = y^4dy
 \imp \intx{x^2+3} = \inty{y^4}
 \imp \frac{x^3}{3}+3x = \frac{y^5}{5}+C
$

$\imp y^5 = \frac53 x^3 + 15x + C'
 \imp y = \sqrt[5]{\frac53 x^3 + 15x + C'}
$

3b) Queremos $x=6$, $y=7$,
$7 = \sqrt[5]{\frac53 6^3 + 15·6 + C'}
   = \sqrt[5]{72 + 90 + C'}$

$\imp 7^5 = 72 + 90 + C'
 \imp C' = 7^5 - 72 - 90$

$\imp y = \sqrt[5]{\frac53 x^3 + 15x + (7^5 - 72 - 90)}$.

3c) Sejam $g(x)=\frac53 x^3 + 15x + C'$, $f(x)=\sqrt[5]{g(x)}$. Então $g'(x)=5x^2+15$,

$f'(x) = \frac15 g(x)^{-4/5} g'(x) = \frac15 (g(x)^{1/5})^{-4} g'(x)
       = \frac15 f(x)^{-4}(5x^2+15)$

$= f(x)^{-4}(x^2+3)$;

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+3}{y^4}$ corresponde a
$f'(x) = \frac{x^2+3}{f(x)^4}$,
ou seja, $f(x)^{-4}(x^2+3) = \frac{x^2+3}{f(x)^4}$. Ok!

\bsk

4) Sejam $G(x,y)=2xy^3$, $H(x,y)=3(x^2+3)y^2$. A EDO é $Gdx+Hdy=0$.

4a) $G_y=6xy^2$, $H_x=6xy^2$; $G_y=H_x$, a EDO é exata.

4b) Seja $F=(x^2 + 3)y^3$. Então $F_x=2xy^3=G$, $F_y=(x^2+3)·3y^2=H$;

as soluções são as curvas de nível da $F$, i.e., $F(x,y)=C$.

$(x^2 + 3)y^3 = C \imp y^3=\frac{C}{x^2+3} \imp y=\sqrt[3]{\frac{C}{x^2+3}}$

4c) Quando $x=a$ e $y=b$ temos $b=\sqrt[3]{\frac{C}{a^2+3}}
  \imp b^3 = {\frac{C}{a^2+3}}$

$ \imp C = (a^2+3)b^3 \imp y=\sqrt[3]{\frac{(a^2+3)b^3}{x^2+3}}.
$


\bsk

5a) Seja $f(x)=\sqrt{x}$; $C∩π_x = \setofxyst{0≤x≤4, -√x≤y≤√x}$.

5b) Volume $= \Intx04 {πf(x)^2}$; $\intx{πf(x)^2} = \intx{πx} = \fracπ2 x^2$;

Volume $= \Intx04 {πf(x)^2} = \Difx04 {\fracπ2 x^2} = 8π$.


\end{document}





% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End:
